Problèmes de Mathématiques Quelques inégalités classiques.

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Jonathan Aubé
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Éocé Exercice 1 [ Corrigé ] O se réels 1,,, ositifs ou uls, vec Soit G = 1 moyee géométrique) et M = 1 + + + Motrer l iéglité G M et réciser quel est le cs d églité Idictio : Noter P l roriété G M,

1 Éocé Exercice 1 [ Corrigé ] O se réels 1,,, ositifs ou uls, vec Soit G = 1 moyee géométrique) et M = Motrer l iéglité G M et réciser quel est le cs d églité Idictio : Noter P l roriété G M, et vérifier que P est vrie moyee rithmétique) Motrer esuite l imlictio P et P ) P et l imlictio P P 1, et coclure L idée de cette démostrtio est ttribuée à Leohrd Euler) Exercice [ Corrigé ] Soiet X = x 1,, x ) et Y = y 1,, y ) deux élémets de R, vec O ose X Y = x k y k, X = 1/ X X = xk) et Y = Y Y L iéglité de Cuchy-Schwrz s écrit X Y X Y églité X, Y roortioels) L méthode vue e cours utilise e géérl l ositivité de P λ) = X + λy = x k + λy k ) O v mitet voir trois utres démostrtios de cette iéglité 1 Motrer l iéglité de Cuchy-Schwrz r récurrece simle O ote P l iéglité de Cuchy-Schwrz u rg Vérifier P Motrer que P P our ) et que P P 1 our 3) et coclure 3 Prouver l églité de Lgrge x j y k x k y j ) + X Y ) = X Y et coclure Exercice 3 [ Corrigé ] Pour X = x 1,, x ) ds R et ds R +, o ote X = x k ) 1/ Soit et q deux réels strictemet ositifs tels que q = 1 1 Soiet, b ds R + Trouver le miimum sur R + de f : t t 1/q + bq q t1/ E déduire : X, Y ) R R, x k y k X Y q iéglité de Holder) Qu obtiet-o si = q =? Soiet, b ds R + Trouver le miimum sur R + de g : t t 1 + b 1 t) 1 E déduire : X, Y ) R R, X + Y X + Y iéglité de Mikowski) Exercice 4 [ Corrigé ] O se doe 1,, et 1,, ds R +, de telle sorte que Prouver l iéglité Idictio : our tout x > 0, o l x x 1) Quel est le cs d églité? Qu obtiet-o e ost k = 1 our tout k? k = 1 Pge 1 Je-Michel Ferrrd wwwklubreet c EduKlub SA

2 Corrigé de l exercice 1 [ Retour à l éocé ] Remrquos que c est évidet si l u des k est ul, et qu lors il y églité si et seulemet si tous les k sot uls O eut doc suoser ds l suite que k > 0 our tout k Si =, M G 1 + ) = 1 = 1 ) 0 4 Aisi P est vrie, et il est évidet que le cs d églité est 1 = O suose que l roriété est vrie u rg, vec 1 O se doe ue fmille 1,,, de réels strictemet ositifs Notos M 1 et G 1 res M et G ) les moyees rithmétique et géométrique de 1,, res +1,, ), et M, G celles de 1,,,, O bie sûr G = k = G 1 G et M = 1 k = M 1 + M O e déduit G M 1 M e utilist P, et M 1 M M e utilist P Pr coséquet G M, ce qui démotre l roriété P O se doe 3, et o suose que l roriété est vrie u rg Il fut motrer P 1 Soiet M res G) l moyee rithmétique res géométrique) de 1,,, 1 L roriété P ermet d écrire E) : M 1 k 1 M + 1 )) k Mis M + 1 k = M + 1)M = M O isi obteu l iéglité M 1 k M Aisi MG 1 M doc G 1 M 1 cr M > 0) c est-à-dire P 1 Le fit que P soit vrie et que l imlictio P et P ) P soit vrie imlique que P est vrie ux rgs = m, our tout m 1, et ces m tedet vers + vec m Ue lictio réétée de l imlictio P P 1 ermet lors d ffirmer que l roriété P est vrie our tout etier O v mitet motrer que le cs d églité ds P ) est 1 = = = ) Il s git doc d étblir l imlictio P : k = k 1 = = = 1 O sit déjà que P est vrie Suosos P vrie vec Rereos les ottios de l démostrtio de l imlictio P et P ) P O obteu 0 < G = G 1 G M 1 M M e utilist G 1 M 1 et G M { ) G Aisi G = M 1 = M1 P ) { 1 = = G = M +1 = = 1 = = = O voit doc que si l roositio P est vrie, lors l roositio P est vrie De même motros que l imlictio P P 1 est vrie Pour cel, o utilise les ottios de l démostrtio de P P 1 O obteu MG 1 M e utilist P P Aisi G 1 = M 1 MG 1 = M ) M = 1 = = 1 1 = = 1 Autremet dit, P P 1 our tout 3 Pour les mêmes risos qu vec les roositios P, o voit doc que les roositios P sot vries our tout, ce qui chève l démostrtio o urit très bie u étblir les roriétés P et P e rllèle) Pge Je-Michel Ferrrd wwwklubreet c EduKlub SA

3 Corrigé de l exercice [ Retour à l éocé ] 1 P est vrie cr X Y X Y ) = x 1 y + x y 1 x 1x y 1 y = x 1 y x y 1 ) 0 Suosos l roriété vrie u rg, et rouvos-là u rg + 1 { { X = x1,, x, x +1 ) X = x 1,, x ) O se doe et o ose Y = y 1,, y, y +1 ) Y = y 1,, y ) Avec des ottios évidetes, o X Y = +1 x k y k = X Y + x +1 y +1 Avec P, o e déduit X Y X Y + x +1 y +1 X Y + x +1 y +1 Mis P doe X Y + x +1 y +1 X + x +1 Y + y+1 Efi il est clir que X + x +1 = X et Y + y +1 = Y O doc obteu X Y X Y, ce qui rouve P +1 et chève l récurrece L roriété P été rouvée à l questio récédete Suosos l roriété vrie u rg, et rouvos-là u rg { { { X = x1,, x ) X1 = x 1,, x ) X = x +1,, x ) O se doe et o ose Y = y 1,, y ) Y 1 = y 1,, y ) Y = y +1,, y ) O X Y = X 1 Y 1 + X Y, X = X 1 + X et Y = Y 1 + Y O obtiet X Y X 1 Y 1 + X Y X 1 Y 1 + X Y e utilist P P doe lors X 1 Y 1 + X Y X 1 + X Y 1 + Y O doc obteu X Y X Y, ce qui rouve l roriété u rg Suosos l roriété vrie u rg 3, et rouvos-là u rg 1 O se doe doc X = x 1,, x 1 ) et Y = y 1,, y 1 ) ds R 1 { X { = x 1,, x 1, 0) X Avec Y = y 1,, y 1, 0), o X Y = X = X Y et Y = Y P doe X Y X Y doc X Y X Y, ce qui rouve P 1 Aisi P est vrie our tous = k, vec k ds N L imlictio P P 1 our 3 ermet de boucher les trous et ous ssure que P est vrie our tout ) 3 D ue rt X Y ) = x k y k = x j y j x k y k = x j y j x k y k D utre rt Mis De même Aisi x j y k + j=1 x j y k x k y j ) = x j x k y j y k = x j y k x k y j ) = x j y k + x k y j = 1 j k x j y k = j=1 1 j k x j j=1 x j x k y j y k = ) yk x j j, j, x k y j ) yk ) x k y k x j x k y j y k x k y k x j x k y j y k ) x j x k y j y k = X Y X Y ) j, O e déduit X Y X Y ) 0, doc X Y X Y Pge 3 Je-Michel Ferrrd wwwklubreet c EduKlub SA

4 Corrigé de l exercice 3 [ Retour à l éocé ] 1 Pour tout t de R +, o f t) = q t 1/q 1 + bq Aisi f le sige de b q t Le miimum de f sur R + est doc f q t1/ 1 = t1/ q ) ) = 1/q b q b + b q q q + b q t) b q ) 1/ = b O e déduit E) : b t 1/q + bq q t1/ our tout, b, t > 0 vri si b = 0) O se doe X = x 1,, x ) et Y = y 1,, y ) ds R Pour tout t > 0, E) doe : x k y k x k y k Aisi x k y k t 1/q x k + t1/ q Cette iéglité s écrit ussi, our tout t > 0 : xk t 1/q + y k q q t 1/ ) y k q our t > 0 x k y k t 1/q X + t1/ Y q q q Mis ds le membre de droite o recoit ft) vec = X et b = Y q Puisque l iéglité récédete est vrie our tout t > 0, o eut sser u miimum O e déduit x k y k X Y q, ce qu il fllit démotrer Si = q =, o obtiet : ) 1/ 1/ x k y k x k xk) Cuchy-Schwrz) { g t) = 1 ) t b 1 t) ) Pour tout t de ] 0, 1 [ o g t) = 1) t 1 + b 1 t) 1 ) > 0 Aisi l lictio g est strictemet croisste O costte que g t) = 0 t = 1 t t = ) Aisi le miimum de g sur ] 0, 1 [ est g b ] 0, 1 [ ) 1 + b = b ) 1 = + b) O eut doc écrire : E ) : + b) t 1 + b 1 t) 1 vec 0 < t < 1, > 0, b > 0 O voit fcilemet que ce résultt est ecore vlble si = 0 ou b = 0 O se doe X = x 1,, x ) et Y = y 1,, y ) ds R O tout d bord : X + Y = x k + y k x k + y k ) Avec l iéglité E ), o trouve X + Y ) x k t 1 + y k 1 t) 1 si 0 < t < 1 E dévelot : X + Y x k ) t 1 + y k ) 1 t) 1 Cette iéglité s écrit X + Y X t1 + Y 1 t)1, our 0 < t < 1 O recoit l exressio de gt), vec = X et b = Y Puisque l iéglité est vrie our 0 < t < 1, o eut sser u miimum O e déduit X + Y ) + b) = X + Y ) Autremet dit, o bie obteu l iéglité X + Y X + Y Pge 4 Je-Michel Ferrrd wwwklubreet c EduKlub SA

5 Corrigé de l exercice 4 [ Retour à l éocé ] Pour tout x de R +, o sit que l x x 1 églité seulemet e x = 1) Posos G = 1 1 Pour 1 k o doc I k ) : l k G 1 G k G) O multilie l iéglité I k ) r k et o joute les résultts de k = 1 à k = O obtiet k k G) Mis k l k l G) 1 G k l k l G) = Aisi 0 k k G) = ) l k k ) k l G = l G l G = 0 k k G doc G k k cqfd) Le résultt fil est ue églité toutes les I k sot des églités, c est-à-dire G = k our tout k, ce qui équivut ux églités 1 = = = Avec k = 1 our tout k, o trouve 1 1 k C est l iéglité clssique etre l moyee géométrique des k et leur moyee rithmétique Si ds ce résultt o remlce chque k r 1/ k o obtiet : 1 C est l iéglité etre l moyee hrmoique des k et leur moyee géométrique 1 k Pge 5 Je-Michel Ferrrd wwwklubreet c EduKlub SA

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