Article PanaMaths Irrationalité de e
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- François-Xavier Meunier
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1 Articl PaaMaths Irratioalité d Itrodctio L ombr, bas ds logarithms épéris, st bi co ds élèvs d trmial. Das ctt ot d lctr, o commc par établir c ombr st la limit d la sit ( d trm gééral =... = (pls tard, o parl pltôt d la séri d! 2!! k! trm gééral. U fois c résltat établi, o pt alors accédr à atr résltat, très! importat : l irratioalité d. C st l bt d ctt ot d lctr t o vrra ls otios t raisomts tilisés appartit tos a programms ds classs d trmial (S t ES. E fi d collèg, o pt facilmt établir l irratioalité d ombr 2. E trmial, o accèd à cll d ombr. Cll d π, probablmt la pls célèbr d tots ls costats mathématis, rirt ds otios i sot malhrsmt pas a programm ds classs d trmial t sa démostratio st ttmt pls délicat ls d atrs. k = 0 La sit d trm gééral...! 2!! k! = = k= 0 Das prmir tmps, os allos établir l prmir résltat fodamtal sivat : lim = lim... =! 2!! E fait c résltat st cas particlir d résltat pls gééral (hors programm : 2, lim... =! 2!! C st c résltat i st à l origi d la démarch ci-dssos. Por tir atrl o l, o cosidèr d abord la foctio f défii sr par : 2 f ( =...! 2!! PaaMaths [-6] Mai 20
2 / Irratioalité d O ot l o a : f ( 0 = t f ( = =. Par aillrs, la foctio f st dérivabl sr tat prodit d d foctios dérivabls sr ct itrvall ( foctio polyôm t l ivrs d la foctio potill. Por tot rél positif, o a alors : 2 2 f '( = ! 2!!! 2!! 2 2 =......! 2! (!! 2!! =! Por o l, o a doc : f '( < 0 t o dédit immédiatmt la foctio f st strictmt décroissat sr. O a doc : f ( < f ( 0, soit : <. D où : ( Cosidéros maitat la foctio g défii, égalmt sr, par : 2 g( = f ( =... (!! 2!! (! O a immédiatmt : g( 0 = f ( 0 = t g( f ( ( ( PaaMaths [2-6] Mai 20 = =.!! Par aillrs, la foctio g st dérivabl sr tat somm d d foctios dérivabls sr ct itrvall (la foctio f t foctio polyôm. Por tot rél positif, o a alors : ( g' ( = f '( (! ( =! (! =!! = (! =! <. Aisi, por tot strictmt positif, o a : 0 g' > 0. O dédit immédiatmt la foctio g st strictmt croissat sr. O a doc : g( > g( 0, soit :! >. D où : ( >! ( > t doc : ( ( 2.
3 / Irratioalité d E défiitiv, ls d iégalités ( t ( 2 obts ci-dsss dot : *, < <! ( Comm lim ((! =, o a immédiatmt : lim = (! gdarms os prmt d coclr immédiatmt : lim = t l théorèm ds lim = lim... = =! 2!! k = 0 k! La otatio st hors programm mais pos pas d difficlté particlièr. k k! = 0 D sits adjacts O cosidèr maitat la sit ( t la sit ( v v sivat : Por tot tir atrl o l : =... = =! 2!!!! k!! O pt calclr facilmt ls trms : 5 0 =, = = 2, 2 = = 2 = = 2,5,! 2! = 2 = = 2,67, 4 = 3 = = 2,708, tc. 3! ! v0 = 0 = = 2, v = = 2 = 3, v2 = 2 = = 3,! 2! v3 = 3 = = 2,83, v4 = 4 = = = 2,75, tc. 3! ! La sit ( smbl croissat t la sit ( PaaMaths [3-6] Mai 20 k = 0 v smbl décroissat à partir d = (o porra avatagsmt tilisr tablr por calclr davatag d trms t étayr p pls la scod «cojctr», mois «évidt» la prmièr. Nos allos fait motrr cs d sits sot adjacts.
4 / Irratioalité d O a facilmt, por tot tir atrl o l : = k= 0 k! k= 0 k! =......! 2!! (!! 2!! =! ( Or, por tot tir atrl o l, o a : (! > 0t doc : O dédit aisi la sit ( st strictmt croissat. = 0! >. ( Par aillrs : v v =!! ( =!! ( =!!! ( ( 2 =!! = = ( 2 ( (!! ( Por tot tir atrl o l, o a : 0 (t mêm < 0 à partir d = 2. v st décroissat (t mêm strictmt décroissat à O dédit aisi la sit ( partir d = 2. Efi, os avos : v Comm : lim! =.! =, o a immédiatmt : ( v lim = 0. Comm ls sits ( t ( = 2, strictmt décroissats t la sit ( v fialmt ls sits ( t ( v sot adjacts. PaaMaths [4-6] Mai 20 v sot rspctivmt (strictmt croissats t (à partir d td vrs 0, o coclt D fait, lls covrgt vrs mêm limit i st, d après l résltat obt das la parti précédt, l ombr.
5 / Irratioalité d Nos povos fialmt écrir : lim = lim v = = lim... = lim... =! 2!!! 2!!! k = 0 k! Irratioalité d Por tot tir atrl spérir o égal à 2, o a, ls mootois état stricts :, 2 < < v Spposos soit ombr ratiol. état strictmt positif. O pt alors l écrir : p où p t sot d tirs atrls prmirs tr. Comm 2,5 = 2 < < v2 = 3, l ombr st pas tir t o dédit immédiatmt l tir st spérir o égal à 2. O a doc : p < < v Soit : p... < <...! 2!!! 2!!! E mltipliat tos ls mmbrs d ctt dobl iégalité par!, il vit : p... < <...! 2!!! 2!!! p...! <! <...!! 2!!! 2!!!!!!!!!!!!!... < p (! <!...! 2!!!! 2!!!! Posos alors : 0;, l rapport ( ( (!!!! N =!.... Comm, por tot tir atrl k das! 2!!!! st tir atrl, il va d mêm por l ombr N. k! O a fialmt : ( N < p! < N PaaMaths [5-6] Mai 20
6 / Irratioalité d Ctt sitatio st absrd pis l tir p (! pt êtr cadré, strictmt, par d tirs coséctifs (N t N. Ayat aboti à cotradictio, os povos affirmr l hypothès iitial st rroé : st pas ombr ratiol. L ombr, bas ds logarithms épéris, st pas ratiol. Qls décimals por fiir Por fiir, os forissos ci-dssos l écritr décimal d faisat apparaîtr ls 500 prmièrs décimals : = PaaMaths [6-6] Mai 20
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