Fiche méthodologique Trigonométrie Réelle

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1 Fiche méthodologique Trigonométrie Réelle BCPST Lycée Hoche $\ CC BY: = Pelletier Sylvain Dans cette fiche, on revoit ce qu il faut savoir sur les fonctions trigonométriques Fonction tangente On rappelle que la fonction tangente est égale à tan x = sin x x Elle est définie pour les x tel que x 0, c est-à-dire x [ L ensemble de définition est donc : + k, [ + k k Z À noter : cette fonction est périodique impaire, la tangente en 0 y = x, les limites aux bornes Figure Fonction tangente Valeurs usuelles Le tableau résume les valeurs à savoir Il est aussi important de savoir retrouver ces valeurs sur le cercle trigonométrique x 0 sin x 0 x tan x Table Valeurs trigonométriques à savoir

2 Angles opposés, complémentaires, supplémentaires On a : sin x = sinx sin x = sinx x = x x = x tan x = tanx tan x = tanx sin + x = sinx sin x = x + x = x x = sinx tan + x = tanx tan x = tanx Formule à retrouver rapidement sur un cercle, plutôt qu à apprendre par cœur Sinus et inus d une somme et d une différence, angle double et de moitié a + b = a b sina sinb sina + b = sina b + a sinb Formule que l on peut retrouver par Moivre : e ia+b = a + b + i sina + b = e ia e ib = a + i sinab + i sinb = a b sina sinb + i sina b + a sinb En appliquant à la différence : a b sina b = a b + sina sinb = sina b a sinb En appliquant à l angle double : x = x sin x = x = sin x sinx = sinx x que l on peut retrouver directement par e ix = e ix et en utilisant + sin = : e ix = x + i sinx =x + i sinx = x sin x + i x sinx On a aussi les formules qui relient l angle de moitié au carré : a = +a x = sin x sin a + x = x = a On peut retrouver ces formules en utilisant Euler : a = eia + e ia = eia + + e ia = + a

3 On peut retrouver les deuxièmes en utilisant deux factorisations par l angle de moitié : + x = + eix + e ix = + eix + + e ix = e i x x + e i x x x = e i x + e i x x = Transformation de produit en somme [ sin a b = a b = [ sin a sin b = sina + b + sina b a + b + a b [ a b a + b On peut retrouver ces formules avec Euler : sin a b = [ e ia e ia e ib + e ib i = [e ia+b + e ia+b + e ia b e ia b i = [ sina + b + sina b Transformation de somme en produit sinp + sinq = p + q = sinp sinq = p q = sin sin sin p+q p+q p q p+q sin p q p q p+q p q Ces formules proviennent de la factorisation par l angle de moitié : sinp + sinq = [e ip e ip + e iq e iq i = [ e ip + e iq e iq + e ip i = [e i p+q e i p q p q i + e e i p+q e i p q p q i + e i = [e i p+q p q p+q i p q e i = p q [e i p+q p+q i e i p q p + q = sin

4 Équation trigonométrique Il faut dessiner systématiquement le cercle trigonométrique, de manière à éviter toute erreur inus égaux Sinus égaux Tangentes égales x = α + k x = α k Z, x = α + k x = α + k sin x = sin α k Z, x = α + k tan x = tan α k Z, x = α + k Propriété fondamentale Enfin, il ne faut pas oublier la relation x + sin x = Résolution de a x + b sin x = c On s intéresse à la résolution de l équation E d inconnue x : E : a x + b sin x = c, avec a, b 0, 0 La première étape consiste à poser z = a+ib On a z 0 si a et b sont nuls, et le problème a peu d intérêt On peut donc écrire ce nombre complexe sous forme trigonométrique : z = ρe iα On divise alors par ρ pour avoir : a ρ x + b ρ sin y = c ρ α x + sin α sin y = c ρ x α = c ρ Deux cas sont alors possibles : si c ρ >, l équation E n a pas de solution dans ce cas sinon, il existe un angle θ tel que θ = c ρ Dans ce cas l équation E est équivalente avec ces nouvelles notations à E : x α = θ Cette dernière équation se résout de manière classique Exemple: On veut résoudre : Comme souvent : apprenez la technique et non les formules E : x sin x = On considère donc le nombre complexe : z = i = i = e i

5 On a alors E E x + x sin = sin x = On résout alors classiquement : x + E k Z = + k, ou x + = + k x = k, ou E k Z x = + k Interprétation géométrique : si on considère le nombre complexe z = a + ib et le nombre complexe X = x + i sin x qui est sur le cercle unité On identifie ces nombres complexes à des vecteurs du plan L équation peut alors s écrire : z X = c En effet, a x + b sin x est le produit scalaire du vecteur z et X En géométrie, on sait que le produit scalaire de deux vecteurs est égal au produit des normes par le inus de l angle formé par les deux vecteurs Appliqué ici, cela donne : z X = z x α En effet, X = et l angle formé par les deux vecteurs est x α On obtient donc bien l équation : z x α = c Autres équations trigonométriques Exercice Résoudre dans R les équations suivantes : a x + = b sin x + x = 0 c sin x + = x + d sinx + sinx + sinx = 0 5

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