Autour de la fonction qui compte le nombre de nombres premiers

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1 Numéro d ordre : Université de Limoges THÈSE de Doctorat de l Université de Limoges Spécialité Mathématiques Appliquées Théorie des Nombres présentée par Pierre DUSART Autour de la fonction qui compte le nombre de nombres premiers Directeur de thèse : Guy Robin Soutenue le 26 mai 1998 devant le jury composé de: Président D. Duval Université de Limoges Rapporteur F. Dress Université de Bordeau-I Rapporteur J.-L. Nicolas Université de Lyon-I Eaminateur O. Ramaré Université de Lille-I Eaminateur G. Robin Université de Limoges Eaminateur H. Smati Université de Limoges

2 Je dédie cette thèse à mes parents, àma soeur et à tous ceu qui auront le courage de lire ce document.

3 Remerciements Une thèse est l achèvement de plusieurs années de travau. Je tiens à remercier les membres du jury, D. Duval, F. Dress, J-L. Nicolas, O. Ramaré, H. Smati, d avoir médité sur mon ouvrage et d avoir honoré la soutenance de leur présence. Pendant toutes ces années, Guy Robin m a guidé dans mes recherches en me signalant les points intéressants et les voies difficiles si d aventure je m y engageais. Son collègue et compère, Jean-Pierre Massias m a fait bénéficier de son epérience informatique. Pour les questions concernant Maple, Marc Rybowicz est imbattable. Il m a permis d écrire mes programmes avec la rigueur que je voulais. Un grand merci àjoël Marchand qui a accompagné mes premiers pas sous Uni. N oublions pas la disponibilité de François Arnault pour toutes les questions d ordre mathématique ou informatique. Je garde en ecellent souvenir le contact des autres membres du département de Mathématiques au travers des enseignements dispensés. Tout cela n aurait pu être rendu possible sans le support logistique des secrétaires et bibliothécaires du département : Danièle, Martine, Nadine, Véronique et Yolande. Je souhaite bon courage ou bonne chance au thésards qui ont partagé mon quotidien : Aude, Bruno, Cathy, Christophe, Delphine, Gérard, Jean-François, Maria, Nathalie, Nicolas, Stéphane.

4 Sommaire Introduction 7 1 Estimations de ψ), θ), π), p k Introduction Méthode de Rosser & Schoenfeld Résultats sur ψ) etθ) Résultats sur p k et θp k ) Intervalle contenant au moins un nombre premier Résultats sur π) Sur la différence de π) Li) Autour de l inégalité p ab <ap b + bp a Conjecture de Mandl Autour de la conjecture d Hardy-Littlewood Conjecture d Hardy-Littlewood Introduction Nouvelle forme de la conjecture Théorèmes Applications Application directe des formules d encadrement relatives à π) Conjecture des k-uples Définitions Eistence de k-uples admissibles super-denses

5 4 P. Dusart Construction de k-uples admissibles super-denses Trouver p premier vérifiant un k-uple Quelques rassemblements denses de nombres premiers Estimation de ψ; k, l) Lemmes introductifs Région sans zéro GRHk,H) etnt,χ) Encadrement de ψ; k, l) /ϕk) à l aide des zéros de Ls, χ) Forme plus eplicite de l encadrement Terme prépondérant : Ã Etude de fk) intervenant dans l epression R Méthode avec m = Méthode avec m = Application pour k = Résultats en utilisant GRHk, ) π) dans les progressions arithmétiques Encadrement de π;3,l) Majoration Minoration Petites valeurs Minoration plus précise de π;3,l) Formule de calcul eact pour π;4,l) etsagénéralisation Formule de Legendre Formule générale de Meissel-Lehmer Formule de Meissel Formule de Lehmer Etude de φ Applications Temps de calcul théorique pour π)...145

6 Sommaire 5 Conclusion 147 A Calcul des ε de la Table B Chercher un k-uple super-dense 152 C Trouver un p vérifiant un k-uple 154 D Calcul des C 1 χ) 158 E Calcul de φ, a; k, l) 164

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8 Introduction The elementary theory of numbers should be one of the very best subjects for early mathematical instruction. It demands very little previous knowledge, its subject matter is tangible and familiar; the processes of reasoning which it employs are simple, general and few; and it is unique among the mathematical sciences in its appeal to natural human curiosity. G. H. Hardy a a Bull. Amer. Math. Soc ), p. 818 La théorie des nombres est un domaine des mathématiques étudié depuis longtemps, en fait depuis que les nombres eu-mêmes eistent. Lorsque l Homme a commencé à utiliser les nombres, il a créé lathéorie des nombres. Cette branche des mathématiques qui étudiait les propriétés des nombres entiers s est beaucoup développée. Il est parfois nécessaire de faire appel à des notions plus compliquées pour démontrer des résultats d énoncés simples. L une des notions les plus connues dans l ensemble des nombres entiers est la propriété de primalité. Cette propriété peut s étudier à partir du moment où la notion de multiple est acquise : un entier est premier s il n est multiple que du nombre 1 et de lui-même. Euclide est le premier à avoir démontré qu il eistait une infinité de nombres premiers. Sa démonstration reste l une des plus belles des mathématiques. Le travail effectué dans cette thèse a pour base les nombres premiers. Ces nombres premiers ont été et sont toujours très étudiés : savoir si un nombre est premier ou factoriser en produit de nombres premiers, trouver de très grands nombres premiers, étudier la répartition des nombres premiers sont toujours des sujets d actualité. Nous désignerons par p un nombre premier. Présentons maintenant les fonctions arithmétiques sur lesquelles nous allons travailler. Ce sont des fonctions classiques en théorie des nombres. Définissons d abord les fonctions de Chebyshev : ψ) = ln p. p,ν p ν θ) = ln p. p 7

9 8 P. Dusart Des résultats théoriques montrent que ψ) θ), la notation f) g) signifiant que lim f) g) = 1. En reprenant les travau de Rosser et Schoenfeld, nous donnerons des encadrements de ces fonctions et nous montrerons principalement que ψ) < 10 6 pour ep50) et que θ) 3, 965 ln 2 pour >1. Cette étude de ψ et θ permet de mieu connaître la répartition des nombres premiers. Cela nous conduira à une minoration de p k,lek-ième nombre premier p k kln k +lnlnk 1) pour k 2. AlafinduXVIII e siècle, une question s était posée et se voulait plus précise que celle résolue par Euclide : on sait qu il eiste une infinité de nombres premiers mais combien y en a-t-il parmi les premiers entiers? Introduisons la fonction π) qui compte le nombre de nombres premiers plus petits que : π) = p 1. En eaminant des tables de nombres premiers, Legendre et Gauss conjecturent qu ils yenaà peu près / ln. L étude a été reprise par Chebyshev qui montre en 1852 que 0, 92 ln <π) < 1, 11 ln 30). C est un premier pas. Ce sont Hadamard et De La Vallée Poussin qui démontrent indépendamment en 1896 le fameu Théorème des Nombres Premiers : π) / ln. Ce résultat est équivalent au résultats énoncés précédemment ψ) et θ). Par des considérations analytiques, De La Vallée Poussin montre qu il eiste même une approimation de la fonction π appelée fonction logarithme intégral et notée avec π) Li). Li) = lim ε 0 1 ε 0 ) dt ln t + dt, 1+ε ln t

10 Introduction 9 Par intégration par parties, le développement asymptotique de Li) peut être facilement eplicité : Li) = 1+ 1 ln ln + 2 )) 1 ln 2 + O ln 3. Nous montrerons que et que π) π) 1+ 1 ) ln ln 1+ 1 ln ln ) 2, 51 + ln 2 pour 599, pour Chebyshev a utilisé ses encadrements sur π) pour montrer une proposition appelée Postulat de Bertrand : pour supérieur à 1, chaque intervalle ], 2] contient au moins un nombre premier. Il a vérifié à la main que la proposition est vraie pour les petits, puis pour les 30 puisque π2) > 0, 92) 2 ln 2 > 1, 11 ln >π). Mais une question se pose : a-t-on π + y) π)+πy) pour, y 2? C est-à-dire, chaque intervalle ]y, y + ] contient-il moins de nombres premiers que l intervalle initial ]0,]? C est une conjecture proposée par Hardy et Littlewood en C est vraisemblable puisque le théorème des nombres premiers montre qu elle est satisfaite pour la plupart des y. Notre travail prouvera qu elle est valide presque partout et dans un domaine que nous epliciterons. Aucun contre-eemple numérique n a été trouvé mais nous reprendrons l article de Hensley et Richard montrant qu elle est incompatible avec une autre conjecture bien connue, celle qui généralise la conjecture des nombres premiers jumeau. Cette dernière bien connue eprime qu il y a une infinité de nombres premiers p tels que p et p + 2 soient deu nombres premiers. Nous nous intéresserons ensuite au différentes fonctions arithmétiques présentées précédemment mais cette fois dans les progressions arithmétiques. On ne regarde maintenant que les premiers vérifiant la condition suivante : soient k, l deu entiers 1 l<k) premiers entre eu ; on ne comptera plus que les premiers congrus à l modulo k. On note alors p l mod k) un nombre premier vérifiant cette condition. Il s ensuit que ψ; k, l) = p,ν p ν, p l mod k) ln p,

11 10 P. Dusart θ; k, l) = π; k, l) = p p l mod k) p p l mod k) Nous savons comment ces fonctions se comportent à l infini puisque θ; k, l) /ϕk) et π; k, l) ϕk)ln. Les estimations sur les deu premières fonctions seront présentés sous forme d encadrements valables pour de grandes valeurs de. Nous démontrerons que θ; k, l) /ϕk) <ε) où ϕ est la fonction d Euler ϕk) = 1) et où ε est une fonction qui décroît plus 1 n k n,k)=1 rapidement que l inverse de toute puissance du logarithme. Ce travail est complémentaire de celui de Ramaré et Rumely qui ont donné des encadrements pour les petites et moyennes valeurs de. Nous montrerons en particulier que, pour l = 1ou2et > 1, θ;3,l) /2 < 0, 262 ln et, pour 151, π;3,l) > 2ln. Dans un dernier chapitre, nous donnerons un algorithme combinatoire pour le calcul eact de π; k, l). La fonction π; k, l) sera étudiée comme l ont fait, pour π), Legendre en 1830 puis Meissel et Lehmer par la suite. Remarquons que les résultats énoncés précédemment ne donnent qu un encadrement de la valeur π). Pour trouver eactement cette valeur, il suffit d ôter on dit cribler ) les nombres composés de l intervalle [1,]. Cela pourra être fait selon un algorithme simple appelé crible d Eratosthène. En comptant le nombre d entiers non criblés ce sont les nombres premiers), on obtient la valeur de π). Pour connaître la valeur de π; k, l), il suffira de compter dans l ensemble des nombres non criblés précédents ceu dont le reste de la division entière par k est égal à l. L algorithme précédent permet de connaître tous les premiers jusqu à. Comme nous avons besoin de savoir uniquement la valeur de π) sans énumérer tous les premiers, d autres algorithmes appelés cribles combinatoires sont plus efficaces. Ils permettent de calculer π) en ne connaissant que les nombres premiers jusqu à. La plus grande valeur actuellement calculée est π10 20 ). Les programmes d application, écrit dans le langage Maple, seront listés en annee. Bonne lecture! ln p, 1.

12 Chapitre 1 Estimations de ψ), θ), π), p k Résumé Une meilleure connaissance du positionnement des zéros de la fonction ζ de Riemann permet de meilleures estimations effectives des fonctions ψ),θ),π) et des p k. 11

13 12 P. Dusart 1.1 Introduction Nous noterons par ln 2 l itéré du logarithme, c est-à-dire ln ln. Dans cette partie, nous nous intéressons au fonctions de Chebyshev ψ) etθ) définies par θ) = ln p, p ψ) = ln p p,ν p ν où les sommes sont respectivement sur tous les p premiers et sur les puissances de premiers p ν.lethéorème des nombres premiers équivaut à dire Théorème 1.5 de [4]) que ψ) = + o), +. De manière analogue, pour tout ε>0, il eiste 0 = 0 ε) tel que ψ) <ε pour 0. Le but de cet article est de donner des estimations eplicites de θ) etψ). Cet article s appuie sur des résultats déjà connus : les plus importants travau sur les résultats effectifs ont été fournis par Rosser et Schoenfeld cf. [13], [14], [16]), puis complétés par Robin [9] - Massias [6] et Pereira [7]. Les estimations de ψ) dans [14] sont basées sur la vérification de l hypothèse de Riemann pour les premiers zéros de ζs) dans la bande critique et sur la connaissance d une région sans zéros de ζs) demême type que celle trouvée originellement par De la vallée Poussin. Une meilleure connaissance sur les zéros permet une meilleure estimation de ψ). Brent et al ont montré que les premiers zéros sont sur la droite critique. Cette vérification induit un gain notable sur les valeurs moyennes de c est-à-dire jusqu à ep4000)). Nous en déduirons de nouveau encadrements pour ψ) etpourθ). Une application particulière sera faite sur p k,lekième nombre premier p 1 = 2), ainsi que sur θp k )) dont le développement asymptotique est connu. Cesaro [2] puis Cipolla [3] en donnent l epression en 1902 : p k = k ln k +ln 2 k 1+ ln 2 k 2 ln k ln2 2 k 6ln 2 k +11 2ln 2 k ) 3 ln2 k + O ln k. Un travail plus précis pourra être trouvé dans [10, 15]. Nous estimons aussi la fonction qui compte le nombre de nombres premiers plus petits que : π) = p 1.

14 1.1. Introduction 13 Résultats antérieurs Présentons une liste non ehaustive) de résultats déjà démontrés. Pour les encadrements sur θ et ψ, nous citons les majorations 5.6b )duthéorème 7 p. 357 de [16] vraie 1 pour >1, , ψ) < 0, / ln et θ) < 0, / ln, complétées par le théorème 8 p. 360 de [16] : si >1 alors θ) <η k avec η ln k 2 =8, 0720, η 3 = et η 4 =1, En 1975, Rosser et Schoenfeld [14] annonçaient qu ils réservaient des résultats sur π) et sur les p k pour un autre article. Cet article est à notre connaissance jamais paru. Pour les encadrements des p k et θp k ), Massias et Robin ont prouvé dans leur article [6] de 1996, en notant +RH si on suppose que l hypothèse de Riemann est vérifiée, que θp k ) k ) ln k +ln 2 k 1+ ln 2 k 2,1 pour k , ln k θp k ) k ) ln k +ln 2 k 1+ ln 2 k 2 pour k 198, ln k p k k ln k +ln 2 k 1, ) pour k 2, p k k ln k +ln 2 k 1) pour k 2+RH, p k k ln k +ln 2 k 0, 9427) pour k 15985, p k k ) ln k +ln 2 k 1+ ln 2 k 1,8 pour k RH, ln k p k k ) ln k +ln 2 k 1+1, 8 ln 2 k pour k 13. ln k Comme l article de Rosser et Schoenfeld sur les estimations de π) n est pas paru, nous reprenons leurs résultats de 1962 parus dans [13] : nous avons théorème 1 p. 69) ) ln ln < π) pour 59, ) π) < ln 1+ 3 pour >1, 2ln et d après le théorème 2, < π) pour 67, ln 1/2 π) < ln 3/2 pour >ep3/2). Résultats présentés Nous allons démontrer les résultats suivants : ψ) 0, ln 1 voir note p.360 de [16] pour ep22),

15 14 P. Dusart θ) 0, ln θ) 3, 965 ln 2 θ) 515 ln 3 θ) ln 4 pour , pour >1, pour >1, pour >1. Regroupons les résultats pour p k et θp k ): θp k ) k ln k +ln 2 k 1+ ln ) 2 k 2, 0553 pour k ep22), 1.1) ln k θp k ) k ln k +ln 2 k 1+ ln ) 2 k 2 pour k 198, 1.2) ln k p k k ln k +ln 2 k 1) pour k 2, 1.3) p k k ln k +ln 2 k 0, 9484) pour k 39017, 1.4) p k k ln k +ln 2 k 1+ ln ) 2 k 1, 8 pour k 27076, 1.5) ln k p k k ln k +ln 2 k 1+ ln ) 2 k 2, 25 pour k ) ln k La formule 1.2) a été démontrée par Robin dans [9]. Nous utiliserons ces résultats pour montrer que, pour 3275, l intervalle [, + /2 ln 2 ) ] contient au moins un nombre premier et que, 1+ 1 ) ln ln π) 599 >1 Des résultats plus précis sur π) seront démontrés : π) π) π) ln π) ln 1+ ln ) 1, ln pour 5393, ln 1 pour 60184, ln 1, ln + 1, 8 ) ln 2 pour 32299, 1+ 1 ) 2, 51 + ln ln 2 pour

16 1.2. Méthode de Rosser & Schoenfeld Méthode de Rosser & Schoenfeld Présentons rapidement la théorie développée par Rosser & Schoenfeld. Il s agit de trouver un encadrement de ψ. Grâce àlathéorie de l intégration complee avec un théorème d inversion et le théorème des résidus, on obtient une relation entre ψ et les zéros de ζ. Proposition 1.1 Ellison [4] p.172) Pour >1, ψ + )+ψ ) 2 = ln 2π 1 2 ln ) lim T + γ T ρ ρ. Il faut maintenant estimer ρ où la sommation s effectue sur les zéros non triviau de ρ ζ. Laprésentation de la méthode de Rosser & Schoenfeld est basée sur le lemme 8 de leur article [14] de 1975 qui, elle-même, s inspire largement des résultats de Rosser [12]. Posons g) = ψ) +ln2π ln 1 1 ), 2 I m, h) = h 0 h g + y y m )dy 1 dy m. 0 Proposition 1.2 Théorème 12 de Rosser [12]) Si 0 <δ< 1)/m) et alors ε 1 = I m, δ) ) m+1 δ + mδ m 2, ε 2 = I m, δ) m+1 δ + mδ m 2 1 ε 1 ) ln 2π 1 2 ln1 1/2 ) ψ) 1 ε 2 ) ln 2π 1 2 ln1 1/2 ). Nous cherchons à majorer I m. Pour cela, nous avons besoin de connaître la localisation des zéros de ζ. Nous allons donc utiliser par la suite un domaine sans zéro. Proposition 1.3 Théorème 1 de [14]) Il n y a aucun zéro de ζs) dans la région où R =9, σ 1 1/R ln t/17 ), t 21, Soient T 1 et T 2 deu réels positifs. Considérons les quatre régions du plan complee :

17 16 P. Dusart Région R 1 : β 1/2, 0 < γ T 1 ; Région R 2 : β 1/2, T 1 < γ ; Région R 3 : β>1/2, 0 < γ T 2 ; Région R 4 : β>1/2, T 2 < γ. Eprimons I m en sommes dépendant des zéros ρ de ζ. Nous utiliserons la forme définie par l équation 1.7) pour les régions R 1 et R 3 et ensuite la forme définie dans la proposition 1.5 pour R 2 et R 4. Proposition 1.4 Théorème 13 de Rosser [12]) h 0 g + z)dz = ρ 1 ρ h 0 + z) ρ dz 1.7) Soit m un entier supérieur à 1. Dans les régions R 1 et R 3, intégrons m 1 fois la partie sous le signe somme dans 1.7) entre 0 et h = δ ; elle devient : ρ+m ρ δ 0 dy 1 δ 0 δ dy y 1 + y y m ) ρ dy m, 0 que l on peut majorer en valeur absolue par β+m δ δ δ dy 1 dy y 1 + y y m ) ρ dy m, ρ qui est égale à β+m 2+mδ δ m. 1.8) ρ 2 Pour la minoration, on prend h = δ comme borne d intégration. Dans ce cas, 1+y 1 + y y m 1 et 1.8) est aussi pris comme borne majorante. Dans la région R 1, comme β 1/2, nous avons β+m m+1 /. Dans la région R 3, nous utilisons la région sans zéro de la proposition 1.3. Posons Nous obtenons X = ln R. 1.9) β+m m+1 ep X 2 / lnγ/17)). De plus, si ρ est un zéro de ζ alors ρ est aussi un zéro de ζ ; ainsi, dans chaque région =2 0< γ T 0<γ T

18 1.2. Méthode de Rosser & Schoenfeld 17 ou Posons =2. γ >T γ>t S 1 m, δ) = 2+mδ 2, β 1/2; 0<γ T 1 2 ρ 1.10) S 3 m, δ) = 2+mδ 2 ep X 2 / lnγ/17)). β>1/2; 0<γ T 2 2 ρ 1.11) Ainsi S 1 / I m et S 3 majorent m+1 δ dans les régions R m 1 et R 3 respectivement. Etudions maintenant les régions R 2 et R 4. Proposition 1.5 Théorème 14 de Rosser [12]) I m, ±δ) = ρ ρ+m ρρ +1) ρ + m) m j=0 1) j+m+1 m j ) 1 ± jδ) ρ+m. On pose On remarque que R m δ) = 1 + δ) m+1 +1) m. 1.12) ) m m j=0 1) j+m+1 1 ± jδ) ρ+m R m δ). j Dans la région R 2, comme β 1/2, nous avons β+m m+1 /. Dans la région R 4, nous utilisons la région sans zéro de la proposition 1.3 pour obtenir, en posant X = ln R, β+m m+1 ep X 2 / lnγ/17)). Posons S 2 m, δ) = 2 S 4 m, δ) = 2 β 1/2; T 1 <γ β>1/2; T 2 <γ R m δ) δ m ρρ +1) ρ + m) ; 1.13) R m δ) ep X 2 / lnγ/17)). 1.14) δ m ρρ +1) ρ + m) En sommant sur les régions R 1, R 2, R 3 et R 4, on obtient I m, ±δ) {S δ m m+1 1 m, δ)+s 2 m, δ)}/ + S 3 m, δ)+s 4 m, δ). En appliquant la proposition 1.2, on obtient le lemme 8 de [14] :

19 18 P. Dusart Lemme 1.1 Lemme 8 de [14]) Soient T 1 et T 2 deu réels positifs ou nuls. Soit m un entier plus grand que 1. Soient >1 et 0 <δ< 1)/m). Soient S 1,S 2,S 3,S 4 définis respectivement par 1.10), 1.13), 1.11) et 1.14). Alors 1 ψ) { ln 2π 1 2 ln1 2 )} {S 1 m, δ)+s 2 m, δ)}/ + S 3 m, δ)+s 4 m, δ)+mδ/2. Dans les sommes S 1,S 2,S 3 et S 4, la sommation s effectue sur les zéros ρ de ζ. Comme 1/ ρρ +1) ρ + m) γ m 1 pour γ>0, il faut calculer des sommes du type φ m γ) 1.15) avec ρ φ m y) =y m 1 ep X 2 / lny/17)). 1.16) On introduit la fonction NT ) qui compte le nombre de zéros ρ = β + iγ de ζ tels que 0 <γ T. Il eiste une approimation F T )dent ) donnée par Rosser [12] p.223) : F T )= T 2π ln T 2π T 2π ) ainsi qu une majoration du reste RT )=0, 137 ln T +0, 443 ln 2 T +1, ) On majore les sommes de type défini par 1.15) par une intégrale en utilisant le lemme suivant : Lemme 1.2 Corollaire du lemme 7 de [14] p.255) Soit 2π <U V, et soit Φy) une fonction positive ou nulle, dérivable pour U<y<V. Soit W y)φ y) 0 pour U < y < V où W n appartient pas nécessairement à l intervalle [U, V ]. Soit Y le point appartenant à l ensemble {U, V, W } qui n est ni plus grand, ni plus petit que les deu autres. Choisissons j =0ou j =1suivant que 1) j V W ) 0. Alors U<γ V Φγ) { } 1 V 2π + 1)j qy ) Φy)ln y U 2π dy + E ju, V ), où 0, 137 ln y +0, 443 qy) = y ln y lny/2π) et le terme d erreur E j U, V ) est donné par E j U, V ) = 1+ 1) j )RY )ΦY )+NV ) F V ) 1) j RV ))ΦV ) NU) F U)+RU))ΦU).

20 1.2. Méthode de Rosser & Schoenfeld 19 Utilisons le lemme précédent pour majorer les termes S j m, δ) en terme d intégrales pour une fonction Φ convenable. En calculant les primitives associées, les fonctions de Bessel interviennent. Elles sont définies par K ν z,) = 1 t ν 1 ep{ 1/2)zt +1/t)}dt pour z>0, 0,ν réel. 1.19) 2 Remarquons que, pour m 0, nous avons d une part V y m 1 ln y 1+m lnu/2π) 1+m lnv/2π) dy =, 1.20) U 2π m 2 U m m 2 V m d autre part V y m 1 ep{ X 2 / lny/17)} ln y U 2π dy = z 2 2m 2 17 {K 2z,U ) K m 2 z,v )} + z ln17/2π) {K m17 m 1 z,u ) K 1 z,v )}, 1.21) où z =2X m, U =2m/z) lnu/17), V =2m/z) lnv/17) en faisant le changement de variable y = 17 epzt/2m). Grâce au lemme 1.2, majorons S 1 et S 2 par les intégrales précédentes, pour obtenir Lemme 1.3 Lemme 9 de [14]) Soit δ>0 et m un entier strictement positif. Soit T 1 = 1 δ ) 1/m 2Rm δ). 1.22) 2+mδ Soit Ω 1 = 2+mδ 4π { ln T 1 2π + 1 ) 2 +0, } 2, 82m. 1.23) m m2 m +1)T 1 Si T 1 158, alors 2 S 1 m, δ)+s 2 m, δ) < Ω 1. Nous connaissons un peu plus de la localisation des zéros de ζ que la région sans zéro donnée par la proposition 1.3. Riemann aémis l hypothèse que tous les zéros ρ = β + iγ non triviau de ζ étaient positionnés sur la droite critique β = 1/2. Nous savons que cette hypothèse est vérifiée au moins sur un segment centré sur l origine. Soit A tel que les zéros ρ = β + iγ de la fonction ζ de Riemann dans la bande critique soient tous de partie réelle β =1/2 pour 0 <γ A. On choisit A de sorte que NA) =F A) voir 1.17)) pour simplifier les calculs. La valeur utilisée par Rosser et Schoenfeld est A = , 51. D après les travau de [5], l hypothèse de Riemann est au moins vérifiée jusqu à A = , 215, valeur que nous allons choisir pour nos travau. 2 un calcul direct de S = 0<γ D 1 ρ aété effectué pour D = 158,

21 20 P. Dusart Proposition 1.6 Théorème 4 de [14]) Soient m entier positif, b>1/2, 0 <δ<1 ep b))/m et T 1 défini par 1.22) tel que T 1 158, Soient A défini précédemment et tel que NA) =F A), Ω 1 défini par 1.23) et Ω 2 = 0, )R { ) } mδ)z 17 zk 2m 2 17 m 2 z,a )+2m ln K 1 z,a ) 2π +R m δ){2ry )φ m Y ) RA)φ m A)}, 1.24) où z =2X m =2 b/m +1)R)} mb/r, A =2m/z) lna/17), Y = ma{a, 17 ep et R m δ) est défini par 1.12), RT ) défini par 1.18) et φ m par 1.16). Alors, pour epb), ψ) <ε où ε =Ω 1 ep b/2)+ω 2 δ m + mδ/2 + ep b) ln2π). Comme nous allons utiliser la proposition 1.6 par la suite, nous allons écrire eplicitement la preuve car elle n apparaît pas dans l article de Rosser & Schoenfeld ; ils n en donnent que quelques indications. Preuve : Prenons T 2 =0,S 3 m, δ) défini par 1.13) est aussi égal àzéro. Réécrivons S 4 défini par 1.14) à l aide de φ m défini par 1.16) : S 4 m, δ) =2 en posant φy) :=φ m y) où β>1/2 γ>0 R m δ) ep X 2 lnγ/17)) δ m ρρ +1) ρ + m) < R mδ) δ m φγ) γ>a φ m y) =y m 1 ep X 2 / lny/17)). Or, d après la proposition 1.2 corollaire du lemme 7 de [14]) avec φy) :=φ m y), φγ) { 1 ) y 2π + qy)} φy)ln dy + E 0 A 2π γ>a 0,137 ln y+0,443 y ln y ln y où qy) = et E 0 =2RY )φy ) RA)φA) car NA) =F A) avec Y = 2π) maa, W )où W vérifie W y)φ y) 0 pour y>a. Calculons la valeur de W. φ y) =φ my) =y m 2 ep X 2 X 2 ) / lny/17)) m +1)+ ln 2. y/17) Donc φ my) 0 pour y 17 ep ) X 2 m+1. D après 1.21), + A ) y φ m y)ln dy = 2π z 2 2m m K 2z,A )+ z ln17/2π)) m17 m K 1 z,a )

22 1.3. Résultats sur ψ) et θ) 21 où z =2X m et A =2m/z) lna/17). De plus, qy ) qa) Aussi pour epb), S 4 m, δ) < R mδ) δ 1/2π)+7 z m 10 9 ) 2 2m K 2z,A )+ z ln ) 17 2π m m17 K 1z,A ) + E m 0 où z =2 mb R, A =2m/z) lna/17). On en déduit que S 3 m, δ)+s 4 m, δ) Ω 2 δ m. En utilisant la majoration de S 1 m, δ) +S 2 m, δ) donnée dans le lemme 1.3 on conclut grâce au lemme 1.1 que d où 1 ψ) ln2π) 1/2 ln1 1/2 )) Ω 1 / +Ω 2 δ m + mδ/2 ψ) Ω 1 ep b/2)+ω 2 δ m + mδ/2 + ep b) ln2π)). Rosser & Schoenfeld ont décomposé leur article en trois zones. Si est petit 10 8 ), une consultation des tables et des calculs directs sur ordinateur permet d obtenir des bornes précises. Si est moyen 10 8 ep4000)), un calcul ponctuel des intégrales définies dans la proposition 1.6 donne les résultats à partir de ce point) regroupés dans une table. Si est grand ep4000)), ils ont majorés les intégrales intervenant dans la proposition 1.6, pour obtenir le théorème suivant : Théorème 1.1 Théorème 11 p.342 de [16]) Soient R =9, défini dans la proposition 1.3 et X = ln R. Alors, avec ε 0 ) = 8/17π)X 1/2 ep X). θ) < ε 0 ) pour 101 ψ) < ε 0 ) pour Résultats sur ψ) et θ) Nous regroupons ici, sous la forme d une proposition, les résultats déjà connus que nous allons utiliser dans les preuves.

23 22 P. Dusart Proposition 1.7 i) - θ) ψ) pour tout. ii) - ψ) θ) < pour iii) - ψ) θ) < 1, 43 pour tout >0. iv) - θ) <pour 0 < v) - θ) < 1, pour >0. vi) - θ) < 0, pour >1, 04 ln 107. Preuve : La première inégalité vient du fait que ψ) = θ 1/k ). k=1 La deuième vient de [7]. La suivante vient de [13] : c est le théorème 13. Les trois dernières sont issues de [16] p Théorème 1.2 Soit b un réel positif. Pour epb), ψ) ε, où ε est donné dans la table 1.1 placée en fin de chapitre. Corollaire 1.1 Pour ep50), ona ψ) 0, Preuve : Les travau de [5] permettent de confirmer que les premiers zéros de la fonction ζ de Riemann dans la bande critique sont tous simples et de partie réelle β = 1/2. Cela établit la preuve de l hypothèse de Riemann dans le rectangle {σ+it, 0 <σ<1, 0 <t<a= , 215. Reprenons la preuve de la proposition 1.6 donnée dans [14]. Rien n empêche de prendre une valeur de A plus grande que la valeur utilisée par Rosser et Schoenfeld A = , 51...). Il faut néanmoins vérifier que NA) =F A) Voir preuve de la proposition 1.6), ce qui est le cas. Cela conduit à de nouveau encadrements de ψ) donnés dans la table 1.1, calculée grâce au logiciel Maple 3. Cette programmation a permis de retrouver les résultats des calculs effectués par Rosser et Schoenfeld avec leur valeur de A. Recherchons, en particulier, la valeur de ε pour ep50) donnée dans le corollaire 1.1. Choisissons δ =0, et m = 18. En faisant le calcul, on trouve ε 0, Cette valeur a été vérifiée avec le système Pari. Nous aurons besoin par la suite d un encadrement de θ) jusqu à Une première méthode consiste à calculer θ) jusqu à il faut un ordinateur puissant). Une 3 avec le concours des machines du groupe Médicis Polytechnique)

24 1.3. Résultats sur ψ) et θ) 23 deuième méthode consiste à remarquer que la table de [1] qui donne le maimum et le minimum de la différence Li) π) par intervalle jusqu à permet de trouver un encadrement précis de θ) jusqu à Cela conduit à la table 1.2. On construit cette table de la façon suivante : Soit ρ 1 a, b) = min pk [a,b]lip k ) k) etr 1 a, b) = ma pk [a,b]lip k ) k). Posons ra, b) = min [a,b] Li) π)) et Ra, b) = ma [a,b] Li) π)). Il est facile de voir que ra, b) minρ 1 a, b) 1/2, Lia) πa)) et que Ra, b) mar 1 a+1,b)+1+1/2, Lib) πb)). L intervalle [0, ] est subdivisé en intervalles [a i,b i ]. πy) θ) = π) ln) 2 y dy 100 πy) = π) ln) 2 y dy πy) Liy) 100 y Li) π)) ln + C + où C = Li100) ln100) πy) y [a i,b i ] 100 a i,b i b + Liy) dy y ra i,b i ) lnb i /a i )+rb, ) ln/b) 1.25) dy et b est la borne supérieure du dernier intervalle ne contenant pas. Si l on ne connaît pas la valeur de π), on peut majorer la différence Li) π) par Ra, ). On donne une majoration de θ) en remplaçant dans la formule 1.25) les r et les R et inversement les R par r. Théorème ψ) 0, pour ep22). ln 2. θ) 0, pour ln Preuve : On utilise la table 1.1 par intervalles : si ep22) alors ψ) 2, , , ln ln pour ep23). Si ep23) alors ψ) 1, , pour ep30). ln Si ep30) alors ψ) 0, , pour ep600). ln Si ep600) alors ψ) 0, , pour ep2000). ln De plus, ψ) θ) < pour ainsi ψ) θ) < 0, pour ep22) ep30) ln et ψ) θ) < 1, 43 pour >0 ainsi ψ) θ) < 1, pour ep30). ln Pour ep2000), le théorème 1.1 nous permet de conclure ψ) et θ) sont majorés par 0, pour ep2000). ln

25 24 P. Dusart La table 1.2 et un calcul sur ordinateur permettent d étendre le résultat sur θ, obtenu pour l instant pour ep22), jusqu à Cela nous montre que le résultat de la proposition 1.7vi) de Rosser & Schoenfeld est presque optimal. Le résultat précédent donne une formule à l ordre 1 pour la puissance du logarithme. Il est parfois nécessaire de connaître les estimations au ordres suivants. Nous obtenons ici une amélioration notable des résultats de Rosser & Schoenfeld. Théorème 1.4 Posons η 2 =3, 965, η 3 = 515 et η 4 = Pour >1, ona θ) <η k ln k. On peut aussi choisir η 2 =0, 2 pour ) Preuve : Dans tous les cas, nous utiliserons la table 1.1 par intervalles. Commençons par k = 2, et montrons que θ) < 0, 2 ln 2. Pour ep3220), le théorème 1.1 donne que θ) <ε) <η 2 ln 2 avec η 2 =0, pour ep3220). Pour 1, , θ) 0, , 1941 ln ln 2 Pour ep25), ψ) , 09 ln 2 Pour ep30), ψ) , 1 ln 2 Pour ep100), ψ) 0, , 1521 ln 2 Pour ep1300), ψ) 0, , 1944 ln 2 Pour ep1800), ψ) 0, , 168 ln 2 Pour ep2000), ψ) 0, , 196 ln 2 Pour ep2300), ψ) 0, , 1825 ln 2 Pour ep2500), ψ) 0, , Pour ep2750), ψ) 0, , 197 ln 2 De plus, ln 2 pour ep25) pour ep30) pour ep100) pour ep1300) pour ep1800) pour ep2000) pour ep2300) pour ep2500) pour ep2750) pour ep3220) pour ep25) ep30), ψ) θ) < < 0, et pour ep30), ψ) θ) < 1, 43 < 0, 0004, ln 2. ln 2 Intéressons nous maintenant au cas k = 3. Comme θ) 0, ,ona ln θ) 310, 516 ln 3 pour ep200).

26 1.3. Résultats sur ψ) et θ) 25 Remarquons que pour ep200), la différence entre θ et ψ est négligeable puisque, pour ep200), ψ) θ) < 1, 43 0, ln 3. Pour ep200), θ) 0, pour ep1800) ln 3 Pour ep1800), θ) 0, pour ep2300) ln 3 Pour ep2300), θ) 0, pour ep2500) ln 3 Pour ep2500), θ) 0, pour ep2750) ln 3 Pour ep2750), θ) 0, pour ep3000) ln 3 Pour ep3000), θ) 0, pour ep3341) ln 3 Appliquons maintenant le théorème 1.1, pour ep3341) ; on trouve θ) 514, 826 ln 3. Nous utiliserons les mêmes méthodes pour le cas k = 4. 0, ,ona ln θ) , 4 ln 3 pour ep600). Comme θ) Remarquons que pour ep600), la différence entre θ et ψ est négligeable puisque, pour ep600), ψ) θ) < 1, ln 4. Pour ep600), θ) 0, pour ep2000) ln 4 Pour ep2000), θ) 0, pour ep2500) ln 4 Pour ep2500), θ) 0, pour ep2750) ln 4 Pour ep2750), θ) 0, pour ep3000) ln 4 Pour ep3000), θ) 0, pour ep3342) ln 4 Appliquons maintenant le théorème 1.1 pour ep3342) : on trouve θ) ln 4. Une vérification avec l ordinateur a été effectuée pour 1, On trouve que θ) 0, 2 pour et θ) pour >1 la ln 2 ln 2 valeur étant choisie pour p 17 ).

27 26 P. Dusart 1.4 Résultats sur p k et θp k ) Pour certains points des démonstrations, nous utiliserons les résultats suivants : Lemme 1.4 p k k ln k) pour k 2, p k k ln k +ln 2 k) pour k 6, p k k ln p k pour k 4, p k kln p k 2) pour k 5. Preuve : Ces inégalités ont été démontrées par Rosser. La première inégalité peut être trouvée dans [11]. La suivante vient de [12]. Les deu dernières se déduisent facilement de ln <π) < ln 2 ; ce résultat est démontré dans [12]. Rosser a montré que p k k ln k et améliore son résultat avec Schoenfeld en montrant que p k kln k +ln 2 k 3/2) cf. [14]). En 1983, Robin cf. [9]) réussit à prouver que p k kln k +ln 2 k 1, ). Massias et Robin cf. [6]) sont capables de montrer que p k kln k +ln 2 k 1) pour k ep598) et k ep1800). Montrons maintenant que cela est vrai pour tout k 2. Théorème 1.5 Pour k 2, ona où p k est k-ième nombre premier. p k kln k +ln 2 k 1) Preuve : Pour 3 p k le résultat est donné dans [9] lemme 3 p. 375). Pour p k ep530), l encadrement de θ) donné dans [16] conduit à Comme p k k ln p k pour k 4, il vient θp k ) p k c p k ln p k avec c =0, p k θp k ) ck.

28 1.4. Résultats sur p k et θp k ) 27 Le fait que [9] p. 376) θp k ) k ln k +ln 2 k 1+ ln ) 2 k 2, 1454 ln k si k 3 nous permet d écrire p k k ln k +ln 2 k 1+ ln ) 2 k 2, 1454 c. ln k La fonction k ln 2 k 2,1454 est décroissante ; son minimum sur l intervalle qui nous ln k intéresse est supérieur à la valeur de c. Pour p k ep1800), on utilise l encadrement p k k θp k ) p k η 4 ln 4 η 4 p k ln 3, p k avec η 4 =1, ainsi que la minoration de [9] pour k 3 θp k ) k ln k +ln 2 k 1+ ln ) 2 k 2, ln k Ainsi p k θp k ) η 4 k ln k k ln k +ln 2 k 1+ ln ) 2 k 7, 26. ln k Pour p k ep1800), ln 2 k>7, 49 et le résultat est prouvé. Terminons la démonstration dans l intervalle restant. Comme θ) <ψ), on a θp k ) p k <ψp k ) p k <p k εp k ). En utilisant la même minoration de θp k ) θp k ) k ln k +ln 2 k 1+ ln ) 2 k 2, 1454 ln k on déduit p k k ln k +ln 2 k 1+ ln ) 2 k 2, 1454 p k εp k ) ln k p k k ln k +ln 2 k 1+ ln 2 k 2, 1454 p ) k ln k k εp k) Montrons que ln 2 k 2, 1454 ln k p k k εp k) 0.

29 28 P. Dusart Comme p k k ln k +ln 2 k 0, 9427) cf. [6]), on doit vérifier que εp k ) Il suffit que, pour 530 ln p k 1800 que ln 2 k 2, 1454 ln k ln k +ln 2 k 0, 9427). εp k ) 1, , ce qui est le cas. Remarque : pour l intervalle ]e 598,e 1800 [, les valeurs de ε) données par Rosser et Schoenfeld ne semblent pas suffire. Première méthode de minoration de θp k ) Proposition 1.8 Posons f β k) :=k ln k +ln 2 k 1+ ln ) 2 k β. ln k Supposons que pour k k 0 θp k ) p k ck. Soit β un réel vérifiant βln k 0 1) ln k 0 ln 2 k 0 +1) ln 2 k 0 ln 1+ ln 2 k ln ) 2 k 0 β c ln k 0 ln k 0 ln 2 +1 ln 2 k 0. k 0 Si θp k0 ) f β k 0 ) alors θp k ) f β k) pour k k 0. Preuve : Supposons que p k h a k) :=k ln k +ln 2 k 1+ ln ) 2 k a ln k pour k k 0. Ainsi D autre part θp k ) θp k0 )= k n=k 0 +1 ln p n f βk) =lnk +ln 2 k + ln 2 k β +1 ln k k n=k 0 +1 ln h a n). ln 2 k β +1) ln 2 k

30 1.4. Résultats sur p k et θp k ) 29 et ln p k ln h a =lnk +ln 2 k +ln 1+ ln 2 k 1 ln k Il suffit de voir lorsque f β ln h a car + ln ) 2 k a ln 2. k c est-à-dire k k f β k) f β k 0 )= f β)d ln h a n) θp k ) θp k0 ), k 0 n=k 0 +1 ln 2 k +1 β ln k ln 2 k β +1) ln 2 k ln 1+ ln 2 k 1 ln k + ln ) 2 k a ln 2 k βln k 1) ln kln 2 k +1) ln 2 k ln 1+ ln 2 k 1 ln k + ln ) 2 k a ln 2 +1 ln 2 k. k Comme p k θp k ) ck, on peut choisir a = β + c ln k, on trouve alors que βln k 1) ln k)ln 2 k +1) ln 2 k)ln 1+ ln 2 k 1 + ln ) 2 k β c ln k ln k ln 2 +1 ln 2 k. k Appliquons la proposition 1.8. Pour c =0, 007, les valeurs de β sont les suivantes : ln k 0 β 22 2, , , , , , ,0128 Corollaire 1.2 Pour p k 10 11, θp k ) k ln k +ln 2 k 1+ ln ) 2 k 2, ln k Preuve : Prenons k 0 = et c =0, On obtient β =2, On vérifie grâce à une table que θ10 11 ) f k 0 ). L inconvénient majeur de la méthode précédente est qu il faut vérifier que θp k0 ) f β k 0 ), ce qui nécessite le calcul de θ) pour grand. La méthode suivante n a pas besoin de cette hypothèse.

31 30 P. Dusart Deuième méthode de minoration de θp k ) Proposition 1.9 Soit k 0 epep3)). Supposons que θ) c pour p k0. ln Alors θp k ) k ln k +ln 2 k 1+ ln ) 2 k β pour k k 0 ln k avec β solution de l équation β = ln k 01 + α) ln 2 k 0 +1 ln k 0 1 α = 1 ln 2 k 0 a) 2 + a 2 ln k 0 a = 1 ln 2 k 0 β + c ln k 0 Preuve : En appliquant le lemme 1 de [9] pour a = 1 et ln k 0 epa + 2) comme dans le théorème 7 de [9], on trouve une première valeur de β notée β 0. Comme θp k ) p k ck, on peut ré-appliquer le lemme avec la nouvelle valeur de a égale à a =1 ln 2 k 0 β 0 ln k 0 + c. En fait la suite des {β k } k est une suite convergente dont on peut déterminer la valeur en résolvant l équation pour k = k 0 ln k ) ln 2 k 1+ ln 2 k β c) ln k 2 +1 ln 2 k β + c ln k ln k β = ln k 1 Quand k 0 tend vers l infini, β tend vers 2 + c. Appliquons la proposition précédente. Pour c =0, 007, les valeurs de β sont les suivantes : ln k 0 β ep3) 2, , , , ,0128 ln 2 k +1.

32 1.4. Résultats sur p k et θp k ) 31 Corollaire 1.3 Pour k ep30), θp k ) k ln k +ln 2 k 1+ ln ) 2 k 2, 05. ln k Théorème 1.6 p k k ln k +ln 2 k 1+ ln ) 2 k 2, 25 ln k pour k 2. Preuve : Comme θ) <pour 0 <<10 11,ondéduit immédiatement p k θp k ) k ln k +ln 2 k 1+ ln ) 2 k 2, ln k Pour p k ep4000), le théorème 1.1 donne que θ) <ε) <η 2 ln 2 avec η 2 =0, pour ep4000). Ainsi pour p k ep4000), p k p k θp k ) η 2 ln 2 k ln k +ln 2 k 1+ ln ) 2 k 2, 1 0, p k ln k Pour p k ep4000), ) 1 p k θp k ) 1 ε)θp k ) 1+ε k ln k +ln 2 k 1+ ln 2 k β ln k ε ln k +ln 2 k 1+ ln 2 k β ln k )). avec β =2, Etudions la fonction fε, k) := β ε ln k +ln 2 k 1+ ln ) 2 k β ln k. ln k On choisit dans un premier temps ε = ε10 11 )=0, on vérifie que, fε, ep30)) > 2, 1319 et ainsi de suite par petits intervalles jusqu à ep4000). On en déduit que fε, k) > 2, 25 pour p k compris entre ep22) et ep4000). Théorème 1.7 p k k ln k +ln 2 k 1+ ln ) 2 k 1, 8 ln k pour k

33 32 P. Dusart Preuve : On suppose d abord que lemme 1.4) p k ln 2 k p k ln k. Pour p k , nous avons démontré par le théorème 1.4 que θ) <ε) <η 2 ln 2 avec η 2 =0, 2. Ainsi pour p k , p k p k θp k )+η 2 ln 2 k ln k +ln 2 k 1+ ln ) 2 k 2+0, 2. p k ln k On termine la démonstration par un test sur machine. Théorème 1.8 Pour k 39017, ona p k kln k +ln 2 k 0, 9484). Preuve : Comme voir le théorème 1.7) p k k ln k +ln 2 k 1+ ln ) 2 k 1, 8, ln k il vient pour ep33) que De il vient Comme il suffit de voir que p k kln k +ln 2 k 0, 9484). θp k ) p k εp k )p k p k θp k )+εp k )p k. θp k ) k ln k +ln 2 k 1+ ln ) 2 k 2, ln k gk) := 1+ ln 2 k 2 ln k + εp k ) p k k pour k ep30), en prenant cf. [6]) p k kln k +ln 2 k 0, 9427) < 0, 9484

34 1.5. Intervalle contenant au moins un nombre premier 33 et εp k )=0, / pour p k ep30) et εp k )= / ep30) pour p k ep30). Maintenant regardons si le résultat reste vrai pour p k Posons α =0, 9484 et fk) =kln k +ln 2 k α). Grâce à Brent [1], nous disposons des valeurs maimales de Lip k ) πp k ) dans différents intervalles jusqu à Ainsi, si pour k [k 0,k 1 ] on pourra en déduire que Considérons gk) = Lifk)) k. Lifk)) πp k ) M pk0,p k1 := ma k [k 0,k 1 ] Lip k) πp k )) p k fk). g k) = 1+1/ ln k α ln1 + ln 2 k α)/ ln k) ln k +ln 2 k + ln1 + ln 2 k α)/ ln k) admet un minimum en ln k ep2 + α +2/ ep2 + α)). Pour α =0, 9484, ce minimum est strictement positif. Nous montrons, grâce au tableau suivant, que Lifk)) πp k ) M pk0,p k1 pour k p k ). Les valeurs de π) sont etraites de la table 3 de Riesel [8] E. : π10 7 ) = ) k p k Lifk)) k R 1 = M pk0,p k , ,0004 M ,5 10 6= ,1091 M ,10 7= ,5851 M 10 7,2 10 7= ,965 M ,5 10 7= ,864 M ,5 10 8= ,45 M ,10 10= ,1 M 10 10,10 11=17065 Pour k = , une vérification a été faite grâce au système Pari gp). 1.5 Intervalle contenant au moins un nombre premier Nous connaissons déjà lerésultat de Schoenfeld [16] montrant que, pour , 9, l intervalle ], + /16597[ contient au moins un nombre premier. Nous allons améliorer ce résultat.

35 34 P. Dusart Proposition 1.10 Pour k 463, ) 1 p k+1 p k 1+ 2ln 2. p k Preuve : Supposons que, pour k k 0, p k k ln k +ln 2 k 1+ ln ) 2 k α 0 ln k et p k k ln k +ln 2 k 1+ ln ) 2 k α 1. ln k p k 1+ γ ) ln 2 p k+1 = p k p k+1 + γ p k p k ln 2 p k k ln k +ln 2 k 1+ ln ) 2 k α 0 + γ p k ln k ln 2 p k k +1) lnk +1)+ln 2 k +1) 1+ ln ) 2k +1) α 1 lnk +1) = k ln k lnk +1)+ln 2 k ln 2 k +1)+ ln 2 k α 0 ln ) 2k +1) α 1 ln k lnk +1) ) lnk +1)+ln 2 k +1) 1+ ln 2k +1) α 1 lnk +1) + γ p k ln 2 p k Or, lnk) lnk +1)= ln1 + 1/k), ) ln1 + 1/k) ln 2 k) ln 2 k +1)= ln 1+, ln k car ln ln 2 k α 0 ln k ln 2k +1) α 1 lnk +1) α 1 α 0 )/ lnk +1) est décroissante pour 1/e donc fk) fk +1)où f) := ln 2. On choisit γ ln tel que γ p k ln 2 k ln1 + 1/k)+ln 1+ p k + ) ln1 + 1/k) ln k lnk +1)+ln 2 k +1) 1+ ln 2k +1) α 1 lnk +1) +α 0 α 1 )/ lnk +1) ) ) ; 1.26)

36 1.5. Intervalle contenant au moins un nombre premier 35 il faut donc γ>α 0 α 1 pour que cette inégalité soit vraie à partir d un certain rang. Comme p k k ln k ln 2 p k ln k +ln 2 k), 2 l inégalité 1.26) est vérifiée avec γ = 1/2si lnk +1)/2 α 0 α 1 )ln k +ln 2 k). Pour α 0 =2, 25 et α 1 =1, 8, il convient de choisir k ep82). Le théorème 12 de [16] indique que l intervalle ], + /16597[ contient au moins un nombre premier pour , 9. Appliqué à = p k, il donne le résultat pour , 9 p k ep91). D après [16] p. 355, p n+1 p n 652 pour p n 2, , et donc ) 1 p k+1 p k 1+ 2ln 2 p k lorsque p k k 2ln 2 p k 2ln k +ln 2 k) 652 c est-à-dire pour k Pour k = , une vérification directe à l aide de l ordinateur permet de conclure. Théorème 1.9 Pour tout 3275, il eiste un nombre premier p tel que <p 1+ 1 ) 2ln 2. Ce résultat est meilleur que celui de Rosser & Schoenfeld si Preuve : Soit 2. Il eiste k N tel que p k <p k+1. Comme la fonction 1+1/2 ln 2 )) est croissante, ) 1 p k p k 1+ 2ln ) p k 2ln 2. D après la proposition 1.10, pour k 463, ) 1 p k+1 p k 1+ 2ln 2. p k

37 36 P. Dusart On en déduit que, pour p 463 = 3299, 1 la valeur 1,2762 étant choisie pour = p258 = ) 1+ 1,0992 ln pour 1, π) pour ln 1, π) pour ln ln 7. - π) ln + 1,8 ln ln ln + 2,51 ln 2 ) π) pour ) pour Commençons par les trois premières inégalités. Minoration de π). Prenons d abord Or θ) 0, 024 vient π) =πp) θp) lnp) + θ) ln) + θy)dy p y ln 2 y). ln) π) θ) ln) + pour [16], Th.7 p.357). Ainsi, pour p , il θp) ln 2 + πp) ) lnp) p ln 2 p) +2 0, 024) p dy ln 3 y).

38 1.6. Résultats sur π) 37 Comme θ) 0, pour 1, 04 ln) 107, π) ) 1 0, pour 10 8 ln ln) car en prenant πp) θp) lnp) p ln 2 p) +2 0, 024) p p = p = et θp) <p. dy ln 3 y) 0 pour 108, Pour 10 8, on a pour 11 < 10 8 d après [13] Théorème 16 p. 72), Li) Li ) <π). Pour , Li) Li ) ) 0, ln ln Pour k = p 284 = 1861), on vérifie à l ordinateur que πp k 1/2) = k 1 p ) k 0, , ln p k ln p k ) inégalité vraie pour k 110. Ainsi π) ln 1+ 0,992 ln pour p109 = 599. On obtiendra un meilleur résultat en utilisant une majoration de θ à l ordre 2. Majoration de π). D après [16] p. 360), nous savons que θ) < pour 0 < 10 11, θ) < 1, pour >0, et que θ) 0, pour 1, ln Posons b =0, , c =1, et K = π) = θ) ln + θy)dy 2 y ln 2 y = θ) K ln + θy)dy 2 y ln 2 y + θy)dy K y ln 2 y < 1+ b ) K dy + ln ln 2 ln 2 y + dy K ln 2 y + b K = 1+ b ) [ ] y dy + ln ln ln 2 +2 y 2 2 ln 3 y + b dy K ln 3 y < 1+ b +1 ) +2 [ ] ln ln ln 3 +6 dy y 2 ln 4 y + b ln 3 y dy ln 3 y pour K K +3b K dy ln 4 y

39 38 P. Dusart Or dy K ln 4 y = K Pour que dy ln 4 y + dy ln 4 y < K)/ ln 4 K)+ ln 4 si K. π) 1+ β ), ln ln il suffit de choisir β>b+1+ 2+b ln + ln2 K dy 6 2 ln 4 b K K ln 3 K +6+3b) ln 4 K + )) ln 4. On trouve que β 1, 03 lorsque ep100). π) = πk) θk) ln K + θ) ln + θy)dy K y ln 2 y < πk) θk) ln K + c ln + c dy K ln 2 y = πk) θk) ln K + c K + c Li) LiK)) ln K = M + c Li) où M est une constante. Posons ) = 1+ β ) M + c Li)). ln ln ) = 1 c)ln 2 )+β 1) ln) 2β ) / ln 3. s annule lorsque ln = β 1) ± β 1) 2 +8β1 c). 21 c) Nous pouvons prendre πk) = et θk) > ) K ln K ln K 1 0,007 ln K ainsi, pour β = 1, 0992, le minimum local en 0 ep22, 5775) 0 <K) est négatif mais K) > 0et donc pour [K, ep100)], π) < 1+ ln ) 1, ln En consultant la table donnée dans [1], on s aperçoit que ce résultat reste vrai pour 1, Pour K, on a d après [13] Th. 16 p.72) et [1], π) < Li).

40 1.6. Résultats sur π) 39 Etudions la différence, β) = 1+ β ) Li). ln ln Cette fonction admet un minimum au point = ep2β/β 1)). Pour β 0 := 1, , la valeur du minimum est égale à -9, En consultant la table de Brent [1] qui donne la différence minimale entre π)etli) dans les intervalles de la forme [10 n, 10 n+1 ] avec n =0..10, on en déduit que 1+ β ) 0 π) = ln ln 1+ β ) 0 Li) + Li) π)) > 0 ln ln pour Pour k = , on vérifie que πp k )=k p k 1+ β ) 0. ln p k ln p k On choisit la valeur de β 0 pour que cela soit vrai pour tous les k, y compris pour k = 258. Démontrons maintenant les autres formules. Posons 0 =1, , K = π 0 ) θ 0) ln 0. Numériquement π 0 ) = et θ 0 ) = , Posons J; a) =K + ln + a 1 ln ln 2 y + a 1 ) ln 4 dy. y Comme π) =π 0 ) θ 0) + θ) ln 0 ln + θy)dy 0 y ln 2 y et que θ) 0, 2 pour > ln 2 0, on a, pour 0, J; 0, 2) π) J;0, 2). Prenons M; c) = ln ) c ln ln 2 pour fonction majorante de π). Etudions les dérivées de J; a) etdem; c) par rapport à : J ; a) = 1 ln + a ln 3 2 a ln 4, M ; c) = 1 ln + c 2 ln 3 3c ln 4.

41 40 P. Dusart Il faut choisir c>2+a et on aura J <M lorsque ln >3c 2a)/c 2 a). Choisissons c =2, 51. On vérifie à l ordinateur que J10 11 ;0, 2) <M10 11 ;2, 51). De plus, comme Li) <M;2, 51) pour 10 7 et en vérifiant pour les petites valeurs, on a π) < 1+ 1 ln ln ) 2, 51 + ln 2 pour Posons m; d) = 1+ 1 ln ln + d ) ln 2. En étudiant les dérivées, pour que J >m, il faut choisir d 2 a. Choisissons d =1, 8. Comme m 0 ;1, 8) <J 0 ; 0, 2) et en vérifiant à l ordinateur pour les petites valeurs, on obtient π) > 1+ 1 ln ln + 1, 8 ) ln 2 pour Pour montrer que ln b π), on procède de la même manière. En comparant avec la dérivée de J; a), on montre qu il faut choisir b 1. Pour b =1eta = 0, 2, J ; 0, 2) est plus grande que la dérivée de /ln 1) pour >1. De plus, pour = 0, 0 ln 0 1 <J 0; 0, 2). On vérifie avec l ordinateur que, pour , , ln 1 π). Maintenant montrons que, pour 60184, on a Comme π) ln 1, a ) < ln ln ln a pour >epa), on a la démonstration pour 1, Est-ce que π) ln 1,1 pour 10 11? Posons k) = et comparons k) avec Li). La dérivée de ln 1,1 k ) 1/ ln est 200 ln ln ln 11) 3 ln 2.

42 1.7. Sur la différence de π) Li) 41 On en déduit que la différence k ) 1/ ln est positive pour appartenant à l intervalle [10 6, ]. Comme Li10 6 ) <k10 6 ), on en déduit que, pour , Li) <k). Un test sur machine permet de vérifier jusqu à On démontre que 1+ 1 ) π) pour 599 ln ln en utilisant l inégalité 6 du théorème 1.10 puis en vérifiant avec l ordinateur que la minoration est vraie à partir de = Sur la différence de π) Li) Nous avons écrit ce paragraphe suite à une question personnelle de J.M. De Koninck. Nous allons trouver des valeurs eplicites de 0 et C telles que Définissons > 0, π) Li) < Cep ln ). Li) = lim ε 0 1 ε 0 ) dt ln t + dt. 1+ε ln t Rappelons que sous l hypothèse de Riemann, nous avons d ecellents résultats : Théorème 1.11 Schoenfeld [16] p.339) Sous l hypothèse de Riemann, π) Li) < 1 ln si π Preuve : θ) < 1 8π ln 2. Sans l hypothèse de Riemann, nous pouvons démontrer le théorème suivant : Théorème 1.12 Soient R =9, et K = 8/17π) R 1/4 π) Li) < 2K ) ln 3/4 ep ln /R 0, 2196, alors pour 59.

43 42 P. Dusart Preuve : Or, d après le π) Li) = θ) ln + 2 = θ) ln θt) t ln 2 t dt 2 +2/ ln2) + Théorème 1.13 [16], Théorème 11) Soit X = ε 0 ) = 2 dt ln t Li2) θt) t t ln 2 dt Li2) t ln)/r et 8/17π)X 1/2 ep X) alors θ) < ε 0 ) pour 101. Ainsi et θ) ln < θt) t 2 t ln 2 t dt 2 ln ε 0) = 8/17π) R 1/4 θt) t 101 t ln 2 dt t 2 ln 3/4 ) ep ln)/r θt) t ε 0 t) t ln 2 dt + t 101 ln 2 t dt. Soit ft) = ε 0t) = ln 2 t Kln 7/4 t) ep lnt)/r). Soit a =7/5 etgt) =K lnt)/r). t ep ln a t g t) =K ep lnt)/r) 1/ ln a t a/ ln a+1 t 1/2 R ln a+1/2 t) ). Posons 0 = 101. On montre facilement que f<g pour 0. Ainsi ε 0 t) 0 ln 2 t dt < g t)dt = 0 Calculons maintenant la constante [ K t ln a t ep ] ln t/r) 0. Comme θt) <tpour 0 t 0, 0 2 θt) t t ln 2 dt. t 0 2 θt) t 0 t ln 2 dt = t 2 dt ln 2 t 0 2 θt) t ln 2 t dt.

44 1.8. Autour de l inégalité p ab <ap b + bp a. 43 Soit l tel que p l 0 <p l+1.or dt = [ ] 1 t ln 2 t ln t, 0 θt) l k ) 1 2 t ln 2 t dt = ln p n 1 ) l ) 1 + ln p n 1 ). k=1 n=1 ln p k ln p k+1 n=1 ln p l ln 0 On trouve finalement que 101 θt) t 2 t ln 2 dt 3, t En rassemblant les différents points, il vient que π) Li) < K ln 3/4 ep ln)/r)+k ln 7/5 ep ln)/r) + 2 ln θt) t 2 t ln 2 dt K 0 ep ln t ln 7/5 0 )/R) 0 < 2K ln 3/4 ep ln)/r) pour 452. Pour les petites valeurs, considérons le résultat de [1] ma [Lip)+1/2] πp) =10. p [100,1000] Comme 2K ep ln /R) > 10 pour >160, le résultat est vérifié pour >160. ln 3/4 En remarquant que ma [p k,p k+1 ] Li) π) Lip k+1) πp k ) = Lip k+1 ) k et en traçant le graphe des deu fonctions à l aide de Maple, ondéduit que π) Li) < 2K ln 3/4 ep ln /R) pour 59 < 0, 44 ln 3/4 ep ln /R) pour Autour de l inégalité p ab <ap b + bp a. Proposition 1.11 Pour a 2 et b 2, ou pour b =1et a 5, l inégalité p ab >ap b est vraie.

45 44 P. Dusart Preuve : Utilisons la majoration de [13] et la minoration vue précédemment : i) p k kln k +ln 2 k α) avec α = 1 pour k 2, ii) p k kln k +ln 2 k β) avec β =1/2 pour k 20. Ainsi p ab ablnab)+ln 2 ab) α) pour ab 2 ap b abln b +ln 2 b β) pour b 20 Soit = p ab ap b. Minorons pour a 2etb 20 : ablnab)+ln 2 ab) α) abln b +ln 2 b β) ab ln a + β α +ln 1+ ln a )) ln b > 0 Pour b 19, utilisons la vraie valeur de p b et non plus une estimation : a blnab)+ln 2 ab) α) p b ). Pour que soit positif, il suffit donc de trouver, pour chaque b, le plus petit a vérifiant : blnab)+ln 2 ab) α) >p b. Ce que l on résout à l aide d un court programme en Maple : for b from 1 to 19 do Pb:=ithprimeb): a:=2: while evalbevalfb*lna*b)+lnlna*b))-1)) < Pb) do a:=a+1; od; printb,a); od; Le plus grand des a trouvés est 10. Une rapide vérification pour 2 a 10 et 1 b 19 montre que l inégalité p ab >ap b est fausse pour b =1eta =2, 3, 4. Conclusion L inégalité p ab >ap b est vraie pour b 2eta 2 ou b =1eta 5. L inégalité large est vraie sauf pour b = 1,a = 2..4).

46 1.8. Autour de l inégalité p ab <ap b + bp a. 45 Proposition 1.12 Pour tous a, b 1, nous avons p ab+2 >ap b+1. Preuve : et a 2: En utilisant les mêmes inégalités que précédemment, nous avons pour b+1 20 p ab+2 ap b+1 ab + 2) lnab +2)+ln 2 ab +2) 1) ab + 1) lnb +1)+ln 2 b +1) 1/2) ablnab +2)+ln 2 ab +2) 1 lnb +1) ln 2 b +1)+1/2) +2lnab +2)+ln 2 ab +2) 1) a lnb +1)+ln 2 b +1) 1/2) ab lnab +2) lnb +1)+ln 2 ab +2) ln 2 b +1) > 0 1+1/2+ 2 ab lnab +2)+ln 2ab +2) 1) 1 ) b lnb +1)+ln 2b +1) 1/2) ab ln 2 + ln 1+ ln 2 ) 1+1/2 lnb +1) +0 1 ) b lnb +1)+ln 2b +1) 1/2) L inégalité est démontrée pour b 19, il reste à voir pour b 18. p ab+2 ap b+1 ab + 2)lnab +2)+ln 2 ab +2) 1) ap b+1 a blnab +2)+ln 2 ab +2) 1) p b+1 ) +2lnab +2)+ln 2 ab +2) 1) a blnab +2)+ln 2 ab +2) 1) p b+1 ) Il suffit donc de trouver pour chaque b le plus petit a tel que blnab +2)+ln 2 ab +2) 1) p b+1. Pour toutes les valeurs b =1..18, le plus grand des a trouvés est 17. Il reste àvérifier à la machine que l inégalité p ab+2 >ap b+1 est vraie pour b =1..18 et a 16.

47 46 P. Dusart Proposition 1.13 Pour tous a, b 1, nous avons ap b+1 + bp a+1 ap b+1 et symétriquement p ab+2 >bp a+1. Ainsi 2p ab+2 >ap b+1 + bp a+1. Nous voulons maintenant démontrer que p ab ap b + bp a et ajuster cette formule pour la rendre en un certain sens optimale. Utilisons un encadrement des nombres premiers donné dans [9] : i) p k klnk)+ln 2 k) α) avec α =1, pour k 2 ii) p k klnk)+ln 2 k) β) avec β =0, 9385 pour k 7022 Ainsi p ab ablnab)+ln 2 ab β) =:A ap b + bp a a[blnb)+ln 2 b) α)] + b[alna)+ln 2 a) α)] =: B Il nous faut démontrer que A B c est-à-dire : ln 2 ab) β ln 2 a +ln 2 b 2α. 1.27) Posons f := A B. Première étape : Prenons a = b, l inégalité devient ln 2 a 2 ) β 2ln 2 a) 2α Elle est vérifiée ssi a epepln 2 β +2α)) ou encore a 352,... Donc pour a = b = 353, f est négative et l inégalité 1.27) est vérifiée. De plus, f est négatif pour a 3etb 3;sia ou b croît ou les deu) alors fa, b) décroît. Donc pour a 353 et b 353, fa, b) f353, 353) 0. Ainsi 1.27) est vérifiée pour a 353 et b 353. Les hypothèses sont vérifiées car ab Deuième étape : pour a<353 et b quelconque, p ab ap b + bp a ) 0? En utilisant ii) pour k = ab et i) pour k = b, l inégalité cherchée est négative lorsque : ablnab) + ln lnab) β) abln b +lnlnb α) bp a 0 a[ln a + ln1 + ln a) ln b a 0 a[ln a + ln1 + ln a ) β α)] p d où ln b ln a ep pa +β α) ln a) 1 ln b a ) ln a b ep =: Bra) ep pa a +β α) ln a) 1 a

48 1.8. Autour de l inégalité p ab <ap b + bp a. 47 Pour que l inégalité soit vraie, il faut aussi que ab 7022 d après ii). Donc b sup Bra), 7022 ) =: Sa) a Les valeurs de Sa) sont facilement calculables pour a {2,.., 353}. Troisième étape : On remarque que pour a {2,.., 353}, asa) 10 6 largement) L inégalité cherchée est vérifiée avec un ordinateur grâce à un fichier contenant le premier million de nombres premiers. L ordinateur trouve qu elle n est hélas pas toujours vraie. Elle est en particulier vraie pour a =4..62 et b 2715 a =2, 3 et avec b a a>91 et b>91 Quatrième étape : pour a = 1, l inégalité est triviale. Lorsque b < a, la troisième étape nous permet de trouver les a pour lesquels l inégalité est vraie en échangeant a et b par symétrie de la formule. Conclusion Pour a>91 et b>91, on a p ab ap b + bp a. Ajustement de la formule L idée est de rendre la formule en un certain sens la meilleure possible. Les coefficients des variables ne peuvent être diminués. Montrons en effet que l on ne peut avoir Pour cela considérons le développement asymptotique ; Etude de 1.28) p ab a 1)p b + bp a 1.28) p ab ap b 1 + bp a 1.29) A 1 = a 1)p b + bp a =a 1)b[lnb)+ln 2 b + O1)] + ab[ln a +ln 2 a + O1)] = ab[lnab)+ln 2 a +ln 2 b + O1)] bln b +ln 2 b + O1)) B = p ab = ablnab)+ln 2 ab)+o1)) 1 ab A 1 B) = ln 2 a +ln 2 b ln 2 ab) b ab ln b +ln 2 b + O1)) + O1). Posons ga, b) =ln 2 a +ln 2 b ln 2 ab) 1 a ln b +ln 2 b + O1)) + O1).

49 48 P. Dusart Remarquons que lim ga, b) = b + a fié >0 Donc l inégalité 1.28) est fausse à l infini. Etude de 1.29) lim 1 ln b = b + a a fié >0 A 2 = ap b 1 + bp a = ab[lnb 1)+lna +ln 2 a +ln 2 b 1) + O1)] a[lnb 1)+ln 2 b 1)] ) b 1 A 2 B = a[b ln + b ln 2 b 1) lnb 1) + b ln 2 a b ln 2 ab)+ob)] b = aha, b) Remarquons que lim ha, b) = b + a fié 16 lim b ln 2 a) =+ b + a fié 16 Donc cette inégalité est vraie à l infini mais n est pas vraie pour les petites valeurs de a et de b : nous voudrions trouver une formule qui soit vraie pour tout a et tout b entiers positifs. Une première idée est d ajuster le premier terme, c est-à-dire chercher le k tel que, pour tout a et tout b, ona: p ab k ap b + bp a. Un étude sur de petites valeurs de a et de b montre que k = 33 conviendrait. La deuième idée est d ajuster le deuième terme puis le premier : p ab+2 ap b+1 + bp a+1? Preuve : Pour montrer cette inégalité, nous reprenons la même méthode. L étape 1 nous dit que l inégalité est vraie pour a, b 230. La deuième étape est plus difficile à mettre en oeuvre ; la borne ne se calcule plus selon une formule mais en utilisant une méthode dichotomique : ap b+1 + bp a+1 p ab+2 ab + 1) lnb +1)+ln 2 b +1) α) +bp a+1 ab + 2) lnab +2)+ln 2 ab +2) β) Posons cette dernière fonction égale à fa, b). Nous calculerons, pour a {2,, 230} fié, le plus petit b tel que fa, b) soit strictement positive par dichotomie. Nous en déduirons une borne pour b on remarque que celles-ci sont plus petites que les Bra) précédentes).un test identique à la troisième étape nous montre que l inégalité est vraie dans tous les cas a >0etb>0). p ab+2 ap b+1 + bp a+1

50 1.9. Conjecture de Mandl Conjecture de Mandl Nous voulons montrer la conjecture de Robert Mandl énoncée dans l article de Rosser & Schoenfeld paru en 1975 dans Math. Of Computation p Théorème 1.14 Pour n 9, nous avons p 1 + p p n )/n < 1 2 p n. En effet, à l infini, et n i=1 p i = n2 2 ln n +ln 2 n 3/2+o1)) n 2 p n = n2 2 ln n +ln 2 n 1+o1)). Pour la démonstration, nous allons utiliser les lemmes suivants : Lemme 1.5 Pour 11, Li) 1+ 1 ). ln ln Preuve : ) Soit f) = ln 1+ 1 ln. Comparons les dérivées des deu fonctions : Li ) = 1 ln et f ) = 1 ln 2 ln 3. Il est clair que Li ) >f ). Comme Li11) >f11), le résultat est prouvé. Lemme 1.6 Nous avons les égalités suivantes : u a ln u du = Li2 ) Lia 2 ). [ u a ln 2 u du = 2Liu 2 ) u2 ln u ] a. Preuve : Li 2 ) Lia 2 )= 2 a 2 dt ln t.

51 50 P. Dusart On fait le changement de variable suivant : u = t. On obtient Li 2 ) Lia 2 )= a udu ln u. Pour l autre intégrale, on intègre par parties u =1/t ln 2 t)etv = t 2, on obtient [ ] u a ln 2 u du = t2 t +2 ln t a a ln t dt. Preuve : [ du théorème 1.14] Utilisons les intégrales de Stieltjes : Montrons que n p i = i=1 pn 2 tdπt) =p n πp n ) pn 2 πt)dt > n 2 p n. Utilisons la minoration de π) valable pour 599 : Ainsi pn 2 πt)dt = πt) πt)dt + t 1+ 1 ). ln t ln t pn 599 πt)dt + 3Lip 2 n) pn 2 πt)dt. t 1+ 1 ) dt ln t ln t p2 n 3Li599 2 ) ln p n ln 599 en utilisant le lemme 1.6. Posons C = πt)dt 3Li599 2 ) En utilisant le ln 599 lemme 1.5, on obtient pn πt)dt C + p2 n 1+ 3 ). 2 2lnp n 2lnp n Calculons C πt)dt = πp i )p i+1 p i ) = Ainsi C 47, 1. De plus, comme 1+ 1, 3 ) π) pour >1, ln ln i=1

52 1.9. Conjecture de Mandl 51 on a, pour n 109 p 109 = 599), Donc, pour n 109, pn 2 p n ln p n 1+ 3 ) 2lnp n πt)dt C + p n 2 p n ln p n >πp n ) ) 2lnp n 0, ln > p n 2 πp n). Une vérification machine permet de conclure pour 9 n 109. D après la section précédente, nous avons 2p n <p 2n et donc p n/2 < 1 2 p n. Où se situe p n/2 par rapport à p i /n? Comme p n/2 = n ln n +lnlnn 1 ln 2 + o1)), 2 G. Robin m a proposé une conjecture pour la borne inférieure de la moyenne des n premiers : Proposition 1.14 Pour n 2, nous avons p [ n 2 ] 1 n n p i. i=1 Pour la démonstration, nous utiliserons le lemme suivant : Lemme 1.7 Soit Alors, pour k , k S k = p i. i=1 S k k2 2 ln k +ln 2 k 3/2). Preuve : Nous reprenons ici la même démonstration que Massias & Robin [6] pour obtenir une minoration de S k. Posons sk) = k2 2 ln k +ln 2 k 3/2) fk) = sk) k ln k

53 52 P. Dusart Ainsi f k) = k ln k +ln 2 k 1+ 1 ) ln k 1 2lnk f k) = lnk +ln 2 k + 3 2lnk 1 ln 2 k 1 k Nous pouvons écrire le développement de Taylor de f entre k et k + 1 sous la forme : fk +1) fk) =f k)+ f k 1 ) 2 avec k<k 1 <k+1. Comme f est croissante, nous obtenons fk +1) fk) f k)+ f k +1) 2 Comme Théorème 1.6) p k k ln k +ln 2 k 1+ pour k 2, il vient pour k ep ep2, 75), Pour k 0 =10 6, p k fk +1) fk). S k0 1 fk 0 ). f k)+lnk. ) ln ln k 2, 25 ln k Supposons que S k 1 fk) est vraie jusqu au rang k. Alors Donc, pour tout k k 0, S k = S k 1 + p k fk)+p k fk +1). S k 1 fk) ce qui implique S k sk) comme p k k ln k. Une vérification directe montre que S k sk) pour k Preuve : de la proposition 1.14) Comme, pour k 27076, on a d après le théorème 1.7, p k k ln k +ln 2 k 1+ ln ) 2 k 1, 8, ln k

54 1.9. Conjecture de Mandl 53 b m δ ε 18, , , , , , , , , , , / , / , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Table 1.1: ψ) ε pour epb) on a, pour n 54152, np n/2 n2 2 Une vérification directe montre que ln n +ln 2 n 1 ln 2 + ln 2 n 1, 8 ln n ln 2 np n/2 S n pour k ) S n. Conclusion : la moyenne des n premiers nombres premiers est comprise entre le terme médian et le dernier terme divisé par deu.

55 54 P. Dusart θ) θ) Table 1.2: Encadrement de θ) pour donné.

56 Bibliographie [1] R. P. Brent, Irregularities in the Distribution of Primes and Twin Primes, Math. Of Computation, Vol. 29, Number 129 January 1975) pp UMT, Math. Of Computation, Vol. 30, Number 134 April 1976) p [2] E. Cesaro, Sur une formule empirique de M. Pervouchine, Comptes rendus hebdo. des séances de l académie des sciences, Vol. CXIX, 1895) pp [3] M. Cipolla, La determinazione assintotica dell n imo numero primo, Matematiche Napoli, Vol. 3, 1902) pp [4] W.J. Ellison & M. Mendès France, Les nombres premiers, Hermann, Paris 1975) [5] J. van de Lune, H. J. J. te Riele & D.T. Winter, On the Zeros of the Riemann Zeta Function in the Critical Strip.IV Math. Of Computation, Vol. 46, Number 174 April 1986) pp [6] Jean-Pierre Massias & Guy Robin, Bornes effectives pour certaines fonctions concernant les nombres premiers, Publication Département Math. de Limoges et Journal Th. Nombres de Bordeau, Vol ) pp [7] N. Costa Pereira, Estimates for the Chebyshev Function ψ) θ), Math. Of Computation, Vol. 44, Number 169 January 1985) pp [8] Hans Riesel, Prime Numbers and Computer Methods for Factorization, Birkhäuser 1985) [9] Guy Robin, Estimation de la fonction de Tchebychef θ sur le k ième nombre premier et grandes valeurs de la fonctions ωn), nombre de diviseurs premiers de n, Acta Arithmetica, vol. 42, numéro ) pp [10] Guy Robin, Permanence de relations de récurrence dans certains développements asymptotiques, Publications de l institut mathématique de Beograd, tome 43 57), 1988) pp [11] J. Barkley Rosser, the n-th prime is greater than n log n, Proc. London Math. Soc. 2), Vol. 45, 1939) pp [12] J. Barkley Rosser, Eplicit Bounds for some functions of prime numbers, Amer. J. Math., Vol. 63, 1941) pp

57 56 P. Dusart [13] J. Barkley Rosser & L. Schoenfeld, Approimate Formulas for Some Functions of Prime Numbers, Illinois Journal Math ) pp [14] J. Barkley Rosser & L. Schoenfeld, Sharper Bounds for the Chebyshev Functions θ) and ψ), Math. Of Computation, Vol. 29, Number 129 January 1975) pp [15] Bruno Salvy, Fast computation of some asymptotic functional inverses, J. Symbolic Computation, Vol. 17, 1994) pp [16] Lowell Schoenfeld, Sharper Bounds for the Chebyshev Functions θ) and ψ).ii, Math. Of Computation, Vol. 30, Number 134 April 1976) pp

58 Chapitre 2 Autour de la conjecture d Hardy-Littlewood Résumé Nous étudierons sur quels domaines la conjecture d Hardy-Littlewood π + y) π)+πy) est vraie et nous mettrons en évidence que cette conjecture est incompatible avec une généralisation de la conjecture des nombres premiers jumeau Conjecture des k-uples). 57

59 58 P. Dusart 2.1 Conjecture d Hardy-Littlewood Introduction La fonction arithmétique π), qui compte les nombres premiers inférieurs ou égau à, est une fonction importante en théorie des nombres. π) = p 1. Ainsi π2) = 1, car 2 est compté comme étant le premier nombre premier, π10) = 4 car ilya4premiers plus petits que 10. Maintenant que la fonction π) est présentée, nous aimerions savoir si elle a la propriété de sous-additivité, c est-à-dire : π + y) π)+πy) pour, y entiers ) On remarque que y = 1 ne convient pas car si on prend = p 1où p est un nombre premier différent de 3, on a π + y) =πp) etπ)+πy) =πp 1) + π1) = πp) 1. En fait, 2.1) suppose qu il n y a pas d intervalle [ +1, + y] de longueur y qui contienne plus de nombres premiers que l intervalle [1,y]. Cela est concevable car, en vertu du théorème des nombres premiers, la densité des nombres premiers décroît d = π) 1 ln mais il se trouve que c est une conjecture bien connue émise par Hardy et Littlewood en 1923 seconde conjecture de Hardy-Littlewood). Même si 2.1) n est pas encore prouvée, certains résultats intéressants ont été trouvés. Landau [4] a prouvé en 1901 que π2) < 2π) pour assez grand. En précisant cette idée, Rosser et Schoenfeld ont montré que π2) 2π) pour réel 3. Par suite, on trouve que la conjecture 2.1) est vraie dans le cas particulier où y =, en vérifiant aussi que π4) 2π2). A. Schinzel et W. Sierpiǹski [13] ont montré en 1958 que 2.1) est vraie pour ou y 132 et A. Schinzel [14] l a étendu jusqu à 146. Segal [15] a montré que 2.1) était vraie pour + y en Karanikolov [3] a montré que π1 + ε)) < 1 + ε)π) pour ε e 1et 347. V. Şt. Udrescu [16] a montré que pour tout ε>0, pour tous, y 17 avec + y 1 + ep41 + 1)), ε La conjecture est donc ε-eacte. π + y) < 1 + ε)π)+πy)).

60 2.1. Conjecture d Hardy-Littlewood 59 Nous cherchons à démontrer une inégalité légèrement plus forte : savoir pour quelles valeurs de et ε nous avons π1 + ε)) π)+πε). Cela revient à préciser le suffisamment grand dans le théorème suivant : Théorème 2.1 Udrescu) [16] Si 0 <ε 1 et ε y, π + y) <π)+πy) pour et y suffisamment grands. De plus, on peut trouver une infinité de couple d entiers, y) tels que π + y) < π)+πy). Prenons =p 1)! où p est un nombre premier > 3. Alors pour tout y entier 2et<p,ona πy +p 1)!) = πp 1)!) <πy)+πp 1)!), car aucun entier de l intervalle [1 + p 1)!,p 1 +p 1)!] n est premier l entier 1+p 1)! n est pas premier car divisible par p d après le théorème de Wilson). Mais on ne peut avoir l inégalité stricte π + y) <π)+πy) pour, y assez grands car c est incompatible avec la conjecture des nombres premiers jumeau Prendre = p, y = 2 avec p + 2 premier). C est peut-être en développant cette idée que D. Hensley et I. Richards [2, 6] ont montré que 2.1) est incompatible avec une autre conjecture bien connue, celle des k-uples premiers 1. Ils ont prouvé qu il peut eister des k-uples admissibles qui sont plus denses que le début de la série des nombres premiers Voir [2, 6] et Section 2). Nous nous proposons cependant de montrer que 99% des couples, y) d entiers 2 vérifient 2.1) et en fait qu il en est de même pour presque tout couple, y) Nouvelle forme de la conjecture Pour cela reprenons l idée de Segal [15] qui est de trouver une équivalence entre 2.1) et une relation utilisant des nombres premiers. Nous redémontrons un résultat équivalent au théorème I de Segal [15] d une manière plus simple. Rappelons ici quelques notations : Désignons par p k le k-ième nombre premier p 1 = 2) et posons ln 2 ) :=lnln. 1 tout k-uple admissible apparaît infiniment souvent avec tous ces composants premiers, et le nombre asymptotique d apparitions est Ω/ln ) k ).

61 60 P. Dusart Proposition 2.1 Soient k et l deu entiers. Les deu assertions suivantes sont équivalentes : i) p k + p l p k+l 1 ii) Pour tout appartenant à l intervalle [p k 1,p k [ et tout y appartenant à [p l 1,p l [, π + y) π)+πy). Preuve : i) ii). Nous avons p k 1 <p k et p l 1 y<p l. + y < p k + p l 2.2) nous donne π + y) πp k + p l 1). 2.3) D autre part, de p k 1, il vient πp k 1 ) π); de p l 1 y, il vient πp l 1 ) πy). En sommant de chaque côté des inégalités, πp k 1 )+πp l 1 ) π)+πy). Or πp k 1 )+πp l 1 )=k + l 2=πp k+l 2 ) et ainsi πp k+l 2 ) π)+πy). 2.4) Comme, par hypothèse, p k + p l p k+l 1 alors p k + p l 1 p k+l 1 1et En reprenant 2.3) et 2.4), il s ensuit que πp k + p l 1) πp k+l 1 1) = πp k+l 2 ). π + y) π)+πy). ii) i). Prenons = p k 1 2 et y = p l 1 2. Ainsi, π)+πy) =k + l 2 et π + y) =πp k + p l 1); Par hypothèse, π + y) π)+πy) et il vient πp k + p l 1) k + l 2 c est-à-dire p k + p l 1 p k+l 1 1. On peut déduire de la proposition 2.1 le théorème suivant annoncé démontré par [10]) : Théorème 2.2 π2) 2π) pour réel 3 ou pour [0; 1[ [2; 5 2 [.

62 2.1. Conjecture d Hardy-Littlewood 61 Preuve : Montrons que 2p k p 2k 1. Utilisons les encadrements des p k donnés dans le chapitre précédent et dans [9] : p k kln k +ln 2 k 1) pour k 2 p k kln k +ln 2 k 1/2) pour k 20 Posons D = p 2k 1 2p k 2k 1)ln2k 1)+ln 2 2k 1) 1) 2klnk)+ln 2 k) 1 2 ). Pour k 20, les inégalités sont vérifiées et D est positif. On vérifie que 2p k p 2k 1 pour k = En utilisant la proposition 2.1, nous en déduisons que π2) 2π) pour réel plus grand que p 2 = 3. Une étude de cas permet d achever la démonstration : pour 2 <3, π) =π2) = 1. Pour que π2) 2π), il faut que π2) 2, c est-à-dire 2 <5. pour 0 <2, π) = 0. Pour que π2) 2π), il faut que π2) = 0, c est-à-dire 2 <2. En rassemblant tous les cas, le théorème est prouvé. Enonçons un résultat voisin de la proposition 2.1 mais dans lequel est entier. Proposition 2.2 Soient k et l deu entiers. Les deu assertions suivantes sont équivalentes : i) p k + p l 1 p k+l 1 ii) pour tout entier appartenant à l intervalle [p k 1,p k [ et tout y entier appartenant à [p l 1,p l [, π + y) π)+πy). Preuve : i) ii). Nous avons p k 1 <p k et p l 1 y<p l. Comme + y p k + p l 2, il vient π + y) πp k + p l 2). 2.5) D autre part, πp k+l 2 )=π)+πy). 2.6) Comme, par hypothèse, p k + p l 1 p k+l 1 alors p k + p l 2 p k+l 1 1et En reprenant 2.5) et 2.6), il s ensuit que πp k + p l 2) πp k+l 1 1) = πp k+l 2 ). π + y) π)+πy). ii) i). Prenons = p k 1ety = p l 1. Ainsi π) +πy) = k + l 2et π + y) =πp k + p l 2). Comme π + y) π)+πy), πp k + p l 2) k + l 2ou encore p k + p l 2 p k+l 1 1.

63 62 P. Dusart Corollaire 2.1 Pour tout n entier supérieur ou égal à2, π2n) 2πn). Théorème 2.3 Segal [15] Théorème 1) 2.1) est vraie pour tous entiers, y 2, siet seulement si pour tout entier n 3 et tout entier q, 1 q n 1)/2, p n p n q + p q+1 1 est vraie. La proposition 2.2 est équivalente au théorème 2.3. Nous pouvons écrire la seconde conjecture de Hardy-Littlewood 2.1) sous la forme : Conjecture 2.1 Pour tous k, l 2, ona p k + p l 1 p k+l Théorèmes Dans toute cette partie, nous prendrons y, ce qui ne restreint pas la généralité. Nous allons considérer l inégalité i) de la proposition 2.1 : qui implique celle de la proposition 2.2. p k + p l p k+l 1 2.7) Théorème 2.4 L inégalité 2.7) k, l 3. p k + p l p k+l 1 est vraie si 1/109 l 109 avec k Preuve : Posons γ = l k. Utilisons les encadrements des p k kln k +ln 2 k α) p k kln k +ln 2 k β) 2.8) de façon formelle pour l instant. Des valeurs numériques de α et β peuvent être trouvées dans [9, 8, 5]. p k+γk 1 p k p γk γ +1)k 1) lnγ +1)k 1)+ln 2 γ +1)k 1) α) kln k +ln 2 k β) γklnγk)+ln 2 γk) β) = kγ + 1) lnγ +1) αγ +1)+β1 + γ) γ ln γ) ) ) 1 lnk + γk 1) +γ +1)k ln 1 + γk ln 1 + γ)k ln k ) lnk + γk 1) +k ln ln γk ln1 + γ)k 1) + ln 2 k + γk 1) α).

64 2.1. Conjecture d Hardy-Littlewood 63 On pose cette dernière epression égale à fk, γ). fk, γ) = kγ + 1)lnγ +1) α + β) γ ln γ)+ok) Pour que la différence p k+γk 1 p k p γk soit positive à partir d un certain rang, il est suffisant que lim k + fk, γ) 0 ou plus simplement que γ+1)lnγ+1) α+β) γ ln γ> 0. Pour α =1etβ =0, 9484, cette dernière hypothèse est vérifiée pour 1/109 γ 1. En utilisant les résultats de [8], nous prendrons k et γk = l pour que l application des inégalités 2.8) soient vraies. A ce niveau de la démonstration, nous avons trouvé pour quelles valeurs de γ on peut espérer que fk, γ) 0à partir d un certain rang. Montrons que fk, γ) est une fonction croissante de γ pour k fié. fk, γ) γ = k lnk + γk 1) + ln 2 k + γk 1) α) ) k +k + γk 1) k + γk 1 + k k + γk 1) lnk + γk 1) ) 1 k lnγk)+ln 2 γk) β) γk γ + 1 γ lnγk) k = k lnk + γk 1) + ln 2 k + γk 1) α)+ lnk + γk 1) k lnγk)+ln 2 γk) β) k lnγk) [ = k lnγ +1 1 k ) + lnlnγ +1 1 k )+lnk) α 1 + lnk + γk 1) ln γ ln 2γk)+β 1 ] lnγk) [ = k ln1/γ +1 1 γk ) α + β +ln 1+ lnγ +1 1) ln γ ) k lnγk) 1 + lnk + γk 1) 1 ] lnγk) [ k ln1/γ +1 1 γk ) α + β 1 ] pour γ 1,k 2 lnγk) [ k ln2 109 ] k ) α + β 1 1 pour lnk/109) 109 γ 1 0dès que k 660

65 64 P. Dusart Montrons que fk, γ) est croissante par rapport à k pour γ fié. fk, γ) k = 1+γ) lnk + γk 1) + ln 2 k + γk 1) α) ) γ) 1+ ln k +ln 2 k β) lnk + γk 1) 1 1 ln k γ γ lnγk) γ lnγk)+ln 2γk) β) ) 1 = 1+γ) lnk + γk 1) + ln 2 k + γk 1) α + lnk + γk 1) ln k +ln 2 k β + 1 ln k ) γ lnγk)+ln 2 γk) β + 1 ) lnγk) = ln1 + γ 1 k ) + ln1 + ln1 + γ 1) ln1 + γ 1 k ) α + β ) k ln k lnk) lnk + γk 1) +γ ln1 + 1 γ + 1 γk ) + ln1 + ln ) γ γk ) lnγk) ln1 + 1 γ α + β + 1 ) γk lnγk) lnk + γk 1) ln1 + γ 1 k )+β α)1 + γ)+γ ln1 + 1 γ + 1 γk ) ) ln1 + γ 1/k) ln1 + γ 1/k) +ln 1+ ln k ln k lnk + γk 1) ) ) ln1 + 1/γ +1/γk)) ln1 + 1/γ +1/γk)) +γ ln 1+ lnγk) lnγk) lnk + γk 1) ln1 + γ)+β α)1 + γ)+γ ln1 + 1 γ ) 0 La fonction minorante est clairement croissante par rapport à k et est positive pour k 180 pour γ =1/109. En conséquence, fk, 1/109) est croissante au moins pour k 180. Maintenant en utilisant les propriétés précédentes, on montre que : 1 Pour γ =1/ etk 39017, fk, γ) fk, ) f39017, 1 ) > On vérifie à la machine que l inégalité 2.7) p k +p l p k+l 1 est vraie pour 2 l et l k 109l : on peut vérifier cette inégalité en utilisant un ordinateur disposant des nombres premiers jusqu à et d un peu de temps ou en utilisant la démonstration suivante :

66 2.1. Conjecture d Hardy-Littlewood 65 Soit pk, coeff) :=k lnk) + lnlnk)) coeff). Nous utiliserons deu encadrements des p k : p k kln k +ln 2 k 0, 9484) pour k et p k kln k +ln 2 k 0, 935) pour k Pour l fié l = ) et k variant de à 109l, posons et pour k variant de ma7014,l)à 39017, h 1 k, l) :=pk + l 1, 1) pk, ) p l h 2 k, l) :=pk + l 1, 1) pk, 0.935) p l. Montrons que ces fonctions ont les propriétés suivantes : h 1 est concave pour l fié etpourk [7014, 109l]. h 2 est concave pour l fié etpourk [ma7014,l), 39017]. Pour l variant de 415 et 39017, h ,l)eth 1 109l, l) sont positifs. Pour l variant de 415 et 39017, h 2 415,l)eth ,l) sont positifs. Montrons la concavité des fonctions h 1 et h 2. h l k) = = 1 k + l 1 1 k + 1 k + l 1) lnk + l 1) 1 k ln k 1 k + l 1) ln 2 k + l 1) + 1 k ln 2 k 1 kk + l 1) l +1+ l 1) lnk + l 1) k ln 1+ l 1 k ln k lnk + l 1) + 2k ln 1+ l 1 k ln k ln 2 k + l 1) + l 1 ln 2 k + 1 2k 2 0 ) k ln ) 2 1+ l 1 k ln k lnk + l 1)) 2 l l 1 1) lnk + l 1 1) k ln 1+ l 1 1 k ln k lnk + l 2 1) + 2k ln 1+ l 2 1 k ln k ln 2 k + l 1 1) + l 2 1 ln 2 k + ) k ln ) 2 1+ l 2 1 k pour l = l ln k lnk + l 1 1)) 2 1..l 2 ) )

67 66 P. Dusart On choisit l 1 = 414 et l 2 = et on montre que h 1 est concave pour k On choisit l 1 = 414 et l 2 = k et on montre que h 2 est concave pour k Un court programme informatique en Maple permet de vérifier que, pour chaque l [415, 39017], on a h ,l),h 1 109l, l),h 2 415,l)eth ,l) sont positifs. Par concavité, il vient que : Pour l = , h 1 k) 0 pour k [39017, 109l]. Et ainsi, pour l = et k = l, p k+l 1 p k p l h l k) 0. De même, pour l = et k = mal, 7014) , p k+l 1 p k p l h l k) 0. Une vérification directe, dans les intervalles restants, achève la preuve. Théorème 2.5 L inégalité 2.1) : π + y) π)+πy) est vraie si 1/109 y 1 avec, y réels 3. Preuve : Fions l 3. D après le théorème 2.4, p k + p l p k+l 1 est vraie pour 1 l 1, ou encore pour l k 109l. En appliquant la proposition 2.1 à 109 k ce résultat, il vient que π + y) π)+πy) est vraie pour y [p l 1,p l [et [p k 1,p k [ pour k [l, 109l], c est-à-dire pour y [p l 1,p l [et [p l 1,p 109l [ ou encore, sous une autre forme : l inégalité est vraie pour p l 1 p 109l < y 0 pour l 6. Comme p k p k 1 > 1et p l 1 p 109l < 1/109, on a la preuve du théorème à l aide de 2.9). La

68 2.1. Conjecture d Hardy-Littlewood 67 même vérification que dans la preuve du théorème 2.4 permet de conclure pour les petites valeurs. Remarque : au chapitre précédent, nous avons montré que et donc que p ab >ap b pour a, b 2 p 109l > 109p l > 109p l 1. Avec cette méthode, nous avons montré que 2.1) est vraie entre les droites y =1/109 et par symétrie y = 109 ce qui représente 99% du plan. 2.1) est démontrée dans 99% des cas). Ce résultat sera amélioré dans le théorème Applications Corollaire Pour réel 3 et =2, π)+π2) π3) π)+π2) Pour 3 et k entier, πk) kπ). Preuve : π) π + y) etπy) π + y) ainsi π)+πy) 2π + y). Ceci montre la première inégalité. La seconde inégalité vient de l application du théorème 2.5 pour y =2. Montrons la deuième proposition par récurrence. Pour les cas k =0etk = 1, c est trivial. Le cas k = 2 est montré dans le théorème 2.2. Supposons la récurrence vraie jusqu au rang k. Montrons la récurrence au rang k + 1. Si k + 1 est pair, π k +1)) Si k + 1 est impair, π k +1)) ) k π th π ) k +1 2π th réc. 2 ) ) k 2 +1 réc. ) k +1 π) =k +1)π). 2 ) k k 2 π) π) =k +1)π). La récurrence est donc vraie pour tout k. Remarque : On peut consulter l article [1] pour une démonstration plus directe.

69 68 P. Dusart En utilisant la même minoration de p k, et un résultat issu de[5] p k kln k +ln 2 k 1) pour k 2 p k kln k +ln 2 k 1+1, 8741 ln 2 k/ ln k) pour k 11, de meilleurs résultats apparaissent ou encore lim p k+l 1 p k p l = lim k ln1 + γ). k + k + l=γk γ >0, k 0 : k k 0,p k + p l p k+l 1 avec γk = l. i.e. l inégalité 2.1) est vraie sur toute droite y = γ pour assez grand. Essayons de situer un peu le assez grand avec ces nouvelles formules. ) ln1 + γ 1/k) p k+γk 1 p k p γk k ln1 + γ 1/k)+ln 1+ 1, 8741 ln ) 2 k ln k ln k +γk ln1 + 1 γ 1 γk )+ln 1+ ln ) γ γk ln γk 1, 8741 ln ) 2 γk lnk + γk 1)+ln 2 k + γk 1) 1) ln γk k ln1 + γ 1/k) 1, 8741 ln 2 k 1 + γ ln1 + 1/γ ln k γk ) 1, 8741γ ln ) 2 γk + γk 1) 2lnk ln γk k kgk) Il est évident que g est croissante et en traçant la fonction g f, où f est la fonction γ ep ) )) 3,1 ln1+γ), pour γ ]0, 1] à l aide de Maple, on montre que g ep 3,1 ln1+γ) 0. Il s ensuit 1 Proposition 2.3 Pour tout γ ]0, [ et pour k ep ) 3,1 109 ln1+γ),ona p k+γk 1 p k + p γk. D autre part, en s appuyant sur les définitions et les résultats de l article [13], on peut faire les remarques suivantes :

70 2.1. Conjecture d Hardy-Littlewood 69 Proposition 2.4 Dans la définition 2.4, il suffit de calculer ρ ) quand = p 1 pour vérifier 2.1). On a les inégalités suivantes pour k 1 : trivialement p k+1 p k +1 puis p k+2 p k +4, p k+3 p k +6, p k+4 p k +10, p k+5 p k +12,..., p k+31 p k Preuve : On suppose pour y = p l 1 et pour tout que π + y) π)+πy). C est en particulier vrai pour = p k 1. En appliquant une démonstration identique à la preuve de la proposition 2.2, en faisant varier k, on trouve que π + y) π)+πy) pour y [p l 1,p l 1] et pour tout. Pour les relations, montrons par eemple On utilise le résultat montrant que p k+3 p k +6. pour tout 2, π +6) π)+π6). On en déduit en utilisant la proposition 2.2 comme y :=6=p 4 1) que, pour tout k, p k + p 4 1 p k Application directe des formules d encadrement relatives à π) Choisissons y = γ. Soit m, c) respectivement M, d)) une fonction minorant π) respectivement majorant π)). Alors =π)+πy) π + y) m, c)+my, c) M + y, d). Formellement, si on utilise les formules ou on obtient m, c) = 1+ c ) π) M, d) = ln ln m, c) = π) M, d) = ln c 1+ d ) ln ln ln d, lim m, c)+mγ,c) M+γ,d) =signe d c)1+γ)+1+γ) ln1+γ) γ ln γ). +

71 70 P. Dusart Il ne sert à rien d aller plus loin car, comme d =1, 1etc = 1, on obtient des résultats moins intéressants que ceu déjà présentés. Prenons maintenant les formules à l ordre 2 pour π). Posons π, c) = ln ) c ln ln 2. Alors, pour d =1, 8, c =2, 51 et assez grand, π, d) π) π, c). Soit y = g) où g) =Oln ln 2 ). = π, d)+πy, d) π + y, c) = π, d)+πg),d) π + g),c) = ln + ln 2 + d ln 3 + g) lng)) + [ + g) ln + g)) + g) ln 2 g)) + + g) c + g)) ln g)) ln 3 + g)) dg) ln 3 g)) ] Comme 1/1 + u) 1 u + u 2, + g) ln + g)) = 1 g) + ln 1+ ln1+g)) lng))1 + ln1+1/g)) ) ln lng)) ) ln1 + g)) 1 + ln2 1 + g)) ln ln ln 2 + g) ) ln1 + 1/g)) 1 + ln /g)) lng)) lng)) ln 2 g)) De plus, comme 1/1 + u) 2 1 2u +3u 2, + g) ln 2 + g)) = 1 ln ln1+g)) ) + g) ln 2 ln 2 g))1 + ln1+1/g)) ) lng)) 2 ) ln1 + g)) ln ln2 1 + g)) ln ln 2 + g) ) ln1 + 1/g)) ln ln /g)) g)) lng)) ln 2 g)) Donc d ln 3 + dg) c + g)) ln 3 g)) ln 3 + g)) + + g) ln 2 ln1 + 1/g)) g) g)) ln 3 g)) ln /g)) ln 2 ln1 + g)) ln 3 ln2 1 + g))

72 2.1. Conjecture d Hardy-Littlewood 71 ln 4 ln2 1 + g)) ln 3 ln1 + g)) 3 3 ln 4 g)) g)ln2 1+1/g)) Les termes dominants sont d ln 3 g)) c1 + g)) ln1 + g)) ln g)) ln 2 + Lorsque tend vers l infini, il faut choisir g telle que d c) g) ln pour que soit positif, c est-à-dire + ln1 + g)) 0 1 g) 1 c d ln ln 2. 2 ln 3 g) ln1 + 1/g)) g)) Soit g un nombre réel compris entre 109 et 1 c d ln ln 2. Posons A = d ln 3 g) + cg ln1 + g) ln g) ln 2 c B = ln 3 + g) g ln2 1+1/g) ln 3 g) C = ln2 1 + g) ln 3 + g ln1 + 1/g) ln 2 g) + 2g ln1 + 1/g) ln 3 g) 3ln2 1 + g) ln 4 Etudions le terme A. Comme d c<0, A + + d ln 3 ) 1 ln 2. g)) 3g ln /g) ln 4 g) 2 ln1 + g) ln 3 ) 1 d c ln 2 + ln1 + g). g) ln Etudions la fonction g d c)g + ln1 + g). La dérivée s annule pour g = ln 1. ln c d La fonction est donc croissante pour g [109, ln 1] et décroissante ensuite. Donc le c d minimum de cette fonction dans l intervalle [109, ln ln 2 /c d)] est égal au minimum de ln d c ln et de ln ) ln2 +1/ ln. c d

73 72 P. Dusart Etudions le terme B. Comme 1 g 1 2g 2 ln1 + 1/g) 1 g, on a g ln1 + 1/g) 1 1 et g 2 ln1 + 1/g) 1 2g g. En utilisant les inégalités précédentes, on obtient B ln 3 g) c g B ln 2 g) 1 1 2g ) lng) 1/g g ) 3 g lng), c ln 3 ln 2. Soit 0 tel que 109 = 7 ln 5 0 ln ln 0 0 0, ). Prenons 0. Comme 2 3 ln + g) > 0, C ln2 1 + g) ln 3. A + B + C ) 1 ln 2 g) ln ln2 0 c d +1/ ln 0 + ln2 1 + g) ln ln 2 g) 2g c ln 3 ) ln 2 0 pour 0. Pour calculer cette valeur, on choisit g) = 1 c d ln ln 2, puisque la dernière minoration est fonction décroissante en g). Théorème 2.6 Pour tout et pour tout y tel que y 7 5 ln ln 2, ona π + y) π)+πy). Calculons la proportion de plan pour laquelle π + y) π)+πy) est vraie. Pour = 0 fié, regardons le rapport de : l aire A 1 du domaine limité par les inéquations y, y 7 5 ln ln 2 et 0,

74 2.2. Conjecture des k-uples 73 et de l aire A 2 du domaine limité par les inéquations 0, y et y 0. Posons gt) = 7 5 t ln t ln 2 t. Ainsi et A 1 = g 1 0 ) 0 gt) t)dt + 0 g 1 0 ) A 2 = 0 2 /2. 0 t)dt g 1 0 )/ 0 Par symétrie en, y, onadémontré que π+y) π)+πy) est vraie pour 1 5 7ln 0 )ln 2 0 ) des couples, y) tels que 0 et y 0. Proposition 2.5 Pour presque tout couple, y), nous avons π + y) π)+πy). 2.2 Conjecture des k-uples Définitions Définition 2.1 Un k-uple est un vecteur composé dek éléments a i entiers relatifs, différents et ordonnés. Il sera noté a 1,a 2,...,a k ). Sa taille est égale à k et sa longueur l est égale à a k a Définition 2.2 Un k-uple sera dit admissible si pour chaque premier, il eiste au moins une classe de congruence qui ne contient aucun élément du k-uple. Par eemple, le 3-uple 0, 2, 4) n est pas admissible, car même si modulo 2, la classe 1 ne touche aucun élément, modulo 3 chaque classe contient un élément du 3-uple. Par contre le 5-uple 0,2,6,8,12) de longueur 13 est admissible. Concrètement, pour voir si un k-uple est admissible, on calcule pour chaque p k la classe modulo p des éléments du k-uple et on regarde s il yaaumoins une classe qui n apparaît pas. Si toutes les classes modulo p apparaissent, le k-uple n est pas admissible, sinon on refait le calcul pour le nombre premier suivant. Si, après cette étape, on a trouvé pour chaque p k une classe qui n apparaît pas, le k-uple est admissible car pour les p>k, il eiste au moins une classe ne contenant aucun élément du k-uple Principe des tiroirs de Dirichlet).

75 74 P. Dusart Définition 2.3 Un k-uple admissible de longueur l super-dense est un k-uple admissible de taille k k 2) plus dense que le début de la série des nombres premiers : k>πl). Eemple : 0,2,6,8,12) n est pas super-dense Eistence de k-uples admissibles super-denses Pour prouver l eistence, il suffirait d en trouver un ; ce qui n est pas facile à la main. Définissons la fonction ρ ) qui est la taille maimale pour un k-uple admissible de longueur. Définition 2.4 ρ ) :=ma{k-uple admissible de longueur }. k Cette fonction a été calculée eactement pour les petites valeurs 146). Malheureusement pour ces petites valeurs ρ ) π) donc il n eiste pas de k-uple admissible super-dense de petite longueur. Montrons malgré tout que ρ ) >π) pour assez grand. Lemme 2.1 Si ft) t/ ln t alors T = ot) ft )=oft)). Preuve : Comme ft) t/ ln t, pour tout A 0 <A<1) et tout B B >1) il eiste M tel que, pour tout t>m, on ait A t ln t <ft) 0, il eiste t 0 tel que, pour tout t>t 0, T εt. Soit ε = εb. Comme f est croissante pour t>ep1), A on a ft ) fεt) B εt ln εt B εt ln t εb At A ln t ε ft) pour ε = εb A

76 2.2. Conjecture des k-uples 75 Réciproque : soit ε = εb A que l on choisit plus petit que 1. On a ft ) εft) et donc A T ln T En ne gardant que les deu etrêmes, il vient <ft ) ft) <εb t ln t. T ln T εb A t ln t εb A t ln εb A t) 2.10) comme ε = εb 1. Soit g) = qui est strictement croissante pour ep1). Donc A ln g 1 eiste et est strictement croissante. D après 2.10), gt ) gε t) et en appliquant g 1 qui est croissante, on obtient T ε t.onendéduit que pour tout ε, 1 ε > 0, t 1, t t 1,T ε t. Donc T = ot). Lemme 2.2 Soit t un entier. Soit T tel que, en enlevant une classe de congruences j i modulo p i pour chaque p i T à l intervalle [1,t], on obtient finalement l ensemble vide. On peut choisir T = ot). Preuve : Soit M 3. Posons C M = M<p<e M 1 1 ). p Soit t 0 la valeur minimale de t telle que pour tout t t 0 : où ψ est la fonction de De Bruijn : πt/m) ψt, epm)) ψt, M), ψ, y) :=#{n : P + n) y}, où P + n) est le plus grand facteur premier de n. Cela est possible car en posant u = ln t, ln M on a t = M u, et en comparant les deu fonctions, on a d un côté πt/m) =πm u 1 ) M u 1 M u 1 et de l autre côté ψt, epm)) ψt, M), fonction qui est égale au u 1) ln M ln t cardinal des entiers t dontladécomposition en facteurs premiers ne fait intervenir que des premiers compris entre M et epm). On peut majorer trivialement cette fonction : on cherche les entiers α vérifiant M α t, c est-à-dire α ln t. L eposant α varie entre ln M donc [u] + 1 choi) pour chaque p ]M,epM)[. Ainsi 0et ln t ln M ψt, epm)) ψt, M) u +1) πepm)) πm).

77 76 P. Dusart De plus, quand t tend vers l infini M fie), u +1) πepm)) πm) M u 1 ln t. Donc, il eiste t 0 tel que, pour t t 0 avec M fié, on a πt/m) ψt, epm)) ψt, M). Etape 1 On enlève à l intervalle [1,t] la classe de congruence 0 pour les p tels que 1 p M; e M p t/m. On enlève ainsi tous les multiples de p et p lui-même dans l intervalle [1,t]. Il reste dans cet intervalle deu ensembles : a) = les premiers >t/m; b) = les entiers n dont tous les facteurs premiers sont compris dans l intervalle ]M,e M [. Posons N = carda) +cardb). On a cardb) = {n t n = M<p i <epm) p α i i } = ψt, epm)) ψt, M). En prenant t t 0,ona N = πt) πt/m)+cardb) πt). Etape 2 Maintenant, utilisons les p tels que M<p<e M. Prenons p suivant M. On choisit la classe modulo p qui touche le plus d éléments de l ensemble restant. Cette classe contient au moins N/p éléments. On enlève tous les éléments appartenant à cette classe. Il reste alors au plus N1 1/p) éléments. En réitérant ce procédé pour tous les p ]M,e M [, il reste à la fin au plus NC M éléments. Etape 3 On enlève les C M N points restants un à un en utilisant un nouveau p i >t/m à chaque fois : pour un point n restant, on l enlève en choisissant j i n mod p i ). Conclusion : l ensemble des nombres premiers utilisés pour cribler totalement l intervalle [1,t] est de cardinal au plus égal à πt/m)+c M πt) 1/M + C M )πt), qui peut être aussi petit que l on veut par rapport à πt) car, d après le théorème de Mertens, C M ln M M.

78 2.2. Conjecture des k-uples 77 On a donc montré que πt )=oπt)). En appliquant le lemme 2.1 à la fonction π), il vient que πt )=oπt)) T = ot), ce qui achève la preuve. Lemme 2.3 Définissons T comme dans le lemme 2.2. Alors, si on se donne un entier a>0, il eiste un entier b tel que chaque terme de la progression arithmétique b + a, b + 2a,..., b+ ta est divisible par un premier p T. Preuve : D après le lemme 2.2, tout l intervalle [1,t] est recouvert avec la réunion de congruences j i mod p i ). Prenons un entier n [1,t]. Il est enlevé par une congruence j d un p T ; supposons qu il s agisse, par eemple, de p r. On a n j r mod p r ). Construisons c pour que n + c soit divisible par p r, c est-à-dire n + c 0 mod p r ). Il suffit de prendre c j r mod p r ) pour que n + c soit divisible par p r. Maintenant si l on veut faire la même chose pour tous les éléments de [1,t], il suffit de résoudre le système de congruences c j i mod p i ) pour i =1..πT ) grâce au théorème chinois. Avec ce choi, comme chaque élément de [1,t] est enlevé par une congruence j d un p T, chaque élément de l intervalle [c+1,c+t] est divisible par un p T. Tous les termes de la progression arithmétique ac +1),..., ac + t) sont divisibles par un p premier T Si n j i mod p i alors an + c) aj i + c) 0modp i ). On prend b = ca pour obtenir le lemme. Lemme 2.4 Soit N un entier positif. Alors il eiste un nombre 0 := 0 N) tel que pour chaque entier 0, pour tout y réel et pour chaque entier a>0, il eiste une progression arithmétique de raison a a) d une longueur t =[2N ln ], b) dont le premier terme b + a appartient à l intervalle ]y, y + ] et c) dont tous ses termes sont divisibles par des premiers ln /N. Preuve : Soit t un entier. Prenons T tel que, en enlevant une classe de congruences j i modulo p i pour chaque p i T à l intervalle [1,t], on obtient finalement l ensemble vide. En appliquant le lemme 2.2, on peut choisir T tel que : T = ot). Ainsi pour c = 1, 2N 2 il eiste A>0 tel que pour tout t A, on ait T ct. Pour epa/2n)) = 0 N), on prend t =[2N ln ] et d après le lemme 2.3, si on se donne un entier a>0, il eiste une progression arithmétique b + a,..., b+ ta dont chaque terme est divisible par des premiers p T.OrT ln /N et les propositions a) etc) sont vérifiées. t = 2N 2 [2N ln ] 2N 2

79 78 P. Dusart Montrons que c) b). Il est facile de voir que l on peut faire translater la progression arithmétique d un multiple de p sans changer les propriétés a) etc). Or p ln N p ln N p = ep p ln N )) ) ln ln ln p = ep θ = ep 1 + o1)) N N = 1+o1) N Donc on peut translater la progression arithmétique de telle sorte que le premier terme b + a tombe dans un intervalle de longueur. Nous sommes maintenant en mesure de construire un k-uple admissible super-dense. Pour cela fions deu entiers et N N 3). Prenons l intervalle ] /2,/2[ et criblons cet intervalle en enlevant tous les multiples des premiers plus petits que /N ln ). Nous allons montrer que cet ensemble, appelé ensemble résiduel, constitue un k-uple admissible super-dense si est assez grand. Lemme 2.5 L ensemble résiduel est admissible si est assez grand. Preuve : Appliquons le lemme 2.4. Prenons a = q>, t =[2N ln ] et le premier N ln terme de la suite b + q ] 3, [ en prenant y =. Le dernier terme de la suite b + tq 2 2 est plus grand que 3 car b + tq > +[2N ln ]. Ainsi b détermine une classe de 2 2 N ln congruence modulo q qui ne touche aucun élément de l ensemble résiduel, puisque tous les termes b + a,..., b+ ta sont divisibles par un p ln et donc ont déjà été enlevés de N l ensemble résiduel. Lemme 2.6 Le cardinal de l ensemble résiduel ecède π) d une valeur asymptotique supérieure à ln 2 2 N ) ln 2. Preuve : Le nombre d éléments de l ensemble résiduel est 2π/2) 2π/N ln ) + 2. Posons = 2π/2) 2π/N ln ) π). D après le théorème des nombres premiers, π) = + + o ) ln ln 2 ln 2, et ainsi = 2 /2 ln/2) +2 /2 ln 2 /2) ) /N ln 2 ln/n ln ) + /N ln ln 2 /N ln ) ln + ) ) ln 2 + o ln 2 ) = ln 2 2/N ) ln 2 + o ln 2

80 2.2. Conjecture des k-uples 79 Théorème 2.7 L ensemble résiduel construit à partir d un intervalle de longueur constitue un k-uple admissible super-dense si est assez grand. Preuve : L ensemble résiduel est admissible lemme 2.5) et super-dense lemme 2.6). Corollaire 2.3 lim p n+1 p n ln p n =+. Preuve : On veut montrer que pour tout C, il eiste une infinité den tel que p n+1 p n C ln p n. Prenons N =3C et appliquons le lemme 2.4 : il eiste m 0 tel que pour tout m m 0, en choisissant = p m, y = et a = 1) on peut construire une progression arithmétique de longueur t =[N ln p m ], de raison 1 et de premier terme B ]p m, 2p m ], dont aucun terme n est premier car divisible par un premier plus petit que ln p m /N. Soit p n le nombre premier précédant B. Ona Or B appartient à l intervalle ]p m, 2p m ] donc p n+1 p n t =[N ln p m ]. 2.11) p m p n 2p m. Il vient que ln p m 1 ln 2 ) ln p n. ln p n En supposant n 2 il suffit de prendre m 2 pour l obtenir), on obtient En reprenant 2.11), il vient ln p m ln p n /3. p n+1 p n N/3) ln p n = C ln p n. En choisissant dans le lemme un m plus grand que le dernier n trouvé pour éviter de retomber sur le même n) : il y a une infinité den vérifiant l inégalité précédente Construction de k-uples admissibles super-denses Nous avons vu précédemment qu il n y avait pas de k-uple admissible super-dense de petite longueur. En fait, J. Selfridge a montré que tout k-uple admissible super-dense avait une longueur ecédant 500 mais W. Stenberg a montré que l on pouvait en trouver de longueur plus petite que Voir [7]).

81 80 P. Dusart Premier essai : suites gloutonnes) Soit n et k deu entiers. Partons de l ensemble des entiers de 0 à n et éliminons pour les p k les éléments de la dernière classe qui reste à remplir par les éléments pris dans l ordre quand toutes les autres contiennent au moins un représentant. L ensemble des k premiers entiers de cet ensemble constitue un k-uple admissible. Eemple : Partons de I = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}. Modulo 2, la classe 0 est remplie tout de suite, donc on élimine la classe 1 : I = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}. Modulo 3, les classes 0,2 sont remplies les premières, donc on élimine la classe 1 : I = {0, 2, 6, 8, 12, 14}. Modulo 5, les classes 0,2,1,3 sont remplies les premières, donc on élimine la classe 4 : I = {0, 2, 6, 8, 12}. On trouve finalement le 5-uple admissible 0, 2, 6, 8, 12). Hélas, nous n avons pas trouvé dek-uple admissible super-dense avec cette méthode Nous avons trouvé qu une suite de longueur et de taille 1364 et π11763) = 1409). Deuième essai : Application des recherches précédentes. Vehka [17] a trouvé unk-uple admissible super-dense de longueur l = et de taille 1412 π11763) = 1409). Nous ne savons pas quelle méthode il a utilisé mais pour retrouver à peu près le même résultat prenons = Partons de l ensemble composé uniquement d entiers de l intervalle ] /2,/2] =] 5882, 5882]. Fions N =3. Otons de l ensemble tous les multiples des p / Il reste alors dans cet N ln/2) /2 ensemble les premiers de l intervalle ],/2] et leurs opposés ainsi que les unités N ln/2) ±1 car /2 76, Le nombre d éléments de cet ensemble est égal à2π/2) π ) /2 N ln/2) =2π5882) π225)) + 2 = Cet ensemble ne constitue pas encore un k-uple admissible. Pour qu il soit admissible, il faut que pour chaque premier plus petit que 1456 il eiste une classe qui ne contienne aucun élément de l ensemble. Aussi, pour chaque premier appartenant à ]225, 1456], 1) on regarde toutes les classes de congruences et on choisit celle qui touche le moins d éléments ou la dernière s il y en a plusieurs) 2) on enlève les éléments de la classe ainsi choisie. L ensemble résiduel ainsi obtenu constitue un k-uple admissible d une longueur l = et contenant k = 1415 éléments donc super-dense). Ce résultat est légèrement plus intéressant que celui de Vehka puisqu il contient plus d éléments Trouver p premier vérifiant un k-uple On dira que l entier t vérifie le k-uple si, et seulement si, tous les entiers t + a 1,t + a 2,...,t+ a k sont premiers. On ramène souvent le premier terme du vecteur àzéro par translation. Ainsi si t vérifie le k-uple a 1,a 2,...,a k ) alors p = t + a 1 vérifie le k-uple

82 2.2. Conjecture des k-uples 81 suivant : 0,a 2 a 1,...,a k a 1 ) que l on notera 0,b 2,...,b k ). Enonçons maintenant une conjecture connue : Conjecture 2.2 Conjecture des k-uples) : tout k-uple admissible est vérifié infiniment souvent avec nombre d apparitions jusqu à est un ) Ω ln k. En supposant cette conjecture vraie, une infinité de premiers vérifient tout k-uple admissible. Si on trouve effectivement un premier qui vérifie un k-uple admissible superdense, la seconde conjecture d Hardy-Littlewood : Conjecture 2.3 π + y) π)+πy) pour, y 2 est fausse cf [6]). Donnons quelques eplications sur le fondement de la conjecture 2.2. Notons K un k-uple admissible. Soit P K) le nombre d entiers plus petits que vérifiant K cf. [7]). Certains de ces nombres sont asymptotiquement donnés par les formules suivantes où c indique que l équivalence est conjecturée mais non prouvée) : P 0, 2) c 2 p 3 pp 2) p 1) 2 2 P 0, 2, 6) c P 0, 4, 6) c P 0, 2, 6, 8) c 27 2 p p 3 p 4) p 1) 4 p 5 d ln ) =1, p 2 p 3) p 1) 3 2 d ln ) 2 d ln ) =2, d 3 2 ln ) 3 d ln ) =4, d ln ) ) où les constantes peuvent être calculées avec autant de précision que l on veut Constantes d Hardy-Littlewood). Quelle est l origine de ces formules? Prenons par eemple le 4-uple 0,2,6,8). Si t vérifie ce 4-uple, les entiers t, t + 2, t + 6, t + 8 sont tous premiers. En particulier, on évite qu ils soient divisibles par 2 en choisissant t 1 mod 2). De même, on ne peut choisir ni t 0 mod 3) car t serait divisible par 3 et t=3 ne convient pas) ni t 1 mod 3) car t + b 2 = t + 2 serait divisible par 3. Le seul choi possible est donc t 2 mod 3). Cela réduit le nombre de t utilisables à une seule congruence modulo 6, mais lorsque cette congruence est choisie, cela augmente la probabilité que t, t +2,t+6,t+ 8 soient premiers par un facteur de 2 ) = 81 comparé à la situation

83 82 P. Dusart où les 4 entiers sont choisis au hasard. Cela eplique le coefficient 1 81 = 27 dans la 6 2 formule 2.12). Maintenant, pour chaque p 5, nous avons p 4 choi possibles pour éviter qu aucun des entiers t, t+2,t+6,t+8 ne soit multiple de p, comparé au p 1 choi pour chaque entier s ils sont choisis indépendamment. Cela produit un gain de facteur 1 4 p ) 1 1 p ) 4 = p3 p 4) p 1) 4. On retrouve ainsi la forme du produit infini 2.12). Voici l application des formules de Hardy-Littlewood : on calcule P K) pour =10 8 et on le compare avec les valeurs effectivement trouvées. k-uple Compté Calc. 0,2) ,2,6,8) Comment trouver p vérifiant un k-uple admissible? Fions une borne M. Construisons d abord un ensemble de congruences que doit vérifier t modulo les premiers M. Pour chaque p i M, tous les entiers t + a 1,...,t+ a k doivent être premiers, donc non divisibles par p i il faut vérifier que t = p i a 1 ne vérifie pas le k-uple). Ainsi on doit choisir t a v mod p i pour v =1..k. Or, comme le k-uple est admissible, il eiste modulo p i au moins une classe j i qui ne touche aucun élément du k-uple. La condition précédente est remplie en choisissant t j i mod p i ). A la fin, il suffit de résoudre le système t j i mod p i pour les p i M. Dans le cas où il y a plusieurs classes qui ne touchent aucun élément du k-uple, on résout plusieurs systèmes de congruences un pour chaque classe). On obtient finalement que t doit vérifier un ensemble de congruences du type t c 1,c 2,... ou c n mod p). Ensuite il suffit de faire des essais pour trouver t. Eemple : Soit K =0, 4, 6, 10, 12, 16). Regardons tout d abord modulo 2 : K mod 2 = 0, 0, 0, 0, 0, 0). La classe j 1 = 1 mod 2 ne touche aucun élément de K. On choisit donc t 1mod2. Regardons modulo 3 : K mod 3 = 0, 1, 0, 1, 0, 1). La classe j 2 = 2 mod 3 ne touche aucun élément de K. On choisit donc t 2mod3. p M

84 2.2. Conjecture des k-uples 83 Regardons modulo 5 : K mod 5 = 0, 4, 1, 0, 2, 1). La classe j 3 = 3 mod 5 ne touche aucun élément de K. On choisit donc t 3mod5. En regroupant les 3 congruences précédentes, il vient en utilisant le théorème chinois que t 7 mod 30. Essayons de voir si les nombres congrus à7mod30vérifie le 6-uple : t = 7 convient ; les nombres 7, 11, 13, 17, 19, 23) sont tous premiers. t = 37 ne convient pas ; t + a 5 = = 49 n est pas premier. t = 67 ne convient pas ; t + a 4 = = 77 n est pas premier. t = 97 convient ; les nombres 97, 101, 103, 107, 109, 113) sont tous premiers. En fait, quand on a vérifié que t = 7 convenait, il ne reste plus modulo 7 qu une classe qui ne touche pas le 6-uple : t 6 mod 7. On en déduit que t doit vérifier la congruence t 97 mod 210. On peut aller plus loin et vérifier que pour p = 11 on peut choisir t 2, 3, 7, 8 ou 9mod11. Notons l importance de l admissibilité qui permet d affirmer qu il y a toujours une classe vide et donc de ne pas tomber sur des k-uples impossibles. Pourtant c est un eercice difficile de trouver un t vérifiant un k-uple admissible super-dense car s il eiste) il est certainement très grand. J ai pourtant epérimenté cette méthode pour la recherche de t vérifiant le k-uple super-dense que j ai trouvé. Après la construction des congruences possibles pour M = 380, j ai cherché un k-uple à partir de ces congruences en éliminant les éléments du k-uple qui ne sont pas premiers nous avons un petit peu de marge car nous cherchons un t vérifiant un k-uple de taille k = 1415, mais si nous trouvons un t qui vérifie seulement un k-uple de taille k = 1410 nous aurions réussi car le k-uple reste super-dense) Quelques rassemblements denses de nombres premiers Des investigations ont été effectuées par Riesel [7] en pour trouver un rassemblement dense de premiers de grande taille. L idée est de repérer les répétitions d une séquence de premiers pris dans le début de la série. Le sujet était de découvrir une répétition de la série des premiers compris entre 11 et 67 qui est admissible. Cette recherche ne fut pas alors complète : le meilleur rassemblement trouvé fut , 13, 17, 19, 23, 37, 41, 43, 47, 53, 59 avec tous ses éléments premiers seuls les premiers 29, 31, 61 et 67 ne sont pas répétés). En 1982, la recherche fut reprise par Sten Säfholm et Demetre Betsis qui ont trouvé

85 84 P. Dusart que , 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61 convenait. La densité moyenne de cet intervalle est d un premier pour 38 entiers ce qui fait de cet intervalle, avec 14 premiers pour 51 entiers, un intervalle remarquable. Jusqu où doit on aller pour retrouver le même rassemblement que les 15 premiers entre 11 et 67? En utilisant la conjecture des k-uples nous pouvons déduire que le nombre de ces rassemblements plus petits que est approimativement de , 7. Cette ln ) 15 epression prend la valeur 1 pour avoisinant 3, , qui est l ordre de grandeur de la première répétition du rassemblement. C est un peu plus grand que ce que les recherches de 1970 avaient atteint, ce qui eplique qu aucune répétition de ce rassemblement ne fut trouvée.

86 Bibliographie [1] E. Ehrhart, On prime numbers, Fibonacci Quarterly Août 1988). [2] D. Hensley & I. Richards, Primes in intervals, Acta Arithmetica, 25.4, 1974) pp [3] C. Karanikolov, On some properties of function π), Univ. Beograd Publ. Elektrotehn. Fak., Ser. Mat. Fiz., 29-30, 1971) pp [4] E. Landau, Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Chelsea, New York 1953) Reprint.). [5] Jean-Pierre Massias & Guy Robin, Bornes effectives pour certaines fonctions concernant les nombres premiers, Publication Département Math. de Limoges et Journal Th. Nombres de Bordeau, Vol ) pp [6] Ian Richards, On the incompatibility of two conjectures concerning primes, Bulletin of American Mathematical Society, Vol. 80, Number 3 May 1974) pp [7] Hans Riesel, Prime Numbers and Computer Methods for Factorization, Birkhäuser 1985). [8] Guy Robin, Estimation de la fonction de Tchebychef θ sur le kième nombre premier et grandes valeurs de la fonctions ωn), nombre de diviseurs premiers de n, Acta Arithmetica, vol. 42, numéro ) pp [9] J. Barkley Rosser & L. Schoenfeld, Approimate Formulas for Some Functions of Prime Numbers, Illinois Journal Math ) pp [10] J. Barkley Rosser & L. Schoenfeld, Sharper Bounds for the Chebyshev Functions θ) and ψ), Math. Of Computation, Vol. 29, Number 129 January 1975) pp [11] J. Barkley Rosser & L. Schoenfeld, Abstracts of brief scientific communications, Internat, Congr. Mathematicians, Moscow 1966, Section 3, Theory of Numbers, 8. [12] Lowell Schoenfeld, Sharper Bounds for the Chebyshev Functions θ) and ψ).ii, Math. Of Computation, Vol. 30, Number 134 April 1976) pp [13] A. Schinzel & W. Sierpiǹski, Sur certaines hypothèses concernant les nombres premiers, Acta Arith., Vol. 4, Number ) pp

87 86 P. Dusart [14] A. Schinzel, Remarks on the paper : Sur certaines hypothèses concernant les nombres premiers, Acta Arith., Vol. 7, Number ) pp [15] Stanford L. Segal, On π + y) π)+πy), Transations of AMS, Vol. 104, Number 3 September, 1962) pp [16] Valeriu Şt. Udrescu, Some remarks concerning the conjecture π+y) π)+ πy), Rev. Roum. Math. pures et appl., Tome XX, Numéro 10, Bucarest 1975) pp [17] Thomas Vehka & Ian Richards, Eplicit Construction of an Admissible Set for the Conjecture that Sometimes π + y) > π) +πy)., Notices Am. Math. Soc., ) p. A-453

88 Chapitre 3 Estimation de ψ; k, l) Résumé Il s agit de compléter le travail de Ramaré & Rumely [3] non plus pour trouver une constante ε telle que, à partir d un certain rang, ψ; k, l) /ϕk) < ε mais une fonction ε) vérifiant lim ε) = 0 et plus petite que toute puissance du logarithme : ) 1 ε) =o ln a pour tout a>0. 87

89 88 P. Dusart Définition 3.1 Notons a, b) le plus grand commun diviseur de a et b. Soit ϕ la fonction d Euler définie par ϕk) = 1. 1 n k n,k)=1 Nous reprenons le travail de Ramaré & Rumely, 1996 [3] pour trouver une fonction ε) telle que, pour 0 θ; k, l) /ϕk) < ε) comme dans les travau de Rosser & Schoenfeld, 1975/76 [5], [6]). Ce résultat sera l analogue du théorème 1.1 dans les progressions arithmétiques. Ce travail s inspire donc largement de ces deu articles. En particulier, nous montrerons que, pour >1etl = 1 ou 2, θ;3,l) /2 < 0, 262 ln. Introduisons quelques notations : ρ représente toujours un zéro non trivial de la fonction L de Dirichlet, c est-à-dire un zéro tel que 0 < Rρ <1. Posons ρ = β + iγ. Soit χ) l ensemble des zéros ρ avec 0 <β<1 de la fonction Ls, χ). Pour un réel positif H donné, on dit que GRHk,H) est satisfaite si, pour tous les χ modulo k, tous les zéros non triviau de Ls, χ) avec γ H vérifient β =1/2. Si on suppose l hypothèse de Riemann généralisée est vraie, on obtient un résultat plus précis que le précédent : pour k 432 et 224 et si GRHk, ) est vérifiée alors ψ; k, l) ϕk) 11 ln 2. 32π Pour toute la suite, R désigne la constante : R =9, Lemmes introductifs Comme dans Rosser & Schoenfeld qui ont traités le cas k = 1, il faut connaître le positionnement des zéros de Ls, χ) c est-à-dire trouver un réel H tel que GRHk,H) soit vérifiée et une région sans zéro.

90 3.1. Lemmes introductifs Région sans zéro Théorème 3.1 Ramaré & Rumely [3]) Soient χ un caractère de conducteur k, H 1000 et ρ = β + iγ un zéro de Ls, χ) avec γ H alors il eiste une constante C 1 χ, H) calculable telle que 1 1 β R lnk γ /C 1 χ, H)). Eemples k H k C 1 χ, H k ) , , ,59 Preuve : Voir Définition et 3.6.6) de [3]. Remarque : Pour k 1etH k 1000, C 1 χ, H k ) C 1 χ 0, 1000) 9, 14. Nous choisirons pour toute la suite C 1 k) = min C 1 χ, H χ ). χ mod k GRHk,H) etnt,χ) Lemme 3.1 McCurley [1]) Soient C 2 =0, 9185 et C 3 =5, 512. Posons F y, χ) = y ln ) ky π 2πe et Ry, χ) =C2 lnky)+c 3. Soient χ est un caractère de Dirichlet de conducteur k, T 1 un nombre réel et NT,χ) le nombre de zéros β + iγ de Ls, χ) dans le rectangle 0 <β<1, γ T, alors NT,χ) F T,χ) RT,χ). Lemme 3.2 déduit de Rumely [3]) GRHk,H) est vérifiée pour H = et k 13. GRHk,2500) est vraie pour les ensembles E 1 = {k 72}, E 2 = {k 112,k composé}, E 3 = {116, 117, 120, 121, 124, 125, 128, 132, 140, 143, , 163, 169, 180, 216, 243, 256, 360, 420, 432}.

91 90 P. Dusart Encadrement de ψ; k, l) /ϕk) à l aide des zéros de Ls, χ) Théorème 3.2 McCurley [1]) Soient 1 un nombre réel, m et k deu entiers plus grands que 1, δ un nombre réel tel que 0 <δ< 2 et T un réel positif. Posons m Am, δ) = 1 ) m m 1 + jδ) m ) δ m j j=0 Supposons que GRHk,1) soit vérifiée. Alors ϕk) ma ψy; k, l) y 1 y ϕk) < Am, δ) χ + 1+ mδ 2 ρ χ) γ >T ) χ β 1 ρρ +1) ρ + m) ρ χ) γ T où χ représente la sommation sur tous les caractères modulo k, et fk) = p k 1. p 1 R = ϕk)[fk)+0, 5) ln +4lnk +13, 4] Forme plus eplicite de l encadrement. β 1 ρ + mδ 2 + R/ Le lemme suivant peut être trouvé dans [3] à la différence près que ces auteurs supposent GRHk,H) alors qu ils n utilisent en fait que GRHk,1). Comme nous aurons besoin de l appliquer pour T>H, nous en avons réécrit la preuve. Lemme 3.3 Soit χ un caractère modulo k. Supposons que GRHk,1) soit vérifiée. Alors, pour T 1, ona 1 ρ ẼT ) γ T ρ χ) avec 1 ẼT )= 2π ln2 T )+ ln 2π) k lnt )+C π ln ) ) k π 2πe + C2 ln k + C 3. Preuve : Pour γ 1, comme nous avons GRHk,1), γ 1 ρ χ) 1 ρ γ 1 ρ χ) 1 1/2+iγ 2N1,χ).

92 3.1. Lemmes introductifs 91 Pour γ > 1, 1< γ T ρ χ) 1 T ρ 1 dnt, χ) t = T 1 Nt, χ) dt + NT,χ) t 2 T N1,χ). 1 Donc γ T ρ χ) 1 T ρ 1 Nt, χ) dt + NT,χ) + N1,χ). t 2 T On conclut en utilisant le lemme 3.1 : T 1 T Nt, χ) F t, χ)+rt, χ) dt dt t 2 1 t 2 = 1 T lnkt/2πe)) T lnkt) T 1 dt + C 2 dt + C π 1 t 1 t t dt 2 = 1 [ )] T 1 kt π 2 ln2 2πe 1 [ +C 2 lnkt) ] T T 1 + t 1 1 t dt 2 + C 3 [ 1/t] T 1 = 1 2π ln2 T + 1 ) k π ln ln T + C 2 lnkt) ) +lnk 1/T +1 2πe T +C 3 1 1/T ) On majore de la même façon, et Finalement, on obtient γ T ρ χ) 1 ρ 1 2π ln2 T )+ ln NT,χ) T par F T,χ)+RT,χ) T N1,χ) par F 1,χ)+R1,χ). ) k ) ) 2πe 1 k lnt )+C 2 +2 π π ln + C 2 ln k + C 3 C 2 /T. 2π Utilisons le fait que, si ρ est un zéro de Ls, χ) alors ρ est aussi un zéro de Ls, χ) et que ces deu zéros sont symétriques par rapport à la droite Rz) =1/2, pour obtenir le lemme 3.4 directement issu de [3].

93 92 P. Dusart Lemme 3.4 Soit φ m t) = 1 ) ln ep t m+1 R lnk t /C 1 k)) avec R =9, Alors 3.2) γ T ρ χ) β γ m+1 + γ T ρ χ) β γ m+1 γ T ρ χ) φ m γ)+ γ T ρ χ) 1 γ m+1. Réécrivons le lemme 7 de [5], pour qu il soit adapté au fonctions F y, χ) etry, χ) que nous utilisons. Lemme 3.5 Posons Ny) = Ny, χ), F y) = F y, χ) et Ry) = Ry, χ). Soit 1 < U V et φy) une fonction positive et différentiable pour U<y<V. Soit W tel que W y)φ y) 0 pour U<y<V,où W n appartient pas nécessairement à [U, V ]. Soit Y l un des nombres U, V, W qui n est pas plus grand que les deu autres ni plus petit que les deu autres. Choisissons j =0ou 1 selon que 1) j V W ) 0. Alors U< γ V φγ) 1 π V U φy)ln ) ky V dy + 1) j C 2 2π U φy) y dy + B jy,u,v ) où B j Y,U,V )={1+ 1) j }RY )φy )+{NV ) F V ) 1) j RV )}φv ) {NU) F U)+RU)}φU). Preuve : Nous avons U< γ V V φγ) = Ny)φ y)dy + NV )φv ) NU)φU). U j =1. OnaW > V et donc Y = minv,w) =V. Or, d après le lemme 3.1, Ny) F y) Ry). φγ) [Ny) F y)+ry))φy)] V U + 1 ) V ky V ln φy)dy R y)φy)dy π U 2π U U< γ V car F y) =ln ) ) ky 2πe +1=ln ky 2π. De plus, V V R y)φy)dy = C 2 U U φy) y dy.

94 3.1. Lemmes introductifs 93 j =0. OnaV > W et donc Y = mau, W ). Coupons l intégrale en Y. De cette façon, φ y) 0 pour y [U, Y ]et φ y) 0 pour y [Y,V ]. Remplaçons Ny) par F y) Ry) dans la première partie et par F y)+ry) dans la seconde ; nous obtenons φγ) 1 ) V ky V Y ln φy)dy + R y)φy)dy R y)φy)dy π U 2π Y U U< γ V +B 0 Y,U,V ). De plus, et V Y R y)φy)dy 1) j C 2 V Y R y)φy)dy 0. U U φy) y dy Théorème 3.3 Soient k 1 un entier, H 1000 un nombre réel. Nous supposerons que GRHk,H) est vérifiée. Soient 0 un réel, m un entier 1 et δ>0 un nombre réel tel que 0 <δ< 0 2)/m 0 ) et Y défini comme au lemme 3.5. Posons Ã = 1 ) ky φ m y) φ m y)ln dy + C 2 dy 3.3) π H 2π H y B H = B 0 Y,H, ) 3.4) ) ) 1 kh C H = ln +1/m 3.5) mπh m 2π D H = 2C 2 lnkh)+2c 3 + C ) 2 /H m+1 3.6) m +1 Alors, pour tout 0, nous avons ϕk) ma ψ; k, l) y Ã Am, δ)ϕk) + BH + C H + 1 y ϕk) 2 D H )/ ) + 1+ mδ ) 2 ϕk)ẽh)/ + mδ 2 + R/. Preuve : Reprenons le résultat du théorème 3.2 : ϕk) ma ψy; k, l) y 1 y ϕk) < Am, δ) χ + 1+ mδ 2 ρ χ) γ >H ) χ β 1 ρρ +1) ρ + m) ρ χ) γ H β 1 ρ + mδ 2 + R/

95 94 P. Dusart Prenons chaque morceau séparément : Par le lemme 3.4, ρ χ) γ >H β 1 ρρ +1) ρ + m) 2 γ H ρ χ) φ m γ)+ 2 γ H ρ χ) 1 γ m+1. Posons, pour m 0, W m = C 1k) epx/ m +1). 3.7) k En appliquant le lemme 3.5 avec U = H, V = et W = W m, φ m γ) Ã + B H. Par intégration par parties, Par le lemme 3.2, γ H ρ χ) γ H ρ χ) ρ χ) γ H 1 γ m+1 C H + D H. β 1 ρ < ẼH)/ Terme prépondérant : Ã Pour majorer le terme prépondérant, nous allons procéder de la même façon que Rosser & Schoenfeld en utilisant des majorations d intégrales. Les trois lemmes suivants sont directement issus de [5]. Lemme 3.6 Fonctions proches de celles de Bessel) Posons K ν z,u) = 1 t ν 1 H z t)dt 2 u où z>0,u 0 et H z t) ={Ht)} z = ep{ z t +1/t)}. 2 De plus, on trouve que K ν z,0) = K ν z) qui est une notation standard pour les fonctions de Bessel du second ordre. Rappelons que π K 1 z) 2z ep z) 1+ 3 ) 3.8) 8z π K 2 z) 2z ep z) z ) 3.9) 128z 2

96 3.1. Lemmes introductifs 95 Lemme 3.7 Ainsi K ν z,) K ν z) ν 0). K ν z,)+k ν z,) =K ν z). Lemme 3.8 Rosser & Schoenfeld, 1975) Soit Q ν z,) = ν+1 ep{ zt +1/t)/2}. Si z>0 et >1 alors et K 1 z,) <Q 1 z,) K 2 z,) < +2/z)Q 1 z,). Le terme prépondérant peut s eprimer à l aide de ces fonctions proches de celles de Bessel. Posons X = ln, z R m =2X m =2 m ln et U R m = 2m z m ln ) kh C 1 k) = Rm ln ) kh ln C 1 k). Lemme 3.9 Ã = 2 ) m ln k K 2 z m,u m ) π Rm C 1 k) + 2 ) ) m π ln C1 k) ln k K 1 z m,u m ) 2π Rm C 1 k) ) m+1 ln k +2C 2 K 1 z m+1,u m+1). Rm +1) C 1 k) Preuve : Ce ne sont que de simples manipulations algébriques ; par eemple, on calcule I = H C 2 ep ym+1 ln R lnky/c 1 k)) ) dy y. On réalise le changement de variable : t = dt = Rm +1) ln ln Rm +1) ln dy y ; ky ) C 1 k)

97 96 P. Dusart on obtient ) ln ep R lnky/c 1 k)) ln = ep Rt/ Rm+1) ln = ep m +1)ln 1 R t = ep zm+1 2 ) 1 t et d où ) m+1 1 k y = ep m+1 C 1 k) I = U m+1 C 2 m +1) ln Rm +1) t Rm+1) ln = ) m+1 k ep C 1 k) ) m+1 ) k zm+1 ep t +1/t) dt. C 1 k) 2 t z m+1 2 ), Etude de fk) intervenant dans l epression R. Rappelons que fk) = p k 1. p 1 Proposition 3.1 Pour k entier 1, 1) fk) ln k, ln 2 2) soit N i = n i p n alors pour k<n i+1 alors 3) Soit ωn) = p n 1 alors in=1 ln p n fk) fn i ). ln 2 fk) fn ωk) ). Preuve : Montrons par récurrence que fk) ln k ln 2. Pour k = 1, cela convient. Pour k =2,fk) =1 ln 2 ln k. Supposons que fk) pour ln 2 ln 2 k n. Majorons fn + 1). Si n + 1) est premier, alors fn +1)=1/n ln n/ ln 2. Si n +1) est composé, il est divisible par un p n. Etudions les différents cas :

98 3.1. Lemmes introductifs 97 Si p = 2 et 2 α n +1, ) ) n +1 n +1 fn +1) = f 2 α = f + f2) 2 α 2 α ) n +1 lnn +1) = 1+f 2 α ln 2 lnn +1) ln 2 Si p>2etp α n +1, ) ) n +1 n +1 fn +1) = f p α = f + fp) = p α Il reste à prouver que fk) fn i 1 ). k se décompose en facteurs premiers : p α +1 ln 2 ln 2 ) 1 n +1 p 1 + f lnn +1)+ 1 p α p 1 ln p lnn +1) 1 car ln p<0 pour p>2 ln 2 p 1 k = q α 1 1 qr αr avec les q i premiers q i+1 >q i )etα i > 0. Montrons que si k N i+1 1 alors r i. Supposons que r>i. Alors k q 1 q r 2 3 p i p i+1 p r N i+1 d où une contradiction. Or p 1 q 1 1 p q 1 1 p 2 q 2 1 p q 2 1. En faisant la somme, on déduit que fn i ) fk). On appliquerait une même méthode pour ωn) sauf que dans ce cas, on sait que r = i. Autre méthode : remarquer que f est additive : fmn) =fm)+fn) sim, n) =1.

99 98 P. Dusart 3.2 Méthode avec m =1. Théorème 3.4 Soient X = ln, H 1000, k entier H et R ε =2 kϕk) C 1 k) 1+ 1 ) π 2X 15/16 + lnc 1k)/2π))) X 3/4 ep X). On suppose que GRHk,H) est vraie. Si ε 0, 588 et X 2ln ) kh C 1 k) alors ψ; k, l) /ϕk) ε/ϕk). Preuve : Prenons m =1. SiW 1 H alors Y = H et B H =F H)+RH) NH))φ 1 H). Si W 1 >H alors Y = W 1. Pour y>e e, Ry)/ ln y décroit. B H < 2RY )φ 1 Y ) < 2 RH) ln H φ 1W 1 )lnw 1 = 2 RH) )) X ln H 2 +ln C1 k) φ 1 W 1 ) k = 2 RH) )) X ln H 2 +ln C1 k) k/c 1 k)) 2 ep 2 2X) k Des deu valeurs ) de B H, on ne conservera que la valeur précédente en supposant X 2ln kh C 1 k). D autre part, en substituant dans le lemme 3.9 les majorations 3.8) et 3.9) ) [ k π Ã < 2 C 1 k) 4X ep 2X) X ) X 2 /π 512X π ln C 1k) π 2π X kx π +C 2 C 1 k) 2 < 1 π 4X ep 2X) 1+ 3 ) 16X )] 4 2X ep 2 3 2X) X [ ) ] lnc 1k) 1 = F 1. 2π 2X k C 1 k) X3/2 ep 2X) Remarquons plus précisément que voir lemme suivant) Ã + B H + C H + D H +3ẼH))/ + R 2 ϕk) <F 1. Il reste à choisir δ pour optimiser A1,δ) ϕk)f 1 + δ/2. 2

100 3.2. Méthode avec m =1. 99 Posons f = ϕk)f 1 ; il revient àrésoudre une équation du second degré ayant pour solution δ = f+ 2f ; l autre solution négative étant écartée vu que δ est petit < 1) et 1 f positif, on obtient ε) <δ. On montre facilement que pour 0 f<0, 588, f + 2f 1 f < 2 f. Il est clair que δ satisfait au hypothèses puisque 0 <δ<0, 54 < 2. Lemme 3.10 Ã + B H + C H + D H +3ẼH))/ + R 2 ϕk) <F 1. Preuve : Montrons que Ã + B H <F 1. F 1 = Ã < k C 1 k) π X3/2 e 2X /16 + lnc 1 k)/2π))/x +225/ lnc 1k)/2π)+ 1 4 ln2 C 1 k)/2π))/x 2) k C 1 k) π X3/2 e 2X X X + lnc 1k)/2π)1/X +3/16X 2 )) 2 kπ +C 2 C 1 k) 2 ep 2 2 1)X)1/X +3/16 ) 2X 2 ) 2 B H < k πc1 k) X3/2 ep 2X) ep 2 2+1)X) [ 2k π C 1 k)lnh C 2 lnkh)+c 3 ) )] 2X X X lnc 1k)/k) D où F 1 Ã B H > 0si 1 15 X ) 32 ln C1 k) 2π + 1 )) C1 k) 4 ln2 2π

101 100 P. Dusart > C 2 πk C 1 k) ep )X) 2X π X + 3 )+2 1+ ln k + C ) 2/C X3/2 ln H > C 2k π C 1 k) ep )X) 18, 2 2X pour C 1 k) 32π, X 2 ln1000/32π) etk H. Cela revient à voir si Or, pour X 2ln ) kh C 1 k), La fonction 1 C 1 k) kc 2 π 18, 2 15/ ) >X 3/2 ep 2 2 1)X). X 3/2 ep 2 ) 3/2 kh 2 1)X) < X 3/2 C 1 k) 2C1 k)lnkh/c 1 k)) k H = 1 k 1 2C1 k) lnkh/c 1 k)) k H 2 X ln C ) 1k) k ) 3/2 ) 3/2 est maimale pour k = e 3 C 1 k)/h. Ainsi X 3/2 ep 2 2 1)X) < C 1k) kh 3 2) 3/2 /e 3/2. Il faut donc comparer 1 15/ ) avec 3 2) 3/2. C 2 π 18, 2 He 3/2 Comme C 1 k) 9, 14 et C 2 =0, 9185, il reste à voir si 0, 1843 > 3 2) 3/2 He 3/2 0, 002) ce qui est le cas comme H Le reste C H + D H )/ +3ẼH))/ + R 2 est négligeable... ϕk) Majoration des termes Am, δ) ϕk) C 2 H + D H )+ 3 ẼH) ϕk) 2 + R/ dans la méthode m =1.

102 3.3. Méthode avec m = a On a supposé X 2ln kh C 1 k) Reste = C H + D H +3ẼH)) + R/ Traitons le cas k 1. Comme X 2ln ) kh C 1 k), ) d où Reste ln H ln k) 2 ) et C1 k) 32π donc X 2ln ) π 3, On ep X 2 kh C 1 k), ln H ln k)2 ) 2 epx 2) kh C 1 k) Posons K = 0, Comparons maintenant { ln H ln k) 2 si k 1 ln H) 2 si k =1 ) 2 epx 2) C1χ) 2 1 ln 1000 e , 0653 epx 2) car C 1 k) 32π. ϕk) K epx 2) = ϕk)k epx 2 RX 2 /2) avec kϕk) C 1 k) π X3/4 ep X). Remarquons d abord que k ϕk)c 1 k) 1 π 32π π. Calculons c tel que 0, 0653 epx 1 2 RX 2 /2) c 32π π X3/4 ep X) c K 32π π epx 2 RX 2 /2+X)X 3/4 c 7, Le reste est négligeable et est absorbé par les arrondis. 3.3 Méthode avec m =2. Corollaire 3.1 Corollaire du lemme 3.5) Si, en plus des hypothèses du lemme 3.5, on a 2π <U alors k φγ) { 1/π + 1) j qy ) } V φy) lny/2π)dy + B j Y,U,V ) U< γ V U

103 102 P. Dusart où qy) = 1) j C 2 y ln ky 2π). Preuve : 1) j R y) ln 2π) ky 1)j C 2 y ln 2π) ky si ky 2π > 1. Lemme 3.11 Soit Am, δ) définie par la formule 3.1). Posons R m δ) = δ) m+1) m. Alors Am, δ) R mδ) δ m. Preuve : La preuve de ce lemme apparaît dans [4] p Théorème 3.5 Soit k un entier plus grand que 1. On rappelle que R =9, Soit H On suppose que GRHk,H) est vérifiée. Soit C 1 k) défini dans le théorème 3.1. Soient X 0, X 1, X 2 et X 3 vérifiant e X 0 = H kϕk) X0 2πC 1 k), e X1 X 1 =10ϕk), X 2 = kc 1 k)/2πϕk)), X 3 = 2kπe C 1 k)ϕk). Soit C = minc 1 k), 32π) et X 4 = ma10,x 0,X 1,X 2,X 3 ). Posons Alors pour tous les tels que X = ln R k εx) =3 ϕk)c X1/2 ep X). X 4 on a ψ; k, l) /ϕk), θ; k, l) /ϕk) <ε ln. R Corollaire 3.2 Reprenons les mêmes notations que dans le théorème 3.5. Soit X 5 X 4. Soit c = εx 5 ). Pour eprx 2 5), ψ; k, l) /ϕk), θ; k, l) /ϕk) < c.

104 3.3. Méthode avec m = Preuve : L idée est de choisir m = 2 et de couper judicieusement l intégrale en 2 parties avec des majorations optimales sur chaque partie. Prenons T de la même forme que celle de W m formule 3.7)). Posons T = C 1k) epνx). k On suppose que T H et que 1/ m +1 ν 1 pour que W m T W 0. On reprend le théorème 3.2 et on coupe les sommes en T : = Am, δ) χ ρ χ) γ >T 1+ mδ ) 2 χ β 1 ρρ +1) ρ + m) + 1+ mδ ) 2 χ ρ χ) γ H β 1 ρ + ρ χ) H< γ T β 1 ρ +Am, δ) β 1 χ ρ χ) ρρ +1) ρ + m) γ >T 1+ mδ ) ϕk)ã1 + Am, δ)ϕk)ã2. 2 ρ χ) γ T β 1 ρ 1ère partie : Ã 1 = ρ χ) γ T β 1 ρ = ρ χ) γ H β 1 ρ + ρ χ) H< γ T β 1 ρ ρ χ) γ H 1 ρ / ẼH)/ ẼT )/ ρ χ) H γ T ρ χ) H γ T ρ χ) H γ T 1 γ / φ 0 γ). φ 0 γ)+ ρ χ) H γ T ρ χ) H γ T φ 0 γ) 1 γ En appliquant le corollaire 3.1 j =1,m=0) ρ χ) H γ T De plus, B 1 T,H,T) < 2RT )φ 0 T ). T φ 0 γ) ={1/π qy )} φ 0 y) lny/2π)dy + B 1 T,H,T). H

105 104 P. Dusart Nous allons majorer ) 1 ) T ky I 1 = π qy ) φ 0 y)ln dy. H 2π Posons V = X 2 / ln ) kt C 1 k) = X/ν = Y 2X νx où Y = X1 ν) 2 /ν. Posons U = X 2 / ln ) kh C 1 k) et Γν, ) = e u u ν 1 du. Or, V U ln ) ky φ 0 y)dy = 2π V U ln ) ) ky ky ep X 2 / ln ) dy 2π C 1 k) y = X 4 {Γ 2,V ) Γ 2,U )} ) +X 2 C1 k) ln {Γ 1,V ) Γ 1,U )} 2π en posant y = C 1k) epx 2 /y). Or, si ν 1et>0 alors Γν, ) ν 1 k e t dt = ν 1 e. Ainsi, nous avons ) ) V ky ln φ 0 y)dy X 4 V 3 e V + X 2 C1 k) ln V 2 e V. U 2π 2π D où ) I 1 1/π + qy ))X 2 X 2 V 3 C1 k) +ln 2π ) kt X 1/π qt ))e Y e 2X 4 C 1 k) X/ν) + 3 ) kt = 1/π qt ))e Y e 2X XG 0 C 1 k) ) kt 1/π + qt ))e Y e 2X XG 0 C 1 k) V 2 V )e ) dx2 X/ν) 2 où d =ln ) C 1 k) 2π et G0 = ν 2 ν + d/x). Enfin, Ã 1 ẼT )/ + 1 { ) } kt 1/π + qt ))e Y e 2X XG 0 +2RT )φ 0 T ). 2 C 1 k) 2ème partie : Soit Ã 2 = ρ χ) γ >T β 1 ρρ +1) ρ + m).

106 3.3. Méthode avec m = Par le lemme 3.4, Ã 2 2 D après le corollaire 3.1 j =0) ρ χ) γ >T φ m γ)+ 2 ρ χ) γ >T 1 γ m+1. ρ χ) γ >T φ m γ) {1/π + qy )} φ m y) ln ky T 2π )dy + B 0Y,T, ). On verra par la suite que m = 2 et donc que De plus, Etudions plus particulièrement T B 0 T,T, ) < 2RT )φ 2 T ). ρ χ) γ >T φ m y) lnky/2π)dy = z2 m 2m 2 1 γ m+1 C T + D T. ) m k K 2 z m,u m )+ 2md ) K 1 z m,u m ) C 1 k) z m où d =ln ) C 1 k) 2π et Um = 2m z m ln ) kt C 1 k) = ν m = U. Ecrivons, en posant z = z m et en utilisant le lemme 3.8, K 2 z,u )+ 2dm z K 1z,U ) < U +2/z +2dm/z)Q 1 z,u ) m ν + 1+dm ) U 2 mx zu 2 1) ep z ) 2 U +1/U ). Or z 2 U +1/U )=X mν m +1/ν m)) = mνx + X/ν = mνx +Y +2X νx), où Y = X1 ν) 2 /ν, d où où G 1 m z K 2 z,u )+ 2dm ) m 1) z K 1z,U ) <G 1 e Y m kt 2m 1) X 1 e 2X C 1 k) = m 1 m U 2 zu 2 1) = 1 2 X 1. On a donc T ) ν + 1+dm mx = m 1)ν 2 mν 2 1 φ m y) lnky/2π)dy < G 1e Y ) ν + 1+dm mx car e νxm 1) = ) m 1 kt C 1 k) et m 1 k C 1 k) Xe 2X T m 1).

107 106 P. Dusart Soit G 2 = Rmδ) 2 m 1 + πqt )). Il vient, en utilisant le lemme 3.11, Am, δ) ϕk) 2 1/π + qt )) φ m y) lnky/2π)dy < T ) 2 m { ϕk) G2 kg 1 e Y } δ 2 π m 1)C 1 k) Xe 2X T m 1). En rassemblant les résultats de la première et de la deuième partie, il vient ) 2+mδ ϕk) Ã 1 + Am, δ)ã2 2 < XG 2e 2X e Y ) { ) ϕk) k G1 2 m } 2π C 1 k) m 1 T m 1) + G 0 T + r δ car 1 + mδ/2 <R m δ)/2 m <G 2 /π, avec r = ϕk)1 + mδ/2)rt )φ 0 T )+Am, δ)ϕk)rt )φ 2 T ) + ϕk) 1 + mδ/2)ẽt )+Am, δ) C T + D T )/2). Supposons que G 0 /G 1 soit indépendant de ν ; l epression entre accolades est minimale pour T =G 1 /G 0 ) 1/m 2. Avec ce choi, δ ) G 1 2 m m 1 T m 1) + G 0 T = m δ m 1 G1/m 1 G 1 1/m 2 0 δ et on obtient ) 2+mδ ε 1 = ϕk) Ã 1 + Am, δ)ã mδ < { } 1 2 mg 2 Xe 2X e Y 2kϕk) δm 1)πC 1 k) G1/m 1 G 1 1/m 0 + δ + r. L epression entre accolades est minimale pour On écrit donc δ = T = { } 1/2 G 1 1/m 0 G 1/m 1 e Y 2kϕk) X 1/2 e X. m 1)πC 1 k) G1 G 0 ) 1/2m ) 1/2 2C1 k) kϕk) m 1)πeY /G 0 X 1/2 e X

108 3.3. Méthode avec m = et Y 2kϕk) πc 1 k) On choisit m = 2 pour minimiser l epression convenable. D une part, ε 1 <G 2 G 1 1/m 0 G 1/m 1 e T = G1 G 3 0 avec Y = X1 ν) 2 /ν et d autre part ) 1/2 m m 1 X 1/2 e X + r. 3.10) m m 1. ) 1/4 e Y/2 2πC 1 k) kϕk) X 1/2 e X Regardons si le choi de T est T = C 1k) epνx). k Les deu équations sont compatibles si et seulement s il eiste ν tel que fν) =1où fν) = C 1k)ϕk) 2πk ) G 3 1/2 0 Xe X1 ν)2 /ν e 2X1 ν). G 1 Si 1/ 2 <ν 1, il n est pas difficile de voir que G 1 décroît lorsque ν augmente. Aussi, fν) est strictement croissante pour ν ]1/ 2, 1]. De plus, lim + ν 1/ 2) fν) = 0 et f1) > 1 pour tout X 1). Il en résulte qu il eiste un unique ν ]1/ 2, 1] tel que fν) = 1. Pour 1/ 2 <ν 1, nous avons m =2) Posons Etudions Hν 0 ). Hν) = G3 0 = [ν2 ν + d/x)] 3 G ν 2 1+2d 1 ν + ) < ν + d/x)2. 2ν 2 1 2X ν 0 =1 1 2X ln C1 k)ϕk)x 2kπ ). Hν 0 ) < 1 si ν + d/x c est-à-dire pour 1 1 2X ln C1 k)φk)x 2πk ou encore X> kc 1k) 2πφk). ) + lnc 1k)/2π) X < 1 Comme fν) = C 1k)ϕk) 2kπ ) G 3 1/2 0 X ep X1 ν) 2 /ν) ep 2X1 ν)), G 1

109 108 P. Dusart ) G 3 1/2 ) ) fν 0 )= 0 ep ln 2 C1 k)ϕk)x /4ν 0 X). G 1 2kπ Pour X > kc 1 k)/2πϕk)), fν 0 ) < 1=fν) et donc les égalités sont vraies si T > C 1 k) epν k 0 X) >H k.or C 1k) 2πC epν k 0 X)= 1 k) kϕk) ex 1 2 ln X. Soit X 0 vérifiant e X ln X 0 = H kϕk) k 2πC 1 k). On choisit X max 0, 10). On suppose que X 2kπe pour que ν C 1 k)ϕk) 0 soit une fonction croissante de X et que C 1 k) 32π alors ν 0 > 0, 746 et ν 0 <ν<1. Nous cherchons à évaluer K = G 2 G 0 G 1 e Y ) 1/ ) ν 0 G 0 G 1 < 1 + d/x) 2ν0 2 1 < 8, 995. ν d 2X Dans plusieurs calculs suivants, nous utiliserons les majorations suivantes : ) 1. kϕk) X 2πC 1 k) X1/2 ep X) ex ln kϕk) kϕk) H 2πC 1 k) X1/2 ep X) 2πC 1 k) 1 H, δ = 2 G 4 0 G 1 ep Y/2) kϕk) 2πC 1 k) X1/2 e X 2 3/H, G 2 = R 2δ) πqt )) < 1 + 3, 006 δ/2) πqt )),

110 3.3. Méthode avec m = car R 2 δ) 2 2 = = { 1 + δ) 3 +1 } 2 2 { )} 2 δ3 + 3δ + δ2 < 1+ ) 3, δ 2 comme 1 + δ + δ 2 /2 < 1, 002, 4. qt ) < q C1 k) e 0X) ν k = C 2 C 1 k) e k ν 0X ln C 1k) 2π eν 0X ) C 2 G 3 T lnkh/2π)) = C 0 2 G 1 ) 1/4 e Y/2 kϕk) 2πC 1 k) X1/2 ep X)/ ln H 2π ). Or G3 0 G 1 < ν + d/x) ln16)/10) 2, ep Y/2) 1etH 1000, il vient 1+πqT ) < 1+ πc ln16)/10 kϕk) ln1000/2π)) 2πC 1 k) X1/2 ep X) < πc 2 1+ ln1000/2π)) ln On obtient la majoration suivante K < 3G 2 < πc ln1000/2π)) < 1, ln , En remplaçant cette majoration de K voir formule 3.11) dans 3.10), on obtient ε 1 < 2 2 π K kϕk) C 1 k) X1/2 ep X)) + r < 2, C 1 k) X1/2 ep X)) + r Majoration des termes 1 + mδ/2)rt )φ 0 T )etam, δ)rt )φ 2 T ). ) 2

111 110 P. Dusart Rappelons que RT ) = C 2 lnkt)+c 3, φ 0 T ) = 1 T ep X 2 / lnkt/c 1 k)) ), φ m T ) = φ 0 T )T m. Or et d où φ 0 T )= 1 T ep X2 /νx)) = 1 T ep 1 ν X) 1 T ep X) 1 T = X1/2 ep X) kϕk) C 1 k) G0 ) 1/2 ) 1/4 G0 2πe Y G 1 RT )φ 0 T ) C 2 lnkt)+c 3 ep X) T X 1/2 ep X) kϕk) [ ) 1/2 ) 1/4 ] G0 G0 C 2 lnkt)+c 3 ) e X. C 1 k) 2πe Y G 1 Or G 0 1+ lnc 1k)/2π), X G 0 G 1 2ν 2 1 < 1 m =2), epy ) > 1, lnkt) = νx + lnc 1 k)) X + lnc 1 k)) X + ln32π). donc, comme X 10 et C 1 k) 32π, [ ) 1/2 ) 1/4 G0 G0 1 + δ)ϕk) C 2 lnkt)+c 3 ) ep X)] 2πe Y G 1 ϕk) 1+ 2 ) ln 16/10 [C 2 X +ln32π)+c 3 ] ep X) π 0, 933ϕk)X ep X) 0, 0933 si X X 1. Le terme 1 + δ)ϕk)rt )φ 0 T ) est donc majoré par 0, 0933 kϕk) C 1 k) X1/2 ep X).

112 3.3. Méthode avec m = D autre part, G1 A2,δ)/T 2 =2 < 2 G 0 et A2,δ)RT )φ 2 T ) < R 2δ) RT )φ T ), donc le terme A2,δ)RT )φ 2 T )ϕk) est donc majoré par Les deu termes sont donc majorés par 0, 0943 kϕk) C 1 k) X1/2 ep X). r 0, 2 kϕk) C 1 k) X1/2 ep X). Majoration des termes C T, D T, ẼT ), R/. Majorons d abord fk) = p k 1, p 1 fk) ln k ln 2. Ecrivons eplicitement ces termes pour m =2,H 1000 et C 1 k) 32π. 1 3ẼT ) = 3 2π ln2 T + 1 π lnk/2π)lnt + C π lnk/2πe)) + C 2 ln k + C 3 )), ) 1 kt C T = 2πT ln +1/2), 2 2π D T = 2C 2 lnkt)+2c 3 + C 2 /3)/T 3, R/ ϕk)[fk)+0, 5) ln / +4lnk/ +13, 4] / Somme ln T ln k) 2 pour k 1 ln 2 T pour k =1 Trouvons la valeur c pour laquelle A2,δ)ϕk) ln T ln k) 2 c ) 1/2 kϕk) X 1/2 ep X) C 1 k) avec X = ln R.

113 112 P. Dusart Or A2,δ) R 2δ) δ 2 et T = G 1 G 0 ) 1/2 2 δ donc De plus, 1 = ep RX 2 /2) d où Or G 0 G 1 Or ϕk) k c R 2δ) 2 2 G 0 G 1 T 2 ϕk)ln T ln k) 2 < 1, T 2 = C2 1 k) k 2 ep2νx) C2 1 k) k 2 c R 2δ) 2 2 C 2 1k) ln k k 2 lnc 1k)/k)+X) 2 c 1 4 A2,δ) R 2δ) 2 2 T 2 G 0 G 1. ) 1/2 C1 k) X 1/2 epx RX 2 /2). kϕk) ep2x), donc on peut choisir 1, ln k k 2 1etR 2 δ) 1 + 3, 006δ/2) 2 avec δ , Comme C 1 k) 32π et X 10, il suffit de choisir ) 1/2 C1 k)ϕk) X 1/2 ep3x RX 2 /2). k 2 3 H On obtient ) 2 C 2 1k)ln C 1 k)+x) 2 C 1 k)x 1/2 ep3x RX 2 /2). c 0, Pour k = 1, on remplace la majoration ln k k 2 précédent. 1 par 1, ce qui correspond au calcul 3.4 Application pour k =3 Nous pouvons maintenant montrer et trouver les valeurs 0 et c telles que, pour 0, θ;3,l) /2 < c/ ln, ce qui n était pas possible avec les résultats de [3]. Calculons c tel que θ;3,l) /2 < c/ ln pour 0. D après le théorème 3.5, pour k =3, ε) = , 92 X1/2 ep X).

114 3.4. Application pour k = Calculons le X 0 pour lequel H 3 = 10000) epx ln X 6 0) , 51. 2π 20, 92 X 0 8, 76 convient. Calculons le X 1 pour lequel epx 1 ln X 1 ) 20. X 1 4, 5 convient. Calculons les deu autres bornes : X 2 4, 99, X 3 1, 22. Pour ln R 10, posons X = ln R, alors Cherchons la valeur de c pour laquelle εx)ln = RX 2 εx). εx) <c/ln). Pour les tels que ln R 10, c R 102 ep10) 0, 12. Olivier Ramaré m a gentiment calculé des valeurs supplémentaires : on obtient θ;3,l) /2 <c /2 avec c = pour ln >= 400 m = 3,δ = ), c = pour ln >= 500 m = 3,δ = ), c = pour ln >= 600 m = 2,δ = ). Pour e 600 e 964,59... Pour e 400 e 600 Utilisons les calculs effectués dans [3] : c 0, , 6/ϕ3) 0, 203. c 0, /ϕ3) 0, 254.

115 114 P. Dusart Pour e 400 c 0, /ϕ3) 0, 262. Pour Pour Pour Pour c 0, ln 10/ϕ3) 0, 42/2 0, 21. c 0, ln 10/ϕ3) 0, 14/2 0, 07. c 0, ln 10/ϕ3) 0, 067/2 0, θ;3,l) /2 < 2, 072 Th de Ramaré & Rumely). Théorème 3.6 Pour >1, θ;3,l) /2 < 0, 262 ln. Remarque : En utilisant uniquement les résultats parus dans [2, 3], on obtient θ;3,l) /2 < 0, 393 pour 1. ln 3.5 Résultats en utilisant GRHk, ). Sous l hypothèse de Riemann généralisée GRHk, )), des résultats plus précis peuvent être trouvés. Sous GRHk, ), on peut montrer que la fonction ψ se comporte de la façon suivante : Proposition 3.2 [7] p.294) ψ; k, l) = ϕk) + O ln 2 ). Théorème 3.7 Soit Soit k un entier. On suppose que GRHk, ) est satisfaite.

116 3.5. Résultats en utilisant GRHk, ) ) Si k 4 ln alors 5 ψ; k, l) ϕk) 1 ln 2. 4π 2) Si k 432 alors ψ; k, l) ϕk) 11 ln 2. 32π Preuve : Posons 0 = En appliquant le théorème 3.2 de la même façon que dans la preuve du théorème 3.3 on suppose T 1), ϕk) ψ; k, l) ϕk) < ε = Am, δ) χ +1 + mδ/2) χ < Am, δ) ϕk) γ >T γ >T γ <T 1/2 ρρ +1) ρ + m) 1/2 ρ + mδ/2+ R/ 1 +1+mδ γ m+1 2 )ϕk) γ <T 1 ρ + mδ 2 + R < Am, δ) ϕk) 2 C T + D T )+1+ mδ 2 )ϕk) ẼT )+ mδ 2 + R/ Prenons m = 1, on obtient, C T = 1 ) ) kt ln +1, πt 2π D T = 1 T 2C 2 2 lnkt)+2c 3 + C 2 /2), ẼT ) = 1 2π ln2 T + 1 ) ) 1 k π lnk/2π)) ln T + C 2 +2 π ln + C 2 ln k + C 3. 2πe Choisissons T = 2R 1δ) ln et δ = δ2+δ) π. Ainsi R 1 δ) 2δ C T + D T ) = 2+δ [ ) kr1 δ) ln +1 4π πδ2 + δ) ) ] πδ2 + δ) + 2R 1 δ) 2C 2kR1 δ) 2 ln +2C 3 + C 2 /2) δ2 + δ) [ ) ) 2+δ 1 + δ/2)ẽt ) = ln 2 2R1 δ) 2R1 δ) + 2 lnk/2π)) ln 4π δ2 + δ) δ2 + δ) )] 1 +2πC 2 +4π π lnk/2πe)) + C 2 ln k + C 3,

117 116 P. Dusart et donc ε ϕk) avec = 2+δ [ 2π ln 2 4π ln R1δ) ) ) k 2π +2ln ln 2+δ 2π ln k +ln ln R1δ) ) + ln ] 2+δ 2+δ R 1 δ) A) + 2+δ 4π 1+2πC 2 +4π 1 π lnk/2πe)) + C 2 ln k + C 3 )+ 2kπ A = C 2 ln ln R1δ) ) + C 3 + C 2 /4. 2+δ R1δ) ) 2+δ ln 2πϕk) + R ϕk) Soit δ 1 = ln 0 π 0. Majorons R 1δ) = 2+2δ+δ2 =1+ δ2 +δ par d 2+δ 2+δ 2+δ 1 := 1 + δ2 1 +δ 1 2+δ 1 car 0 et 2+δ ln R 1 par 1. Remarquons que ϕk) se simplifie dans tous les termes sauf dans où δ) 2πϕk) on le minore par 2. Notons ε cette majoration de ε /ϕk). Etudions la somme entre crochets pour 3 k 4 ln : 5 [ ] = [ 1 ) ) 4 ln2 +ln 2 2πd1 2πd1 +ln ln ln ln ) ) ) 4ln 2πd1 4ln +2 ln ln +ln 10π ln 10π = [ 1 ) 2πd1 4 ln2 +lnln +1/2 + ln4 ln /10π))) ln ) ) +ln 2 2πd1 4ln +2ln ln ln 10π On en conclut que lim + ln ln + ln4d 1/5) + ln A)] ) 2πd1 + ln4d 1 /5) + ln A)] ln ε ln 2 = 1 8π. La fonction représentée par l epression ε ln 2 est une fonction croissante de k. On choisit k = 4 ln. L epression précédente est une fonction décroissante de, majorée 5 par 0, pour 0. De plus, si on calcule directement le maimum de la fonction ε /ϕk)ln 2 ) pour tous les k compris entre 1 et 432 en utilisant le calcul direct de ϕk), on obtient que l epression est majorée par 0, Remarque : Si on prend k = 1 dans le théorème 3.7, on obtient une majoration deu fois moins bonne que celle obtenue par Rosser & Schoenfeld : pour >73, 2, ψ) 1 ln 2. 8π

118 3.5. Résultats en utilisant GRHk, ). 117 Pourquoi cette différence? - un calcul eact des zéros avec γ D 158 ceu qui sont prépondérants!) dans la somme 1. ρ - une meilleure connaissance de RT )k fié, k = 1). Corollaire 3.3 Pour tous les k cités dans le lemme 3.2 et 224, ψ; k, l) ϕk) 11 ln 2. 32π Preuve : On utilise le théorème de [3] : Pour tous les k cités dans le lemme 3.2 et , ψ; k, l) ϕk) et < 11 32π ln 2 pour 21.

119 Bibliographie [1] Kevin S. McCurley, Eplicit Zero-Free Regions for Dirichlet L-Functions, Journal Of Number Theory, Vol. 19, 1984) pp [2] Kevin S. McCurley, Eplicit Estimates for θ;3,l) and ψ, 3,l), Math. Of Computation, Vol. 42, Number 165 January 1984) pp [3] O. Ramaré & R. Rumely, Primes in arithmetic progressions, Math. Of Computation, Vol. 65, Number 213 January 1996) pp [4] J. Barkley Rosser, Eplicit Bounds for some functions of prime numbers, Amer. J. Math., Vol. 63, 1941) pp [5] J. Barkley Rosser & L. Schoenfeld, Sharper Bounds for the Chebyshev Functions θ) and ψ), Math. Of Computation, Vol. 29, Number 129 January 1975) pp [6] Lowell Schoenfeld, Sharper Bounds for the Chebyshev Functions θ) and ψ).ii, Math. Of Computation, Vol. 30, Number 134 April 1976) pp [7] G. Tenenbaum, Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres, Institut Elie Cartan 1990) 118

120 Chapitre 4 π) dans les progressions arithmétiques Résumé L algorithme de Meissel-Lehmer permet de calculer rapidement π). Nous le généraliserons pour calculer eactement π; k, l) c est-à-dire π) dans les progressions arithmétiques : π; k, l) = 1. p p l mod k 119

121 120 P. Dusart Définition 4.1 Soit π; k, l) = p p l mod k la fonction qui compte le nombre de premiers plus petits que congrus à l modulo k. 1 Nous montrerons dans un premier temps que Théorème 4.1 Pour l =1ou 2, i)- <π;3,l) pour 151, 2ln ii)- π;3,l) < 0, 55 pour ln Nous redémontrons de cette façon que ln <π). Nous nous intéresserons ensuite à la généralisation de la formule de Meissel-Lehmer, qui est une méthode de crible combinatoire, pour le calcul eact de π) dans les progressions arithmétiques. 4.1 Encadrement de π;3,l) Majoration Nous allons écrire ici la preuve du théorème 4.1ii). Lemme 4.1 Soit I n = a dt. Alors I ln n t n = ln n a + ni ln n a n+1. De plus, a)/ ln n I n a)/ ln n a. Théorème 4.2 Théorème 2 de [6]) Pour , pour tout k 72, pour tout l premier avec k, ma θy; k, l) y 1 y ϕk) 2, 072. De plus, pour et k =3ou 4, θ; k, l) 0, ϕk) ϕk).

122 4.1. Encadrement de π;3,l) 121 Ecrivons d abord π; k, l) π 0 ; k, l) = θ; k, l) ln) θ 0; k, l) ln 0 ) + 0 θt; k, l) t ln 2 t dt Choisissons 0 =10 5. Calculs préliminaires : θ10 5 ;3, 1) = 49753, π10 5 ;3, 1) = 4784; θ10 5 ;3, 2) = 49930, π10 5 ;3, 2) = Posons c 0 = 1, et K = ma 2 l π10 5, 3,l) θ10 5, 3,l)/ ln10 5 )) 470 atteint pour l =2. Pour 10 20, π; k, l) π10 5 ; k, l) = θ; k, l) ln θ105 ; k, l) ln10 5 ) θt; k, l) t ln 2 t dt θt; k, l) 10 5 t ln 2 t dt = 1010 θt; k, l) 10 5 t ln 2 t dt + θt; k, l) t ln 2 t dt + θt; k, l) t ln 2 t dt θt; k, l) 10 5 t ln 2 t dt < 1/ϕk) 1010 dt 10 5 ln 2 t +2, dt 10 5 t ln 2 t θt;3,l) t ln 2 t dt < c 0 ln θt;3,l) t ln 2 t dt < c 0 ln 2 = , 54 = M Ainsi π;3,l) < c 0 ln + K + M + c ln 2 + ) ln 2 < ) ) ln c 0 + ln < 0, 545 ln. K + M + c ln Pour ,ona θt;3,l) π;3,l) < K t ln 2 t dt + < c 0 + ln ln < 0, 5468 ln θt;3,l) t ln 2 t dt K + M c 0 ln ) + c ) 0 ln 2 ln 10 10

123 122 P. Dusart Or, b a Pour , Ainsi = 1 2 dt = [ 2 ] b t t ln 2 t ln 2 t 10 5 θt; k, l) t ln 2 t dt < 1 2 dt 10 5 ln 2 t +2, 072 dt 10 5 t ln 2 t ln ) ln dt dt ln 3 +2, 072 t 10 5 t ln 2 t a +4 b a Minoration dt t ln 3 t π;3,l) < 1 +2, ln ln + K ln ) ln dt ln 3 t 2 +2, 072 ln ) ln dt t ln 3 t < 0, 55 pour ln Soit KK = min l π10 5, 3,l) θ10 5, 3,l)/ ln10 5 )) 462 et c =0, = 1 0, Pour 10 10, car π;3,l) > KK + θ;3,l) ln > c ln KK > 0 et θt; k, l) t ln 2 t 10 5 θt; k, l) t ln 2 t dt dt > 0. Pour Lemme 4.2 McCurley [5]) Pour et d =0, 49585, θ;3,l) d. Remarque : cette minoration est meilleure que celle du théorème 4.2 pour 2, π;3,l) >KK+ θ;3,l) ln θt; k, l) t ln 2 t dt

124 4.1. Encadrement de π;3,l) 123 Ainsi π;3,l) > KK + θ;3,l) + ln > d + KK + ln 0 θt; k, l) 10 5 t ln 2 t dt pour 0 ) ) θt;3,l) ln 10 5 t ln 2 t dt 1 pour D après la remarque précédente, on utilisera θt; k, l) 10 5 t ln 2 t dt > d dt 10 5 ln 2 t si 105 2, et > d 2, dt ln 2 t + 1 t/2 2 t 2, t ln 2 t dt si 2, pour effectuer les calculs par tranches à l aide de Maple : que π;3,l) > 0, 499 ln pour et on trouve Petites valeurs Est-ce que 0, ln <π;3,l) < 0, 55 pour <6 ln 105? Il suffit de regarder si πp;3,l) < 0, 55 p pour p l mod 3 ln p et si 0, p <πp 1; 3,l) pour p l mod 3. ln p La plus grande valeur ne vérifiant pas la première inégalité est p = et pour la deuième est p = 151. De plus, π229869; 3,l) < 0, , 0075 et ln π151; 3,l) 16 > 0, , 01. ln 151 Conclusion 0, ln < π;3,l) < 0, ln. Remarque : on ne peut pas montrer que /2 ln ) <π;3,l) en utilisant les formules θ) <c. Nous avons obtenu des formules à l ordre 1 qui vont nous servir.

125 124 P. Dusart Minoration plus précise de π;3,l). Nous allons écrire ici la preuve du théorème 4.1i). Classiquement, Or θt;3,l) > en posant π;3,l) π10 5 ;3,l)= θ;3,l) ln) θ105 ;3,l) ln10 5 ) θt;3,l) t ln 2 t dt. ) ϕ3) 1 α ln avec α = ϕ3) 0, 262 en appliquant le théorème 3.6. Donc, KK = minπ10 5 ;3,l) θ105 ;3,l) ), l ln10 5 ) π;3,l) >J, α) =KK + 1 α ) α/ ln t ϕk)ln ln ϕk) 10 5 ln 2 dt. t La dérivée de J, α) par rapport à est égale à D autre part, la dérivée de 1 1 α/ ln + α ) ϕk) ln ln 3. ϕk)ln est égale à 1 1 ϕk) ln 1 ) ln 2. Quand est-ce que 1 1 ϕk) ln 1 ) ln 2 < 1 1 α/ ln + α ) ϕk) ln ln 3? C est-à-dire lorsque α 1 <α/ln, qui est vrai pour tout >1. Reste à trouver une valeur 1 pour laquelle 1 J 1,α) >. ϕk)ln 1 Pour 1 =10 5, J , 0.524) 4607, 75 et , 94. On vérifie avec l ordinateur 2ln10 5 pour les petites valeurs de 10 5 et l = 1 ou 2. Donc 2ln <π;3,l) pour 151.

126 4.2. Formule de calcul eact pour π;4,l) et sa généralisation Formule de calcul eact pour π;4,l) et sa généralisation Formule de Legendre Pour obtenir les nombres premiers p 1 mod 4 jusqu à un entier, il faut Première étape) Cribler avec les p C est-à-dire enlever les entiers n 0modp pour p ; p lui-même est criblé!) Deuième étape) Cribler les n 3mod4 Troisième étape) Enlever 1 qui n est pas premier et qui n est pas criblé! Eemple : On crible avec p =2 [ ] 2 nombres criblés, puis avec p =3 [ ] [ ] [ ] 3 criblés mais nouveau enlevés, puis avec p =5 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 5 criblés mais nouveau enlevés. Ainsi à la fin de la première étape, il reste de l intervalle [1,] simplement {1} premiers ], ] c est-à-dire On aboutit à la formule due à Legendre π) π ) + 1 nombres non criblés. π) π )+1= [ ] + [ ] p i p i p i <p j p i p j On utilise l idée simple que les entiers plus petits que se classent dans trois ensembles disjoints : l ensemble des premiers, des composés et des unités. Le terme [ ] p i compte le nombre d entiers divisibles par p i dans l intervalle [1,]. Comme tous les entiers composés ont tous au moins un facteur premier, on compte [ ] p i pi multiples de premiers dans cet intervalle. Dans ce compte, p i est donné comme un multiple de p i et de ce fait considéré comme composé p i =1 p i ). On rajoute donc le terme p i 1=π ). Les autres termes viennent du fait que les composés de [1,] peuvent être divisibles àla fois par p i et p j. Ils sont donc comptés deu fois dans la somme [ ] p i. On corrige en ajoutant le terme [ ] p i p j. Cette fois on en rajoute trop car les entiers de la forme pi p j p k enlevés dans [ ] [ ] p i, rajoutés dans p i p j, ne sont plus comptés comme composés! C est

127 126 P. Dusart pour cela que le terme [ ] [ ] p i p j p k apparaît et ainsi de suite... En fait, p i p j correspond au nombre de termes enlevés à la fois par p i et p j c est-à-dire les entiers n tels que { n 0modpi n 0modp n 0modp i p j j Ensuite on reprend cet intervalle criblé pour enlever les n 3 mod 4. Regardons les nombres touchés à la fois par n 3mod4etparn 0 mod 2 : il n y a pas de correspondant! Regardons les nombres touchés à la fois par n 3 mod 4 et par n 0 mod 3 : ceu sont les nombres n 3 mod 12 ; il y a donc [ ] [ ] nombres touchés. On crible donc +1 4 nombres mais seulement [ ] +1 [ ] [ ] + ci + cij + 4 4p i 4p i p j 2<p i nouveau nombres effectivement enlevés où 2<p i <p j { n 0modpi c i = solution du système chinois n 3mod4 { n 0modpi p c ij = solution du système chinois j n 3mod4 mod 4p i ) mod 4p i p j ) en prenant toujours le représentant positif c est-à-dire a mod b) = le représentant de a appartenant à[0,b]dea { a mod b si a 0 = b a mod b) si a<0 Il reste les premiers appartenant à l intervalle ], ] congrus à 1 mod 4 et {1}. Après la 3 e étape, {1} est enlevé. On aboutit à la formule π;4, 1) = [ ] [ ] + + π ;4, 1) 1 p i p i p i <p j p i p j [ ] +1 [ ] + ci + [ ] + cij 4 4p i 4p i p j p i p i <p j Eemple : Pour [7 2, ] = [49, 120], la formule devient π;4, 1) = π) π )+1+π ;4, 1) 1 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ])

128 4.2. Formule de calcul eact pour π;4,l) et sa généralisation 127 π100; 4, 1) = π100) π10) π 100; 4, 1) 1 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]) = ) =11 En ne considérant que la différence π;4, 3) π;4, 1), la formule se simplifie il n y a plus besoin de calculer π) π )) Formule générale de Meissel-Lehmer L idée de départ est de ne plus s arrêter à dans les sommes dans la formule de Legendre mais s arrêter bien avant en sommant jusqu à p a a N), le a ième nombre premier. Il faut donc voir ce qui n a pas été enlevé. Soit P m, a; k, l) le nombre d entiers de l intervalle [1,] congrus à l mod k pouvant s écrire comme un produit de m non nécessairement distincts) facteurs premiers >p a. La formule de Meissel et sa généralisation sont basées sur l analyse des P m.sim est pris successivement égal à1, 2, 3,... ces epressions vont compter tous les entiers qui n ont pas de facteurs p a congrus à l modulo k. Posons P m, a) =P m, a;1, 1) le nombre d entiers de l intervalle [1,] pouvant s écrire comme un produit de m facteurs premiers > p a. Criblons l intervalle [1,] avec les premiers p 1,...,p a. On enlève les nombres composés ayant un facteur premier p a ainsi que les premiers eu-mêmes. Ils sont en nombre de [/p i ] [/p i p j ]+ 1 i a 1 i<j a Il reste 1 et les entiers ayant uniquement des facteurs premiers >p a. Ils sont au nombre de 1+P 1, a)+p 2, a)+p 3, a)+ P 1, a) peut s eprimer simplement car il compte les nombres premiers compris entre p a et. Il vient P 1, a) =π) πp a )=π) a. On aboutit à la formule [] = [/p i ] [/p i p j ]+ +1+π) a + P 2, a)+p 3, a)+ 1 i a 1 i<j a Définition 4.2 Soit ou encore φ, a) =#{n : p n p>p a }

129 128 P. Dusart φ, a) =[] [ ] + [ ] [ ] + p 1 i a i p 1 i<j a i p j p 1 i<j<k a i p j p k qui compte les entiers qui ne sont pas divisibles par les premiers p 1,...,p a. On obtient la formule φ, a) =1+π) πp a )+P 2, a)+p 3, a) ) Définissons φ, a; k, l) qui compte les entiers congrus à l modulo k qui ne sont pas divisibles par les premiers p 1,...,p a. Recherche de la formule générale sur un eemple. Reprenons l égalité 4.1) et séparons ce qui concerne les entiers congrus à 1 modulo 4 de ceu congrus à 3 modulo 4 par un crible). Il vient, pour a 1 φ, a;4, 1) + φ, a;4, 3) = 1 + π;4, 1) + π;4, 3) πp a ;4, 1) πp a ;4, 3) +P 2, a;4, 1) + P 2, a;4, 3) + En identifiant ce qui concerne les n 1 mod 4 des n 3 mod 4, on obtient deu formules : π;4, 1) = φ, a;4, 1) + πp a ;4, 1) 1 P 2, a;4, 1) 4.2) π;4, 3) = φ, a;4, 3) + πp a ;4, 3) P 2, a;4, 3) 4.3) Formule générale Théorème 4.3 Avec les notations précédentes, nous avons pour a 1 et p a, π; k, l) =πp a ; k, l)+φ, a; k, l) δl) P 2, a; k, l) P 3, a; k, l) avec δl) = { 1 si l =1 0 sinon La formule est évidente : les nombres premiers congrus à l modulo k de l intervalle [p a +1,] sont les nombres congrus à l modulo k dont tous les facteurs premiers sont >p a = φ, a; k, l) δl) φ, a; k, l)) auquels on ôte les nombres congrus à l modulo k composés de deu, ou plus, facteurs >p a P 2, a; k, l) +P 3, a; k, l) + ). La petite correction sur φ, a; k, l) est due à la manière de compter : φ, a; k, l) compte les entiers congrus à l modulo k qui ne sont divisibles par aucun des premiers p 1,...,p a. Le nombre 1 appartient à ce compte uniquement lorsque l =1.

130 4.2. Formule de calcul eact pour π;4,l) et sa généralisation Formule de Meissel En reprenant la formule 4.1, on se pose la question : combien de termes P m, a) doivent être écrits? Cela dépend de la valeur de a choisie. Si a est choisi de telle façon que p a+1 > p a l epression P 2, a) est égale àzéro ainsi que tous les termes suivants. Dans ce cas, la formule de Legendre réapparaît. Si a est choisi tel que 1/3 1/3 1/3 1/3 =. De façon générale, P r, a) sera égal àzéro et P r 1, a) 0sia est choisi tel que 1/r <p a+1 1/r 1). C est pour cela que l on prendra toujours a égal à quelque chose de la forme π 1/r ). Pour obtenir la formule de Meissel originelle, on choisit a = π 1/3 ). Donc les termes après P 2, a) sont tous nuls. Evaluation de P 2, a) P 2, a) est le nombre d entiers de l intervalle [1,]dontladécomposition est un produit de deu premiers p i et p j avec a +1 i<j. Considérons un seul facteur en premier, nous avons P 2, a) = #{p j p a+1 p j avec a +1 j} +#{p j p a+2 p j avec a +2 j} + ) ) = π a + π a +1)+ p a+1 p a+2 { ) } = π i 1) p a<p i p i En posant b = π )etc = π 1/3 ), on obtient P 2, c) = = c<i b b i=c+1 { ) } π i 1) π p i ) p i b c)b + c 1) 2 On aboutit à la formule de Meissel b = π ), c = π 1/3 )) π) =φ, c)+ b + c 2)b c +1) 2 b i=c+1 ) π p i

131 130 P. Dusart Evaluation de P 2, a;4,l) Etudions d abord P 2, a;4, 1). Comment créer un entier n composé de 2 premiers p, p pour qu il soit congru à 1 mod 4? Il faut soit que p et p soient congrus à 1 mod 4 soit que p et p soient congrus à 3 mod 4 car mod 4. Ainsi Or P 2, a;4, 1) = #{n n = pp ; p p 1mod4;p, p >p a } {n n = pp ; p p 3mod4;p, p >p a }) #{n n = pp ; p p 1mod4;p, p >p a } [ ] [ ] p p p p = 1= 1 p p p p = p >pa p 1mod4 p p >pa p 1mod4 p >pa p 1mod4 π/p ;4, 1) πp 1; 4, 1)) On en déduit la formule : P 2, a;4, 1) = π/p;4, 1) πp 1; 4, 1)) + pa<p p 1 mod4 pa<p p 3 mod4 π/p;4, 3) πp 1; 4, 3)) Cette formule peut être eplicitée : πp 1; 4, 1) = πp 1; 4, 1) πp a ;4, 1)) + πp a ;4, 1) pa<p p 1 mod4 = = pa<p p 1 mod4 j 1 p a+j p a+j 1mod4 πp a+j 1; 4, 1) πp a ;4, 1)) pa<p p 1 mod4 +πp a ;4, 1)π ;4, 1) πp a ;4, 1)) i 1) + πp a ;4, 1)π ;4, 1) πp a ;4, 1)) i 1 p a+ji p a+ji 1mod ) pa<p p 3 mod4 = πp 1; 4, 3) = π ;4,1) πp a;4,1) pa<p p 3 mod4 i=1 i 1) + πp a ;4, 1)π ;4, 1) πp a ;4, 1)) πp 1; 4, 3) πp a ;4, 3)) + πp a ;4, 3) pa<p p 3 mod4 1

132 4.2. Formule de calcul eact pour π;4,l) et sa généralisation 131 = = = j 1 p a+j p a+j 3mod4 πp a+j 1; 4, 3) πp a ;4, 3)) +πp a ;4, 3)π ;4, 3) πp a ;4, 3)) i 1) + πp a ;4, 3)π ;4, 3) πp a ;4, 3)) i 1 p a+ji p a+ji 3mod4 π ;4,3) πp a;4,3) i=1 i 1) + πp a ;4, 3)π ;4, 3) πp a ;4, 3)) Intéressons-nous à P 2, a;4, 3). Pour créer un entier n congru à 3 mod 4 composé de 2 premiers p 1,p 2, il faut que l un soit congru 3 mod 4 et l autre à 1 mod 4. P 2, a;4, 3) = #{n n = pp ; p 3mod4;p 1mod4;p, p >p a } = #{n n = pp ; p 1mod4;p 3mod4;p p >p a } {n n = pp ; p 3mod4;p 1mod4;p p >p a }) On en déduit la formule : P 2, a;4, 3) = pa<p p 1 mod4 On retrouve ici les résultats de [2]. π/p;4, 3) πp 1; 4, 3)) + pap a } p = 1 = r,s) [0..k[) 2 rs l mod k r,s) [0..k[) 2 rs l mod k Formule de Lehmer p>pa p r mod k p p>pa p r mod k p q /p q s mod k π/p; k, s) πp 1; k, s)) Au lieu de prendre a = π 1/3 ), nous prendrons a = π 1/4 ). Il faut donc évaluer P 3 dont la somme n est plus vide.

133 132 P. Dusart Evaluation de P 3, a) P 3, a) compte le nombre d entiers plus petits que et de trois facteurs premiers >p a. P 3, a) = #{p j p k p a+1 p j p k avec a +1 j k} +#{p j p k p a+2 p j p k avec a +2 j k} + = P 2 /p a+1,a)+p 2 /p a+2,a+1)+ = ) P 2,i 1 i>a p i = π 1/3 ) i=a+1 π /p i ) { j=i π p i p j ) j 1) } On obtient la formule de Lehmer a = π 1/4 ),b= π ),c= π 1/3 )) : π) = [ ] a [] + [ ] i=1 p i p 1 i<j a i p j b + a 2)b a +1) + 2 ) π /p c i ) { ) } π π j 1) p a<i b i i=a+1 j=i p i p j 4.6) Evaluation de P 3, a;4,l) Dans cette partie et la suivante, p, p,q désigneront des nombres premiers. Par eemple pour calculer P 3, a;4, 1) = #{n 1mod4 n = pp q ; p a <p p q} quatre cas seraient à considérer : p, p,q 1mod4 p 1mod4;p,q 3mod4 p 3mod4;p 1mod4;q 3mod4 p 3mod4;p 3mod4;q 1mod4

134 4.2. Formule de calcul eact pour π;4,l) et sa généralisation 133 Evaluation de P 3, a; k, l) P 3, a; k, l) = #{n n = pp q l mod k; p a pa p i r mod k car lorsqu on fie p r mod k, on cherche ensuite les entiers composés de deu premiers congrus à s modulo k tel que rs l mod k Etude de φ C est la partie qui demande le plus de temps de calcul dans le calcul de π). Heureusement elle bénéficie de propriétés facilitant son calcul : - d abord une formule de calcul récursif permettant de décrémenter les a : φ, a) =φ, a 1) φ/p a,a 1) qui eprime le fait que les entiers divisibles par aucun des p 1,...,p a sont les entiers qui ne sont pas divisibles par les p 1,...,p a 1 à l eception de ceu qui ne sont pas divisibles par p a. Pour le démontrer, il suffit de revenir àladéfinition 4.2 : φ, a 1) = [] [ ] [ ] + p i p a 1 p i p i <p j p a 1 p i p j [ ] φ/p a,a 1) = [ ] + p a p a p i p i p a 1 En faisant la différence le résultat se déduit facilement. - ensuite une formule permettant de réduire le : soit m k = p 1 p 2 p k. φm k,k) = [m k ] [ ] m k + [ ] m k p i p i p j = m k m k + m k p i p i p j = m k 1 1 ) 1 1 ) ) 1 1pk p 1 p 2 Ainsi k = p i 1) = ϕm k ) i=1 φs m k + t, k) =s ϕm k )+φt, k)

135 134 P. Dusart où s est un entier et t peut être choisi entre 0 et m k. Si t>m k /2, on peut utiliser la formule symétrique : φt, k) =ϕm k ) φm k t 1,k) due à la symétrie des multiples autour du point 0. Il eiste une formule inversée : soit a N, pour p a <p 4 a+1, φ, a) =1+π) a + P 2, a)+p 3, a). Formule de calcul de φ, a;4, 1) φ, a;4, 1) = [ ] +3 [ ] + ci + k 4p i 2<p i p a [ ] + cij 4p i p j 2<p i <p j p a où les c i, c ij,... sont définis par : c i = solution du système { n 1mod4 n 0modp i mod 4p i c ij = solution du système En fait, on regarde les collisions. Eemple : { n 1mod4 n 0modp i p j mod 4p i p j En reprenant la formule de Legendre, comme φ, a;4, 1) = φ30, 2; 4, 1) = #{1, 5, 13, 17, 25, 29} =6 [ ] [ ] φ, 2; 4, 1) = 4 12 [ ] [ ] φ30, 2; 4, 1) = = = [] [ ] ) [ ] [ ] ) +1 + ci + + p i 4 4p i [ ] [ ] +3 + ci + 4 4p i φ, a) =φ, a;4, 1) + φ, a;4, 3) pour a 1et quelconque.

136 4.2. Formule de calcul eact pour π;4,l) et sa généralisation 135 Remarque : Pour a =0, φ, 0) = [ ] [ ] [ ] [ ] [] = = φ, 0; 4, 0) + φ, 0; 4, 1) + φ, 0; 4, 2) + φ, 0; 4, 3) Formule de calcul de φ, a; k, l) Si k, l) =1, φ, a; k, l) = φ, a) =φ, a;1, 1) φ, a) = [ ] + c0 k k 1 l=0 p i pa p i,k)=1 φ, a; k, l) [ ] + ci + kp i p i <p j pa p i p j,k)=1 [ ] + cij 4.7) kp i p j { 0 si l =0 où c 0 = l mod k = k l sinon et les c i, c ij,... sont définis par : c i = solution du système { n l mod k mod kp n 0modp i i c ij = solution du système { n l mod k n 0modp i p j mod kp i p j Remarque : La solution c i est unique modulo kp i car p i,k)=1. Si k, l) 1 alors φ, a) =0dès qu il eiste i a tel que p i l. Sinon la formule précédente reste valable. Par eemple, φ, 1; 3, 6) = [ +3]. 6 Démonstration : Sur les [ ] +c 0 k entiers plus petits que congrus l mod k, on enlève ceu qui sont divisibles par p avec p, k) = 1). Regardons les collisions, c est-à-dire les entiers n congrus à la fois à l mod k et à 0 mod p divisibles par p) : ce sont les n c mod kp grâce au théorème chinois). En posant c = c mod kp, ilya [ ] +c kp collisions et ainsi de suite. La résolution du système de congruences n est pas compliquée : si p i,k) = 1 alors il eiste u, v tels que up i + vk = 1 Bezout). En multipliant par l, on obtient ulp i + vlk = l. Soit d = ulp i mod kp i. Alors d est bien solution du système { n l mod k n 0modp i

137 136 P. Dusart Posons De même Remarque : c i = d = lp i p 1 i mod k) modkp i. c ij = lp i p j p i p j ) 1 mod k) modkp i p j. La fonction φ est définie sur les réels puisque φ, a; k, l) =φ[],a; k, l). Toutefois, en général, φ /p, a; k, l) φ[] [/p],a; k, l). Eemple : φ, 4; 10, 3) = [ ] [ ] [ ] [ ] +7 + c2 + c4 + c où c 2 3=27,c 4 63=7,c = 147 = #{ 3, 13, 23, 33/, 43, 53, 63/, 73, 83, 93/, 103, 113, 123 /, 133, 143, 153 /, 163, 173, 183 /, 193, 203, 213 /,...} φ100, 4; 10, 3) = =6 φ100, 1; 10, 9) = #{9, 19,...} [ ] +1 = 10 φ, 3; 0, 6) = #{6, 12, 18, 24, 30/,...} [ ] [ = 6 30] Propriétés de φ, a; k, l) φ vérifie les propriétés suivantes cf [2]) : φ4 p 2 p a q + r, a;4,l) = q ϕp 2 p a )+φr, a;4,l) φ6 p 3 p a q + r, a;6,l) = q ϕp 3 p a )+φr, a;6,l) De façon générale lorsque se décompose sous la forme : [] =ppcmk, p) q + r p p a

138 4.2. Formule de calcul eact pour π;4,l) et sa généralisation 137 on a φ, a; k, l) =q ϕppcmk, p p a p)/k)+φr, a; k, l). De plus, si p a k sinon si p a k et p a l alors sinon si p a k et p a l alors φ, a; k, l) =φ, a 1; k, l) φ/p a,a 1; k, lp 1 a ) φ, a; k, l) =φ, a 1; k, l) φ/p a,a 1; k/p a,lp 1 a ) φ, a; k, l) =φ, a 1; k, l). Démonstration : Posons k = p α i i p α j j p α k k. Soit m a = ppcmk, p)=p 1 p 2 p αi i p p a p α j j p a p α k k. Alors z := m a k = p 1p 2 p α i i p α j j p a. En utilisant l identité de la fonction indicatrice d Euler ϕn) =n p n1 1/p) on obtient D après l équation 4.7, ϕm a /k) = m a k φq m a + r, a; k, l) [ ] q ma + r + c 0 = k = φr, a; k, l)+qz = q ϕz)+φr, a; k, l) p i pa p i,k)=1 p i pa p i,k)=1 p i ma k 1 1/p i )= m a k p i pa p i,k)=1 [ ] q ma + r + c i + kp i q z p i + p i <p j pa p i p j,k)=1 p i p a ; φ, a 1; k, l) désigne les nombres

139 138 P. Dusart plus petits que congrus à l mod k composés de facteurs >p a 1. La différence des deu parties représente le nombre d entiers n plus petits que tels que n = p a m l mod k avec m =1oum composé de premiers >p a 1 m, p p a 1 p) = 1). C est donc les entiers m divisibles par aucun des p 1 p a 1 plus petits que /p a tels que p a m l mod k ou encore m lp 1 a mod k si p a,k)=1. Sip a k il faut résoudre l équation p a m l mod k. Si p a l il n y a pas de solution sinon on résout m l mod k. p a p a Applications Pour plus de simplicité dans les notations, nous utiliserons parfois π k,l ) au lieu de π; k, l) ainsi que φ k,l, a) au lieu de φ, a; k, l). Formule pour les premiers p ±1mod3 D après le théorème 4.3 pour l =1, 2 π;3,l)=πp a ;3,l)+φ, a;3,l) δl) P 2, a;3,l). Choisissons = Ainsi c = a = π2000 1/3 )=5etb = π 2000) = 14. Calculons φ2000, 5; 3, 1) à l aide des propriétés de φ. φ2000, 5; 3, 1) = φ2000, 4; 3, 1) φ2000/11, 5; 3, 2) = 9 ϕ210/3) + φ110, 4, 3, 1) φ181, 4, 3, 2) = φ 3,1 110, 3) φ 3,1 110/7, 3) φ 3,2 181, 3) φ 3,2 181/7, 3)) φ2000, 5; 3, 1) = ) = 208 De la même manière, on obtient φ2000, 5; 3, 2) = 208. On peut aussi retrouver ce calcul par la formule 4.7). D autre part πp 5 ;3, 1)=1etπp 5 ;3, 2) = 3. Calculons maintenant P , 5; 3, 1). P , 5; 3, 1) = = r,s)=1,1),2,2) p p>p 5 p 1 mod3 p p>p 5 p r mod 3 π/p;3,s) πp 1; 3,s)) π 3,1 2000/p) π 3,1 p 1)) + p p>p 5 p 2 mod3 π 3,2 2000/p) π 3,2 p 1))

140 4.2. Formule de calcul eact pour π;4,l) et sa généralisation 139 Soit S 1 = p p>p 5 p 1 mod3 π 3,1 2000/p) π 3,1 p 1)). S 1 = π 3,1 2000/13) π 3,1 13 1) + π 3,1 2000/19) π 3,1 19 1) + π 3,1 2000/31) π 3,1 31 1) + π 3,1 2000/37) π 3,1 37 1) + π 3,1 2000/43) π 3,1 43 1) = =32 Soit S 2 = p p>p 5 p 2 mod3 π2000/p;3, 2) πp 1; 3, 2)). S 2 = π2000/17; 3, 2) π17 1; 3, 2) + π2000/23; 3, 2) π23 1; 3, 2) +π2000/29; 3, 2) π29 1; 3, 2) + π2000/41; 3, 2) π41 1; 3, 2) = =28 Donc Calculons P , 5; 3, 2). P , 5; 3, 2) = = r,s)=1,2),2,1) p p>p 5 p 1 mod3 π2000; 3, 1) = = 148. p p>p 5 p r mod 3 π/p;3,s) πp 1; 3,s)) π 3,2 2000/p) π 3,2 p 1)) + p p>p 5 p 2 mod3 π 3,1 2000/p) π 3,1 p 1)) π2000/13; 3, 2) = 19 π13 1; 3, 2) = 3 π2000/17; 3, 1) = 13 π17 1; 3, 1) = 2 π2000/19; 3, 2) = 14 π19 1; 3, 2) = 4 π2000/23; 3, 1) = 10 π23 1; 3, 1) = 3 π2000/29; 3, 1) = 8 π29 1; 3, 1) = 3 π2000/31; 3, 2) = 10 π31 1; 3, 2) = 6 π2000/37; 3, 2) = 9 π37 1; 3, 2) = 6 π2000/41; 3, 1) = 6 π41 1; 3, 1) = 5 π2000/43; 3, 2) = 7 π43 1; 3, 2) =

141 140 P. Dusart Ainsi P , 5; 3, 2)=57et π2000; 3, 2) = = 154. Il est alors facile de vérifier que π2000) = π2000; 3, 1) + π2000; 3, 2) + #{3}. Formule pour les premiers p ±1mod4 D après le théorème 4.3 pour l =1, 3 π;4,l)=πp a ;4,l)+φ, a;4,l) δl) P 2, a;4,l). Reprenons = πp 5 ;4, 1)=1etπp 5 ;4, 3)=3. Calculons φ2000, 5; 4, l). φ2000, 5; 4, 1) = φ2000, 4; 4, 1) φ2000/11, 5; 4, 3) mod4) = 4 ϕ210) + φ320, 4, 3, 1) φ181, 4, 4, 3) = φ 4,1 320, 3) φ 4,3 320/7, 3) φ 4,3 181, 3) φ 4,1 181/7, 3)) φ2000, 5; 3, 1) = 208 De même, φ2000, 5; 4, 3) = 208. Calculons P , 5; 4,l). Lorsque pp 1 mod 4, deu cas sont possibles : p 1mod4,p 1mod4 p 3mod4,p 3mod4 π2000/13; 4, 1) = 16 π13 1; 4, 1) = 1 π2000/17; 4, 1) = 14 π17 1; 4, 1) = 2 π2000/19; 4, 3) = 14 π19 1; 4, 3) = 3 π2000/23; 4, 3) = 13 π23 1; 4, 3) = 4 π2000/29; 4, 1) = 8 π29 1; 4, 1) = 3 π2000/31; 4, 3) = 9 π31 1; 4, 3) = 5 π2000/37; 4, 1) = 7 π37 1; 4, 1) = 4 π2000/41; 4, 1) = 6 π41 1; 4, 1) = 5 π2000/43; 4, 3) = 7 π43 1; 4, 3) =

142 4.2. Formule de calcul eact pour π;4,l) et sa généralisation 141 Ainsi P , 5; 4, 1)=94 33 = 61. Lorsque pp 3 mod 4, deu cas sont possibles : p 1mod4,p 3mod4 p 3mod4,p 1mod4 π2000/13; 4, 3) = 19 π13 1; 4, 3) = 3 π2000/17; 4, 3) = 15 π17 1; 4, 3) = 3 π2000/19; 4, 1) = 12 π19 1; 4, 1) = 3 π2000/23; 4, 1) = 9 π23 1; 4, 1) = 3 π2000/29; 4, 3) = 10 π29 1; 4, 3) = 5 π2000/31; 4, 1) = 8 π31 1; 4, 1) = 4 π2000/37; 4, 3) = 8 π37 1; 4, 3) = 6 π2000/41; 4, 3) = 8 π41 1; 4, 3) = 6 π2000/43; 4, 1) = 6 π43 1; 4, 1) = Ainsi P , 5; 4, 3)=95 39 = 56. D où π2000; 4, 1) = ) = 147 π2000; 4, 3) = ) = 155. Premiers de Z[i] dans D0,R) Combien eiste-t-il de premiers de Z[i] appartenant au disque fermé de centre O et de rayon R soit NR), ce nombre)? Les irréductibles de Z[i] se regroupent en trois classes distinctes : 1 + i) et ses associés p 3mod4±p, ±ip) ±a ± ib) tel que a 2 + b 2 = p 1 mod 4 symétrique en a et b) Il vient naturellement que pour R 2, NR) =4+4πR;4, 3)+8πR 2, 4, 1). Eemple : N 2000) = = 1208.

143 142 P. Dusart Les irréductibles primaires de Z[i] sont ceu qui sont congrus à 1 modulo 2 + 2i) 3, c est-à-dire congrus à1ou3+2i modulo 4. Ou encore r + is est primaire si et seulement si s est pair et r + s 1 mod 4. Parmi les quatre irréductibles qui engendrent le même idéal, il y en a eactement un qui est primaire parmi ceu de la deuième et troisième classes. Il en eiste donc 8πR 2, 4, 1) + 4πR, 4, 3))/4 de forme primaire contenus dans le disque D0,R). Soit 301 pour R = Sur la différence ) =π;4, 3) π;4, 1) Soit ) =π;4, 3) π;4, 1). Choisissons cette fois = Alors π ) = 38 et π 3 ) = 10. En appliquant les différentes formules, il vient Comme π29; 4, 1) = 4 et π29; 4, 3) = 5, φ, 10; 4, 1) = 2131 φ, 10; 4, 3) = 2119 P 2, 10; 4, 1) = 661 P 2, 10; 4, 3) = 652 π;4, 1) = = 1473 π;4, 3) = = Donc 26861) = 1. C est en fait la première valeur pour laquelle π;4, 3) <π;4, 1). Formule pour les premiers p ±1mod6 D après le théorème 4.3 pour l = 1 ou 5, π;6,l)=πp a ;6,l)+φ, a;6,l) δl) P 2, a;6,l). Reprenons = On sait que πp 5 ;6, 1) = 1 et πp 5 ;6, 5) = 2. Grâce à la formule 4.7), on obtient φ2000, 5; 6, 1) = φ2000, 5; 6, 5) = 208. Lorsque pp 1 mod 6, deu cas sont possibles : p 1mod6,p 1mod6 p 5mod6,p 5mod6

144 4.2. Formule de calcul eact pour π;4,l) et sa généralisation 143 π2000/13; 6, 1) = 16 π13 1; 6, 1) = 1 π2000/17; 6, 5) = 15 π17 1; 6, 5) = 2 π2000/19; 6, 1) = 12 π19 1; 6, 1) = 2 π2000/23; 6, 5) = 11 π23 1; 6, 5) = 3 π2000/29; 6, 5) = 9 π29 1; 6, 5) = 4 π2000/31; 6, 1) = 7 π31 1; 6, 1) = 3 π2000/37; 6, 1) = 6 π37 1; 6, 1) = 4 π2000/41; 6, 5) = 7 π41 1; 6, 5) = 5 π2000/43; 6, 1) = 6 π43 1; 6, 1) = Ainsi P , 5; 6, 1)=89 29 = 60. Lorsque pp 5 mod 6, deu cas sont possibles : p 1mod6,p 5mod6 p 5mod6,p 1mod6 π2000/13; 6, 5) = 18 π13 1; 6, 5) = 2 π2000/17; 6, 1) = 13 π17 1; 6, 1) = 2 π2000/19; 6, 5) = 13 π19 1; 6, 5) = 3 π2000/23; 6, 1) = 10 π23 1; 6, 1) = 3 π2000/29; 6, 1) = 8 π29 1; 6, 1) = 3 π2000/31; 6, 5) = 9 π31 1; 6, 5) = 5 π2000/37; 6, 5) = 8 π37 1; 6, 5) = 5 π2000/41; 6, 1) = 6 π41 1; 6, 1) = 5 π2000/43; 6, 5) = 6 π43 1; 6, 5) = Ainsi P , 5; 6, 5)=91 34 = 57. D où π2000; 6, 1) = = 148 π2000; 6, 5) = = 153. On peut vérifier que π2000) = π2000; 6, 1) + π2000; 6, 5)+#{2, 3}. Formule pour les premiers p ±1mod10 D après le théorème 4.3 pour l =1, 9 π;10,l)=πp a ;10,l)+φ, a;10,l) δl) P 2, a;10,l).

145 144 P. Dusart Reprenons = πp 5 ;10, 1)=1etπp 5 ;10, 9) = 0. Grâce à la formule 4.7), on obtient φ2000, 5; 10, 1) = φ2000, 5; 10, 9) = 104. Lorsque pp 1 mod 10, quatre cas sont possibles : p 1mod10,p 1mod10 p 3mod10,p 7mod10 p 7mod10,p 3mod10 p 9mod10,p 9mod10 π2000/13; 10, 7) = 9 π13 1; 10, 7) = 1 π2000/17; 10, 3) = 9 π17 1; 10, 3) = 2 π2000/19; 10, 9) = 5 π19 1; 10, 9) = 0 π2000/23; 10, 7) = 5 π23 1; 10, 7) = 2 π2000/29; 10, 9) = 3 π29 1; 10, 9) = 1 π2000/31; 10, 1) = 4 π31 1; 10, 1) = 1 π2000/37; 10, 3) = 5 π37 1; 10, 3) = 3 π2000/41; 10, 1) = 3 π41 1; 10, 1) = 2 π2000/43; 10, 7) = 3 π43 1; 10, 7) = Ainsi P , 5; 10, 1)=46 15 = 31. Lorsque pp 9 mod 10, quatre cas sont possibles : p 1mod10,p 9mod10 p 3mod10,p 3mod10 p 7mod10,p 7mod10 p 9mod10,p 1mod10

146 4.2. Formule de calcul eact pour π;4,l) et sa généralisation 145 π2000/13; 10, 3) = 9 π13 1; 10, 3) = 1 π2000/17; 10, 7) = 7 π17 1; 10, 7) = 1 π2000/19; 10, 1) = 6 π19 1; 10, 1) = 1 π2000/23; 10, 3) = 7 π23 1; 10, 3) = 2 π2000/29; 10, 1) = 4 π29 1; 10, 1) = 1 π2000/31; 10, 9) = 3 π31 1; 10, 9) = 2 π2000/37; 10, 7) = 4 π37 1; 10, 7) = 2 π2000/41; 10, 9) = 2 π41 1; 10, 9) = 2 π2000/43; 10, 3) = 4 π43 1; 10, 3) = Ainsi P , 5; 10, 9)=46 15 = 31. D où π2000; 10, 1) = π2000; 10, 9) = Temps de calcul théorique pour π) Méthode Temps Stockage Legendre O) O ) Meissel O/ ln 3 ) O 1/2 / ln ) Lehmer O/ ln 4 ) O 1/3 / ln ) Mapes O 0,7 ) O 1 ε ) Lagarias-Miller-Odlysko O 2/3+ε ) O 1/3+ε ) Lagarias-Odlysko O 3/5+ε ) O ε ) La dernière méthode est une méthode théorique puisqu elle n a pas été programmée. Les calculs les plus récents sont dans [1] ont pour base la méthode de Meissel-Lehmer.

147 Bibliographie [1] M. Deleglise & J. Rivat, Computing π) : The Meissel, Lehmer, Lagarias, Miller, Odlyzko method, Math. Of Computation, Vol. 65, Number 213 January 1996) pp [2] R. H. Hudson & A. Brauer, On the eact number of primes in the arithmetic progressions 4n ± 1 and 6n ± 1., J. Reine Angew. Math., Vol. 291, 1977) pp [3] J. C. Lagarias, V. S. Miller & A. M. Odlyzko, Computing π) : The Meissel-Lehmer Method, Math. Of Computation, Vol. 44, Number 170 April 1985) pp [4] D. H. Lehmer, On the eact number of primes less than a given limit, Illinois Journal of Math., Vol. 3, 1959) pp [5] Kevin S. McCurley, Eplicit Estimates for θ;3,l) and ψ, 3,l), Math. Of Computation, Vol. 42, Number 165 January 1984) pp [6] O. Ramaré & R. Rumely, Primes in arithmetic progressions, Math. Of Computation, Vol. 65, Number 213 January 1996) pp [7] Hans Riesel, Prime Numbers and Computer Methods for Factorization, Birkhäuser 1985) 146

148 Conclusion Les encadrements sur p k et π) démontrés dans cette thèse font apparaître de plus en plus de termes du développement asymptotique. Ces raffinements sont facilités par l augmentation de la puissance des ordinateurs, permettant des calculs de plus en plus compliqués. Sur cette partie, la théorie mathématique n a pas tellement avancé puisque ce n est qu une mise à jour des travau de Rosser & Schoenfeld. Les estimations de ces derniers sont très utilisées de part le monde pour obtenir des résultats effectifs. Les améliorations présentées ici ont déjàété utilisées dans d autres démonstrations. Mais tout ne peut pas être résolu avec les machines. Par eemple, pour ehiber un k-uple admissible super-dense, il faudra encore beaucoup de temps. Il est parfois plus rapide de réfléchir un peu plus pour donner un programme plus simple àrésoudre avec la machine. Il est dommage de n avoir pas pu trouver un contre-eemple à la conjecture d Hardy-Littlewood. La première occurrence pour une solution du k-uple proposé se situe dans les limites des grands nombres pouvant être représentés sur les machines actuelles. La troisième partie propose une fonction ε qui permet d encadrer ψ sans avoir besoin de calculer des intégrales compliquées. Une simple calculatrice permet d obtenir les valeurs de ε) pour les grands. Plus besoin d ordinateur pour avoir des majorations précises de la fonction ψ. Pour communiquer avec un ordinateur, il faut structurer sa pensée et mettre les différentes opérations dans un ordre précis. Cette réfleion est présentée sous forme d algorithme. Celui-ci doit être traduit dans le langage de programmation qui n est pas toujours tâche aisée. Le travail effectué sur l algorithme de calcul de π; k, l) va déboucher sur un article en collaboration avec M. Deléglise. Il reste beaucoup de choses à faire en mathématiques. Par eemple, le travail effectué sur les premiers peut être repris dans les progressions arithmétiques. En définissant par pn; k, l) len-ième premier dans la progression arithmétique l mod k, est-ce que pn; k, l) nϕk) ln n +lnlnn 1+lnϕk))? 147

149 Contenu des annees Calcul des epsilons Chercher un k-uple super-dense Trouver un p vérifiant un k-uple Calcul des C1k) Calcul de φ, a; k, l) 148

150 Annee A Calcul des ε de la Table 1 # Auteur : Pierre DUSART # Titre : Table de Rosser & Schoenfeld # Title : Rosser & Schoenfeld s Table # Fichier : Rosser2.map # Version /09/1996) # Langage Maple V.2 # # E : A:= ) -> 18.42, 2, , zerodiff:=procdw1,delta) local precision,f1,k,m1,m1,s; precision:=10**-1): F1:=unapplydW1,delta); k:=1: while evalff110**-k)))>0) do k:=k+1:od: m1:=10**-k):m1:=10**-k+1): if evalbevalff1m1))<=0) and evalff1m1))>0)) then s:=m1+m1)/2; while evalbevalfabsf1s)))>precision) do if evalbevalff1s))>=0) then M1:=s else m1:=s;fi: s:=m1+m1)/2; od: else print erreur de type de fonction dans zero );fi; s; end: 149

151 150 P. Dusart mini_m:=proceps,dwr,b1,delta) local min1,delta1,cpt_m,s,dw1,mini,min_m,dw; min1:=10:delta1:=1:min_m:=0: dw:=unapplydwr,b,m): for cpt_m from 2 to 20 do # Pourquoi pas m=0 et m=1? dw1:=dwb1,cpt_m); s:=zerodiffdw1,delta); mini:=evalfsubs{b=b1,m=cpt_m,delta=s},eps)): if evalbmini<min1) then min1:=mini: min_m:=cpt_m: delta1:=s; fi: od: [b1,min_m,delta1,min1] end: # Precision : Digits:=40: C1 :=38.31: F:=T->T/2*Pi)*lnT/2*Pi))-T/2*Pi)+7/8: Rt:=T->0.137*lnT)+0.443*lnlnT))+1.588: K:=n,z,)->1/2*Intt**n-1)*ep-1/2*z*t+1/t)),t=..infinity): Rm:=m,delta)->1+delta)**m+1)+1)**m: T1:=m,delta)->1/delta*2*Rmm,delta)/2+m*delta))^1/m): :=epb): R:= : X:=sqrtln)/R): phi:=m,y)->y**-m-1)*ep-x**2/lny/c1)): z:=2*x*sqrtm): # A:= : A:= : Ap:=2*m/z)*lnA/C1): Y:=maA,C1*epsqrtb/m+1)*R)))): Omega2:= *Rmm,delta)*z/2*m**2*C1^m)*z*K2,z,Ap)+2*m*lnC1/2*Pi ))*K1,z,Ap))+Rmm,delta)*2*RtY)*phim,Y)-RtA)*phim,A)): Omega1:=2+m*delta)/4*Pi)*lnT1m,delta)/2*Pi))+1/m)** /m**2-2.82*m/m+1)*T1m,delta))):

152 151 eps:=omega1*ep-b/2)+omega2*delta**-m))+m*delta/2+ep-b)*ln2*pi): interfacequiet=true): dwr:=diffeps,delta): # B:=[23,50,100,1000]: B:=[50]: for i to nopsb) do Result[i]:=mini_meps,dWr,B[i],delta); interfacequiet=false): printb[i],result[i][2],evalfresult[i][3]),result[i][4]); interfacequiet=true): od; interfacequiet=false); quit;

153 Annee B Chercher un k-uple super-dense # Auteur : Pierre DUSART # Titre : rho11763)>=1415 # Version /02/1995) # Langage Maple V.2 # initialisation p:=netprime225): L:={}: while p<=5882) do L:={opL),-p,p}: p:=netprimep): od: L:={opL),-1,1}: # Procedures # cherche_classe_min:=procl,p) local Classes,i,c,min; Classes:=array0..p-1): for i from 0 to p-1 do Classes[i]:=0:od: for i from 1 to nopsl) do c:=l[i] mod p: Classes[c]:=Classes[c]+1: od: 152

154 153 min:=p-1: for i from 0 to p-1 do if Classes[i]<=min) then min:=classes[i]: c:=i: fi: od: RETURN[c,min]) end: eliminer:=procl,j,p) local liste,i; liste:=l; for i from 1 to nopsl) do if L[i] mod p=j) then liste:=liste minus {L[i]};fi: od: RETURNliste): end: # programme # p:=netprime225): while p<=nopsl)) do j:=cherche_classe_minl,p): if j[2]<>0) then L:=eliminerL,j[1],p);fi; p:=netprimep); od: L:=sort[opL)]): lprintnopsl),l[nopsl)]-l[1]+1); quit;

155 Annee C Trouver un p vérifiant un k-uple # Auteur : Pierre DUSART # Titre : chercher le premier $p$ verifiant un k-uple admissible # Title : find the first prime $p$ which satisfy a admissible k-uple # Fichier : k_uple3.map # Version /05/1995) # Langage Maple V.2 # test_p[0,2,12,14,20],17); -> true # E : trouve_p[0,4,6,10,12,16],3,1); -> 7 # E : trouve_p[0,2,12,14,20],3,1); -> 17 # E : trouve_p[0,2,6,8],3,1); -> 5 # E : trouve_p[0,2,6,8],2,1); -> 5 # E : trouve_p[0,2,12,14,20,24,30,32,38],10,1000); -> # E : trouve_p[0,2,12,14,20,24,30,32,38,42],20,10000); # -> bytes used= , alloc= ,time= ) # E : trouve_p[0,2,12,14,20,24,30,32,38,42,54],20,10000); # -> bytes used= , alloc= , time= ) test_p:=prock_uple,p) local i,convient; convient:=true; i:=1; while i<=nopsk_uple)) and convient) do convient:=isprimep+k_uple[i]); i:=i+1; od; RETURNconvient); end: 154

156 155 appartient:=procelem,ens,p) local i,trouve; i:=1; trouve:=false; while i<=nopsens)) and not trouve) do trouve:=evalbens[i] + elem) mod p = 0): i:=i+1;od; RETURNtrouve); end: verifier:=procz,k_uple,b1,b2) local p,convient; p:=netprimeb1); convient:=true; while p<=b2) and convient)) and z<p)) do convient:= not appartientz,k_uple,p); p:=netprimep): od: RETURNconvient); end: congruences_mod_p:=prock_uple,p) local cg,l; L:=[]; cg:=0; while cg<=p-1) do if not appartientcg,k_uple,p) then L:=[opL),cg];fi; cg:=cg+1; od; RETURNL); end; trouve_p:=prock_uple,borne,nbre_essais) local Z,p,i,j,C,R,produit,essai,trouve,n; p:=2;produit:=2; Z:=congruences_mod_pk_uple,p); while p<=borne) do p:=netprimep);

157 156 P. Dusart if test_pk_uple,p-k_uple[1]) then RETURNp-k_uple[1]);fi; C:=congruences_mod_pk_uple,p); R:=[]; for i to nopsz) do for j to nopsc) do R:=[opR),chrem[C[j],Z[i]],[p,produit])]; od; od; produit:=produit*p; Z:=copyR); od; Z:=sortZ); trouve:=false;essai:=0; while essai<=nbre_essais) and not trouve) do i:=1; while i<=nopsz)) and not trouve) do n:=z[i] + essai*produit; trouve:=test_pk_uple,n); i:=i+1; od; essai:=essai+1; od; if trouve then RETURNn) else RETURN Premier non trouve );fi; end; cherche_k_uple_ma:=procl,p) # On enleve dans Liste les elements de L qui ne conviennent pas local Liste,i; Liste:=copyconvertL,set)); for i to nopsl) do if not isprimep+l[i]) then Liste:=Liste minus {L[i]}; fi; od; Liste:=sortconvertListe,list)): # printliste); if nopsliste)>0 then [nopsliste),liste[nopsliste)]-liste[1]+1] else [nopsliste),0];fi; end:

158 157 test_k_uple_super_dense:=prock_uple,p) local R,taille,longueur; R:=cherche_k_uple_mak_uple,p); taille:=r[1];longueur:=r[2]; if taille>=2 then evalbithprimetaille)>longueur) else false;fi; end: Recherche_k_uple_super_dense :=prock_uple,liste_entiers,modulo,nbre_essais) local trouve,n,i,essai; for essai from 0 to Nbre_essais do for i to nopsliste_entiers) do n:=liste_entiers[i]+essai*modulo; trouve:=test_k_uple_super_densek_uple,n); if trouve then print super-dense pour p =,n);fi; od; od; end; Recherche_n_fois_k_uple:=prock_uple,liste_entiers,modulo,Nbre_fois) local i,n,fois,trouve,essai; essai:=0;fois:=0; while fois<nbre_fois) do for i to nopsliste_entiers) do n:=liste_entiers[i]+essai*modulo; trouve:=test_pk_uple,n); if trouve then print k_uple verifie pour p =,n); fois:=fois+1;fi; od; essai:=essai+1; od; end;

159 Annee D Calcul des C 1 χ) # Auteur : Pierre DUSART # Titre : Article de RAMARE Math Of Comp Vol 65, Nbr 213 Jan 1996) # Title : # Fichier : RAMARE.MAP 01/08/1996) # Version /01/1997) # Langage Maple V.2 # # E : C11, ); -> # C1420,2500); -> # eps10**10,16,6,.003); -> withnumtheory,tau,phi): R:= : C2:=0.9185: C3:=5.512: # H:=2500: De:=prock,sigma) local sum,dp,p: Dp:=procp,sigma) local khi,c,a0,sigma1,; a0:= : khi:=sigma->1+4/5*sqrtsigma-1))/sqrt5): # c:=p,sigma,sigma1)->1/p^sigma-1)-khisigma)/p^sigma1-1): c:=p,sigma,sigma1)->1/p^sigma-1) -1+4/5*sqrtsigma-1))/sqrt5))/p^sigma1-1): 158

160 159 sigma1:=fsolvesqrt*-1))+sqrtsigma*sigma-1))=1, =1+sqrt2))/2..1+sqrt5))/2): if p=2) then 5.99*c2,sigma,sigma1) elif p=3) then 5.467*c3,sigma,sigma1) else a0*cp,sigma,sigma1) fi: end: sum:=0: if isprimek) then sum:=dpk,sigma)*lnk) else p:=2: while p<=evalfsqrtk))) do if k mod p =0) then sum:=sum+dpp,sigma)*lnp) fi: p:=netprimep): od: fi: evalfsum) end: C1:=prock,H) local C,alpha,,Delta,w,Db,E,S,a0,Gb: C:= : alpha:= : w:= : :=sqrtw)-1: Delta:=1/*R*lnk*H/C)): Db:=Dek,1+Delta): E:= *sqrtDelta) *Delta *Delta^3/2): S:=-1/1+Delta)+1+4/5*sqrtDelta))*sqrt1-8/5*sqrtDelta^2+Delta) +4/5*Delta^2+Delta))/1-sqrtDelta^2+Delta))^2: a0:= : Gb:=E-w*S+Db/a0: C*ep1/R*alpha/*sqrt1/Delta)+1/^2*Gb) /1+alpha/sqrtw)*sqrtDelta)+1/*sqrtw))*Delta*Gb)); end:

161 160 P. Dusart K:=n,z,)->1/2*Intt**n-1)*ep-1/2*z*t+1/t)),t=..infinity): At:=prock,m,H,0,CK) local Zm,Um,Zm1,Um1: C2:=0.9185: Zm:=evalf2*sqrtm*ln0)/R)); Zm1:=evalf2*sqrtm+1)*ln0)/R)); Um:=evalfsqrtR*m/ln0))*lnk*H/CK)); Um1:=evalfsqrtR*m+1)/ln0))*lnk*H/CK)); 2/Pi*ln0)/R*m)*k/CK)**m*K2,Zm,Um) +2/Pi*lnCK/2*Pi))*sqrtln0)/R*m))*k/CK)**m*K1,Zm,Um) +2*C2*sqrtln0)/R*m+1)))*k/CK)**m+1)*K1,Zm1,Um1) end: Bt:=prock,m,H,0,CK) evalf2/h^m+1)*ep-ln0)/r*lnk*h/ck)))*c2*lnk*h)+c3)) end: Ct:=prock,m,H) evalflnk*h/2*pi))+1/m)/pi*m*h^m)) end: Dt:=prock,m,H) evalf2*c2*lnk*h)+2*c3+c2/m+1))/h^m+1)) end: Et:=prock,H) evalf1/2*pi)*lnh)^2+lnk/2*pi))/pi*lnh) +C2+2*lnk/2*Pi*ep1)))/Pi+C2*lnk)+C3)) end: Rt:=prock,) local f ; f:=prock) local sum,p: p:=2: sum:=0: while p<=evalfsqrtk))) do if k mod p=0) then sum:=sum+1/p-1):fi:

162 161 p:=netprimep): od: sum end: evalfphik)/*fk)+0.5)*ln)+4*lnk)+13.4)) end: A:=procm,delta) local j,sum; sum:=0: for j from 0 to m do sum:=sum+binomialm,j)*1+j*delta)^m+1):od: sum/delta^m; #1+1+delta)**m+1))**m/delta)**m; end: nb_div:=procn) taun) end: eps:=proc0,k,m,delta,h) local CK: CK:=C1k,H): evalf1/2*1+1+delta)**m+1))**m/delta)**m*atk,m,h,0)+btk,m,h,0)+ Ctk,m,H)+Dtk,m,H))/sqrt0))*phik) +1+m*delta/2)/sqrt0)*Etk,H)*phik)+m*delta/2+Rtk,0)); end: fct:=prock,m,0,delta) local L,H,CK; # Determiner H L:=[116,117,120,121,124,125,128,132,140,143,144,156,163,169, 180,216,243,256,360,420,432]: if k=1) then H:= elif k<=13) then H:=10000 else if k<=72) then H:=2500 elif k<=112) and not isprimek))) then H:=2500 else if memberk,l) then H:=2500 else print H non trouve );fi;

163 162 P. Dusart fi;fi; CK:=evalfC1k,H)): evalf1/2*am,delta)*atk,m,h,0,ck)+btk,m,h,0,ck) +Ctk,m,H)+Dtk,m,H))/sqrt0)) +1+m*delta/2)/sqrt0)*Etk,H)); end; zerodiffv:=procdw1,delta) local precision,k,m1,m1,s; # Precision precision:=10**-2): k:=1: s; end: while evalfsubsdelta=10**-k),dw1))>0) do k:=k+1:od: m1:=10**-k):m1:=10**-k+1): if evalfsubsdelta=m1,dw1))<=0) and evalfsubsdelta=m1,dw1))>0)) then s:=m1+m1)/2; while absevalfsubsdelta=s,dw1)))>precision) do if evalfsubsdelta=s,dw1))>=0 then M1:=s else m1:=s;fi: s:=m1+m1)/2; od: else print erreur de type de fonction dans zero );fi; eps3:=prock,0) # Th5_1_1 mod 3 local m,m1,delta1,mini1,dv,v,invk, delta, mini; m1:=0;delta1:=0;mini1:=1:delta:= delta : for m from 2 to 20 do V:=m*delta/2+Rtk,0): V:=evalfV+fct1,m,0,delta)+fct3,m,0,delta)); dv:=diffv,delta): delta2:=zerodiffvdv,delta): mini:=evalfsubsdelta=delta2,v)): if mini1>mini) then mini1:=mini: m1:=m:

164 163 delta1:=delta2: fi: delta:= delta : od; [mini1,m1,delta1] end; #interfacequiet=true); #eps33,10.**100); -> [ , 5, 7/16000] #interfacequiet=false); #quit;

165 Annee E Calcul de φ, a; k, l) # Auteur : Pierre DUSART # Titre : Calcul de Phi,a) & Phi,a;k,l) # Title : Compute Phi,a) & Phi,a;k,l) # Fichier : PHI # Version /03/1997) # Langage Maple V.2 # # E : PHI1430,2) -> 6 chinois:=procu1,m1,u2,m2) local c,prod: c:=chrem[u1,u2],[m1,m2]): prod:=m1*m2: if c>0 then prod-c) else -c) mod prod:fi: end: PHI14:=proc,a) local T,k,k1,beta,cpt,ck,prod; T:=0: for k from 0 to 2^a-1)-1 do beta:=[]:k1:=k:cpt:=2: while k1>0) do if k1 mod 2=1) then beta:=[opbeta),cpt]:fi: k1:=iquok1,2): cpt:=cpt+1: od: prod:=1: for k1 in beta do 164

166 165 prod:=prod*ithprimek1):od: if prod<>1) then ck:=chinois1,4,0,prod) else ck:=3:fi: T:=T+-1)^nopsbeta)*trunc+ck)/4*prod)): od: T end; PHI34:=proc,a) local T,k,k1,beta,cpt,ck,prod; T:=0: for k from 0 to 2^a-1)-1 do beta:=[]:k1:=k:cpt:=2: while k1>0) do if k1 mod 2=1) then beta:=[opbeta),cpt]:fi: k1:=iquok1,2): cpt:=cpt+1: od: prod:=1: for k1 in beta do prod:=prod*ithprimek1):od: if prod<>1) then ck:=chinois3,4,0,prod) else ck:=1:fi: T:=T+-1)^nopsbeta)*trunc+ck)/4*prod)): od: T end; PHI:=proc,a) local T,k,k1,beta,cpt,ck,prod; T:=0: for k from 0 to 2^a-1 do beta:=[]:k1:=k:cpt:=1: while k1>0) do if k1 mod 2=1) then beta:=[opbeta),cpt]:fi: k1:=iquok1,2): cpt:=cpt+1: od: prod:=1: for k1 in beta do prod:=prod*ithprimek1):od: T:=T+-1)^nopsbeta)*trunc/prod): od: T end:

167 166 P. Dusart PHIK:=proc,a,k,l) local T,n,n1,signe,cpt,ck,prod,P; P:=[]: for n from 1 to a do if gcdk,ithprimen))=1) then P:=[opP),ithprimen)]:fi:od: T:=0: for n from 0 to 2^nopsP)-1 do signe:=1: n1:=n: cpt:=1: prod:=1: while n1>0) do if n1 mod 2=1) then signe:=-signe: prod:=prod*p[cpt]: fi: n1:=iquon1,2): cpt:=cpt+1: od: if prod<>1) then ck:=chinoisl,k,0,prod) else ck:= -l) mod k:fi: T:=T+signe*trunc+ck)/k*prod)): od: T end:

168 Bibliographie [BaysHudson, 1978] Carter Bays & Richard H. Hudson, On the Fluctuations of Littlewood for Primes of the Form 4n ± 1, Math. Of Computation, Vol. 32, Number 141 January 1978) pp [Bohman, 1972] J. Bohman, On the number of primes less than a given limit, BIT, Vol ) pp [Brent, 1979] R. P. Brent, On the Zeros of the Riemann Zeta Function in the Critical Strip., Math. Of Computation, Vol. 33, Number 148 October 1979) pp [Brent, 1982] R. P. Brent, J. van de Lune, H. J. J. te Riele & D. T. Winter, On the Zeros of the Riemann Zeta Function in the Critical Strip. II, Math. Of Computation, Vol. 39, Number 160 October 1982) pp [Brent, 1975] R. P. Brent, Irregularities in the Distribution of Primes and Twin Primes, Math. Of Computation, Vol. 29, Number 129 January 1975) pp UMT, Math. Of Computation, Vol. 30, Number 134 April 197) p [Cesaro, 1895] E. Cesaro, Sur une formule empirique de M. Pervouchine, Comptes rendus hebdo. des séances de l académie des sciences, Vol. CXIX, 1895) pp [Cipolla, 1902] M. Cipolla, La determinazione assintotica dell n imo numero primo, Matematiche Napoli, Vol. 3, 1902) pp [DelegliseRivat, 1996] M. Deleglise & J. Rivat, Computing π) : The Meissel, Lehmer, Lagarias, Miller, Odlyzko method, Math. Of Computation, Vol. 65, Number 213 January 1996) pp [Diamond, 1982] H. G. Diamond, Elementary methods in the study of the distribution of prime numbers, Bulletin of A.M.S., Vol. 7, Number 3 November 1982) pp [Ehrhart, 1988] E. Ehrhart, On prime numbers, Fibonacci Quarterly Août 1988). 167

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173 Résumé Les nombres entiers supérieurs à 2 se décomposent en deu grandes classes disjointes : les nombres premiers et les nombres composés. Le travail présenté s articule autour de la fonction π) qui compte le nombre de premiers inférieurs à. Depuis que le théorème des nombres premiers a été démontré, il y a un peu plus de cent ans, nous connaissons un équivalent de π) pour tendant vers l infini. Nous démontrons un encadrement précis de π) ainsi qu une estimation pour les nombres premiers par l intermédiaire des fonctions de Chebyshev. Nous nous appuyons sur des méthodes proposées par Rosser & Schoenfeld 1975). Dans un deuième temps, nous étudions sur quels domaines la fonctions π) possède la propriété de sous-additivité π + y) π) + πy). Cette propriété est pourtant incompatible avec une généralisation des nombres premiers jumeau : la conjecture des k-uples. Nous ehibons un k-uple admissible super-dense. Enfin, poursuivant le chemin tracé par Mc Curley 1984) puis Ramaré & Rumely 1996), nous donnons des estimations des fonctions de Chebyshev dans les progressions arithmétiques. Pour finir, nous proposons un algorithme de calcul eact de π) jusqu à =10 20 dans les progressions arithmétiques basé sur la notion de crible combinatoire crible de Meissel-Lehmer 1870)) plus efficace que le crible d Eratosthène 200 avant JC). Mots-clés. Encadrement des fonctions ψ, θ, π et du k ième nombre premier ; calcul eact de π; k, l) ; nombre premier. Title Around the function which counts the number of primes Abstract The set of positive integers can be decomposed into two large disjointed classes: the prime numbers and the composite numbers. The present work deals with the π) function which counts the number of primes not greater than. For large, a function equivalent to π) has been known for a hundred years, since when the prime number theorem was shown. We find sharper bounds for π) and estimates for prime numbers through the instrumentality of Chebyshev s functions. We lean on methods proposed by Rosser & Schoenfeld 1975). In a second part, we study on which domains the function π) has the property of under-additivity π + y) π) +πy). This property is nevertheless incompatible with a generalization of the twin primes conjecture: the k-uple conjecture. We give an admissible super-dense k-uple. Net, following the ideas of Mc Curley 1984), and then Ramaré & Rumely 1996), we give estimates for the Chebyshev s functions in arithmetic progressions. Finally we propose an algorithm for eact computation of π) in arithmetic progressions based on combinatorial sieve notion sieve of Meissel-Lehmer 1870)), which is faster than the Eratosthenes sieve 200 B.C.). Key words. Estimates of the functions ψ, θ, π and of the k th prime number; eact computation of π; k, l) ; prime number. Intitulé et adresse du laboratoire L.A.C.O., 123, avenue Albert THOMAS, LIMOGES Cede.

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