COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES B (X) Exposant de Hölder ponctuel d une fonction continue. Première partie : définition de l exposant de Hölder ponctuel

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1 ÉCOLE POLYTECHNIQUE CONCOURS D ADMISSION 013 FILIÈRE MP COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES B (X) (Durée : 4 heures) L utilisation des calculatrices n est pas autorisée pour cette épreuve Exposant de Hölder ponctuel d une fonction continue N désigne l ensemble des entiers naturels et R celui des nombres réels On note C l espace vectoriel réel des fonctions continues définies sur l intervalle compact [0, 1] et à valeurs dans R Cet espace est muni de la norme définie pour tout f C, par f = sup x [0,1] f(x) On note C 0 le sous-espace de C formé par les fonctions f telles que f(0) = f(1) = 0 log est la fonction définie pour t ]0,+ [, par log t = ln t, où ln est le logarithme népérien ln Première partie : définition de l exposant de Hölder ponctuel Soit x 0 [0,1] Pour tout s [0,1[, on désigne par Γ s (x 0 ) le sous-ensemble de C formé par les fonctions f qui vérifient : f(x) f(x 0 ) sup x [0,1]\{x 0 } x x 0 s < + 1a Montrer que Γ s (x 0 ) est un sous-espace vectoriel de C, puis que, pour tous réels s 1 et s vérifiant 0 s 1 s < 1, l on a Γ s (x 0 ) Γ s 1 (x 0 ) Enfin, déterminer Γ 0 (x 0 ) 1b Soit f C Si f est dérivable en x 0, montrer que f Γ s (x 0 ) pour tout s [0,1[ 1c Montrer que pour tout x 0 ]0,1[, il existe f C non dérivable en x 0 tel que pour tout s [0,1[, f Γ s (x 0 ) Pour tout f C et tout x 0 [0,1], on pose α f (x 0 ) = sup {s [0,1[ f Γ s (x 0 )} 1

2 Le réel α f (x 0 ) est appelé exposant de Hölder ponctuel de f en x 0 ; il permet de mesurer finement la régularité locale de f au voisinage du point x 0 Soit p : [0,1] R, x» 1 4x Déterminer l exposant de Hölder ponctuel de p en 1 Pour tout f C, on définit la fonction ω f : [0,1] R + par ω f (h) = sup { f(x) f(y) x,y [0,1] et x y h} 3a Montrer que ω f est croissante, et continue en 0 3b Montrer que pour tous h,h [0,1] tels que h h, ω f vérifie ω f (h ) ω f (h) + ω f (h h) 3c En déduire que ω f est continue sur [0,1] 4a Soit s [0,1[ On suppose que la fonction h ω f(h) x 0 [0,1], montrer que f Γ s (x 0 ) h s est bornée sur ]0,1] Pour tout 4b Soit q : [0,1] R définie par Å π q(x) = xcos xã q(0) = 0 pour x > 0, Montrer que pour tout x 0 [0,1], α q (x 0 ) = 1, mais que ω q(h) h ne tend pas vers 0 quand h tend vers 0 Deuxième partie : le système de Schauder On note I = (j,k) N j N et 0 k < j }; pour j N, on désigne par T j l ensemble T j = k N 0 k < j } Pour tout (j,k) I, soit θ j,k : [0,1] [0,1] la fonction de C 0, définie pour tout x [0,1] par { 1 j+1 x k 1 si x [k j,(k + 1) j ], θ j,k (x) = 0 sinon La famille des fonctions (θ j,k ) (j,k) I est appelée le système de Schauder On note k j (x) la partie entière du réel j x, c est donc l unique entier tel que k j (x) j x < k j (x) + 1 5a Montrer que pour tout j N et tout k T j+1, il existe un unique entier k T j tel que [k j 1,(k + 1) j 1 ] [k j,(k + 1) j ]

3 On précisera le lien entre k et k 5b Calculer θ j,k (l j 1 ) pour tous j N, k T j, l T j+1 5c Montrer que pour tout (j,k) I, la fonction θ j,k est continue, affine sur chaque intervalle de la forme [l n,(l + 1) n ] où n > j et l T n 5d Prouver que pour tous (j,k) I et (x,y) [0,1], on a θ j,k (x) θ j,k (y) j+1 x y Dans le reste de cette partie f est un élément de C 0 Pour tout n N, soit S n f la fonction de C 0 définie par où, pour tout (j,k) I, on a posé c j,k (f) = f S n f = 6 Montrer que lim j + max c j,k (f) = 0 n j=0 c j,k (f)θ j,k, ÅÅ k + 1 ã ã j f ( k j) + f ( (k + 1) j) 7a Pour tout (j,k) I, (i,l) I, calculer c j,k (θ i,l ) 7b Soit a j,k une famille de réels indexée par (j,k) I On note b j = max a j,k, et on suppose que la série b j est convergente Pour tout j N, soit f a j la fonction définie par f a j (x) = a j,k θ j,k (x) Montrer que la série f a j est uniformément convergente sur [0,1] vers une fonction noté fa, qui appartient à C 0 et qui vérifie, pour tout (j,k) I, c j,k (f a ) = a j,k 8a On suppose f de classe C 1 Montrer qu il existe une constante M 0 telle que pour tous (j,k) I, c j,k (f) M j En déduire que la suite de fonction S n f est uniformément convergente sur [0,1] lorsque n tend vers 8b On suppose f de classe C Montrer qu il existe une constante M 0 telle que pour tous (j,k) I, c j,k (f) M 4 j 9a Montrer que pour tout n N et tout l T n+1, la fonction S n f est affine sur l intervalle [l n 1,(l + 1) n 1 ] 3

4 9b Soit n N On suppose que pour tout l T n, (S n 1 f)(l n ) = f(l n ) Montrer que l on a aussi que pour tout l T n+1, (S n f)(l n 1 ) = f(l n 1 ) On pourra distinguer les cas suivant la parité de l 9c En déduire que pour tout n N et tout l T n+1, (S n f)(l n 1 ) = f(l n 1 ) 10a Déduire de la question 9 que pour tout f de C 0, lim n + f S nf = 0 10b Soit n N Montrer que S n est un projecteur sur C 0, dont la norme subordonnée (à ) vaut 1 11a Soit s ]0,1[ Montrer que si a,b 0, alors a s + b s 1 s (a + b) s 11b Montrer que si f Γ s (x 0 ) C 0, alors il existe un réel c 1 > 0, tel que pour tout (j,k) I, on a, c j,k (f) c 1 j + k j x 0 ä s Troisième partie : minoration de l exposant de Hölder ponctuel L objectif de cette partie est d établir une forme de réciproque du résultat de la question 11b Dans toute cette partie, on désigne par f C 0 une fonction vérifiant la propriété suivante : (P 1 ) il existe x 0 [0,1], s ]0,1[ et c 1 ]0,+ [, tels que pour tout (j,k) I, c j,k (f) c 1 j + k j x 0 ä s Dans tout le reste de cette partie, on fixe les x 0, s et c 1 de la propriété P 1 et x [0,1] \ {x 0 } 1 Montrer qu il existe un unique n 0 N tel que n 0 1 < x x 0 n 0 13 On rappelle que la notation k j (x) a été introduite en préambule de la deuxième partie On pose W j = c j,k (f) θ j,k (x) θ j,k (x 0 ) Montrer que W j ( c j, kj(x) (f) + c j, kj(x0) (f) ) j+1 x x 0 14a Montrer que pour j n 0 (n 0 est déterminé dans la question 1), on a W j 4c 1 (1 s)j 3 s x x 0 14b En déduire que, en posant c = 8 1 s 1 ä 1 3/ ä s c1, n 0 j=0 c j,k (f) θ j,k (x) θ j,k (x 0 ) c x x 0 s 4

5 15 Montrer que pour tout j N, c j, kj (x 0 ) (f) s(1 j) c 1 En déduire, en posant c 3 = 1 sä 1 s c 1, + c j,k (f) θ j,k (x 0 ) c 3 x x 0 s Dans la suite du problème, on suppose que f = 1 et on rappelle que la fonction ω f a été définie à la question 3 16 Montrer qu il existe un unique n 1 N tel que ω f ( n 1 1 ) < n 0s ω f ( n 1 ) 17 Montrer que pour tout n n 1, où n 1 est déterminé dans la question 16, on a f S n f s+1 x x 0 s On pourra utiliser les résultats des questions 9a et 9c 18a Montrer que lorsque n 0 < n 1, on a, n 1 c j,k (f) θ j,k (x) c 1 3 s (n 1 n 0 ) x x 0 s On suppose de plus dans la suite que la fonction ω f vérifie la propriété suivante : (P ) pour tout entier N 1, il existe un réel c 4 (N) > 0, tel que pour tout h ]0,1], ω f (h) c 4 (N)(1 + log h ) N 18b Pour tout entier N 1, on pose c 5 (N) = 3 s c 1 c4 (N) ä 1/N Montrer que et en déduire n 1 n 1 n 0 n Ç å 1 c4 (N) N ω f ( n 1 ) c j,k (f) θ j,k (x) c 5 (N) x x 0 (1 19 Déduire de ce qui précède que α f (x 0 ) s On pourra distinguer les cas n 0 n 1 et n 0 < n 1 1 N )s 5