Chapitre 06 : PROPORTIONNALITÉ ET FONCTIONS LINÉAIRES

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1 Chapitre 06 : PROPORTIONNALITÉ ET FONCTIONS LINÉAIRES 6 cm I) Synthèse sur la proportionnalité : 1) Définition : Grandeurs proportionnelles : Dire que deux grandeurs sont proportionnelles revient à dire que les valeurs de l'une sont obtenues en multipliant les valeurs de l'autre par un même nombre non nul, appelé coefficient de proportionnalité. 0,05 1 SMS 0,05 2 SMS 0,10 5 SMS 0,25 Le prix payé est proportionnel au nombre de SMS envoyés. Le coefficient de proportionnalité permet d'obtenir le prix payé à partir du nombre de SMS envoyés. Dans l'exemple, il est égal à 0,05. 2) Définition : Tableau de proportionnalité : Une situation de proportionnalité peut être présentée dans un tableau (appelé tableau de proportionnalité) dans lequel on précise les grandeurs proportionnelles et les unités utilisées. x cm Longueur du côté d'un carré en cm 0, x Périmètre du carré en cm x 4 3) Propriété : Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux. Concrètement : On considère a, b, c et d quatre nombres tels que c et d soient non nuls. a b Si est un tableau de proportionnalité, alors : a d = c d c d Dans le tableau de proportionnalité ci-contre : 8,2 39,5 = 323,9 41 7,9 = 323,9 Les deux produits en croix sont bien égaux. 8,2 7, , PROPORTIONNALITÉ ET FONCTIONS LINÉAIRES 1

2 4) Propriété réciproque : a, b, c et d quatre nombres tels que c et d soient non nuls. a b Si a d = c d, alors : est un tableau de proportionnalité. c d Comme : 8,2 39,5 = 41 7,9 = 323,9 Le tableau ci-contre est un tableau de proportionnalité. 8,2 7, ,5 5 Remarque : Les deux propriétés peuvent être synthétisées par la propriété suivante : Si a, b, c et b sont quatre nombre tels que b et d différents de 0, alors a b = c d équivaut à : ad = bc. Démonstration disponible à l'adresse suivante : 5) Méthode 1 : Compléter un tableau de proportionnalité. Pour déterminer une quatrième proportionnelle, on choisit le calcul le plus simple selon l'énoncé. Sur une carte, 2 cm représentent 120 km. Calculer la distance réelle représentée par 3 cm. Pour déterminer la distance réelle représentée par 3 cm sur la carte il est possible d'utiliser plusieurs méthodes : 1) En utilisant le coefficient de linéarité : Pour 2 cm, on a 120 km. Comme 3 = 2 3 2, la distance réelle correspondante à 3 cm sur la carte est de = 180 km. Distance sur la carte en cm 2 3 Distance réelle en km ) En utilisant le coefficient de proportionnalité : Pour 2 cm, on a 120 km. Pour obtenir 120 à partir de 2 il faut 2 par 60. Pour calculer la distance réelle correspondante à 3 cm, il suffit de multiplier 3 par est appelé le coefficient de proportionnalité qui lie la distance sur la carte à la distance réelle. 60 Distance sur la carte en cm 2 3 Distance réelle en km PROPORTIONNALITÉ ET FONCTIONS LINÉAIRES 2

3 3) En utilisant «la règle de trois» (passage par l'unité) : Pour 2 cm, on a 120 km. Pour 1 cm, on a 2 fois moins, soit 60 km. On en déduit que pour 3 cm, on a 60 3 = 180 km. 2 3 Distance sur la carte en cm Distance réelle en km ) En ajoutant les nombres de deux colonnes pour obtenir la valeur de la troisième : + Distance sur la carte en cm Distance réelle en km ) En utilisant le produit en croix : Comme le tableau ci-dessous est un tableau de proportionnalité, Distance sur la carte en cm 2 3 Distance réelle en km 120 x les produits en croix sont égaux. On en déduit que : 2 x = x = 360 x = 360 = II) Fonction linéaire : 1) Définition Propriété : Fonction linéaire : A toute situation de proportionnalité de coefficient de proportionnalité a, on peut associer une fonction f qu'on appelle fonction linéaire définie pour tout x par : f : x a x On dit que cette situation de proportionnalité est modélisé par la fonction f. Tableau de valeurs : Définition de la fonction : Représentation graphique de p : SMS x 0,05 Prix en 0,05 0,1 0,25 0,05 x Dans cet exemple, le prix payé est proportionnel au nombre de SMS envoyés. Le coefficient de proportionnalité qui lie le nombre de SMS envoyés au Prix à payer en est : 0,05. La fonction linéaire p définie par : p (x) = 0,05 x permet de modéliser le prix à payer en fonction du nombre de sms envoyés. L'égalité p (5) = 0,25 signifie, pour cette situation, que le prix à payer pour 5 SMS est de 0,25. y f (x) x 06. PROPORTIONNALITÉ ET FONCTIONS LINÉAIRES 3

4 2) Propriété : Si f est fonction linéaire de coefficient a, alors : f (0) = 0 f (1) = a Dans l'exemple précédent : le prix à payer pour 0 SMS envoyé est de 0 : p(0) = 0 le prix à payer pour 1 SMS envoyé est de 0,05 : p(1) = 0,05 3) Propriété : Si f est fonction linéaire de coefficient a, alors pour tous nombres x, x' et k, on a : (1) f (x + x') = f (x) + f (x') (2) f (k x) = k f (x) 1. Dans l'exemple précédent : le prix à payer pour 2 SMS envoyés est de 0,1 : p(2) = 0,1 + le prix à payer pour 3 SMS envoyés est de 0,15 : p(3) = 0,15 le prix à payer pour 5 SMS envoyés est de 0,25 : p(5) = 0,25 2. Dans l'exemple précédent : le prix à payer pour 3 SMS envoyés est de 0,15 : p(3) = 0,15 + le prix à payer pour 6 SMS envoyés est de 0,3 : p(6) = 0,3 (1) p(5) = p(2) + p(3) (2) p(6) = p(2 3)= 2 p(3) 4) Démonstration : Soit f une fonction linéaire de coefficient de proportionnalité a. f est définie pour tout x par : f : x a x On obtient : (1) f (x + x') = a (x + x') = a x + a x' = f (x) + f (x') (2) f (k x) = a (k x) = k (a x) = k f (x) 06. PROPORTIONNALITÉ ET FONCTIONS LINÉAIRES 4

5 III) Fonction linéaire et représentation graphique : 1) Propriété : Dans un repère, la représentation d'une fonction linéaire de coefficient a est une droite (d) qui passe par l'origine du repère. Le nombre a est appelé le coefficient directeur de la droite (d) Ce graphique représente une fonction linéaire (et donc situation de proportionnalité), car les points sont alignés avec l'origine du repère Ce graphique NE représente PAS une fonction linéaire, car les points ne sont pas alignés Ce graphique NE représente PAS une fonction linéaire, car les points ne sont pas alignés avec l'origine du repère. Remarque : La réciproque est vraie : Dans un repère, toute fonction qui est représentée par une droite passant par l'origine est linéaire. 2) Méthode : Lecture du coefficient directeur d'une fonction linéaire sur un graphique : Pour déterminer le coefficient directeur d'une fonction linéaire par lecture graphique, il faut déterminer le nombre a tel que : f (x + 1) = f (x) + a Cette relation se traduit par : si l'on augmente l'abscisse de 1, alors l'ordonnée augmente de a. 1. Coefficient directeur positif : a > 0 2. Coefficient directeur nul : a = 0 3. Coefficient directeur positif : a > Lorsque l'on augmente l'abscisse du point A de 1, l'ordonnée du point A augmente de 2. Le coefficient directeur de la fonction linéaire représentée ci-dessus est 2. On obtient : f (x) = 2 x. Lorsque l'on augmente l'abscisse du point A de 1, l'ordonnée du point A reste inchangé. Le coefficient directeur de la fonction linéaire représentée ci-dessus est 0. On obtient : f (x) = 0 x = 0. Lorsque l'on augmente l'abscisse du point A de 1, l'ordonnée du point A diminue de 0,5. Le coefficient directeur de la fonction linéaire représentée ci-dessus est (-0,5,). On obtient : f (x) = (-0,5) x. 06. PROPORTIONNALITÉ ET FONCTIONS LINÉAIRES 5

6 IV) Application : Pourcentage : 1) Propriété : p désigne un nombre strictement positif. Appliquer p % à un nombre donné c'est multiplier ce nombre par p Pour calculer le gain obtenu au bout d'un an en plaçant une somme de 500 sur un livret A à 3,5%, on effectue le calcul suivant : 500 3, On en déduit que le gain est de 17,5. 2. Calculer le montant de la baisse en euros, d'un article initialement affiché à 50 et remisé à 15 %. 2) Propriété : p désigne un nombre strictement positif. Augmenter un nombre de p % revient à multiplier ce nombre par (1+ p 100 ). Diminuer un nombre de p % revient à multiplier ce nombre par (1 p 100 ). 1. Un pantalon coûte 40 en septembre. Son prix augmente de 8% en décembre. Le nouveau prix du pantalon est donc égal à 40 ( ) =40 1,08=43,20. Ancien prix Augmentation Nombre par lequel il faut multiplier l'ancien prix Nouveau prix 40 8 % ( 100) 1+ 8 = 1, ,08 = 43,20 2. Le prix d'un pull a été diminué de 35% Il coûte maintenant 44,20. Pour calculer le prix initial du pull, on utilise l'égalité ci-dessous : Prix initial du pull (1 35 ) = Prix du pull après diminution 100 En remplaçant par les valeurs numériques, on obient : Prix initial du pull 0,65 = 44,20 On en déduit : Prix initial du pull = 44,20 0,65 = 68. Ancien prix Augmentation Nombre par lequel il faut multiplier l'ancien prix Nouveau prix 44,20 : 0,65 = % 0,65 44, PROPORTIONNALITÉ ET FONCTIONS LINÉAIRES 6