Chapitre 6 : Multiplications et divisions

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1 Chapitre 6 : Multiplications et divisions 1) La multiplication : Exemple : 3 x 2 = l6 Le résultat d'une multiplication s'appelle le produit. Ici c est 6. Les nombres qu on multiplie s appellent les facteurs. Ici ce sont 3 et 2. Dans le calcul d un produit, l ordre des facteurs n a pas d importance : 2 3 = 3 2 Il faut connaître parfaitement ses tables de multiplication. Pour multiplier deux nombres plus grands que 9, on pose l opération en colonne. Exemple : x 23 1 x 23 On ajoute les deux lignes Remarques : 2 3 x un point ou 0 Mentalement, on peut faire une vérification rapide en calculant l ordre de grandeur du résultat : 20 x 15 = 300 et 300 est proche de 322. A la calculatrice, on vérifie en appuyant sur les touches 23 lx l14 l= 322 s affiche. Quand on pose une multiplication en colonne, il est plus simple de commencer par écrire le facteur qui a le plus de chiffres. La multiplication provient de l addition : 4 x 3 =

2 2) Multiplication de nombres décimaux : Exemple : Calculer 4, 51 x 2,3 On pose l opération en colonne : x 2, 3 3 x chiffres après la 2 x virgule On ajoute les deux lignes On commence par faire la multiplication sans s occuper des virgules (il est inutile de les aligner). Puis on compte le nombre de chiffres après la virgule dans les facteurs. Ici, il y en a trois. Le résultat a donc trois chiffres après la virgule. Remarques : Il ne faut pas oublier de mettre la virgule au bon endroit au résultat. On peut calculer l ordre de grandeur du résultat : 4,5 x 2 = 9 et 10,373 est proche de 9. On peut aussi vérifier à la calculatrice. 4, 5 1

3 3) Multiplication par 10, par 100 ou par 0,1 : Rappel : un nombre entier a une partie décimale égale à zéro. 63 = 63,0 Pour multiplier un nombre par 10 ou 100 ou 1000, on décale la virgule d un ou deux ou trois rangs VERS LA DROITE (après avoir rajouté des zéros à droite si besoin). On peut donc faire ces multiplications mentalement ou en ligne, il est inutile de les poser en colonne. Exemples : 6,25 x 10 = 62,5 6,25 x 100 = 625 6,25 x 1000 = Pour multiplier un nombre par 0,1 ou 0,01 ou 0,001 on décale la virgule d un ou deux ou trois rangs VERS LA GAUCHE (après avoir rajouté des zéros à gauche si besoin). Exemples : 45,3 x 0,1 = 4,53 45,3 x 0,01 = 0,453 45,3 x 0,001 = 0,0453 Remarque : Quand on multiplie un nombre par 0,1 le résultat est plus petit que le nombre de départ. C est ce qui se passe dès qu on multiplie par un nombre plus petit que 1 (commençant par 0, )

4 4) La division : La division est utilisée dans les problèmes de partage. Exemple : Je partage mes 13 bonbons entre 5 enfants. Combien en ont-ils chacun? On pose la division : dividende 13 5 diviseur reste 3 quotient Chacun des cinq enfants a 2 bonbons. Il en reste 3. ldans une division, le reste est toujours plus petit que le diviseur. Quand on s arrête avant la virgule, on dit que la division est euclidienne. Si on partage autre chose que des bonbons, on peut continuer la division et obtenir un quotient décimal, c est une division décimale : 13, , = 13,0 et en abaissant le zéro on obtient 30 dixièmes qu on peut diviser par 5. On obtient 6 dixièmes donc on écrit la virgule au quotient avant d écrire 6.

5 Remarques : La multiplication correspondante est 2,6 x 5 = 13 A la calculatrice, si on utilise la touche :, on obtient le quotient décimal. Pour obtenir le quotient entier et le reste, on peut utiliser la touche alors les touches seconde l: On tape 13 : 5 l= Q = 2 ; R = 3 s affiche donc le quotient est 2 et le reste est 3. Il y a toujours deux résultats dans une division euclidienne. Attention : on ne peut pas diviser par zéro, car la multiplication correspondante est impossible. Rappel : dans un problème, on écrit l opération qui justifie le résultat et on fait une phrase de réponse. ou 5) Division par 10 ou par 100 ou par 1000 : Pour diviser un nombre par 10 ou par 100 ou par 1000, on décale la virgule d'un ou deux ou trois rangs VERS LA GAUCHE (après avoir rajouté des zéros à gauche si besoin). Exemples : 45,3 : 10 = 4,53 45,3 : 100 = 0,453 45,3 : = 0,0453 Remarque : Diviser par 10 est la même chose que multiplier par 0,1. Attention à ne pas confondre. 45,3 : 10 = 4,53 et on a aussi 45,3 x 0,1 = 4,53

6 6) Nombres divisibles par 2 : Lorsqu on divise un nombre par 2 et qu on obtient un quotient entier et un reste égal à zéro, on dit que ce nombre est divisible par 2. Exemple : 8 est divisible par Le quotient est un nombre entier et le reste est égal à zéro. Cette division correspond à la multiplication 4 2 = 8 8 est un multiple de 2 et 2 est un diviseur de 8. Il est utile de savoir à l avance sans poser la division si un nombre est divisible par 2. Un nombre qui est dans la table de multiplication de 2 est divisible par 2. Si le nombre est plus grand que 20, il y a un test simple appelé critère de divisibilité par 2 : Un nombre entier est divisible par 2 si son dernier chiffre est 0, 2, 4, 6, ou 8. (on dit qu'il est pair) Exemples : 18 ; 40 ; 56 ; 72 et 34 sont divisibles par ) Nombres divisibles par 5 ou par 10 : Lorsqu on divise un nombre par 5 et qu on obtient un quotient entier et un reste égal à zéro, on dit que ce nombre est divisible par 5. Un nombre qui est dans la table de multiplication de 5 est divisible par 5. Si le nombre est plus grand, il y a un autre test simple : Un nombre entier est divisible par 5 si son dernier chiffre est 0 ou 5. Exemples : 35 ; 80 et 65 sont divisibles par 5. Un nombre entier est divisible par 10 si son dernier chiffre est 0. Exemples : 30 ; 80 et 400 sont divisibles par 10. Remarque : les nombres divisibles par 10 sont aussi divisibles par 2 et par 5. Une division par 10 peut être remplacée par une division par 2 suivie d une division par 5.

7 8) Nombres divisibles par 3 : Lorsqu on divise un nombre par 3 et qu on obtient un quotient entier et un reste égal à zéro, on dit que ce nombre est divisible par 3. Un nombre qui est dans la table de multiplication de 3 est divisible par 3. Si le nombre est plus grand que 30, il y a le test : Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3. Exemples : 426 est divisible par 3 (car = 12 ) Remarques : 861 est divisible par 3 (car = 15) Si cette somme est supérieure à 30, on additionne à nouveau ses chiffres jusqu à ce qu on obtienne un nombre dans la table de 3 qu on connait par cœur. On peut aussi faire la division par 3, voir si le quotient est entier et si le reste est égal à zéro mais c est moins rapide.

8 9) Nombres divisibles par 9 ou par 4 : Un nombre qui est dans la table de multiplication de 9 est divisible par 9. Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9. Exemples : 729 est divisible par 9 ( car = 18 ) 603 est divisible par 9 ( car = 9) Un nombre entier est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4. Exemples : 712 est divisible par 4 (car 12 est divisible par 4) 620 est divisible par 4 (car 20 est divisible par 4) Remarques : Savoir si un nombre est divisible par 2, par 3, par 4, par 5, par 9 ou par 10 sera très utile pour simplifier des fractions. La division par 4 peut être remplacée par une division par 2 suivie d une autre division par 2. La division par 9 peut être remplacée par une division par 3 suivie d une autre division par 3.

9 Annexe : extrait du programme officiel : 2.2 Opérations multiplication et division. - Connaître les tables d'addition et de multiplication et les résultats qui en dérivent. - Multiplier ou diviser un nombre par 10, 100, * Multiplier un nombre par 0,1 ; 0,01 ; 0,001. La maîtrise des tables est consolidée par une pratique régulière du calcul mental sur des entiers et des décimaux simples. La division décimale est limitée à la division d un décimal par un entier. En calcul posé, le dividende comporte au maximum deux chiffres après la virgule. Multiples et diviseurs. - Connaître et utiliser les critères de divisibilité par 2, 5 et Connaître et utiliser les critères de divisibilité par 3, 4 et 9. La notion de multiple, introduite à l'école primaire, est rappelée sur des exemples numériques, en même temps qu'est introduite celle de diviseur. Les différentes significations de ce dernier terme doivent être explicitées. Sens des opérations. - Choisir les opérations qui conviennent au traitement de la situation étudiée. Pour les problèmes à étapes, la solution peut être donnée à l aide d une suite de calculs, *ou à l aide de calculs avec parenthèses. Techniques élémentaires de calcul. - Savoir effectuer ces opérations sous les diverses formes de calcul : mental, à la main ou instrumenté. - Connaître la signification du vocabulaire associé : somme, différence, produit, terme, facteur, dividende, diviseur, quotient, reste. La capacité à calculer mentalement est une priorité et fait l objet d activités régulières. La maîtrise des différents moyens de calcul doit devenir suffisante pour ne pas faire obstacle à la résolution de problèmes. Concernant le calcul posé, les nombres doivent rester de taille raisonnable et aucune virtuosité technique n est recherchée.