Communication graphique

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1 Introduction générale Partie I. La projection parallèle 1. Le dessin multivue 2. La méthode de Monge 3. L axonométrie 4. Courbes de Bézier 5. La projection cotée (topographie)

2 Projection cotée Méthode des projections cotées une figure de l espace est définie par : - sa projection orthogonale sur le plan horizontal - des cotes numériques qui fournissent les distances des points de la figure à ce plan. 2 des 3 dimensions de l objet sont représentées graphiquement, la 3ème est indiquée par sa valeur numérique.

3 Projection cotée Cette méthode convient pour les objets dont une des dimensions est beaucoup plus petite que les deux autres, ex.: surfaces topographiques. Pour qu elle soit efficace, il faut qu il n y ait aucun recouvrement sur la projection horizontale, ce qui est le cas des surfaces topographiques, à quelques rares exceptions. Dans les représentations de ces surfaces, on relie tous les points de même hauteur, ou même cote, ce qui produit des lignes d isovaleurs de la cote appelées lignes de niveaux.

4 Projection cotée La projection cotée s applique principalement aux topographies Axonométrie des lignes de niveaux Projection cotée

5 Projection cotée Maillage (paramétrisation) et lignes de niveaux vus en axonométrie Paraboloïde hyperbolique La projection cotée s applique dés lors que la surface représentée est une fonction z=f(x,y), à chaque couple (x,y) ne correspond que une cote z.

6 Projection cotée

7 Projection cotée 1km

8 Echelle Pour représenter des figures dont les dimensions réelles sont plus grandes que celles de la feuille de dessin, il faut réduire, dans une proportion identique, toutes les longueurs de la figure. Même situation dans les projections orthogonales. L'épure est alors dite à l'échelle (suivi d'un rapport). Si les dimensions de l'épure et de la figure sont les mêmes, l'épure est dite en vraie grandeur.

9 Echelle L'échelle est définie par le rapport numérique entre la longueur représentative ( l ) et la longueur réelle ( L ), exprimées toutes deux dans la même unité de longueur. Ce rapport numérique est donné sous forme de fractions dont le numérateur est généralement égal à l'unité : l 1 e= = L N Par exemple : e= ; ; ; mêmes unités

10 Echelle C'est donc par ce rapport numérique "e" qu'il faut multiplier les longueurs réelles pour les reporter sur l'épure. l=e L Par contre, la longueur réelle d'un segment du dessin s'obtient en multipliant la mesure de ce segment par l'inverse de l'échelle L=l N Dans le système de projection cotée, les cotes sont toujours inscrites en vraie valeur; L'échelle ne s'applique donc qu'à la projection horizontale et non aux cotes.

11 Echelle Soit une échelle e= La longueur de l'épure qui représente 1 km ou 1000 m est 1 1m l=1000m = =0.0125m=12.5mm On prend alors une longueur multiple, p. ex. 5 x 12.5mm =62.5mm sur laquelle on marque 5 divisions égales désignées par les longueurs qu'elles représentent. L'origine est notée 0 et les divisions successives 1, 2,... jusque 5 km ou 5000 m. 0 Echelle 1/ m

12 Echelle Dans les plans cotés, comme N ne dépasse guère 100 ou 200, on prend généralement le mètre comme unité de longueur. L'échelle graphique peut se réduire à un segment, appelé unité graphique et désigné par u. C'est par définition le segment qui, sur l'épure, représente 1 mètre dans la réalité. l u 1 e= = = L 1m N u = 2 cm signifie: e= 2cm 1 = 100cm 50

13 Le point Le point est représenté par sa projection sur le plan horizontal de l'épure : c est un plan de l'espace par rapport auquel se mesure la cote réelle des points. Ce plan horizontal est appelé plan de comparaison. Il est conventionnellement de cote zéro. Dans les cartes géographiques, le plan de comparaison est celui du niveau de la mer. Les cotes ( altitudes ) des points situés au-dessus du niveau de la mer sont positives.

14 Plan de comparaison Dans les plans miniers, le plan de comparaison est le plan horizontal passant par l'orifice du puits; pour éviter les cotes négatives, on compte usuellement positivement les cotes situées en dessous du plan de comparaison. On pourrait faire la même chose dans une carte géographique ne figurant que des profondeurs sous-marines. Pour un point (A) de l'espace dont la projection horizontale sur un plan horizontal de référence donné est A, on inscrit en indice de A la distance de ce point (A) au plan de projection. Cette distance, appelée cote, peut être fractionnaire; usuellement, elle est chiffrée en mètres.

15 Le point B3.5 C18 A2.0 u

16 La droite Représentation : intervalle Mesure sur une droite : longueur d un segment Relations avec d autres entités : plan de comparaison droites

17 Représentation de la droite 2 A3 4 5 B6 2 points la définissent, ici, (A) et (B). Graduation d une droite lorsque les cotes des points ne sont pas des cotes rondes : 4 A Utilisation d'une latte graduée (unités arbitraires) 5 7 B cm Quatrième proportionnelle

18 Intervalle d'une droite L'intervalle d'une droite est la distance réelle entre les projections horizontales de deux points de la droite dont les cotes diffèrent d'une unité. L'intervalle graphique d'une droite, désigné par, est l'intervalle de la droite lu à l'échelle (lu sur l épure). Sur une droite graduée, les distances 0-1, 1-2, 2-3,... sont égales à. Intervalle = N = N x Intervalle graphique

19 Pente d'une droite La pente d'une droite est exprimée par la tangente de l'angle que fait la droite avec le plan de comparaison. Cet angle mesuré en degrés est l'inclinaison de la droite. L'inclinaison et la pente p sont liées par la formule : h 1m u p=tan = = = L N On exprime souvent une pente en pour cents : r p =100 p % A4 Br u B5

20 Relation droite / plan de comparaison (a) est parallèle au plan de comparaison (a) est de cote constante = 4 a4 A (a) est perpendiculaire au plan de comparaison est simplement représentée par le point (A), sans indication de cote

21 Relations entre deux droites 2 droites sécantes : elles ont un point commun, ici, le point (B) de cote 1 C2 B1 B2 A0 A4 = b 2 droites parallèles : intervalles égaux et graduations dans le même sens A3 a La perpendicularité de 2 droites ne se voit pas immédiatement sauf si une des deux est horizontale d b4 2 3 a4 B5

22 Mesurer un droite : longueur d'un segment Distance entre (M) et (N) obtenue par rabattement du plan vertical dans un plan horizontal quelconque. u Br Nr Mr Ar r B3 N M Distance entre 2 points, mesurée sur la droite qui les relie. A2

23 Angle entre droites sécantes Sr 3u S' S5 α S5 Sr S' B2 B2 A2 r A2 Angle entre 2 droites sécantes: Pour voir l'angle en vraie grandeur, la méthode la plus indiquée consiste à rabattre le plan des 2 droites dans un plan horizontal quelconque. Voir méthode de Monge.

24 Le plan Plan Représentation : échelle de pente Relations avec d autres entités : plan de comparaison plan quelconque droites

25 Représentation du plan Deux droites parallèles définissent un plan, en particulier 2 horizontales. D où l idée d une représentation très concise, par l échelle de pente. En réalité, c est la droite de plus grande pente 4 3 B h0 A Plan défini par 3 points Échelle de pente C5

26 Relation plan / plan de comparaison Un plan parallèle au plan de comparaison est défini soit par: - sa cote, - un de ses points coté, - une de ses droites cotée. Un plan perpendiculaire au plan de comparaison est défini par sa trace / projection sans cote (une simple droite)

27 Relation entre deux plans Deux plans sont parallèles s'ils ont leurs échelles de pente parallèles avec intervalles égaux et graduation dans le même sens. Deux plans perpendiculaires ne peuvent se remarquer, a priori, sur l'épure que si l'un des deux est perpendiculaire au plan de comparaison, les horizontales de l'autre sont alors perpendiculaires à la trace/projection du premier. Il y a donc parallélisme entre cette trace / projection et l'échelle de pente du second.

28 Relation entre deux plans Intersection entre 2 plans ou 2 surfaces quelconques: rechercher les intersections entre 3 les lignes de niveau de même cotes. 3 2 i Problème extrêmement simple en projection cotée sauf 2 1 1

29 Relation entre deux plans Intersection entre 2 plans, cas où les horizontales sont parallèles ou presque parallèles

30 Relation entre deux plans Intersection entre 2 plans, cas où les horizontales sont parallèles ou presque parallèles. d3' d1 d3 1 B1' B1 2 A3 3 Deux plans auxiliaires dont on connaît deux droites horizontales permettent de construire deux points de l'intersection recherchée. d1' A3' i X' X B3 B3' 2 1 A1' A1 3

31 Relation entre deux plans Intersection entre 2 plans, cas où les horizontales sont parallèles ou presque parallèles. d3' d1 d3 1 B1' B1 2 A3 3 Deux plans auxiliaires dont on connaît deux droites horizontales permettent de construire deux points de l'intersection recherchée. d1' A3' i X' X B3 B3' 2 1 A1' A1 3

32 Perpendiculaire à un plan u ( ) (B) (d) u (A) 0 u (C) H 1 0

33 Perpendiculaire à un plan r Br C Construction géométrique u d d B1 0 p d A

34 Angle entre un plan et une droite (d) - Construire une droite perpendiculaire au plan et sécante avec (d) - Effectuer un rabattement pour obtenir la vue en VG de l'angle - Prendre le complément de cet angle

35 Angle entre un plan et une droite Cas d'une droite et d'un plan dont les échelles sont parallèles u B8 8 b 0 b A88 a u

36 Angle entre deux droites les échelles sont parallèles... (b) a,b,ch (a) B8 4 A8

37 Angle entre deux plans (a) - Construire deux droites (a) et (b) perpendiculaires respectivement à ( ) et ( ). - Faire un rabattement afin de mesurer l'angle entre ces droites. (b)

38 Point de percée d'une droite dans un plan Ici, le plan auxiliaire est quelconque......contrairement à la méthode de Monge (plan auxiliaire projetant)

39 Point de percée d'une droite dans un plan Ici, le plan auxiliaire est quelconque......contrairement à la méthode de Monge (plan auxiliaire projetant)

40 Constructions élémentaires mener par: un point - une droite parallèle à une droite donnée - une droite perpendiculaire à un plan donné, - un plan parallèle à un plan donné, - un plan perpendiculaire à une droite donnée, une droite - un plan parallèle à une droite donnée, - un plan perpendiculaire à un plan donné, -...

41 Constructions élémentaires Mener par le point (A) un plan ( ) (a) parallèle à la droite (d) et (b) perpendiculaire au plan ( ) ( ) (A) (b) (a) (d) ( )

42 Constructions élémentaires Mener par le point (A) un plan ( ) : 1) parallèle à la droite (d) Construire une parallèle (a) passant par (A) 2) perpendiculaire au plan ( ) Construire une droite perpendiculaire (b) sécante avec (a) Le plan contient les deux droites, il faut construire l'échelle de pente.

43 Constructions élémentaires Mener par le point (A) un plan ( ) : 1) parallèle à la droite (d) Construire une parallèle (a) passant par (A) 2) perpendiculaire au plan ( ) Construire une droite perpendiculaire (b) sécante avec (a) Le plan contient les deux droites, il faut construire l'échelle de pente.

44 Constructions élémentaires Mener par le point (A) un plan ( ) : 1) parallèle à la droite (d) Construire une parallèle (a) passant par (A) 2) perpendiculaire au plan ( ) Construire une droite perpendiculaire (b) sécante avec (a) Le plan contient les deux droites, il faut construire l'échelle de pente. b

45 Constructions élémentaires Mener par le point (A) un plan ( ) : 1) parallèle à la droite (d) Construire une parallèle (a) passant par (A) 2) perpendiculaire au plan ( ) Construire une droite perpendiculaire (b) sécante avec (a) Le plan contient les deux droites, il faut construire l'échelle de pente.

46 Constructions élémentaires Mener par le point (A) un plan ( ) : 1) parallèle à la droite (d) Construire une parallèle (a) passant par (A) 2) perpendiculaire au plan ( ) Construire une droite perpendiculaire (b) sécante avec (a) Le plan contient les deux droites, il faut construire l'échelle de pente.

47 Droites gauches Deux droites gauches en projection cotée Détermination de la perpendiculaire commune Utilisation de plans auxiliaires Rabattement pour obtenir la vraie grandeur

48 Droites gauches Construire deux plans perpendiculaires à (a) et (b)

49 Droites gauches Construire deux plans perpendiculaires à (a) et (b) Construire leur intersection (i)

50 Droites gauches Construire une parallèle à (i) intersectant (a) : ici (j)

51 Droites gauches Construire le plan contenant (j) et (a) Il faut calculer le point de percée de (b) dans ce plan

52 Droites gauches Construire un plan auxiliaire contenant (b)

53 Droites gauches Construire l'intersection entre le plan auxiliaire et celui contenant (a) et (j) pour obtenir le point de percée (X)

54 Droites gauches Construire une parallèle à (i) ou (j) passant par (X) : c'est la droite recherchée

55 Droites gauches

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