LA SPHÈRE. Un cercle de centre O et de rayon r en rotation autour d un de ses diamètres, engendre une SPHÈRE de centre O et de rayon r.

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Pierre-Marie Picard
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1 LA SPHÈRE - Généation de la Sphèe Un cecle de cente O et de ayon en otation autou d un de ses diamètes, engende une SPHÈRE de cente O et de ayon. Remaque : un disque de cente O et de ayon engende une boule de cente O et de ayon. - La Sphèe Teeste

2 - Repésentation et aute définition de la sphèe LA SPHÈRE On appelle gand cecle un cecle de points de la sphèe dont le cente est le cente O de la sphèe. On epésente la sphèe au moyen de deux gands cecles. La sphèe de cente O et de ayon Définition : Cette sphèe est l ensemble de tous les points de l espace situés à la distance du point O. O La boule associée à cette sphèe est l ensemble de tous les points de l espace situés à une distance inféieue ou égale à du point O. - Intesection d une sphèe et d un plan Étude d un exemple : Une sphèe de cente O et de ayon 4 cm est coupée pa un plan tel que O soit à 2,4 cm du plan. Η Μ O Le cente O est à 2,4 cm du plan : OH = 2,4 cm Soit M un point commun à la sphèe et au plan. La doite (OH) est pependiculaie au plan ; elle est donc pependiculaie à toutes les doites de ce plan, en paticulie à la doite (HM).

3 Le tiangle OHM est donc ectangle en H. D apès la popiété de Pythagoe : HM = OM OH HM = 4 2,4 = 16 5,76 = 10, HM = 10,24 = 3,2 cm N impote quel point M, appatenant à l intesection du plan et de la sphèe, est à 3,2 cm du point H. Il est su le cecle de cente H et de ayon HM = 3,2 cm. Invesement, n impote quel point de ce cecle est un point de la sphèe. Conclusion : (généalisation) La section d une sphèe et d un plan est un cecle. Remaques : La plus gande section possible est obtenue pa un plan passant pa le cente de la sphèe. (OH = 0) C est un gand cecle de la sphèe. Si OH =, alos le plan n a qu un point commun avec la sphèe. Ce plan est dit tangent à la sphèe en ce point. - Aie de la sphèe L aie de la suface d une sphèe de ayon est : Aie = 4π 2 Exemple : Calcul de l aie de la suface teeste : Sachant que le ayon teeste est envion 6365 km, l aie de la Tee est : π = 4 π km - Volume le la boule Le volume d une boule de ayon est : 4 Volume = 3 π 3 Exemple : Calcul du volume d une boule de 1 m de diamète Le ayon d une telle boule est 0,5 m soit 5 dm. Le volume de cette boule est : π = π dm 3 3 Une boule ceuse de 1 mète de diamète peut donc conteni envion 524 lites de liquide.

4 Execices LA SPHÈRE - On donne une sphèe de cente O et de ayon R et un plan P. On appelle H le point d intesection du plan et de la pependiculaie à ce plan issue de O. Dans chacun des cas ci-dessus, coloie la patie visible du plan. - Le topique du Cance Le topique du Cance est à la latitude de 23,5 Nod. EOC = et OCH = ca Le tiangle OCH est ectangle en H. cosoch Sachant que le ayon de la tee est envion 6365 km, le ayon du topique est : La longueu du topique est envion : Compae le volume d une sphèe de 1,50 m de ayon et celui d un cylinde de 2 m de diamète et de 4,50 m de hauteu

5 Devoi Une boule de laiton mesue 10 cm de diamète. Le laiton est un alliage constitué de 40% de zinc et de 60% de cuive. - Calcule le volume de cette boule. (Aondi à 1/10 cm 3 pès) - Quelle est sa masse? Indications : µ (cuive) = 8,94 g/cm 3 µ (zinc) = 7,1 g/cm 3 - On veut ecouvi cette boule de peintue doée. Calcule l aie de la suface de la boule. Quelle quantité de peintue est nécessaie si 1 dl ecouve 0,1 m 2? - La boule est sciée selon un plan situé à 3 cm de son cente. Faie le schéma. Calcule le ayon du cecle de section, la longueu de ce cecle et l aie du disque de section.

6 Execices LA SPHÈRE - On donne une sphèe de cente O et de ayon R et un plan P. On appelle H le point d intesection du plan et de la pependiculaie à ce plan issue de O. Dans chacun des cas ci-dessus, coloie la patie visible du plan. - Le topique du Cance Le topique du Cance est à la latitude de 23,5 Nod. E OC = 23, 5 et O CH = 23, 5 Ca ils sont altenes intenes pou les paallèles (CH) et (EO) Le tiangle OCH est ectangle en H. co CH CH soc H = OC = étant le ayon de la Tee Sachant que le ayon de la tee est envion 6365 km, le ayon du topique est : CH = cosoch = cos23, cos23, km La longueu du topique est envion : longueu = 2π CH 2 π km Le Topique du Cance mesue envion km - Compae le volume d une sphèe de 1,50 m de ayon et celui d un cylinde de 2 m de diamète et de 4,50 m de hauteu π 3,375 = π = π = = π V(sphèe) 1,5 4,5 2 2 V(cylinde) h 1 4,5 4,5 =π =π = π (volumes expimés en m 3) La sphèe et le cylinde ont le même volume

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