Compléments de calcul intégral

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1 [ édité le juillet 4 Enoncés Compléments de calcul intégral Intégrale double sur un compact est compris entre C(R e x d et C(R e x d Exercice [ 85 ] [correction] où = { (x, R x, et x + π }. Exercice [ 86 ] [correction] sin(x + d x d où = { (x, R x, et x }. Exercice 3 [ 93 ] [correction] Soit R >. On note A R = [, R] [, R] et B R = { (x, R /x, et x + R } On pose f(r = exp( (x + d et g(r = A R exp( (x + d B R a Montrer que g(r f(r g(r. b En déduire la valeur de e t dt Exercice 4 [ 546 ] [correction] Soit C(R le quart de disque x,, x + R, R >. a Montrer que ( R e t dt b e x d C(R c En déduire la valeur de Exercice 5 [ 96 ] [correction] avec = e t dt (x 3 d } {(x, R /x,, x a + b On pourra utiliser le changement de variable x = au cos θ et = bu sin θ. Exercice 6 [ 97 ] [correction] a Justifier la convergence de cos(u du et + sin(u du b Soit f : [, π/] R + une application continue. Pour t > on pose t = {(r cos θ, r sin θ/θ [, π/], r [, tf(θ]} et on introduit ϕ(t = sin(x + d et ψ(t = t cos(x + d t éterminer les limites, quand T tend vers + de T ϕ et T ψ T T iffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d

2 [ édité le juillet 4 Enoncés c On choisit f pour que = [, ]. On pose C(t = t cos(u du et S(t = t Montrer que ϕ(t = C(tS(t et ψ(t = C(t S(t. d En déduire les valeurs des intégrales de Fresnel Exercice 7 [ 94 ] [correction] Soit cos(u du et I n = éterminer la limite de I n quand n +. + [,] d + x n + n sin(u du sin(u du (on posera x = ar cos θ et = br sin θ b l intégrale curviligne J = c Quelle relation existe-t-il entre I etj? Exercice [ 3365 ] [correction] où Γ ( 3 x 3 d (x + + z d dz = { (x,, z R 3, x,, z, x + + z } Exercice 8 [ 355 ] [correction] sin t t en utilisant l intégrale double J(u = sin(xe x d [,u] Exercice 9 [ 3363 ] [correction] Soit (a, b R, a >, b >. On note Γ l ellipse d équation et la partie de R définie par a l intégrale double dt x a + b = x a + b (x + d Exercice [ 385 ] [correction] où (x + d = { (x, (R + / + x } Exercice [ 564 ] [correction] essiner = { (x, R, x, x, x 4 } Montrer que φ(x, = (x, x est un C difféomorphisme sur ], + [. Expliciter φ(. f(x, d où f(x, = x(x + x Etudier les extrema de f. iffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d

3 [ édité le juillet 4 Enoncés 3 Calcul en coordonnées polaires Exercice 3 [ 3396 ] [correction] ( + x d où désigne le disque fermé de centre O et de raon. Exercice 4 [ 89 ] [correction] x d où est l intérieur de la boucle de la lemniscate d équation polaire r = cos θ obtenue pour θ [ π/4, π/4]. Exercice 5 [ 9 ] [correction] (x + d où = { (x, R /x + x, x +, }. Exercice 6 [ 95 ] [correction] où est donné par x x +. d ( + x + Exercice 7 [ 3 ] [correction] désigne le demi-disque supérieur de centre (, et de raon. + x d + Usage de la formule de Fubini Exercice 8 [ 9 ] [correction] Soient < a < b. En calculant de deux manières déterminer Exercice 9 [ 9 ] [correction] Observer que pour tout x [, ], En déduire la valeur de π b π a ln( + x = x cos t dt ln b cos t a cos t dt xd + x ln( + x + x Intégrale double sur un produit d intervalles Exercice [ 99 ] [correction] [,+ [ Exercice [ 98 ] [correction] En calculant de deux façons déterminer la valeur de ( + x + d ],] x d t ln t dt iffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d

4 [ édité le juillet 4 Enoncés 4 Exercice [ 99 ] [correction] En calculant de deux façons déterminer la valeur de [,π] [,[ π Exercice 3 [ ] [correction] En calculant de deux façons d + cos x ln( + cos t cos t [,+ [ e (x dt + d Exercice 6 [ 5 ] [correction] En déduire π/ R + R + ln(tan θ cos θ d ( + x ( + dθ et ln t t dt Exercice 7 [ 7 ] [correction] Soit A M (R une matrice smétrique définie positive. exp( t XAX d R ou X désigne le vecteur de coordonnées (x,. déterminer la valeur de e t dt Exercice 4 [ ] [correction] On pose a Justifier l existence de I et établir b En déduire la valeur de ],+ [ e (x ( x= Exercice 5 [ ] [correction] Que dire de l intégrale double où = ], ] [, ]? u= + d xe (+u x du e t dt x d (x + 3 Exercice 8 [ 354 ] [correction] ],[ ],π/[ d + (x tan et en déduire la valeur de l intégrale π/ tan d Exercice 9 [ 369 ] [correction] Existence et calcul de min(x, d ],] max(x, Exercice 3 [ 557 ] [correction] a omaine de définition des fonctions B(x, = b Montrer que u x ( u du et de Γ(x = x ], + [, Γ(x = u x e u du u x e u du iffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d

5 [ édité le juillet 4 Enoncés 5 c Ecrire Γ(xΓ( sous forme d une intégrale double. d A l aide des coordonnées polaires, montrer que e Montrer que et en déduire B(m, n pour m, n N. Formes différentielles B(x, = Γ(xΓ( Γ(x + x R +, Γ(x + = xγ(x Intégrales curvilignes Exercice 34 [ 6 ] [correction] On considère la forme différentielle ω(x, = x d x + définie sur R \ {(, }. a La forme différentielle ω est-elle fermée? b l intégrale de ω le long du cercle de centre O, de raon parcouru dans le sens direct. c La forme différentielle ω est-elle exacte? Exercice 3 [ 58 ] [correction] a Montrer que la forme différentielle ω = (x + + (x d est exacte et déterminer une primitive de ω. b Résoudre alors l équation différentielle x + + (x = dont l inconnue est la fonction de la variable réelle x. Exercice 35 [ 7 ] [correction] Soit n N. a Montrer que la forme différentielle suivante est fermée ω(x, = e x ((x sin x cos x + (x cos x + sin x d + b la circulation de ω le long de l arc figuré direct ci-dessous Exercice 3 [ 3367 ] [correction] a Montrer que la forme différentielle ω(x, = (x + + (x x d n est pas fermée. b éterminer les fonctions f : R R dérivable telle que la forme différentielle soit exacte et déterminer ses primitives. ω(x, f(x Exercice 33 [ 566 ] [correction] La forme différentielle ω(x, = x d + est-elle fermée? Exacte? onner l ensemble des cercles (parcourus une fois dans le sens direct le long desquels ω est nulle? c En passant à la limite quand n + déterminer la valeur de sin x x Exercice 36 [ 9 ] [correction] Soient O, A, B les points d affixes respectives, r, r exp(iπ/4 avec r >. Soit Γ r l arc paramétré de C constitué : iffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d

6 [ édité le juillet 4 Enoncés 6 - du segment [O, A], orienté de O vers A ; - de l arc C r du cercle de centre O et de raon r d origine A et d extrémité B ; - du segment [B, O] orienté de B vers O. a l intégrale curviligne I r = ( + i d Γ r e (x+i b Que dire de la limite, quand r +, de J r = ( + i d? c Qu en déduire? C r e (x+i Formule de Green Riemann Exercice 37 [ 69 ] [correction] Soit Γ la courbe orientée dans le sens trigonométrique, constituée des deux portions de courbes, comprises entre les points d intersection, de la droite d équation = x et de la parabole d équation = x. a ( + x b En utilisant la formule de Green-Riemann, retrouver la valeur de cette intégrale. Γ Exercice 38 [ ] [correction] l aire de la portion bornée du plan délimitée par l ellipse donnée par { x(t = a cos t (avec a, b > (t = b sin t Exercice 39 [ 79 ] [correction] l aire de la portion bornée du plan délimitée par l astroïde donnée par { x(t = a cos 3 t (avec a > (t = a sin 3 t Exercice 4 [ 66 ] [correction] l aire de la portion bornée du plan délimitée par l arche de la ccloïde { x(t = t sin t (t = cos t obtenue pour t [, π] et l axe des abscisses. Exercice 4 [ 46 ] [correction] l aire de la portion bornée du plan délimitée par la courbe définie par { x(t = cos t (t = ( + sin t cos t Exercice 4 [ ] [correction] l aire de la portion bornée du plan délimitée par la cardioïde d équation polaire r = + cos θ Exercice 43 [ 69 ] [correction] l aire de la portion bornée du plan délimitée par la lemniscate d équation polaire r = cos θ Exercice 44 [ 6 ] [correction] l aire de la boucle de la strophoïde droite d équation polaire r = cos θ cos θ Exercice 45 [ 8 ] [correction] On considère f : R R de classe C vérifiant : f x + f = iffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d

7 [ édité le juillet 4 Enoncés 7 Soit ϕ : R + R définie par ϕ(r = π f(r cos θ, r sin θ dθ a Montrer que la fonction ϕ est dérivable. b ϕ et en déduire une expression ϕ. On pourra interpréter rϕ (r comme la circulation d une forme différentielle sur un contour simple. c Soit le disque de centre et de raon R. Quelle est la valeur de f(x, d? Exercice 46 [ ] [correction] [Inégalité isopérimétrique] Soit γ une application de classe C et π-périodique de R vers C telle que s R, γ (s = l aire intérieure délimitée par cette courbe. On note S l aire orientée délimitée par γ [,π]. a Exprimer S à l aide des coefficients de Fourier exponentiels de γ. b Montrer S π et préciser le cas d égalité. Exercice 47 [ 3769 ] [correction] On considère la courbe paramétrée du plan donnée par x(t = t + t 4 (t = t3 + t 4 avec t R a éterminer centre de smétrie et axe de smétrie. Indice : calculer x(/t et (/t. b Voici l allure de la courbe sur R. iffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d

8 [ édité le juillet 4 Corrections 8 Corrections Exercice : [énoncé] On peut décrire sous la forme et ainsi exprimer l intégrale étudiée = { (x, R / x π et π x } π x= π x = Exercice : [énoncé] On peut décrire sous la forme et ainsi exprimer l intégrale étudiée sin(x + d = π x= cos(x + = π = { (x, R / x et x } x x d = x3 = 8 Exercice 3 : [énoncé] a B R A R B R et la fonction intégrée est continue et positive sur R donc b En passant aux coordonnées polaires g(r = π/ R Par encadrement, on obtient Or f(r = et e t dt donc ( R g(r f(r g(r re r dr dθ = π 4 ( e R R + f(r R + π 4 e t dt R + π e t dt = ( e t dt π 4 Exercice 4 : [énoncé] a On a ( R e dt t = ( ( R R e x e d = [,R] e x d Or la fonction (x, e x est positive et on a l inclusion des domaines d intégration C(R [, R] C(R On a donc C(R ( R e x d e dt t b En passant en coordonnées polaires e x d = C(R π/ R C(R re r dr dθ = π 4 e x d ( e R c La fonction f : t e t est définie et continue par morceaux sur [, + [. Puisque e t = o ( /t quand t +, on peut affirmer que f est intégrable et il a donc convergence de l intégrale e t dt En passant à la limite quand R + l encadrement obtenu à la première question, on obtient ( e t dt = π 4 puis π e t dt = sachant l intégrale positive. Exercice 5 : [énoncé] Φ : (u, θ (au cos θ, bu sin θ réalise une bijection de [, ] [, π/] vers de jacobien : abu. Par changement de variable π/ ( (x 3 d = (a 3 u 3 cos 3 θ bu sin θabu du dθ = 5 ab ( a 3 5b iffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d

9 [ édité le juillet 4 Corrections 9 Exercice 6 : [énoncé] a Pour A R + A cos(u du = Par intégration par parties : A cos(u du + A cos(u du [ ] A u u cos(u du = u sin(u + A sin(u u du l R A + On procède de même pour + sin(u du. b En passant aux coordonnées polaires donc puis ϕ(t = sin(x + d = t ϕ(t = π/ θ= T ϕ(t dt = π T 4 T π/ θ= ( tf(θ r sin(r dr dθ r= ( cos(t f (θ dθ π/ ( T cos(t f (θ dt dθ Par changement de variable affine, sachant f(θ >, on a T cos(f(θt dt = f(θt cos(u du f(θ Or A A cos(u du est continue sur R + et admet une limite finie en + donc elle est bornée par un certain M. On a alors π/ puis ( T cos(t f (θ dt dθ Finalement T π/ π/ T cos(t f (θ dt dθ ( T cos(t f (θ dt dθ T ϕ(t dt π T 4 π/ M f(θ e manière semblable, on obtient c On a or En séparant, puis e même ϕ(t = t ϕ(t = t T ψ(t dt T x= ( t sin(x + d = sin(x + = sin(x cos( + sin( cos(x sin(x t cos( d + On en déduit C = S et CS = π/. Il ne reste plus qu à déterminer les signes de dθ = CteC et S pour conclure leur valeur. t ϕ(t = S(tC(t ψ(t = C(t S(t sin( d t cos(x d Lorsqu une fonction g : [, + [ R continue tend vers l en + il est connu que T g(t dt T l T + On a donc en notant avec ϕ(t t + C = CS et ψ(t t + C S cos(u du et S = (n+π I n = nπ cos(u du = cos(u du = (n+π nπ + I n n= sin(u du cos t dt = ( n t π cos s s + nπ ds iffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d

10 [ édité le juillet 4 Corrections On a alors I n = ( n I n, ( I n n décroissante et I n donc le critère spécial s applique et assure que la somme + I n est du signe de son premier terme, à n= savoir I >. Ainsi C >. e plus CS > donc S > puis π C = S = Exercice 7 : [énoncé] [,] x n + n I n = + x n d (x n + n d = + n [,] n + donc I n. Exercice 8 : [énoncé] La fonction f définie sur R par f(x, = sin(xe x est continue donc pour tout u ; u ( u J(u = sin(xe x d = une part avec u et d autre part On en déduit u u ( u sin(xe x d ( u ( e sin(xe x = Im e ( ix ( iu = Im i ( e ( iu Im i sin x x u ( e xu = u = ( cos(ue u sin(ue u + sin(xe x d = sin x x ( e xu ( cos(ue u sin(ue u d + ce qui se réorganise en avec et u u sin x x = u u cos(u + sin(u + d + + sin x x u e xu sin x u x e xu u e u d e xu = u u e u d cos(u + sin(u e u d + On en déduit u sin x u d lim = lim u + x u + + = π ce qui donne la convergence et la valeur de l intégrale définissant I. Exercice 9 : [énoncé] a Le changement de variables proposé a pour jacobien (x, (r, θ = a cos θ ar sin θ b sin θ br cos θ = abr Ce changement de variable donne et donc π r= ( a r cos θ + b r sin θ abr dr dθ πab(a + b 4 b Par le paramétrage direct { x(t = a cos t avec t [, π] (t = b sin t on obtient puis au terme des calculs J = π ab 3 sin 4 θ + a 3 b cos 4 θ dθ J = 3πab(a + b 4 e u d u + iffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d

11 [ édité le juillet 4 Corrections c On observe J = 3I ce qui est conforme à la formule de Green Riemann puisque avec Exercice : [énoncé] 3 x= 3 x 3 d = P (x, + Q(x, d (x + + z d dz = ( x = Q P (x, x (x, = 3(x + x= ( x ( x = (x + 3 d = 3 ( 4 Exercice : [énoncé] = { (x, R / x et x } donc Après calculs (x + d = ( x z= (x + d = 3 4 (x + + z dz d x 4 = ( (x + d Cela permet de justifier que φ est une bijection de ], + [ vers lui-même. φ est évidemment de classe C et Jacφ(x, = x x = (x + donc, par le théorème d inversion globale, φ est un C difféomorphisme. On aurait pu aussi observer que φ est de classe C ce qui est immédiat car le sstème précédent permet d exprimer φ. On a φ( = [, ] [, 4]. Par le changement de variable induit par φ, [,] [,4] X Y dx dy = 3 ln L application f est de classe C. Après = résolution du sstème f (x, = x f (x, = on obtient (, seul point critique. En passant en polaires, f(x, = qui change de signe. f n a pas d extremum locaux. r cos θ sin θ cos θ sin θ = r tan θ Exercice : [énoncé] La condition x donne une portion du plan comprise entre deux hperboles. ans le repère (O; u π/4, v π/4, la condition x 4 devient XY 4 ce qui conduit encore à une portion de plan comprise entre hperboles. Pour x,, X, Y >, on obtient { x = X x = Y x = X Y + 4X Y = Y + 4X Y Exercice 3 : [énoncé] En passant en coordonnées polaires π r + r 3 cos θ sin θ dr dθ = π Le résultat se comprend car les aires positives, compensant les négatives, on a x d = iffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d

12 [ édité le juillet 4 Corrections Exercice 4 : [énoncé] En passant en coordonnées polaires π/4 θ= π/4 cos θ r= r 5 cos θ sin θ dr dθ = π/4 π/4 4 sin θ cos 3 θ dθ = 8 Exercice 7 : [énoncé] Le cercle délimitant le disque étudié a pour équation polaire En passant en coordonnées polaires r = cos θ Exercice 5 : [énoncé] On peut décrire le domaine d intégration en coordonnées polaires sous la forme = {M(r cos θ, r sin θ/θ [, π/4] / sin θ r cos θ} En passant aux coordonnées polaires donc (x + d = 4 (x + d = π/4 π/4 ( cos θ r 3 (cos θ + sin θ dr dθ sin θ (cos 4 θ sin 4 θ(cos θ + sin θ dθ = 4 π/4 On obtient donc cos θ( + sin θ dθ = 3 6 π/ θ= π/ cos θ π/ θ= θ= r= cos θ sin θ dθ r sin θ r dr dθ + r sin θ [r arctan r] cos θ r= dθ π/ sin θ arctan( cos θ dθ La première intégrale est immédiate et la seconde s obtient par changement de variable puis intégration par parties arctan x = arctan + 4 ln 5 Exercice 6 : [énoncé] En visualisant le domaine comme le complémentaire de la réunion de deux cercles dans le cercle unité et par des considérations de smétrie, on obtient en passant aux coordonnées polaires d ( + x + = 4 π/ ( cos θ Or via le changement de variable t = tan θ donc π/ r π/ ( + r dr dθ = + cos θ dθ dθ + + cos θ = dt t + = π d ( + x + = π π = ( π Exercice 8 : [énoncé] une part autre part et π π b a π b dt x cos t a x cos t dt = x cos t dt = = u=tan t π b π a ln b cos t a cos t dt dt x cos t du ( + xu + x = π x On en déduit π ln b cos t b a cos t dt = π a x = π [argchx]b a = π ln b + b a + a iffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d

13 [ édité le juillet 4 Corrections 3 Exercice 9 : [énoncé] Par simple détermination de primitive On a Or xd + x = [ln( + x] = ln( + x ln( + x + x = x ( + x( + x d x ( + x( + x = a + x + bx + c + x avec a = +, b = +, c = + donc puis ( + x( + + x + ( + x ( + d = I+ Exercice : [énoncé] Considérons ( + ( + x d = f : (x, ( + d ( + x + f est définie et continue sur [, + [. Pour x, f(x, est intégrable sur R + car +. [ ( + x + d = + x + (+x + 3 ] + = e plus x f(x, d est intégrable sur R + car x +. + x = π 4 = x + ( + x ( + d + x = π ln 8 quand ( + x (+x x quand Puisque f est positive, on en déduit que f est intégrable sur [, + [ et par le théorème de Fubini, [,+ [ ( + x + d = ( ( + x + d = π 4 Exercice : [énoncé] Soit f(x, = x continue et positive sur ], [. une part autre part = ( x= x x= d = = ( x d = = d = ln + x= x ln x avec x x ln x intégrable sur ], [. Par le théorème de Fubini (avec ici f, ces deux intégrales sont égales et donc t ln t dt = ln Exercice : [énoncé] Soit f(x, = + cos x continue et positive sur [, π] [, [. une part : π ( d π ln( + cos x = + cos x cos x et cette intégrale est bien définie. autre part : π + cos x et ( π = t=tan x d = + cos x dt ( + + ( t = π π d = π Par le théorème de Fubini (avec ici f, ces deux intégrales sont égales et donc π Exercice 3 : [énoncé] Sous réserve d intégrabilité on a : ( x= = ln( + cos t cos t e (x + d = dt = π π/ ( θ= r= re r dr dθ iffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d

14 [ édité le juillet 4 Corrections 4 une part, la fonction e (x + est intégrable sur R + et la fonction x + = e (x d = Ce x est intégrable sur R +. autre part, la fonction r re r est intégrable sur R + et la fonction θ re r dr est intégrable sur [, π/]. La relation précédente est donc valide. une part, en séparant les variables : autre part, On peut conclure ( x= = π/ ( θ= r= ( e (x + d = e t dt re r dr dθ = π [ ] + e r = π r= 4 π e t dt = Exercice 4 : [énoncé] a Pour tout x ], + [, e (x + est intégrable sur ], + [ et l application x = e (x + d = Ce x est continue et intégrable sur ], + [ donc (x, e (x + est intégrable sur ], + [ et ( x= = Réalisons le changement de variable = ux puis = e (x + d = ( x= u= e (x + d u= xe x (+u du xe (+u x du b Compte tenu des calculs précédents (x, u xe (+u x est intégrable sur ], + [ et donc x du ],+ [ xe (+u Puisque x xe (+u x est intégrable sur ], + [ et que u xe (+u x = +u est intégrable sur ], + [ on a aussi ( xe (+u x du du = + u = π u= x= Or par séparation des variables ( x= = ( e (x + d = e t dt t= donc π e t dt = car cette dernière intégrale est positive. Exercice 5 : [énoncé] L intégrale a la même nature que sur ], ]. x est intégrable sur ], ] et x (x+ 3 (+ est intégrable sur ], ] et Ainsi x (x+ d = 3. Par une démarche smétrique x (x + 3 = ( + d ( + = On peut donc dire que la fonction (x, Exercice 6 : [énoncé] Posons f : R + R + R définie par f(x, = x (x + 3 d = x (x+ 3 n est pas intégrable sur. ( + x ( + iffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d

15 [ édité le juillet 4 Corrections 5 La fonction f est continue et positive. Pour R +, la fonction x f(x, est intégrable sur R + et π f(x, = (+ est intégrable sur R+. On en déduit que f est intégrable sur R + R + et R + R + d ( + x ( + = Posons g : R + ], π/[ R définie par g(r, θ = f(r cos θ, r sin θr = ( ( + x ( + r ( + r cos θ( + r sin θ La fonction g est continue et positive. Pour θ ], π/[, la fonction r g(r, θ est intégrable sur R + et d = π 4 + du tan θ g(r, θ dr = u=r ( + u cos θ( + u sin = ln θ cos θ Pour θ π/4, ( + u cos θ( + u sin θ = ( cos θ cos θ + u cos θ sin θ + u sin θ et on en déduit puis du ( + u cos θ( + u sin θ = cos θ e plus, pour [a, b] ], π/[, on a g(r, θ ln tan θ g(r, θ dr = cos θ [ ln + u ] + cos θ ln tan θ + u sin = θ cos θ r ( + r cos b( + r sin a = ϕ(r avec ϕ intégrable sur [, + [ donc, par domination sur tout segment, on peut affirmer que θ g(r, θ dθ est continue sur ], π/[. Par cet argument, il n est pas nécessaire de calculer l intégrale pour θ = π/4. La fonction h : θ g(r, θ dθ est intégrable sur ], π/4] car quand θ +, θh(θ = θ ln(tan θ cos θ θ ln θ e plus, h(π/ θ = h(θ donc h est aussi intégrable sur [π/4, π/[. Par le théorème d intégration en coordonnées polaires, on a alors R + R + f(x, d = d où l on tire π/ π/ ( ln tan θ cos θ En posant t = tan θ, on a dt = ( + t dθ et et on obtient Exercice 7 : [énoncé] Commençons par le cas où On étudie alors A = Posons f : R R définie par dθ = π 4 cos θ = t + t ( λ µ ln t π t dt = 4 avec λ, µ > exp ( (λx + µ d R f(x, = exp ( (λx + µ La fonction f est définie, continue et positive sur R. Pour x R, la fonction f(x, est intégrable sur R et R g(r, θ dr dθ f(x, d = e λx e µ d = C te e λx La fonction x f(x, d est intégrable sur R et par conséquent f est R intégrable sur R avec R ( f(x, d = R ( ( e λx e µ d iffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d

16 [ édité le juillet 4 Corrections 6 Sachant e t dt = π on obtient par un changement de variable affine π π = λµ det A Passons au cas général. Notons λ, µ > les deux valeurs propres de la matrice A. Il existe une base orthonormée ( e, e telle que si X = u e + v e alors t XAX = λu + µv Considérons alors l application ϕ : R R qui à (x, associe (u, v de sorte que (x, = u e + v e ϕ est une isométrie de l espace vectoriel R, la valeur absolue de son jacobien vaut et ϕ transforme le disque (, R = { (x, R /x + R } en lui-même. Par le changement de variable (u, v = ϕ(x, exp( t XAX d = exp ( (λu + µv du dv (,R (,R Quand R +, l étude d intégrabilité du cas initial donne exp ( (λu + µv du dv exp ( (λu + µv du dv = π (,R R λµ On en déduit (,R exp( t XAX d R + π λµ Tout pavé [a, b] [c, d] étant inclus dans un disque (, R pour R assez grand et inversement tout disque (, R étant inclus dans un pavé assez grand, on peut affirmer que la fonction continue positive (x, exp( t XAX est intégrable sur R et sup [a,b] [c,d] R [a,b] [c,d] exp( t XAX d = lim R + (,R Exercice 8 : [énoncé] La fonction f définie sur ], [ ], π/[ par f(x, = + (x tan est continue et positive. Pour x ], [, la fonction f(x, est continue par morceaux et intégrable sur ], π/[ avec π/ Par décomposition en éléments simples et donc π/ d + dt = + (x tan t=tan ( + t ( + x t x ( + t ( + x t = x + t + x + x t d + (x tan = ],[ ],π/[ t=tan π ( x + x x = π x + La fonction x π ln(x + est continue par morceaux et intégrable sur ], [. On en déduit que la fonction f est intégrable sur ], [ ], π/[ et ( d π/ + (x tan = d + (x tan puis finalement ],[ [,π/[ d + (x tan = π x + = π ln Aussi, pour ], π/[, la fonction x f(x, est continue par morceaux et intégrable sur ], [ avec [ ] + (x tan = arctan (x tan = tan tan e plus la fonction /tan est continue par morceaux et intégrable sur exp( t ], π/[ XAX d = π donc πon aussi = λµ det A d π/ ( + (x tan = + (x tan d ],[ ],π/[ iffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d

17 [ édité le juillet 4 Corrections 7 ce qui donne ],[ ],π/[ d π/ + (x tan = tan d Une étude semblable donne que la fonction Γ est définie sur ], + [ car u x e u u ux et u x e u = o ( /u + u + On en déduit π/ tan d = π ln Exercice 9 : [énoncé] Posons f : ], ] R la fonction définie par f(x, = La fonction f est positive, continue et vérifie min(x, max(x, (x, ], ], f(x, ce qui assure son intégrabilité. L intégrale étudiée est donc bien définie. Pour x ], ] fixé, la fonction f(x, est intégrable sur ], ] car est continue par morceaux, positive et majorée par. On a f(x, d = x x d + x x d = x x ln x La fonction x f(x, d est intégrable sur ], ] car est continue par morceaux et prolongeable par continuité en. On retrouve ainsi que f est intégrable sur ], ] mais aussi a-t-on ( f(x, d = x x ln x = Exercice 3 : [énoncé] a La fonction b : u u x ( u est définie et continue par morceaux sur ], [. On a u x ( u u ux et u x ( u + ( uu donc la fonction b est intégrable sur ], [ si, et seulement si, x > et >. La fonction b étant positive, son intégrabilité équivaut à la convergence de l intégrale définissant B. La fonction B est donc définie sur R + R +. u b Le changement de variable u = t qui est de classe C strictement monotone donne c On a donc Γ(x = t x e t dt ( + ( 4 Γ(xΓ( = u x e u du v e v dv 4 Γ(xΓ( = ( u x v e (u +v dv du Considérons la fonction f : (u, v u x v e (u +v. Cette fonction est positive. Pour chaque u >, la fonction v f(u, v est continue par morceaux et intégrable sur ], + [. La fonction u f(u, v dv = ux e u Γ( est continue par morceaux et intégrable sur ], + [. On peut donc affirmer que f est intégrable sur R + R + et ( f(u, v du dv = f(u, v dv du R + R + ce qui fournit exactement u x v e (u +v du dv = R + R 4 Γ(xΓ( + d Introduisons la fonction déduite d un passage en polaire g : (r, θ = f(r cos θ, r sin θr = (cos θ x (sin θ r (x+ e r La fonction g est positive Pour chaque θ ], π/[, la fonction r g(r, θ est continue par morceaux et intégrable sur ], + [. La fonction θ g(r, θ dr = (cos θx (sin θ Γ(x + iffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d

18 [ édité le juillet 4 Corrections 8 est continue par morceaux et intégrable sur ], π/[ car x, > et ( π x (sin θ θ θ, (cos θ x θ θ π/ On peut donc passer en coordonnées polaires et affirmer π/ ( f(u, v du dv = g(r, θ dr dθ R + R + ce qui donne Γ(xΓ( = Γ(x + π/ (cos θ x (sin θ dθ Par le changement de variable C strictement monotone u = cos θ pour lequel du = cos θ sin θ dθ on obtient et finalement π/ e Par intégration par parties A ε (cos θ x (sin θ dθ = Quand ε et A +, on obtient Γ(xΓ( = B(x, Γ(x + u x ( u du u x e u du = [ u x e u] A A + x u x e u du ε Γ(x + = xγ(x Puisque Γ( =, une récurrence facile donne Γ(n = (n! pour tout n N. On en déduit (n!(m! B(n, m = (n + m! ce qui aurait aussi pu se démontrer directement par une succession d intégrations par parties. Exercice 3 : [énoncé] a Après étude du sstème différentiel f (x, = x + x f (x, = x ε on vérifie aisément que f(x, = x + x est une primitive de la forme différentielle ω. b Soit une solution sur I de l équation différentielle étudiée. Pour tout x I, on a d (f(x, (x = donc x f(x, (x est une fonction constante. En posant λ la valeur de cette constante, on obtient x I, x x + λ = puis x I, x λ et (x = x + ε(x x λ avec ε(x = ± Pour λ <, la quantité x λ est strictement positive sur R. Puisque la fonction ε : x ε(x = (x x x λ est continue et ne prend que les valeurs ou, elle est constante et donc x I, (x = x + x λ ou x I, (x = x x λ Pour λ >, quand la quantité x λ s annule, elle change de signe et ce ne peut donc qu être en une extrémité de l intervalle I. Par un argument de continuité semblable au précédent, on obtient encore x I, (x = x + x λ ou x I, (x = x x λ et puisque la fonction est dérivable sur I, on a nécessairement x λ > sur I. Pour λ =. Si I R + ou I R alors comme pour ce qui précède on obtient x I, (x = ( + x ou x I, (x = ( x Sinon, par dérivabilité d un raccord en d une solution sur I R + et sur I R, on obtient encore x I, (x = ( + x ou x I, (x = ( x Inversement, les fonctions proposées sont bien solutions en vertu des calculs qui précèdent. Pour résumer, les solutions maximales de l équation différentielle étudiée sont iffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d

19 [ édité le juillet 4 Corrections 9 - x ( + x et x ( x sur R ; - x x + x + λ et x x + x λ sur R pour λ < ; - x x + x + λ et x x + ] x λ sur, [ ] λ, [ λ et + pour λ >. Exercice 3 : [énoncé] a Posons P (x, = x + et Q(x, = x x Puisque Q x P la forme différentielle ω n est pas fermée. b La forme différentielle θ(x, = ω(x, f(x est de classe C sur l ouvert étoilé R, elle est donc exacte si, et seulement si, elle est fermée. Cela équivaut à la satisfaction pour tout (x, R de l équation (x f(x + (x x f (x = ( xf(x + x(x + f (x Après simplification, on obtient (x + (f(x f (x = Par suite f est solution du problème posé si, et seulement si, f est solution de l équation différentielle (t = (t Après résolution de cette équation différentielle linéaire d ordre, on obtient la solution générale f(t = λe t avec λ R On obtient alors une primitive U de la fonction forme différentielle étudiée en résolvant le sstème U x (x, = λex (x + U (x, = λex (x x Au terme des calculs, on obtient U(x, = λ(x e x + C Exercice 33 : [énoncé] ω n est pas fermée et a fortiori ni exacte. Considérons le cercle Γ obtenu par le paramétrage { x = a + R cos t avec t [, π] = b + R sin t On a ω = Γ car Ainsi π (a + R cos t R cos t (b + R sin t R sin t dt = π cos t dt = Γ π ω = π(a + br cos 3 t dt = π Les cercles recherchés sont ceux centrés sur la droite d équation x + =. Exercice 34 : [énoncé] a Oui, on vérifie par le calcul Q x = P b On paramètre le cercle Γ par x = cos t, = sin t, t [, π]. On obtient Γ ω = c Non car si ω était exacte on aurait π Γ ω = dt = π ar cos t + br sin t dt Exercice 35 : [énoncé] a Par calculs (pénibles. b C peut être inclus dans un ouvert étoilé où ω est exacte et alors C ω =. c On peut décomposer Γ ω = n /n sin x /n x + sin x ω C n n x + ω C /n iffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d

20 [ édité le juillet 4 Corrections avec C n et C /n les demi-cercles de raon n et /n. n /n sin x x /n sin x n n x = sin x + /n x sin x x La convergence de cette dernière intégrale est considérée comme bien connue. Etudions π ω = e n sin θ cos(n cos θ dθ C n Puisque e n sin θ cos(n cos θ et e n sin θ cos(n cos θ n + θ ], π[, par convergence dominée on obtient Etudions Puisque π C n ω n + ( e n sin θ cos n cos θ dθ pour tout ω = C /n e n sin θ cos ( n cos θ et e n sin θ cos( n cos θ pour tout n + θ [, π], par convergence dominée on obtient Finalement puis ω C n + /n π sin x x = π sin x x = π Exercice 36 : [énoncé] a On intègre ici une forme différentielle complexe e (x+i ( + i d = P (x, + Q(x, d Γ r Γ r avec P (x, = iq(x, = e (x+i. Or P (x, = i(x + ie (x+i = Q (x, x donc e (x+i Γ r ( + i d = car la forme différentielle est fermée donc exacte sur l ouvert étoilée C. b En paramétrant l arc C r car { x = r cos t avec t [, π/4] = r sin t on obtient J r = e (x+i C r ( + i d = π/4 re r (cos t+i sin t (sin t i cos t dt Comme une exponentielle imaginaire est de module, on obtient J r π/4 Par le changement de variable t = π/4 π/4 re r cos t dt = re r cos t dt π/4 re r sin u du Par l inégalité de convexité sin x x/π valable pour x [, π/] π/4 re r sin u du π/4 re 4 π ur du = [ ] π/4 4 πr e 4 π ur On peut donc affirmer que J r tend vers quand r tend vers +. c Par paramétrage de segments r e (x+i ( + i d = e t dt et [B,O] [O,A] e (x+i ( + i d = Sachant π e t dt = on obtient r lim r + r e it + i dt cos(t + sin(t dt = π/ iffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d

21 [ édité le juillet 4 Corrections et On peut alors conclure lim r + r lim r + cos t dt = cos(t sin(t dt = lim r + Exercice 37 : [énoncé] a En paramétrant les deux courbes constituant Γ x + x 3 b Par la formule de Green-Riemann π sin t dt = x + x = 4 ( + x d avec = { (x, R / x, x x }. On en déduit ( x ( + x d = x ( + x(x x = 4 Exercice 38 : [énoncé] Le domaine limité étant parcouru dans le sens direct, on peut calculer son aire par l intégrale curviligne A = x d On obtient A = π ab cos t dt = πab Exercice 39 : [énoncé] Le domaine limité étant parcouru dans le sens direct, on peut calculer son aire par l intégrale curviligne A = x d On obtient A = π 3a cos 4 t sin t dt = 3π 8 a Exercice 4 : [énoncé] On calcule l aire étudiée par l intégrale curviligne A = x d le long d un pourtour direct du domaine limité. Le pourtour est ici formé par la réunion de deux arcs, l arche de ccloïde (parcouru dans le sens indirect et un segment de l axe (Ox. On obtient A = π (t sin t sin t dt + π dt = 3π Exercice 4 : [énoncé] La courbe étudiée est intégralement obtenue pour t [, π] et le domaine limité est parcouru dans le sens direct. On peut calculer son aire par l intégrale curviligne A = x d On obtient A = π cos 4 t cos t( + sin t sin t dt = π Exercice 4 : [énoncé] Le domaine limité étant parcouru dans le sens direct, on peut calculer son aire par l intégrale curviligne A = r dθ On obtient A = π π ( + cos θ + cos θdθ = 3π Exercice 43 : [énoncé] L aire voulue se calcule par une intégrale curviligne le long d un pourtour direct du domaine A = r dθ Pour θ variant de π/4 à π/4, on parcourt une boucle de lemniscate dans le sens direct, on obtient par considération de smétrie A = π/4 π/4 cos θ dθ = iffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d

22 [ édité le juillet 4 Corrections Exercice 44 : [énoncé] La boucle de la courbe considérée est obtenue pour θ [ π/4, π/4] et elle est parcourue dans le sens direct. L aire voulue se calcule par l intégrale curviligne A = r dθ On obtient par considération de smétrie A = π/4 4 cos θ 4 + cos θ dθ = π Exercice 45 : [énoncé] a g : (r, t f(r cos t, r sin t est C donc g et g r sont continues sur R [, π] et ϕ est C sur R. b La fonction (r, θ f(r cos θ, r sin θ admet une dérivée partielle en la variable r et celle-ci est continue sur R [, π]. Par intégration sur un segment, ϕ est dérivable et ϕ (r = π cos θ f f (r cos θ, r sin θ + sin θ (r cos θ, r sin θ dθ x En notant Γ le cercle de centre O et de raon r parcouru dans le sens direct et le disque correspondant, rϕ f f f (r = (x, d (x, = x x (x, + f (x, d = Γ On en déduit ϕ (r = pour r, puis par continuité pour tout r R. Par suite la fonction ϕ est constante égale à ϕ( = πf(, c En passant aux coordonnées polaires R π f(x, d = f(r cos θ, r sin θr dθ dr = πr f(, Exercice 46 : [énoncé] a Posons x = Re(γ, = Im(γ. S = (x d = γ π (x(s (s (xx (s ds donc S = π en notant (.. le produit scalaire usuel. Par la formule polarisée de Parseval (γ γ = n Z car c n (γ = inc n (γ et donc b Par la formule de Parseval on a : donc puis n Im( γ(sγ (s ds = πim(γ γ c n (γc n (γ = n Z S = n Z inc n = π S = π n Z n c n (γ π n c n = n in c n (γ γ (s ds = n c n π n Z n c n π avec égalité si, et seulement si, c n = pour tout n Z tel que n >. On a alors γ(s = c + c e is avec c = car γ (s =. γ est un paramétrage direct d un cercle de diamètre. Exercice 47 : [énoncé] a La courbe est définie pour t parcourant R. Puisque x( t = x(t et ( t = (t, le point M( t est le smétrique du point M(t par rapport à l origine. Pour t, x(/t = (t et (/t = x(t donc M(/t est le smétrique du point M(t par rapport à la droite d équation = x. b On peut calculer l aire par une intégrale curviligne «généralisée»(par un changement de paramétrage du tpe s = arctan t, on se ramène à un paramétrage sur ] π/, π/[ que l on prolonge à [ π/, π/] en adjoignant le point limite origine et cela nous ramène au contexte usuel.... La formule la plus pratique ici est A = x d iffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d

23 [ édité le juillet 4 Corrections 3 Pour des raisons de sens de parcours, on va calculer le double de l aire d une boucle et l on obtient t 3 A = ( + t 4 dt = iffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d