poutre soumise à un effort normal

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1 Méthode des éléments finis : poutre soumise à un effort normal Yves Debard Institut Universitaire de Technologie du Mans Département Génie Mécanique et Productique yves.debard@univ-lemans.fr 4 mars 6 5 janvier 9

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3 Table des matières Rappels Matrices élémentaires. Matrice de rigidité et vecteur force Introduction Élément de poutre à section constante Utilisation des fonctions d interpolation Fonctions d interpolation Matrices élémentaires Élément de poutre à section constante Élément de poutre à section variable Partition du champ de déplacements en mouvement de corps rigide et mouvement de déformation pure Partition du champ de déplacements Fonctions d interpolation Calcul de la matrice de rigidité Calcul du vecteur force Calcul de la matrice de masse Calcul de k D, f th,d et f D à l aide du théorème de Castigliano Exemples 8 3. Exemple : poutre soumise à des forces nodales Énoncé Discrétisation de la poutre et partition des degrés de liberté Étude élémentaire Assemblage et calcul des déplacements inconnus Efforts et déplacements élémentaires Actions de liaison Représentations graphiques Exemple : poutre soumise à des charges réparties Énoncé Dicrétisation de la poutre et partition des degrés de liberté Étude élémentaire Assemblage et calcul des déplacements inconnus Efforts et déplacements élémentaires Action de liaison Représentations graphiques Exemple 3 : poutre soumise à un gradient thermique Énoncé Discrétisation de la poutre et partition des degrés de liberté Étude élémentaire Assemblage et calcul du déplacement inconnu Efforts et déplacements élémentaires Actions de liaison Représentations graphiques Exemple 4 : modes propres Énoncé Discrétisation de la poutre et partition des degrés de liberté Étude élémentaire Assemblage et calcul

4 3.4.5 Remarque : influence de la discrétisation Élément de poutre à section variable Méthode du paragraphe Utilisation des fonctions d interpolation Utilisation du théorème de Castigliano Programmes Maple 7 4. mat elem mat elem mat var mat var mat var Références

5 Poutre soumise à un effort normal Rappels Considérons une poutre droite d axe x soumise à un effort normal N(x; t). u(x; t) est le déplacement suivant x de la section droite d abscisse x à l instant t. A est l aire de la section droite. E, α et ρ sont respectivement le module d Young, le coefficient de dilatation et la masse volumique du matériau. a poutre porte une force répartie d intensité linéique p x et subit une variation de température T. Figure Équilibre d un tronçon de poutre équilibre du morceau de poutre compris entre les sections droites d abscisses x et x + dx s écrit : N(x; t) + N(x + dx; t) + p x dx = N(x; t) + N(x; t) + N x dx + p x dx = ρ A ü dx (.) où l on a posé : ü = u t Après simplification, on obtient l équation d équilibre : N x + p x = ρ A ü (.) Figure transformation d un tronçon de poutre allongement unitaire ε xx est (figure ) : ε xx = u(x + dx) u(x) dx = u x (.3)

6 Méthode des éléments finis Figure 3 oi de comportement Il est dû à l effort normal (loi de Hooke) et à la variation de température (figure 3) : ε xx = u x = σ xx E + α T avec σ xx = N A (.4) d où : avec ε th = α T. σ xx = E (ε xx α T ) = E (ε xx ε th ) (.5) Matrices élémentaires. Matrice de rigidité et vecteur force.. Introduction Considérons un élément de poutre droite (i j) de longueur. u i = u() et u j = u() sont les déplacements nodaux. es faces i et j de l élément sont soumises aux efforts N() = N i et N() = N j. élément porte répartie d intensité linéique p x (x) et subit une variation de température T. En l absence de forces d inertie, l équation d équilibre (.) se réduit à : dn dx + p x = (.) intégration de cette équation entre les abscisses et x conduit à l expression de l effort normal dans l élément : N(x) = N i intégration de la relation de comportement (.4) donne la déformée : x x N(s) u(x) = u i + EA ds + p x (s) ds (.) x α T ds (.3)

7 Poutre soumise à un effort normal 3 Des conditions aux limites : u j = u() et N j = N() on déduit l expression des efforts nodaux en fonction des déplacements nodaux : avec {f nod } = {f nod } = [ k ] {u} {f} {f th } (.4) N() = N() Ni N j {f nod } est le vecteur des forces nodales (N). [ k ] est la matrice de rigidité élémentaire (N/m). {u} est le vecteur déplacement élémentaire (m)., {u} = { ui {f} est le vecteur force équivalent aux charges réparties (N). {f th } est le vecteur force équivalent au gradient thermique (N). u j } (.5).. Élément de poutre à section constante élément de poutre droite (i j) de section droite constante, est soumis sur toute sa longueur une force linéairement répartie d intensité linéique : p x (x) = p xi + ( p xj p xi ) x (.6) et à une variation de température T constante. équilibre de l élément s écrit : N i + N j + (p xi + p xj ) = (.7) a relation {f nod } = [ k ] {u} {f} {f th } s écrit (programme : mat elem) : Ni N j = EA [ ] { ui u j } 6 [ ] { pxi p xj } EA α T (.8) effort normal et le champ de déplacements sont : N(x) = N i p xi x ( p xj p xi ) x (.9) u(x) = u i + x (N ) i x p xi EA ( p xj p xi ) x3 + α T x (.) 6 Cas particulier : si le chargement se réduit à une force uniformément répartie : les relations ci-dessus deviennent : Ni = EA N j p xi = p xj = p [ ] ui p u j N(x) = N i p xi x, u(x) = u i + EA { } EA α T (N i x p xi x ) + α T x

8 4 Méthode des éléments finis. Utilisation des fonctions d interpolation.. Fonctions d interpolation e champ de déplacements u(x) est représenté par le polynôme : u(x) = a + a x (.) avec les conditions aux limites u i = u() et u j = u(), d où l expression de u(x) en fonction des déplacements nodaux : u(x) = [N u ] {u} = [ N (x) N (x) ] {u} (.) avec N (x) et N (x) sont les fonctions d interpolation. N (x) = x, N (x) = x, {u} = ui u j Remarque : le champ de déplacements s écrit sous forme paramétrique : x(ξ) = + ξ, ξ u(ξ) = [N u (ξ)] {u} (.3) (.4a) avec et les relations [ ξ [N u ] = ] + ξ (.4b) dx = x ξ dξ = J dξ = dξ, f x = J f ξ, f(x) dx = f(x(ξ)) J dξ (.4c) J est le jacobien de la transformation géométrique x(ξ)... Matrices élémentaires énergie de déformation est égale à (à une constante près indépendante des déplacements) : ( ) E def = E ε xx E ε xx α T dv avec ε xx = u x En utilisant la relation : ε xx = u(x) x = V [ ] dnu {u} = [B] {u} = {u} T [B] T avec [B] = [ ] dx (.5) (.6) il vient : E def = {u}t [ k ] {u} {u} T {f th } (.7) où la matrice de rigidité [ k ] et le vecteur {f th } sont égaux à : [ k ] = EA [B] T [B] dx, {f th } = e travail des forces extérieures pour le déplacement u(x) est égal à : W ext = EA α T [B] T dx (.8) u(x) p x (x) dx + {u} T {f nod } = {u} T {f} + {u} T {f nod } (.9)

9 Poutre soumise à un effort normal 5 où le vecteur force est égal à : énergie potentielle est égale à : {f} = [N] T p x (x) dx (.) E pot = E def W ext (.) énergie cinétique est égale à : E cin = V ρ u dv avec u(x) = [N u ] { u} (.) d où : E cin = ρ A u dx = { u}t [m] { u} (.3) où la matrice de masse [m] est égale à : [m] = e principe de Hamilton : ρ A [N u ] T [N u ] dx (.4) δ t t (E cin E pot ) dt = {δu} avec {δu} t=t = {δu} t=t = (.5) conduit aux équations de agrange : soit sous forme matricielle : d dt ( Ecin u i ) + E def u i W ext u i = i =, (.6) {f nod } = [m] {ü} + [ k ] {u} {f} {f th } (.7) Remarque : la matrice de rigidité est la matrice hessienne de l énergie de déformation par rapport aux déplacements nodaux : k ij = E def u i u j (.8)..3 Élément de poutre à section constante es données sont celles du paragraphe... On obtient (programme : mat elem) la même matrice de rigidité et le même vecteur force. De plus, cette méthode fournit la matrice de masse : [ k ] = EA [ ] {f} = [ ] pxi 6 p xj, [m] = ρ A 6 [ ], {f th } = E A α T (.9)

10 6 Méthode des éléments finis..4 Élément de poutre à section variable es matrices [ k ] et [ m ] et les vecteurs {f} et {f th } sont évalués numériquement par la méthode de Gauss [4,, 3, 6] : g(x) dx = ( ) + ξ g dξ npi ( ) + ξi w i g (.3) où npi, w i et ξ i sont respectivement le nombre de points d intégration, le poids et l abscisse du i e point d intégration (table ). npi ξ i w i ( ± ± ) /3 3 ( (8/9) ± ± ) 3/ (5/9) Table Points d intégration et coefficients de pondération pour la méthode de Gauss i= Remarque : un polynôme de degré inférieur ou égal à npi est intégré exactement par la méthode de Gauss à npi points..3 Partition du champ de déplacements en mouvement de corps rigide et mouvement de déformation pure.3. Partition du champ de déplacements e passage de l état initial à l état déformé peut être décomposé (figure 4) en un mouvement de corps rigide et un mouvement de déformation pure (système isostatique) [] : u(x) = u }{{} i + u D (x) }{{} mouvement de corps rigide (R) mouvement de déformation pure (D) (.3) es déplacements nodaux sont : Figure 4 Partition du champ de déplacements {u} = On en déduit par inversion : { ui u j } = Remarque : le système (D) est isostatique. [ ] ui u j,d où u j,d = u D () (.3) u R = u i = [ ] u i = [a u R ]{u} (.33) j u D = u j,d = [ ] u i = [a u D ]{u} (.34) j

11 Poutre soumise à un effort normal 7.3. Fonctions d interpolation À l aide des fonctions d interpolation (.4), le champ de déplacements (.3) s écrit sous forme paramétrique : x(ξ) = + ξ ( ξ ), J = (.35a) u(ξ) = u R + N D u D = ([a R ] + N D [a D ]) {u} avec : N D = + ξ, B = N D x = (.35b).3.3 Calcul de la matrice de rigidité énergie de déformation de l élément est égale à l énergie de déformation du système (D) : E def = {u}t [ k ] {u} {u} T {f th } = E def,d = k D u D u D f th,d (.36) = {u}t [a D ] T k D [a D ] {u} {u} T [a D ] T f th,d d où l expression de la matrice de rigidité et du vecteur {f th } : [ ] [ k ] = k D [a D ] T [a D ] = k D, {f th } = f th,d [a D ] T = f th,d avec : k D =.3.4 Calcul du vecteur force EA B dx, f th,d = e travail de p x (x) pour le déplacement u(x) est égal à : avec p x (x) u(x) dx = f R = (.37) EA α T B dx (.38) (u R + N D u D ) p x (x) = {u} T ( [a R ] T f R + [a D ] T f D ) (.39) p x (x) dx, f D = On en déduit l expression du vecteur force : {f} = [a R ] T f R + [a D ] T fr f f D = D.3.5 Calcul de la matrice de masse énergie cinétique est égale à : E cin = N D p x (x) dx (.4) f D (.4) ρ A u dx = { u}t [m] { u} (.4) En utilisant le champ de déplacements (.35), il vient pour la matrice de masse : avec : m R = [m] = m R [a R ] T [a R ] + m D [a D ] T [a D ] + m RD [a R ] T [a D ] + m DR [a D ] T [a R ] [ ] mr + m = D m RD m DR m D + m DR m D + m RD m D ρ A dx, m D = ρ A N D dx, m RD = m DR = ρ A N D dx (.43a) (.43b)

12 8 Méthode des éléments finis.3.6 Calcul de k D, f th,d et f D à l aide du théorème de Castigliano En l absence de forces d inertie, l effort normal se réduit à : V N(x) = N j + F p x (x) avec F p x (x) = énergie de déformation complémentaire est égale à : Edef c = σxx E dv + N σ xx α T dv = EA dx + En appliquant le deuxième théorème de Castigliano, on obtient : avec On en déduit par inversion : avec : Remarques : k D = c V u j,d = Ec def N j = c N j + u p D + c = On a la relation : f R = F p x (). x p x (s) ds (.44) N α T dx (.45) α T dx (.46) EA dx, up D = Fx p dx (.47) EA N j = k D u j,d f D f th,d (.48), f D = k D u p D, f th,d = k D α T dx Dans la pratique, les intégrales (.47) sont évaluées numériquement par la méthode de Gauss : npi f(ξ) dξ f(ξ i ) w i (.49) Si la poutre a une section constante, on obtient pour la matrice de rigidité le résultat exact avec un point d intégration. Dans le cas contraire, le résultat dépend du nombre de points d intégration. 3 Exemples 3. Exemple : poutre soumise à des forces nodales 3.. Énoncé a poutre représentée sur la figure 5 est constituée de trois tronçons. Elle est encastrée à ses deux extrémités. Figure 5 Poutre soumise à des forces nodales

13 Poutre soumise à un effort normal 9 Soit E le module d Young du matériau. aire de la section droite est égale à : A entre les nœuds et. A entre les nœuds et 3. 3 A entre les nœuds 3 et 4. a poutre est soumise au noeud à une force (F,, ) et au nœud 3 à une force ( F,, ). 3.. Discrétisation de la poutre et partition des degrés de liberté a poutre est discrétisée en trois éléments à deux nœuds ( ), ( 3) et (3 4). Effectuons une partition des degrés de liberté en déplacements connus et inconnus ([], [6]) : u u u {U } u {U } =, {U u S } = d où {U} = = 3 3 u 4 {U S } u On en déduit la localisation des degrés de liberté dans les matrices globales : u u {DD} = u 3 u Étude élémentaire u 4 es matrices élémentaires sont : [k ] = EA [ ] {ddl } = u u, [k 3 ] = EA, {ddl 3 } = [ ] u u 3, [k 3 4 ] = 3 EA, {ddl 3 4 } = [ ] u3 u Assemblage et calcul des déplacements inconnus es déplacements inconnus u et u 3 sont les solutions de l équation [K ]{U } = {F } : [ ] EA 5 4 u F = d où u 4 F = 8 F 7 EA et u 3 = 4 F 7 EA 3..5 Efforts et déplacements élémentaires u 3 es efforts et les déplacements élémentaires sont calculés à l aide des formules du paragraphe (..) :

14 Méthode des éléments finis élément : N N = EA [ ] u u = 9 F 7 élément 3 : N(x) = 9 F 7 N N 3, σ xx (x) = 9 F 7 A, u(x) = 9 F x 7 EA = EA [ ] { u u 3 } = 8 F 7 N(x) = 8 F 7, σ xx (x) = 4 F 7 A, u(x) = F (8 4 x) 7 EA élément 3 4 : N3 N 4 = EA [ ] { u3 u 4 } = 4 F 7 N(x) = 4 F Actions de liaison, σ xx (x) = 4 F 7 A, u(x) = 4 7 F ( x) EA Elles sont déduites des efforts normaux : F x = N = 9 F 7, F 4x = N 4 = 4 F 7 Remarque : l équilibre de la poutre est vérifié : F x + F x + F 3x + F 4x = 3..7 Représentations graphiques e champ de déplacements u(x) et la contrainte normale σ xx (x) sont représentés sur la figure (6). Figure 6 Champ de déplacements et effort normal 3. Exemple : poutre soumise à des charges réparties 3.. Énoncé a poutre représentée sur la figure 7 est constituée de deux tronçons de même longueur. a section est encastrée.

15 Poutre soumise à un effort normal Soit E le module d Young du matériau. aire de la section droite est égale à : A entre les nœuds et. A entre les nœuds et 3. Elle porte : Figure 7 Poutre soumise à des charges réparties entre les nœuds et une force dont l intensité linéique varie entre p et p. entre les nœuds et 3 une force uniformément répartie d intensité linéique p. 3.. Dicrétisation de la poutre et partition des degrés de liberté a poutre est discrétisée en deux éléments à deux nœuds ( ) et ( 3) de longueur. Effectuons une partition des degrés de liberté en déplacements connus et inconnus ([], [6]) : u u {U } {U } =, {U S } = {u } d où {U} = = u {U S } 3 u 3 On en déduit la localisation des degrés de liberté dans les matrices globales : u {DD} = u u Étude élémentaire u es matrices élémentaires sont : [k ] = EA [ ] {f } = p u {ddl } = u, [k 3 ] = EA [ ], {f 3 } = p u, {ddl 3 } = u Assemblage et calcul des déplacements inconnus es déplacements inconnus sont les solutions de l équation : [ ] EA 3 u = p 7 d où u 6 3 = 5 p 6 EA et u 3 = 4 p 3 EA u 3

16 Méthode des éléments finis 3..5 Efforts et déplacements élémentaires es efforts et les déplacements élémentaires sont calculés à l aide des formules du paragraphe (..) : élément : N N N(x) = 5 p = EA [ ] { u = u } p 6 5 = p 4 5 p x + p x, u(x) = ( ) 5 p x p x + p x3 EA 6 élément 3 : N N 3 = EA [ ] u p u 3 N(x) = p p x, u(x) = 4 p 3 EA + EA = p ) (p x p x 3..6 Action de liaison action de liaison est égale à : Remarque : l équilibre de la poutre est vérifié : 3..7 Représentations graphiques F x = N = 5 p F x + F x + F 3x + 3 p + p = e champ de déplacements u(x) et l effort normal N(x) sont représentés sur la figure (8). Figure 8 Champ de déplacements et effort normal

17 Poutre soumise à un effort normal Exemple 3 : poutre soumise à un gradient thermique 3.3. Énoncé a poutre représentée sur la figure 9 est encastrée à ses deux extrémités et a une section droite constante dont l aire est égale à A. Elle est constituée de deux matériaux : entre les nœuds et : module d Young : E coefficient de dilatation : α entre les nœuds et 3 : module d Young : E coefficient de dilatation : 3 α Figure 9 Poutre soumise à un gradient thermique a poutre est soumise à une variation de température T Discrétisation de la poutre et partition des degrés de liberté a poutre est discrétisée en deux éléments à deux nœuds ( ) et ( 3) de longueur. Effectuons une partition des degrés de liberté en déplacements connus et inconnus ([], [6]) : u u {U } {U } = {u }, {U S } = d où {U} = = u {U S } On en déduit la localisation des degrés de liberté dans les matrices globales : u {DD} = u u Étude élémentaire u 3 u 3 es matrices élémentaires sont : [k ] = EA [ ] u {ddl } = u {f th } = EA α T, [k 3 ] = EA [ ] u, {ddl 3 } = u 3, {f th 3 } = 3 EA α T

18 4 Méthode des éléments finis Assemblage et calcul du déplacement inconnu e déplacement inconnu u est la solution de l équation : Efforts et déplacements élémentaires EA 3 u = EA α T d où u = 3 α T es efforts et les déplacements élémentaires sont calculés à l aide des formules du paragraphe (..) : élément : N = [k ] N { u u } {f th, } = 8 3 EA α T N(x) = 8 3 EA α T, u(x) = 3 α T x élément 3 : N = [k 3 ] N 3 { u u 3 } {f th, 3 } = 8 3 EA α T N(x) = 8 3 EA α T, u(x) = α T (x ) Actions de liaison Elles sont déduites des efforts normaux : F x = N = 8 EA α T 3 F 3x = N 3 = 8 EA α T 3 Remarque : l équilibre de la poutre est vérifié : F x + F x + F 3x = Représentations graphiques e champ de déplacements u(x) et l effort normal N(x) sont représentés sur la figure (). Figure Champ de déplacements et effort normal

19 Poutre soumise à un effort normal Exemple 4 : modes propres 3.4. Énoncé a poutre de longueur représentée sur la figure est encastrée à ses deux extrémités. Figure Modes propres aire de la section est égale à A entre les nœuds et 3 et à A entre les nœuds 3 et 4. Soient E et ρ respectivement le module d Young et la masse volumique du matériau Discrétisation de la poutre et partition des degrés de liberté a poutre est discrétisée en deux éléments à deux nœuds ( ) et ( 3) de longueur. Effectuons une partition des degrés de liberté en déplacements connus et inconnus ([], [6]) : u u {U } {U } = {u }, {U S } = d où {U} = = u {U S } On en déduit la localisation des degrés de liberté dans les matrices globales : u {DD} = u u 3 u 3 u Étude élémentaire es matrices élémentaires sont : [k ] = EA [k 3 ] = EA [ ] [ ] [m ] = ρa 6 [m 3 ] = ρa 6 [ ] [ ] {ddl } = {ddl 3 } = u u u u Assemblage et calcul e déplacement u est solution de l équation : ρa 6 [6] {ü } + EA [3] {u } = {} On cherche la solution harmonique u = a sin ω t d où : ρa 6 6 ω a sin ω t + EA 3 a sin ω t =

20 6 Méthode des éléments finis On en déduit : ω = 3 E ρ a pulsation propre est égale à : E ω = C ρ avec C = 3 =.73 e vecteur propre associé est : a (figure ). Figure Mode Remarque : influence de la discrétisation Chaque tronçon est discrétisée en n éléments. n C Élément de poutre à section variable élément de poutre i j, de longueur, est un carré plein dont le côté varie linéairement entre c et c : ( A(x) = c + x ) élément porte sur toute sa longueur une force répartie d intensité linéique : p x (x) = p xi + ( p xj p xi ) x et subit une variation de température T constante dans l élément. Soit E et α le module d Young et le coefficient de dilatation du matériau.

21 Poutre soumise à un effort normal Méthode du paragraphe.. On obtient (programme : mat var) : [ k ] = E c [ ] {f} = [ ] ln() 3 4 ln() pxi 6 8 ln() + 4 ln() p xj, {f th } = E c α T 3.5. Utilisation des fonctions d interpolation (avec ou sans partition du champ de déplacements en mouvement de corps rigide et mouvement de déformation pure) On obtient (programme : mat var) : [ k ] = 7 E c 3 [ ], [m] = ρ c 6 [ 3 ] {f} = [ ] pxi 6 p xj, {f th } = 7 3 E c α T Utilisation du théorème de Castigliano On obtient (programme : mat var3) le même résultat qu au paragraphe Dans la pratique, les intégrales (.47) sont évaluées numériquement et le résultat dépend du nombre de points d intégration (tableau ). Table Influence du nombre de points d intégration npi (k D k D exact )/k D exact Programmes Maple es programmes suivant se trouvent dans le fichier normal.txt.

22 8 Méthode des éléments finis 4. mat elem # calcul de la matrice de rigidité et du vecteur force # d un élément de poutre à section constante restart :with(linalg) : assume(>) : # charges px :=x->pxi+(pxj-pxi)*x/ ; # effort normal N :=x->ni-int(px(s),s=..x) ;N(x) ; # champ de déplacements u :=x->ui+int(n(s)/e/a+alpha*dt,s=..x) ;u(x) ; # calcul des efforts nodaux en fonction des déplacements nodaux solve(uj=u(),ni) :assign(%) : Nj :=N() : # matrice de rigidité k :=jacobian([-ni,nj],[ui,uj]) ; # vecteur force f :=jacobian([ni,-nj],[pxi,pxj,dt]) ; # remarque : fonctions d interpolation Nu :=grad(u(x),[ui,uj]) ; 4. mat elem # calcul des matrices élémentaires # d un élément de poutre à section constante # à l aide des fonctions d interpolation restart :with(linalg) : # représentation de la géométrie et jacobien x :=(+xi)*/ ;J :=/ ;

23 Poutre soumise à un effort normal 9 # fonctions d interpolation Nu :=[(-xi)/,(+xi)/] ; # matrice de rigidité B :=[-/,/] ; k :=matrix(,,(i,j)->int(b[i]*b[j]*e*a*j,xi=-..)) ; # matrice de masse m :=matrix(,,(i,j)->int(nu[i]*nu[j]*rho*a*j,xi=-..)) ; # vecteur force px :=pxi+(pxj-pxi)*x/ : f :=vector(,i->int(nu[i]*px*j,xi=-..)) :simplify(f) ; fth :=vector(,i->int(b[i]*e*a*alpha*dt*j,xi=-..)) ; 4.3 mat var # calcul de la matrice de rigidité et du vecteur force # d un élément de poutre à section variable restart :with(linalg) : assume(>) : # charges px :=x->pxi+(pxj-pxi)*x/ ; # effort normal N :=x->ni-int(px(s),s=..x) ; # champ de déplacements A :=x->c^*(+x/)^ ; u :=x->ui+int(n(s)/e/a(s)+alpha*dt,s=..x,continuous) ; # calcul des efforts nodaux en fonction des déplacements nodaux solve(uj=u(),ni) :assign(%) : Nj :=N() : # matrice de rigidité k :=jacobian([-ni,nj],[ui,uj]) ;

24 Méthode des éléments finis # vecteur force f :=jacobian([ni,-nj],[pxi,pxj,dt]) :simplify(f) ; 4.4 mat var # calcul des matrices élémentaires # d un élément de poutre à section variable # à l aide des fonctions d interpolation restart :with(linalg) : # représentation de la géométrie et jacobien x :=(+xi)*/ ;J :=/ ; Nu :=[(-xi)/,(+xi)/] ; A :=c^*(+x/)^ ; # matrice de rigidité B :=[-/,/] ; k :=matrix(,,(i,j)->int(b[i]*b[j]*e*a*j,xi=-..)) ; # matrice de masse m :=matrix(,,(i,j)->int(nu[i]*nu[j]*rho*a*j,xi=-..)) ; # vecteur force px :=pxi+(pxj-pxi)*x/ : f :=vector(,i->int(nu[i]*px*j,xi=-..)) :simplify(f) ; fth :=vector(,i->int(b[i]*e*a*alpha*dt*j,xi=-..)) ; 4.5 mat var3 # calcul de la matrice de rigidité et du vecteur force # d un élément de poutre à section variable # à l aide du théorème de Castigliano restart :with(linalg) : A :=c^*(+x/)^ ; # matrice de rigidité C :=int(/e/a,x=..,continuous) : kd :=/C : k :=matrix(,,[[kd,-kd],[-kd,kd]]) ; # vecteur force px :=x->pxi+(pxj-pxi)*x/ :

25 Poutre soumise à un effort normal Fpx :=x->int(px(s),s=x..) : fr :=simplify(fpx()) ; upd :=int(fpx(x)/e/a,x=..,continuous) : fd :=kd*upd ; f :=vector(,[fr-fd,fd]) : f :=jacobian(f,[pxi,pxj]) :simplify(f) ; fthd :=kd*int(alpha*dt,x=..) ;

26 Méthode des éléments finis Références [] J. H. Argyris et H.-P. Mlejnek Die methode der finiten elemente, Band I. Verschiebungsmethode in der statik, Vieweg, 986. [] J. H. Argyris et D. Scharpf Some general considerations on the natural mode technique. Part I, Small dispacements, Part II, arge dispacements, The Aeronautical Journal of the Royal Aeronautical Society 73 (969), p. 8 6, [3] J.-F. Aubouin Calcul des structures et informatique, Eyrolles, 983. [4] J.-. Batoz et G. Dhatt Modélisation des structures par éléments finis, Volume. Solides élastiques, Hermès, 99. [5], Modélisation des structures par éléments finis, Volume. Poutres et plaques, Hermès, 99. [6] A. Bazergui, T. Bui-Quoc, A. Biron, G. McIntyre et C. aberge Résistance des matériaux, 3 éd., Éditions de l École Polytechnique de Montréal,. [7] R. D. Cook, D. S. Malkus et M. E. Plesha Concepts and applications of finite element analysis, 3 éd., Wiley, 989. [8] J. Courbon Résistance des matériaux, Tome, éd., Dunod, 964. [9], Résistance des matériaux, Tome, Dunod, 965. [], Éléments de résistance des matériaux, Dunod, 97. [] G. Dhatt, G. Touzot et E. efrançois Méthode des éléments finis, Hermès, 5. [] F. Frey Traité du génie civil, Volume. Analyse des structures et milieux continus. Mécanique des structures, Presses Polytechniques et Universitaires Romandes,. [3] F. Frey et J. Jirousek Traité du génie civil, Volume 6. Méthode des éléments finis, Presses Polytechniques et Universitaires Romandes,. [4] D. Gay et J. Gambelin Une approche simple du calcul des structures par la méthode des éléments finis, Hermès, 989. [5], Dimensionnement des structures. Une introduction, Hermès, 999. [6] J.-F. Imbert Analyse des structures par éléments finis, 3 éd., Cépaduès, 995. [7] S. aroze Mécanique des structures, Tome. Théorie des poutres, éd., Eyrolles/Masson, 988. [8] M. Petyt Introduction to finite element vibration analysis, Cambridge University Press, 99. [9] A. Portela et A. Charafi Finite elements using Maple. A Symbolic Programming Approach, Springer,. [] J. S. Przemieniecki Theory of matrix structural analysis, Dover, 986. [] J. Salençon Mécanique des milieux continus, Tome 3. Milieux curvilignes, Éditions de l École polytechnique,. [] S. P. Timoshenko Résistance des matériaux, Tome. Théorie élémentaire et problèmes, Dunod, 968. [3] W. Weaver et J. M. Gere Matrix analysis of framed structures, 3 éd., Van Nostrand Reinhold, 99. [4] C. Wielgoz Cours et exercices de résistance des matériaux : élasticité, plasticité, éléments finis, Ellipses, 999. [5] W. Wunderlich et W. D. Pilkey Mechanics of structures. Variational and computational methods, éd., CRC PRESS, 3.