Présentation Proséminaire : Construction d une famille de graphes à large maille G (SL 2 (q)), S q ).

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1 Présentation Proséminaire : Construction d une famille de graphes à large maille G SL q)), S q ) Matthieu Karlen matthieukarlen@unifrch supervisé par Dr Ciobotaru Corina 0 décembre 016 Table des matières 1 Rappels 11 Definition 01 1 Definition Proposition Lemma Proposition Le groupe libre Préambule 3 1 Notation 3 Notation 3 3 Lemme A1 4 4 Proposition A 5 5 Lemme A3 6 6 Calcul préparatoire 7 7 Théorème 7 8 Preuve 7 9 Exercices 9 91 Exercice Enoncé Résolution 11 1

2 1 Rappels 11 Definition 01 Soit X m ) m 1 une famille de graphes finis, connexes et k-réguliers, avec V m quand m, où V m est l ensemble des sommets de X m On dit que cette famille a une large maille si pour une constante C > 0, on a que la maille gx m ) du graphe X m satisfait la condition gx m ) C + o1))log k 1 V m, où o1) est une quantité tendant vers 0 lorsque m 1 Definition 411 Soit G un groupe et S un sous-ensemble non vide, fini de G On suppose que S = S 1 est symétrique Le graphe de Cayley GG, S) est le graphe composé de l ensemble de sommets V = G et de l ensemble d arêtes E = {{x, y : x, y G, s S tel que y = xs 13 Proposition 311 Soit q un nombre premier impair Alors SL q) = qq 1) 14 Lemma 31 Pour tout corps K, le groupe SL K) est engendré par les sous-groupes suivants : { ) { ) 1 λ 1 0 : λ K et : µ K 0 1 µ 1 15 Proposition 41 Soit GG, S) un graphe de Cayley On pose k = S a) GG, S) est un graphe simple, k-regulier et sommet-transitif b) GG, S) n a pas de boucle si et seulement si 1 / S c) GG, S) est connexe si et seulement si S engendre G 16 Le groupe libre Le groupe libre L à deux générateurs engendré par S = {a, b) est l ensemble des mots réduits composés d éléments de S = {a, a 1, b, b 1, muni de la loi de

3 concaténation Un mot est dit réduit s il ne contient aucun des séquences suivantes : aa 1, a 1 a, bb 1, b 1 b Préambule Le but de cette présentation est de construire une famille de graphes 4-réguliers à large maille et de donner une borne inférieure explicite à la taille de la maille constante C dans la définition 01) Nous allons travailler avec des graphes de Cayley de SL q), où q est un nombre premier impair 1 Notation Nous dénoterons par : τ q : SL Z) SL q) la réduction modulo q Notation Nous considérerons les matrices suivantes : A = Notons encore : ) 1 SL 0 1 Z) et B = ) 1 0 SL 1 Z) A q = τ q A) = ) 1 SL 0 1 q) et B q = τ q B) = ) 1 0 SL 1 q) Comme ces matrices sont dans le groupe spécial linéaire, elle sont inversibles Nous pouvons donc créer un sous-ensemble non-vide, fini et symétrique de SL q) : S q = { A q, A 1 q, B q, B 1 On se rappelle que SL q), muni de la multiplication matricielle est un groupe On peut donc construire le graphe de Cayley suivant : q X q := GSL q), S q ) C est ce graphe qui nous intéressera lors de toute cette présentation 3

4 3 Lemme A1 Soit q un nombre premier impair et X q le graphe défini ci-dessus Alors X q est 4-regulier et connexe et il possède qq 1) sommets Preuve X q est 4-régulier car S q est formé de 4 matrices deux à deux différentes X q possède SL q) sommets par définition d un graphe de Cayley Par la proposition 311 b), on a le résultat Par la proposition 41 c), X q est connexe si et seulement si S q engendre SL q) Par le lemme 31, on sait que SL q) est engendré par les sous-groupes : { ) 1 λ 0 1 : λ F q et { ) 1 0 µ 1 : µ F q Montrons que A q génère ce premier ensemble : A l q = τ q A l ) l N car τ q est un morphisme de groupes Or : A l = ) 1 l 0 1 Comme q est premier impair, pour tout λ F q, il existe l N tel que λ = l mod q, et donc : { ) 1 λ 0 1 De manière similaire, on montre que : { ) 1 0 µ 1 : λ F q =< A q > : µ F q =< B q > Ainsi, S q génère SL q) et donc X q est connexe Comme dans les présentations précédentes, on doit avoir des informations sur le graphe GSL Z), S) où S = {A, B, A 1, B 1 afin de pouvoir calculer la maille de X q Soit H le sous-ensemble de SL Z) engendré par A et B 4

5 4 Proposition A H est isomorphe au groupe libre L à deux générateurs Preuve H est l ensemble des mots réduits sur l alphabet {A, A 1, B, B 1 En effet, AA 1 = A 1 A = 1 SL Z) et BB 1 = B 1 B = 1 SL Z) Tout élément C H est d une des formes suivantes : Mot commençant et finissant par une puissance de A : C AA = A k 1 B l 1 A k B lr A k r+1 où k i, l i Z \ {0 i, j Mot commençant et finissant par une puissance de B : C BB = B k 1 A l 1 B k A lr B k r+1 où k i, l i Z \ {0 i, j Mot commençant par une puissance de A et finissant par une puissance de B : C AB = A k 1 B l 1 A k A kr B lr où k i, l i Z \ {0 i, j Mot commençant par une puissance de B et finissant par une puissance de A : C BA = B k 1 A l 1 B k B kr A lr où k i, l i Z \ {0 i, j Nous allons montrer que l application suivante est une bijection de H dans L : ψ : L H a A b B D après les remarques précédentes, il est évident que ψ est bien définie et est un morphisme de groupes Par construction, la surjectivité est vérifiée Pour vérifier l injectivité, il faut montrer que tout mot non vide est différent de l identité dans H, ainsi le noyau de ψ sera {1 L Pour ce faire, nous allons utiliser le lemme du ping-pong Laissons agir SL Z) sur R par la multiplication matrice-vecteur usuelle Définissons deux sous-ensembles de R de la façon suivante : E = {x, y) R : y > x F = {x, y) R : x > y 5

6 Pour k Z et x, y) R, on a que : A k z) = 1 k 0 1 ) x y ) ) x + ky = y ) ) 1 0 x B k z) = = k 1 y ) x y kx En séparant les différents cas, on voit que A k E) F et B k F ) E, k Z Prenons maintenant un mot du type C AA et appliquons le à E : A k r+1 E) B lr A k r+1 E) A kr B lr A k r+1 E) C AA E) = A k 1 B l 1 A k B lr A k r+1 E) F E F F Comme E F =, on a que C AA 1 SL Z) Pour traiter les mots du troisième type, C AB, utilisons une petite astuce Choisissons k Z, k k 1 Alors A k C AB A k est un mot du type C AA et n est donc pas la matrice identité Ceci implique directement que C AB n est pas non plus l identité Les cas restants sont similaires Ainsi, tout mot non vide de H n est pas égal à l élément neutre On a donc : Kerψ) = {1 L ψ est donc injectif On a ainsi montré que ψ est un isomorphisme entre H et L Définition Soit v la norme euclidienne sur R La norme d opérateur d une matrice T M R) est définie comme : { T v v T = sup : v R \ {0, 0) v 5 Lemme A3 ) a b Soit A = Notons A c d T sa transposée Alors 1 A = A T A = A T A 1 6

7 3 A max{ a, b, c, d 4 Si A est symétrique avec valeurs propres λ 1, λ R, alors A = max{ λ 1, λ Sans démonstration voir lemme A3 dans le livre) 6 Calcul préparatoire Afin de préparer le résultat du théorème suivant, calculons la norme d opérateur des matrices A et B définies en debut de présentation et de leur inverses A T A = ) ) = ) 1 5 Le polynôme caractéristique de A T A est donc 1 t)5 t) 4 = 1 6t + t, dont les racines sont 3 ± Comme A T A est symétrique, on a que A T A = 3 + par le lemme A34 Par le lemme A3, on a directement A = 3 + = ) = Théorème Les graphes X q, pour q premier impair, satisfont : lim inf q 8 Preuve gx q ) log 3 X q 1 3log ) = log3) 3log1 + ) = Soit q un nombre premier impair fixé Notons g = gx q ) Par sommet-transitivité prop 41 a)), X q possède un circuit sans retour en arrière de longueur g commençant et finissant en 1 SL q) Numérotons ce circuit : 1 SL q) = x 0, x 1,, x g 1, x g = 1 SL q) X q étant un graphe de Cayley, on sait qu il existe α i S q, i = 0, 1,, g 1 tels que : x i+1 = x i α i, i {0, 1,, g 1 7

8 La réduction modulo q restreinte à S τ q S : S S q est bijective Il existe donc une seule préimage de chacun des α i, i = 0, 1,, g 1 dans {A, A 1, B, B 1 Nommons ces éléments α i Alors α 0 α 1 α g α g 1 H est un mot réduit, car le circuit correspondant ne possède pas de retour en arrière D après la proposition A, on a donc : α 0 α 1 α g α g 1 1 SL Z) D autre part, nous avons que τ q α 0 α 1 α g α g 1 ) = α 0 α 1 α g α g 1 = 1 SL q) En d autre mots : α 0 α 1 α g α g 1 Kerτ q ) Ainsi tous les coefficients de la matrice α 0 α 1 α g α g 1 1 SL Z)) sont divisibles par q Comme cette matrice n est pas identiquement nulle, on en déduit qu au moins un des coefficients est plus grand ou égal à q Par le lemme A33 : α0 α 1 α g α g 1 1 SL Z) q Par inégalité triangulaire de la norme et sachant que 1SL Z) = 1 ), on a : α 0 α 1 α g α g 1 q 1 D autre part, par la sous-multiplicativité de la norme, on a : α 0 α 1 α g α g 1 α 0 {{ =1+ On obtient donc : q 1 α 1 α {{ g 1 = {{ =1+ = ) g Or, d après le lemme A1, X p = qq 1) = q 1) 3 q q+1) q 1) En prenant le logarithme en base 3, on obtient : log 3 X q ) = log ) 3 q 1) 3 + log 3 q + 1) q q 1) {{ <1 {{ < ) g

9 Ainsi : log 3 X q ) log ) 3 q 1) 3 3 log ) ) g 3 g log ) Et donc finalement : g log 3 X q ) 3 log ) 9 Exercices Exercice 1 Enoncé Pour T M R), montrer que T est finie Vérifier que T T est bien une norme sur M R) Résolution Pour contrôler que T T est bien une norme sur M R), il faut vérifier les points suivants : 1 homogénéité : A M R), λ R, on a λa = λ A définie positive : A M R) tel que A 0 M R), A > 0 R 3 sous-additivité inégalité triangulaire) : A, B M R), on a A + B A + B 4 compatibilité avec la norme vectorielle : Av v A v 5 sous-multiplicativité : A, B M R), on a A B A B Soient A, B M R), A, B 0 M R), v 0 R R et λ 0 R R, la norme d opérateur dans M R) et v la norme euclidienne dans R 1 { λ Av v λ A = sup : v R \ {0, 0) { v = sup λ Av v : v R \ {0, 0) { v Av v = λ sup : v R \ {0, 0) v = λ A 9

10 { Av v Soit A = 0 C est à dire sup : v R \ {0, 0) = 0 v Et donc v R, Av v = 0 R Par les propriétés de la norme Euclidienne, on a donc forcément Av = 0 R, v R v étant arbitraire, on obtient A = 0 M R) 3 { A+B)v v A + B = sup : v R \ {0, 0) { v Av+Bv v = sup : v R \ {0, 0) { v Av v + Bv sup v : v R \ {0, 0) { v Av v = sup + Bv v : v R \ {0, 0) v { v { Av v sup : v R Bv v \ {0, 0) + sup : v R \ {0, 0) v v = A + B 4 5 Av v v A par définition du suprémum { AB)v v AB = sup : v R \ {0, 0) { v A Bv v sup : v R \ {0, 0) { v A B v sup : v R \ {0, 0) v = sup { A B = A B Ainsi, l application A A est bien une norme sur M R) On remarque maintenant { Av v A = sup : v R \ {0, 0) = sup { Av v : v S 1 = { x R : x = 1 v S 1 est compact dans R et toute matrice A M R) peut être identifiée à une application linéaire, donc continue La norme euclidienne est également continue L image d un compact par une application continue est aussi un compact Ainsi, A M R), {Av : v S 1 est un compact L application v étant continue, elle y prend donc son maximum Notons ce maximum M Alors A = sup { Av v : v S 1 = M < Ayant choisi une matrice A M R) arbitraire, on conclut finalement que A est finie A M R) 10

11 91 Exercice 911 Enoncé Montrer que le théorème A4 peut être amélioré : lim inf q gx q ) log 3 X q 3log ) 91 Résolution Au lieu de travailler avec la matrice α ) 0 α g 1 1 SL Z)), on utilise la matrice α 0 α g 1 α g 1 1 α 1 g+1 Cela revient à faire la moitié du circuit dans un sens, et l autre moitié dans l autre sens Ainsi, par chacun des deux côtés, on arrive sur le même élément et cette matrice est identiquement nulle dans SL q) Par les mêmes considérations que dans la preuve du théorème, cette matrice n est pas nulle dans SL Z) Ainsi tous ses coefficients sont divisibles par q et au moins l un d entre eux est non nul dans Z Posons : ) ) a b α 0 α g 1 = et c d Comme au moins un coefficient de la matrice non nul et divisible par q, on a : Alors on a x q ou x q ) ) a α g 1 1 α 1 b g+1 = c d α 0 α g 1 α g 1 1 α 1 x x q, pour x {a, b, c, d Par le lemme A3, on en déduit que la norme d une des deux matrices est plus grande que q Sans restreindre la généralité, supposons que α 0 α g 1 q Dans le cas contraire, on considère le circuit dans le sens inverse, et on retombe sur ce résultat) Comme dans la preuve du théorème, on peut écrire : X q q ) 3 ) 3 α0 α 3 g En prenant le logarithme des deux côtés, on obtient : 11 ) 3 g+1 g+1 ) est

12 ) Xq log 3 log ) 3 g+1 ) log 3 X q ) 3log 3 ) 3 g + 1 log 3 X q ) 3 g + 1 En divisant pas le terme de gauche : 1 3 log ) log ) + 3log 3 ) g log 3 X q ) log ) log 3 X q ) log ) + 3log 3) log 3 X q ) {{ Ainsi en prenant la limite : lim inf q gx q ) log 3 X q ) 3 log ) ) O 1 q 1

13 Bibliographie 1 Giuliana Davidoff, Peter Sarnak and Alain Valette, Elementary Number Theory, Group Theory and Ramanujan Graphs, London Mathematical Society Student Texts, Appendix A 13