Graphes et langages. David Hébert

Transcription

1 Grphs t lnggs Dvi Hért hrt.iut@gmil.om 0

2 Tl s mtièrs Tl s mtièrs Générlités sur ls grphs. Déinitions Rprésnttion un grph Exmpls stnrs Chins t hmins 7. Mots t lngg Chins Dsnnts t snnts Connxité Dgrés Applitions 0. Colorig grphs Solution Dijkstr Arrs ouvrnt pois minimum Bonn numérottion s grphs orintés Théori s jux omintoirs à inormtion prit à ux jouurs Automts Annxs. Algorithms L progrmmur most

3 . Générlités sur ls grphs. Déinitions Déinition.. Un grph orinté G st l onné : (i) Un nsml ini t non vi noté Som(G) pplé ls sommts u grph G. (ii) Un nsml noté Ar(G) pplé ls Ars u grph G ont ls élémnts sont s oupls Som(G). Pr xmpl Som(G) = {,,,,, } t Ar(G) = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} éinissnt un grph orinté. Déinition.. Un grph non orinté G st l onné : (i) Un nsml ini t non vi noté Som(G) pplé ls sommts u grph G. (ii) Un nsml noté Ar(G) pplé ls rêts u grph G ont ls élémnts sont s nsmls ormés ux élémnts Som(G). Pr xmpl, Som(G) = {,,,,, } t Ar(G) = {{, }, {, }, {, }, {, }, {, }, {, }, {, }} éinissnt un grph non orinté. On prnr gr à n ps ononr ls nottions t à n ps mélngr v ls notions grph orinté t non orinté. Un r st un oupl. Un rêt st un nsml. Alors qu, ns l s orinté, il y un iérn ntr ls rs (, ) t (, ) il n y, ns l s non orinté, uun iérn ntr ls rêts {, } t {, }. D mêm, lors qu (, ) un sns ns l s orinté, il n y uun sns à prlr l rêt {, }. En prtiulir, ns l s non orinté, uun sommt n oul sur lui-mêm. Rmrqu.. : Dns l suit on prlr simplmnt grph pour n ps voir istingur ls grphs orintés s grphs non orintés. Déinition.. Soint G t G ux grphs. On ir qu G st un sous-grph G, noté G G si (i) Som(G ) Som(G) (ii) Cs non orinté : Ar(G ) Ar(G) (ii) Cs orinté : Ar(G ) Ar(G) Déinition..5 Soint G un grph t P Som(G). On éinit G l grph ngnré pr P pr (i) Som(G ) = P, { } (ii) Cs non orinté : Ar(G ) = {x, y} Ar(G) (x, y) Som(G ) { } (ii) Cs orinté : Ar(G ) = (x, y) Ar(G) (x, y) Som(G )

4 . Rprésnttion un grph L mnièr nïv rprésntr un grph st notr ls sommts ns l pln t rlir ux sommts pr un sgmnt ou un r rl lorsqu l rêt (ou l r) orrsponnt xist, n préisnt pr s lèhs l orinttion ns l s un grph orinté. Il s git l rprésnttion sgittl. Som(G) = {,,,,, } Ar(G) = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} Som(G) = {,,,,, } Ar(G) = {{, }, {, }, {, }, {, }, {, }, {, }, {, }} On put églmnt rprésntr un grph pr un mtri oolénn. Déinition.. Notons B = {0, } l lgèr Bool stnr. Son ition t s multiplition sont onnés pr ls tls luls suivnts : L 0,, + t rprésntnt rsptivmnt l FAUX, VRAI, OU t ET l logiqu. Déinition.. Soit G un grph. Notons n N >0 l rinlité Som(G) t notons {,..., n } ls sommts. L mtri oolénn ou mtri jn G st un mtri M M n (B) tl qu { si {i, j } Ar(G), M i,j = 0 sinon. Dns l s non orinté. { si (i, j ) Ar(G), M i,j = 0 sinon. Dns l s orinté. Pr xmpl :

5 Proposition.. L mtri oolénn un grph non orinté st un mtri rré symétriqu à igonl null. Démonstrtion. Si { i, j } st un rêt lors { j, i } églmnt (l orr s élémnts ns un nsml n ompt ps). D plus { i, i } n put jmis êtr un rêt (ls rêts sont s nsmls à ux élémnts or { i, i } = { i }). Déinition.. Soit G un grph orinté. On not G l grph non orinté ssoié à G t éini pr : Som( G ) = Som(G), Ar( G ) = { {x, y} x y (x, y) Ar(G) } Pour "ésorintr" un grph, il suit nlvr ls ouls t ls lèhs s rprésnttion sgittl. Pour l rprésnttion mtriill, l proéé st un pu plus ompliqué : il ut tout or mttr s 0 sur l igonl ( qui orrspon à nlvr ls ouls) t rnr l mtri symétriqu.

6 = = Exmpls stnrs Voii qulqus xmpls grphs non orintés. Déinition.. Soit n N. (i) Si n > 0, l liqu stnr à n sommts st l grph K n éini pr { } Som(K n ) = {,, n}, Ar(K n ) = I Som(G) Cr(I) = (ii) L hîn stnr à n rêts st l grph C n éini pr { } Som(C n ) = {0,, n} Ar(C n ) = {i, i} i {,, n} (iii) Si n > l yl stnr à n sommts st l grph Z n éini pr { } Som(Z n ) = {0,, n } Ar(Z n ) = {i, i} i {,, n } {{n, 0}} K K K K C 0 C C C Z Z Z 5 5

7 Cs grphs ont lur nlogus ns l s orinté. Déinition.. Soit n N. (i) Si n > 0, l liqu stnr orinté à n sommts st l grph, églmnt noté K n, éini pr Som(K n ) = {,, n}, Ar(K n ) = Som(G) Som(G) (ii) L hîn stnr orinté à n rêts st l grph, églmnt noté C n, éini pr { } Som(C n ) = {0,, n} Ar(C n ) = (i, i) i {,, n} (iii) Si n > l yl stnr orinté à n sommts st l grph, églmnt noté Z n, éini pr { } Som(Z n ) = {0,, n } Ar(Z n ) = (i, i) i {,, n } {{n, 0}} K K K K C 0 C C C 0 Z 0 Z 0 Z 5 Il xist un typ grph qui st à l ois orinté t non orinté. Déinition.. Soit n N >0. L stl stnr à n sommts st l grph S n éini pr Som(S n ) = {,..., n}, Ar(S n ) = Ar(S n ) = L stl stnr st simplmnt rprésnté pr ss sommts.

8 . Chins t hmins. Mots t lngg Déinition.. On ppll lpht ou voulir tout nsml non vi ini. Ls élémnts un voulir sont pplés lttrs ou rtèrs. Pr xmpl Σ = {0, } éini l lpht u lngg inir t 0 t sont ls lttrs t lpht. Déinition.. Soit Σ un lpht. (i) Soit n N >0. On ppll mot longuur n tout n-uplt = (,..., n ) Σ n. On not plus simplmnt =... n. On not n =. (ii) On not ε l mot vi (i.. qui n ontint uun lttr) ; ε = 0. (iii) Pour tout n N, on not Σ n l nsml tous ls mots longuur n ; n prtiulir Σ 0 = {ε} t Σ = Σ. (iv) On éinit l étoil Kln sur Σ, noté Σ, omm l nsml tous ls mots qulqu soit lur longuur. Σ = Σ n n N Pr xmpl sur l lpht Σ = {0, } u lngg inir Σ = {000, 00, 00, 0, 00, 0, 0, } t Si Σ = {} lors Σ = {ε,,,,,...}. Déinition.. Σ = {ε, 0,, 00, 0, 0,, 000, 00, 00, 0, 00, 0,...} Soit Σ un lpht. Un lngg sur Σ st un prti L (Σ) Σ. Ls élémnts L (Σ) sont pplés ls mots u lngg. Pr xmpl, toujours v Σ = {0, }, on onsièr l lngg L (Σ) ormé tous ls mots Σ n ommnçnt ps pr 0 : L (Σ) = {ε,, 0,, 00, 0, 0,, 000, 00,...} Conténtion Étnt onné un lpht Σ on put tur sur un lngg Σ ls opértions nsmlists ournts : l intrstion, l union t l omplémnttion. On put églmnt onténr ls mots. Déinition.. Soint α t β ux mots sur un lpht Σ tl qu α = n t β = m. On éinit l onténtion α β, noté α β ou plus simplmnt αβ pr l règl : { αk si k n, k n + m, (αβ) k = sinon. on it qu α st l tur guh ou l préix αβ t β t l tur roit ou l suix. Pr xmpl, sur l lpht inir 00 0 = 000. β k n 7

9 Proposition..5 Pour tout lpht Σ, l onténtion éinit un opértion intrn sur Σ stisisnt : : Σ Σ Σ (α, β) α β (Assoitivité) α, β, γ Σ, (α β) γ = α (β γ). (Elémnt nutr) α Σ, α ε = ε α = α. (Longuur) α, β Σ, α β = α + β. Démonstrtion. Vériions l ssoitivité, l rst st trivil. Notons α = n, β = m t γ = p t ixons un ntir k n + m + p. Alors ((α β) γ) k = (α (β γ)) k = { (α β)k k n + m γ k (n+m) n + m + k n + m + p = { α k k n (β γ) k n n + k n + m + p = α k β k n γ k (n+m) α k β k n γ (k n) m k n n + k n + m n + m + k n + m + p k n n + k n + m n + m + k n + m + p On osrv qu ls ux xprssions sont intiqus (puisqu k (n + m) = (k n) m). Rmrqu.. : L onténtion n st ps ommuttiv à moins qu Σ n soit un singlton. Déinition..7 Soint α t α ux mots sur un lpht Σ. On ir qu α st un sous-mot α s il xist s mots π t σ tl qu α = πα σ. Chins Déinition.. Soint G un grph non orinté (rsp. orinté) t n N. Un hin ou un hmin longuur n sur G st un mot = 0... n u lngg Chin n (G) (Som(G)) n sur l lpht Som(G) éini pr l règl : 0 k < n, { i, i+ } Ar(G) (rsp. 0 k < n, ( i, i+ ) Ar(G)) L prmièr lttr l hin st pplé l origin t l rnièr l outissmnt. On not G = n t Chin(G) = n N Chin n (G). Rmrqu.. : Dns l prtiqu l mot hin st résrvé u grph non orinté. Dns l s orinté, on prl plus hmin. Dns ours, pour simpliir ls nottions, nous n rons ps l istintion. 8

10 Rmrqu.. : On prnr gr : mlgré l it qu un rêt st non orinté st à ir qu {, } = {, }, il y un iérn ntr l hin t l hin, qui sont pr éinition s élémnts u prouit rtésin Som(G) Som(G). Pr xmpl st un hin grph longuur 5 (t ps ; on ompt n it l nomr rêt) t n st ps un hin r {, } n st ps un rêt. Proposition.. Tout sous-mot un hin st un hin. Démonstrtion. Trivil. Déinition..5 Un hin st it élémntir si ll n pss ps ux ois pr l mêm sommt. Dns l xmpl préént, n st ps un hin élémntir puisqu ll pss ux ois pr l sommnt. Proposition.. Soit G un grph. (i) Si il xist un hin ntr ux sommts u grph lors il xist un hin élémntir ntr s ux sommts. (ii) Soit α un hin élémntir G, α G Cr(Som(G)) Démonstrtion. L son point st évint : si l longuur l hin st stritmnt supériur à Cr(Som(G)) st à ir supériur ou égl à Cr(Som(G)) lors l hin pss ormnt ux ois pr l mêm sommt t n put on ps êtr élémntir. Pour l prmir point il suit osrvr qu un si un hin st non élémntir lors ll pss ux ois pr l mêm sommt t on ll "oul". Si on nlèv tt oul on otint un nouvll hin v l mêm origin t l mêm outissmnt mis longuur stritmnt inériur. Si l nouvll hin n st ps élémntir on rommn l prossus. Cs itértions prnnnt néssirmnt in puisqu ls longuurs éroissnt stritmnt. L onténtion s hins s rélis omm ll s mots n "usionnnt" outissmnt t origin. Plus préisémnt : Déinition..7 Soit G un grph. On éinit or : Chin(G) Som(G) : Chin(G) Som(G) ls ontions qui ssoint rsptivmnt l origin t l outissmnt un hin. Pr xmpl (tg) = t or(tg) =. 9

11 Déinition..8 Soint α t β ux hins sur un grph G longuur rsptivs n t m. On ir qu α t β sont ontnls si (α) = or(β). Dns s on éinit l onténtion α t β pr l règl : { αk si k < n, k n + m, (αβ) k = sinon. β k n On prnr gr : l inéglité st strit! Pr xmpl v l grph préént : = (on n réérit ps ux ois l sommt ). Proposition..9 Soint G un grph non orinté, α, β t γ s hins G tl qu α soit onténl à β lui mêm onténl à γ. Alors αβ st onténl γ t α st onténl à βγ. D plus (Assoitivité) (αβ)γ = α(βγ). (Elémnt nutr) αε = εα = α. (Longuur) αβ G = α G + β G. Démonstrtion. L risonnmnt st l mêm qu lui sur ls mots. Théorèm..0 Soint n N, G un grph t M s mtri oolénn. ( α Chin n (G), or(α) = i (α) = j ) M n i,j = Autrmnt it : il xist un hin longuur n ntr ux sommts i t j si t sulmnt si M n i,j =. Démonstrtion. Risonnons pr réurrn sur n N, l s initil étnt trivil. Supposons qu pour un n qulonqu ixé l propriété u théorèm soit stisit t vériions l u rng n +. On ommn pr osrvr qu M n+ = M M n, prouit mtri s rélisnt v s oiints ns l lgèr Bool B. En prtiulir, pr éinition u prouit mtriill t pr éinition s règls lul ns B, M n+ i,j = n M i,k M n k,j = k 0, M i,k0 M n k 0,j = k= k 0, M i,k0 = M n k 0,j = Pr éinition l mtri oolénn M i,k0 = si t sulmnt si il xist un r ( i, k0 ) (ou un rêt { i, k0 } ns l s non orinté) t pr hypothès réurrn M n k 0,j = si t sulmnt si il xist un hin longuur n origin k0 t outissmnt j. L onténtion prmt hvr tt réurrn. 0

12 . Dsnnts t snnts Déinition.. Soit G un grph. Pour tout n N >0 t tout x Som(G) on éinit { } Γ +n (x, G) = y Som(G) α Chin n (G), or(α) = x (α) = y { } Γ n (x, G) = y Som(G) α Chin n (G), or(α) = y (α) = x On onvins qu Γ 0 (x, G) = {x}. On pos Γ + (x, G) = Γ +n (x, G), Γ (x, G) = Γ n (x, G) n N n N Ls élémnts Γ +n (x, G) orrsponnt ux sommts u grph qui sont ttint pr s hmins longuur n origin x. Ls élémnts Γ n (x, G) orrsponnt qun à ux ux sommts u grph qui ttignnt x pr s hmins longuur n. Pr xmpl : Γ + (, G) = {, } Γ (, G) = {,, } Γ (, G) = Γ + (, G) = {,,,, } Déinition.. Soit x un sommt un grph G. (i) Ls élémnts Γ + (x, G) sont pplés ls sussurs x. (ii) Ls élémnts Γ (x, G) sont pplés ls prééssurs x. (iii) Ls élémnts Γ + (x, G) sont pplés ls snnts x. (iv) Ls élémnts Γ (x, G) sont pplés ls snnts x. Lorsqu l grph st non orinté ls notions prééssurs t sussurs oïnint. Proposition.. Soit G un grph non orinté. n N, x Som(G), Γ +n (x, G) = Γ n (x, G) Démonstrtion. Trivil.

13 Déinition.. Soit G un grph non orinté. Ls sussurs (t prééssurs) sont pplés ls voisins ou sommts jnts x. Proposition..5 Soint n N t x un sommt un grph G. { } Γ ±(n+) (x, G) = y Som(G) z Γ ± (x, G), y Γ ±n (z, G) Démonstrtion. Cl vins u it qu tout hin longuur n + s éompos omm un hin longuur onténé v un hin longuur n. D tt proposition on n éuit un lgorithm pour étrminr ls nsmls Γ ±n (x, n)... : Algorithm u mrqug.. S = {x}. Pour un vril ntièr i llnt à n On onsièr S tmp tous ls * sussurs (si l on hrh à étrminr Γ +n (x, G)) * prééssurs (si l on hrh à étrminr Γ n (x, G)) s sommts S. S = S tmp. Fin pour. Γ ±n (x, G) =S. Rprnons l xmpl préént t étrminons Γ (, G) v l lgorithm. On rprésnt ls iérnts étts l vril S ns un tlu. Γ 0 Γ Γ Γ L onition initil st S=. On mrqu à l lign u Γ 0 l sommt : Γ 0 Γ Γ Γ Pour l lign suivnt, on v mrqur tous ls prééssurs. Γ 0 Γ Γ Γ Pour l lign suivnt, on v mrqur tous ls prééssurs t. Γ 0 Γ Γ Γ Pour inir on mrqu ls prééssurs, t Γ 0 Γ Γ Γ

14 Finlmnt Γ (, G) = {,,, }. Pour étrminr Γ ± (x, G) on mélior l lgorithm préént...7 : Algorithm u mrqug +.. On mrqu l sommt x. Tnt qu il xist s sommts mrqués mis non séltionnés On séltionn un sommt mrqué y t non sltionné. On mrqu tous ls * sussurs (si l on hrh à étrminr Γ + (x, G)) * prééssurs (si l on hrh à étrminr Γ (x, G)) y. Fin tnt qu. Γ ± (x, G) = ls sommts mrqués. Clulons Γ + (, G) pour l grph non orinté G suivnt j l n i k m o h g L prmièr étp l lgorithm rvins à mrqur : Som(G) g h i j k l m n o Mrqug On séltionn l sommt t on mrqu tous ls sommts qui lui sont jnts. Som(G) g h i j k l m n o Mrqug on séltionn l sommt j t on mrqu ss sommts jnts. Et insi proh n proh. Som(G) g h i j k l m n o Mrqug Som(G) g h i j k l m n o Mrqug Som(G) g h i j k l m n o Mrqug Som(G) g h i j k l m n o Mrqug Som(G) g h i j k l m n o Mrqug L prossus s rrêt ii puisqu tous ls sommts mrqués sont séltionnés ; inlmnt Γ + (, G) = {, g, j, k, l, n}

15 . Connxité Déinition.. Soit x un sommt un grph G. L omposnt onnx x st l sous-grph G ngnré pr Γ + (x, G ) = Γ (x, G ). On l not CC(x, G). Autrmnt is : l omposnt onnx un sommt st l sous-grph ngnré pr tous ls snnts ou snnts sommt. G CC(, G) g g Rmrqu.. : L lgorithm u mrqug prmt on étrminr ls omposnts onnxs un grph. Av l xmpl évloppé u prgrph préént l omposnt onnx st l sous-grph ngnré pr ls sommts {, g, j, k, l, n}. D l mêm mnièr l omposnt onnx st l sous-grph ngnré pr ls sommts {,,,,, h, i, m, o} j l n k g i m o h Proposition.. Soint x t y ux sommts un grph G. ( CC(x, G) = CC(y, G) α Chin( G ), ( or(α) = x (α) = y ) ) Démonstrtion. Exri. Déinition.. On ir qu un grph st onnx s il n possè qu un sul omposnt onnx. C grph st onnx.

16 Déinition..5 Soit x un sommt un grph orinté G. L omposnt onnx ort x st l sous-grph G ngnré pr Γ + (x, G) Γ (x, G). On l not CCF(x, G). G CCF(, G) g g Déinition.. Soit G un grph orinté. On éinit l grph réuit G, noté G r pr : { } Som(G r ) = CCF(x, G) x Som(G) { } Ar(G r ) = (I, J) Som(G r ) Ar(G) (I J) G G r g CCF(, G) {,,g} CCF(, G) {} CCF(, G) {,,} Proposition..7 Un grph orinté st onnx si t sulmnt si son grph réuit st onnx. Démonstrtion. Exri..5 Dgrés Déinition.5. Soint G un grph t x Som(G). On ppll + (x, G) = Cr(Γ + (x, G)) l mi-gré xtériur x t (x, G) = Cr(Γ (x, G)) l mi-gré intériur x. Lorsqu l grph st non orinté + (x, G) = (x, G) qu l on not simplmnt (x, G) t qu l on ppll l gré x. Rmrqu.5. : Ls mi-grés rprésntnt ls nomrs sussurs t prééssurs. 5

17 Rmrqu.5. : On vin isémnt qu srit ls éinitions +n (x, G), n (x, G) t n (x, G). Nous n ls utilisrons ps pnnt. Proposition.5. Soit G un grph orinté. x Som(G) Formul s gré + (x, G) = x Som(G) (x, G) = Cr(Ar(G)) Démonstrtion. Notons M l mtri oolénn u grph G, n l nomr sommt t {,..., n } ls sommts. L nomr ns l lign i iniqu l nomr sussurs u sommt i t l nomr n ns l olonn j iniqu l nomr prééssurs u sommt j. Autrmnt + ( i, G) = M i,j t ( j, G) = n M i,j où ls somms s rélisnt ns N. i= On osrv plus qu l nomr totl ns l mtri orrspon ux nomr r u grph. Ainsi j= Cr(Ar(G)) = = = n i= i= n j= M i,j n n j= M i,j = ( n n ) M i,j = n + ( i, G) i= j= i= j= n ( j, G) Proposition.5.5 (Formul s grés) Soit G un grph non orinté. (x, G) = Cr(Ar(G)) x Som(G) Démonstrtion. Soint n l nomr sommt G, {,..., n } ls sommts G t M l mtri oolénn G. L nomr sur l lign i onn l nomr sommt jnt à i. Autrmnt n it ( i, G) = M i,j où l somm s tu ns N t non ns B. D plus l nomr totl ns j= l mtri vut Cr(Ar(G)) r si { i, j } st un rêt G st églmnt l s { j, i }. Alors n n n n Cr(Ar(G)) = M i,j = n = ( i, G). M i,j i= j= i= j= i=

18 Corollir.5. Dns un grph non orinté l nomr sommt gré impir st pir. Démonstrtion. L somm tous ls grés un grph non orinté put s éomposr n l somm s sommts gré pir plus l somm s sommts gré impir (x, G) = (x, G) + (x, G) x Som(G) x Som(G) (x,g) pir D près l proposition préént tt somm st pir. D plus tt somm tous ls (x, G) sont pir) lors néssirmnt x Som(G) (x,g) impir x Som(G) (x,g) pir x Som(G) (x,g) impir (x, G) st pir (puisqu ns (x, G) st pir. Puisqu ns tt rnièr somm tous ls (x, G) sont impirs ils sont ormnt n nomr pir (un somm impir nomr impir st impir t un somm pir nomr impir st pir ). Corollir.5.7 Soit G un grph non orinté onnx, Cr(Ar(G)) Cr(Som(G)) Démonstrtion. Soit n = Cr(Som(G)). On v risonnr pr réurrn sur n N >0, l s initil étnt trivil. On osrv pour ommnr pour tout sommt x G, (x, G) r l grph st onnx. Soit Soit x 0 Som(G), (x 0, G) = Dns s on onsièr l grph G éini omm l sous-grph G ngnré pr Som(G) {x 0 } qui st onnx pr onstrution. Cr(Ar(G)) = Cr(Ar(G )) + Cr(Som(G )) + Cr(Som(G )) + }{{} Cr(Som(G)). ( x 0 Som(G), (x 0, G) = ) = ( x Som(G), (x, G) > ) = ( x Som(G), (x, G) ) Dns s, n utilisnt l ormul s grés, Cr(Ar(G)) = x Som(G) x Som(G) x Som(G) Som(G) (x, G) Som(G). Et un somm impir nomr pir élvé à un puissn pir puis ivisé pr l moitié ll mêm onn un nomr ont l qurt u oul vut. 7

19 Déinition.5.8 (i) On ir qu un grph non orinté onnx G st un rr si Cr(Ar(G)) = Cr(Som(G)). (ii) Un grph non orinté sr un orêt si hun ss omposnts onnxs st un rr. Voii un orêt. Déinition.5.9 Soit G un grph. (i) On ir qu G possè un iruit s il xist α Chin(G) tl qu α > 0 t or(α) = (α). (ii) Dns l s ontrir on ir qu l grph st sns iruit. Un iruit orrspon à un hin "qui oul". C grph st sns iruit. Déinition.5.0 Un hin ulérinn un grph G st un hin qui pss un t un sul ois pr touts ls rêts (ou r) G. Un iruit ulérin un grph st un hin ulérinn qui st un iruit. Théorèm.5. Un grph onnx mt un iruit ulérin si t sulmnt si : Cs non orinté : pour tous ls sommts x G, (x, G) st pir. Cs orinté : pour tout ls sommts x G, + (x, G) = (x, G). 8

20 Corollir.5. Soint t ux sommts un grph onnx G. Il xist un hin ulérinn ntr t si t sulmnt Cs non orinté : (, G) t (, G) sont impirs t ls grés tous ls utrs sommts sont pirs. Cs orinté : + (, G) = (, G) +, + (, G) = (, G) t pour tout x Som(G) {, }, + (x, G) = (x, G). 9

21 . Applitions. Colorig grphs Déinition.. Soit G un grph non orinté. L nomr hromtiqu G, noté X(G), st l plus ptit nomr oulur iérnts néssir pour olorir ls sommts G tll sort qu un mêm oulur n soit ps ttriué à ux sommts jnts. Proposition.. Soint G t G s grphs non orintés t n N >0 (i) Si G G lors X(G ) X(G). (ii) X(K n ) = n. (iii) X(C n ) =. { si n st pir, (iv) X(Z n ) = sinon. (v) X(S n ) =. Démonstrtion. Exri. L lgorithm Brélz ou DSATUR prmt olorir un grph t onnr un onn orn supériur u nomr hromtiqu. On onsièr qu ls oulurs sont numérotés :,,,,... Voii ls étps l lgorithm... : Algorithm Brélz. Initilistion Pour hqu sommt x DSAT[x] = gré x Fin pour. Itértions Tnt qu il xist s sommts non oloriés Pour hqu sommt x non olorié Si uun voisin x n st olorié DSAT(x) = gré x = nomr voisin x. sinon DSAT(x) = nomr sommt jnt x qui sont oloriés. Fin si Fin pour On hoisit un sommt x non olorié tl qu DSAT(x) soit l plus grn. Si il y onlit, on hoisit l sommt qui n plus l gré mximl. On olori l sommt v l plus ptit oulur possil. Fin tnt qu Détillons un xmpl 0

22 Consiérons l grph suivnt i h g On ommn pr lulr ls grés hqu sommt Som(G) g h i (x, G) 5 5 On v nsuit omplétr l tlu suivnt où l on oronnr ls sommts pr gré roissnt. Som(G) g h i DSAT(x) 5 5 DSAT(x) DSAT(x) DSAT(x) DSAT(x) 5 DSAT(x) DSAT(x) 7 DSAT(x) 8 DSAT(x) 9 COULEUR Il y utnt lign qu l sommt. L lign DSAT(x) orrspon ux grés puisqu uun sommt n st olorié. On hoisi on toujours l sommt non olorié v l plus grn DSAT t l plus à guh (n s églité). L prmir sommt à êtr olorié st g. On lui ttriu l plus ptit oulur possil t on rlul DSAT(x) (ns l lign DSAT(x) ) pour hqu sommt x non olorié. Som(G) g h i DSAT(x) 5 5 DSAT(x) DSAT(x) DSAT(x) DSAT(x) 5 DSAT(x) DSAT(x) 7 DSAT(x) 8 DSAT(x) 9 COULEUR L DSAT mximl st lui u sommt. On l olori v l oulur églmnt puisqu l st possil. On omplèt l tlu Som(G) g h i DSAT(x) 5 5 DSAT(x) DSAT(x) DSAT(x) DSAT(x) 5 DSAT(x) DSAT(x) 7 DSAT(x) 8 DSAT(x) 9 COULEUR A l étp suivnt il y onlit : ux sommts ont un DSAT mximl. On hoisi lors lui qui st l plus à guh ns l tlu. Il s git on u sommt. C sommt étnt jnt ux sommts g t oloriés v l oulur, on l olori v l oulur. Som(G) g h i DSAT(x) 5 5 DSAT(x) DSAT(x) DSAT(x) DSAT(x) 5 DSAT(x) DSAT(x) 7 DSAT(x) 8 DSAT(x) 9 COULEUR

23 Vins nsuit l sommt qui st jnt à g t à ; il ut on l olorir v l oulur Som(G) g h i DSAT(x) 5 5 DSAT(x) DSAT(x) DSAT(x) DSAT(x) 5 DSAT(x) DSAT(x) 7 DSAT(x) 8 DSAT(x) 9 COULEUR Vins nsuit l sommt qui g, t omm sommt jnts ; on l olori v l oulur. Som(G) g h i DSAT(x) 5 5 DSAT(x) DSAT(x) DSAT(x) DSAT(x) 5 DSAT(x) DSAT(x) 7 DSAT(x) 8 DSAT(x) 9 COULEUR L sommt st jnt à g t à mis ps à ; on l olori on v l oulur. Som(G) g h i DSAT(x) 5 5 DSAT(x) DSAT(x) DSAT(x) DSAT(x) 5 DSAT(x) DSAT(x) 7 DSAT(x) 8 DSAT(x) 9 COULEUR L sommt h st jnt à g mis ps à ; on l olori v l oulur. Som(G) g h i DSAT(x) 5 5 DSAT(x) DSAT(x) DSAT(x) DSAT(x) 5 DSAT(x) DSAT(x) 7 DSAT(x) 8 DSAT(x) 9 COULEUR Puisqu l sommt st jnt ux sommt g, h t on l olori v l oulur. Som(G) g h i DSAT(x) 5 5 DSAT(x) DSAT(x) DSAT(x) DSAT(x) 5 DSAT(x) DSAT(x) 7 DSAT(x) 8 DSAT(x) 9 COULEUR Et pour inir l oulur onvint u rnir sommt non olorié : i. Som(G) g h i DSAT(x) 5 5 DSAT(x) DSAT(x) DSAT(x) DSAT(x) 5 DSAT(x) DSAT(x) 7 DSAT(x) 8 DSAT(x) 9 COULEUR

24 i h g Nous pouvons on irmr qu X(G). En it X(G) =. En t K G on = X(K ) X(G) t s inéglités sont s églités. Déinition.. On ppll grph plnir tout grph non orinté pouvnt êtr ssiné sur un pln tll sort qu ls sommts soint s points istints, t qu ls rêts n s rnontrnt ps n hors lurs xtrémités (ls rêts pouvnt êtr rprésntés pr s ours). 5 C grph st plnir ; n t n rérrngnt ss sommts t n trçnt ls rêts stuiusmnt il st équivlnt u grph roit. 5 Déinition..5 On ir qu ux grphs non orinté sont homéomorphs si l on put pssr l un à l utr n ivisnt s rêts à l i sommt supplémntir. Pr xmpl ls ux grphs suivnts sont homéomorphs : L théorèm suivnt prmt rpérr si un grph st plnir.

25 Théorèm.. (Kurtowski) Un grph non orinté st non plnir si t sulmnt s il possè un sous-grph homéomorph à K 5 K, Il xist un rtéristion plus il s grphs plnirs. Proposition..7 Pour tout grph plnir G onnx possént plus sommts, Ar(G) Som(G) Voii un lgorithm prmttnt, ssz souvnt, plnriir un grph...8 : Algorithm plnriition. n = l nomr intrstion ntr ls rêts G. Tnt qu n>0 Pour hqu sommt x G i(x) = l nomr intrstion qu ompt ls rêts issus x. Fin pour x = l sommt tl qu i(x) st mximl. x = l isoryntr s voisins x. G = l grph G ou l on éplr l sommt x n x. n = l nomr intrstion ntr ls rêts G. Si x=x Fin l lgorithm Fin si Si n <n Rmplr G pr G t n pr n Fin si Fin tnt qu Pr xmpl : 5 Nomr intrstion ntr rêts : 5.. Toi ussi! Invnt s mots! Sommt 5 i On séltionn l sommt qui mt,, t 5 omm voisin. On pl on l sommt u miliu u quriltèr 5.

26 5 Nomr intrstion ntr rêts :. Sommt 5 i En rqunt l rêt {; } ls grés intrstions srint rsptivmnt,,, 0,. Dns s il n ut ps séltionnr l sommt qui éjà été séltionné à l itértion préént. On séltionn l sommt qui mt, t 5 omm voisin. On pl on l sommt u miliu u tringl 5. 5 Nomr intrstion ntr rêts : 0. Sommt 5 i Fin. Théorèm..9 (Théorèm s oulurs) Pour tout grph plnir G, X(G) L théorèm s oulurs ut or onjturr n 85 pr Frnis Guthri intérssé pr l olortion l rt Angltrr : il st possil, n n utilisnt qu qutr oulurs iérnts, olorir n import qull rt éoupé n régions, sort qu ux régions jnts, st-àir ynt tout un rontièr (t non simplmnt un point) n ommun rçoivnt toujours ux oulurs istints. Prsqu 0 ns plus tr un pruv st pulié mis on s rnr ompt 0 près qu ll st uss t qu ll prouv plutôt un théorèm s 5 oulurs. Il ur ttnr 97 t l vènmnt l èr inormtiqu pour qu un pruv sérius soit pulié pr ux Amériins, Knnth Appl t Wolgng Hkn. Lur pruv onsist à ivisr l prolèm s oulurs n 78 prolèms qu l on put résour pr orintur (t 00 hurs lul). A l époqu lur émonstrtion prtgit l ommunuté sintiiqu : qul réit orr à un pruv rélisé pr orintur? Aujour hui il n xist toujours uun pruv théorèm n utilisnt ps l outil inormtiqu.. Solution Dijkstr Déinition.. Soit G un grph. Un métriqu ou un vlution sur G st un pplition λ : Ar(G) ]0; + [ On ir qu l oupl (G, λ) st un grph métriqu ou grph vlué (orinté ou non orinté). Dns l prtiqu on rprésnt un grph métriqu n iniqunt sur hqu rêt l vlur l métriqu. Pr xmpl 5

27 8 g h Étnt onné un grph métriqu, l solution Dijkstr prmt étrminr l hin l plus ourt (u sns l métriqu) rlint ux sommts. L lgorithm solution prmt, étnt onné un sommt ixé, étrminr touts ls plus ourts hins rlint ls utrs sommt... : Solution Dijkstr (prtnt un sommt x).. Initilistion _min(x)=0; sommt_proh(x)={}; Pour tous ls sommts y iérnt x _min(y)=+ ; sommt_proh(y)={}; Fin pour. Tnt qu il xist s sommts non mrqués On mrqu un sommt y non mrqué tl qu _min(y) soit l plus ptit possil. Pour tout sommt z non mrqué t sussur/voisin à y Si _min(z) > _min(y)+λ({y,z}) _min() = _min(y)+λ({y,z}); sommt_proh(z) = y; Fin si Fin pour Fin tnt qu Fisons tournr t lgorithm sur l grph métriqu préént. On présnt ls vrils l lgorithm ns un tlu. Som(G) g h Initilisons ls vrils : _min sommt_proh Som(G) g h _min sommt_proh L sommt u _min miniml st. On l mrqu. Ss sommts jnts sont, t. Pour l sommt, puisqu _min() > _min()+λ({,}) soit nor + > 0 + on moii l olonn u sommt. Pour l sommt, puisqu _min() > _min()+λ({,}) soit nor + > 0 + on moii l olonn u sommt.

28 Pour l sommt, puisqu _min() > _min()+λ({,}) soit nor + > on moii l olonn u sommt. Som(G) g h _min sommt_proh L sommt u _min miniml non mrqué st. On l mrqu. Ss sommts jnts non mrqués sont, t. Puisqu _min() > _min()+λ({,}) soit + > + on moii l olonn u sommt. Puisqu _min() > _min()+λ({,}) soit 8 > + on moii l olonn u sommt. Puisqu _min() > _min()+λ({,}) soit > + on moii l olonn u sommt. Som(G) g h _min sommt_proh L sommt u _min miniml non mrqué st. On l mrqu. Ss sommts jnts non mrqués sont, t g. Puisqu _min() > _min()+λ({,}) soit + > 5 + on moii l olonn u sommt. Puisqu _min() _min()+λ({,}) soit on n moii ps l olonn u sommt. Puisqu _min(g) > _min()+λ({,g}) soit + > 5 + on moii l olonn u sommt g. Som(G) g h _min sommt_proh L sommt u _min miniml non mrqué st (on urit pu hoisir mis un tl hoix n hng n rin l résultt inl). On l mrqu. Ss sommts jnts non mrqués sont, t g. Puisqu _min() > _min()+λ({,}) soit 9 > + on moii l olonn u sommt. Puisqu _min() _min()+λ({,}) soit + on n moii ps l olonn u sommt. Puisqu _min(g) > _min()+λ({,g}) soit > + on moii l olonn u sommt g. Som(G) g h _min sommt_proh L sommt u _min miniml non mrqué st. On l mrqu. Il n ps sommt jnt non mrqué. Som(G) g h _min sommt_proh L sommt u _min miniml non mrqué st. On l mrqu. Ss sommts jnts non mrqués sont g t h. Puisqu _min(h) > _min()+λ({,h}) soit + > 7 + on moii l olonn u sommt h. Puisqu _min(g) _min()+λ({,g}) soit on n moii ps l olonn u sommt g. 7

29 Som(G) g h _min sommt_proh L sommt u _min miniml non mrqué st g. On l mrqu. Son sommt jnt non mrqué st h. Puisqu _min(h) > _min(g)+λ({g,h}) soit 0 > 8 + on moii l olonn u sommt h. Som(G) g h _min sommt_proh g L rnir sommt non mrqué st h qui n ps sommt jnt. Som(G) g h _min sommt_proh g Intrpréttion : l hmin l plus ourt u sns l métriqu u grph ntr t h (pr xmpl) st longuur 9. Pour otnir tt hin, on rgr qul st l sommt l plus proh h st g ont l sommt l plus proh st ont l sommt l plus proh st ont l sommt l plus proh st. Ainsi l hmin l plus ourt ntr st h st gh. D mêm pour ls utrs sommts. Ls plus ourts hins sont on,,,,, g, gh. Arrs ouvrnt pois minimum Déinition.. Soit (G, λ) un grph métriqu non orinté. Un rr ouvrnt G st un sous grph G G tl qu G soit un rr t Som(G ) = Som(G). Soit G un rr ouvrnt G. L pois G st l somm s vlutions ss rêts. On l not P(G ). P(G ) = λ({x, y}) {x,y} Ar(G ) Consiérons 8 vills ont rtins sont rliés ntr lls pr ptits routs trr 8 où l métriqu rprésnt l istn n kilomètr qui sépr ls vills. g h 8 L gouvrnmnt souhit onstruir s routs ntr s vills n gouronnnt ls hmins trr. C projt st soumis à ux ontrints : Chqu vill oit voir u moins un rout gouronné. Minimisr l prix onstrution shnt qu un kilomètr gouronng out L prmir point sr stisit, si on prvint à trouvr un rr ouvrnt. Pour stisir l son point il ur qu t rr soit pois minimum.

30 Voii l lgorithm Kruskl prmttnt étrminr un rr ouvrnt pois miniml... : Algorithm Kruskl (on n érit ls grphs qu pr lur rêts). A = l nsml s rêts G F = Tnt qu A = élémnt A tl qu λ() soit miniml. A = A {}. Si F {} st sns iruit F = F {} Fin si Fin tnt qu Solution = F. Sur notr xmpl. Arêt {, } 8 g h Arêt {, } 8 g h Arêt {, } 8 g h Arêt {g, h} 8 g h Arêt {, } 8 g h Arêt {, }. Fit ppritr un iruit. 8 g h Arêt {, g}. 8 g h Arêt {, g}. Fit ppritr un iruit. 8 g h 9

31 Arêt {, h}. Fit ppritr un iruit. 8 g h Arêt {, }. 8 g h Arêt {, }. Fit ppritr un iruit. 8 g h Arêt {, }. Fit ppritr un iruit. 8 g h Arêt {, }. Fit ppritr un iruit. 8 g h Arêt {, g}. Fit ppritr un iruit. 8 g h Arêt {, }. Fit ppritr un iruit. 8 g h Conlusion g h. Bonn numérottion s grphs orintés Déinition.. Soit G un grph orinté. Un onn numérottion sur G st un pplition N : Som(G) N tl qu (x, y) Ar(G), N(x) < N(y) Rmrqu.. : En prtiulir, il n xist ps onn numérottion sur s grphs ynt s r l orm (x, x). 0

32 Consiérons pr xmpl l grph suivnt Un onn numérottion st pr xmpl : N : Som(G) N 5 Déinition.. Soint G un grph orinté t N un onn numérottion sur G. On éinit l grph orinté G N pr Som(G N ) = { N(x) x Som(G) } Ar(G N ) = { (N(x), N(y)) (x, y) Ar(G) } Av l xmpl préént l grph G N st 5 En réoronnnt l grph n érivnt ls sommts pr orr roissnt suivnt l ltur on otint : 5 Proposition.. Soint G un grph orinté t N un onn numérottion. L mtri oolénn G N st un mtri tringulir supériur strit. Démonstrtion. L oiint M i,j l mtri oolénn u grph G N vut s il xist un r ntr ls sommts i t j. Mis pr éinition onn numérottion (N(x) < N(y)) s oiints sont nuls lorsqu i j. Rmrqu..5 : En inormtiqu, lorsqu l on st mné à mnipulr s grphs, on utilis lur rprésnttion mtriill. Plus l grph possè sommt, plus l mtri st grn t on plus ls ouls néssir pour prourir l grph sont longus ; l orr n. Av un onn numérottion, l résultt préént stipul qu, puisqu l mtri st tringulir supériur, il n st ps néssir l prourir n ntir mis simplmnt s ntonnr à l prti supériur, n(n ) réuisnt insi l nomr opértion ; l orr. Théorèm.. Un grph orinté st sns iruit si t sulmnt s il xist un onn numérottion. En liu t pl l pruv théorèm, nous llons étillr un lgorithm prmttnt un prt, étrminr si l grph possè ou non un iruit t utr prt, lorsqu il n n possér uun, onnr l onn numérottion. Il s git l lgorithm iltrtion (l pruv théorèm s résum à montrr qu l lgorithm iltrtion propos in un onn numérottion).

33 Déinition..7 Soit x un sommt un grph orinté G. (i) On ir qu x st un puits si Γ + (x, G) =. (ii) On ir qu x st un sour si Γ (x, G) =. Autrmnt : un puits st un sommt sns sussur t un sour st un sommt sns prééssur. Dns grph l sommt st un sour t l sommt st un puits. Rmrqu..8 : L lgorithm iltrtion possè ux vrsions : l lgorithm iltrtion pr ls sours t l lgorithm iltrtion pr ls puits. Nous présntons lui pr ls sours qui st plus "nturl"...9 : Algorithm iltrtion pr ls sours.. Initilistion n = (l ini l numérottion) Pour hqu sommt x u grph Pr[x] = ls prééssurs x. Fin pour S = ls sours = ls sommts x tl qu Pr[x] soit vi.. Itértions Tnt qu S st non vi Numérotr ls élémnts S n inrémntnt n. Supprimr ls élémnts S ns l tlu Pr. S = ls sommts x non numéroté tl qu Pr[x] soit vi. Fin tnt qu. Conlusion Si Pr st omplètmnt vi L grph st sns iruit. L numérottion tué st un onn numérottion. Sinon L grph possè u moins un iruit. Fin si Fisons tournr t lgorithm sur l xmpl On rprésnt ls iérnts vrils u progrmm ns un tlu : x Num Pr

34 Prmièr étp. L initilistion. x Num Pr On rpèr ls olonns vi : ii il n y qu. On numérot on à t on supprim touts ls ourrns ns l s Pr. x Num Pr On rpèr nsuit ls ss vis non numérotés : il n y qu. On l numérot à t on supprim ls ourrns. x Num Pr On rpèr ls ss vis non numérotés : il y t qu l on numérot t (ou t l n ps importn). On supprim t u tlu x Num Pr L st l sul s vi non numéroté où Finlmnt x Num 5 Pr x Num 5 Pr t l grph st on sns iruit..5 Théori s jux omintoirs à inormtion prit à ux jouurs Déinition.5. Un ju omintoir à inormtion prit à ux jouurs (JCIP) st un ju : à strtégi sns lé, sns inormtion hé, à ux jouurs jount à tour rôl.. L ju léhtt n st ps un JCIP r il it intrvnir un prti hsr.. L pokr ntr ux jouurs n st ps un JCIP r ls rts s jouurs sont hés.. Pirr ppir isux lézr Spok ntr ux jouurs n st ps un JCIP r ls jouurs n jount ps à tour rôl.. L ju u puissn st un JCIP. 5. L ju u morpion st un JCIP.. L ju m st un JCIP. 7. L ju éh st un JCIP. 8. L ju othlo (rvrsi) st un JCIP.

35 Déinition.5. A tout JCIP, on ssoi un grph orinté J éini pr : Som(J) = {Étts possil u ju} Ar(J) = {Si on put pssé un étt à un utr n un oup} Consiérons pr xmpl un mir 5 ss t un tour plé n hut à guh. L ut u ju st plr l tour n s à roit. Dux jouurs épl l piè, à tour rôl, n rsptnt l règl "On n put éplr l piè qu vrs l s ou vrs l roit". Il s git in un JCIP, ont ls sommts u grph rprésntnt l position l tour sur l mir t ls rs ls mouvmnts possil l piè On voit qu si un jouur st n 9 lors il v néssirmnt prr. Ainsi pour ggnr il suit ir n sort qu l jouur vrs s pl n 9. Exist-t-il utr position ornt un strtégi ggnnt? Déinition.5. L noyu un grph orinté G st un sous nsml Som(G) tl qu :. Ls sommts N sont ux à ux non jnts : (x, y) Som(G), (x, y) Ar(G). Tout sommt qui n st ps ns N un prééssur ns N : x Som(G) N, y N, (x, y) Ar(G) On put vériir qu {, } st un noyu.. l piè ux éhs C grph n possè ps noyu.

36 Lorsqu l grph n s ps iruit, on put onnr un noyu. C st l lgorithm énoyutg. Proposition.5. Tout grph orinté sns iruit possè un noyu L pruv résultt résult l lgorithm suivnt..5.5 : Algorithm énoyutg. N = Tnt qu Som(G) N = N {Puits G} Supprimr G ls élémnts N t lur prééssurs. Fin tnt qu Fisons tournr t lgorithm sur notr xmpl u ju l tour. Étp initil. N = L grph préént mt 5 omm uniqu puits : N = {5}. On xtrit u grph l puits 5 t ss prééssurs 5, 0,,, t L grph préént mt 9 omm uniqu puits : N = {9, 5}. On xtrit u grph l puits 9 t ss prééssurs,, 7 t

37 L grph préént mt omm uniqu puits : N = {, 9, 5}. On xtrit u grph l puits t ss prééssurs t L grph st vi. Un noyu st on N = {, 9, 5} L xistn u noyu grnti un strtégi non-prnt. Proposition.5. Soit N un noyu un grph un JCIP. Un jouur ont l position u éut son tour n st ps ns N un strtégi non-prnt. Démonstrtion. L jouur jou t s pl sur un sommt élémnt N, qui st possil près l éinition noyu. Si sommt st un puits, l jouur à ggné. Sinon, toujours près l éinition noyu, l vrsir n pourr s plr qu sur un sommt qui n st ps ns N t l jouur rommn s strtégi. Rprnons l ju l tour. L prmir jouur (lui qui v ggnr) s pl n. L utr jouur n put s plr qu n, 5, 8 ou. S il st plé n 5 ou n l prmir jouur pl l tour n 5 t ggn. S il st plé n ou 8, l prmir jouur s pl n 9. L son jouur n put lors qu s plr n 0 ou qui it ggnr l prmir jouur!. Automts Déinition.. Un utomt étt inis étrminist A, plus simplmnt pplé ADEF, st l onné un lpht Σ A, pplé l lpht l utomt, un nsml E A étt, un nsml I A E A étts initiux, un nsml F A E A étts inux, un ontion trnsition τ A : E A Σ A E A. Pr xmpl, on onsièr l ADEF ynt {0, } omm lpht, {A, B, C} omm étt, {A, B} omm étt initiux, {A, C} omm étts inux t ynt pour ontion trnsition l ontion τ : E A Σ A E A (A, 0) B (B, ) C (B, 0) B (C, ) A Rprésnttion un utomt On ispos ux moyns pour rprésntr un utomt. L prmir, l rprésnttion mtriill, st plus stisisnt pour l inormtiin qui pourr progrmmr un utomt pr l intrméiir

38 tt mtri. L son moyn, l rprésnttion sgittl, v prmttr ir l lin v l rst l théori s grphs. Déinition.. Soit A un ADEF. On éinit l mtri l utomt M A inxé pr ls étts n lign t l lpht n olonn pr : (M A ),x = si τ A (, x) = L mtri l utomt l xmpl préént st M A = 0 A B B B C C A n préént (rsp. suént) ls étts initiux (rsp. inux) un ptit lèh. Déinition.. Soit A un ADEF. On éinit l grph l utomt G A pr : { Som(G A ) = E A, Ar(G A ) = (, ) E A x Σ, τ A (, x) = } L grph l utomt notr xmpl st : A B C Ctt rprésnttion st un pu "il" puisqu v uniqumnt l grph on n put ps rtrouvr l lpht ou l ontion trnsition. Pour orrigr l on rjout sur ls r u grph ls lttrs l lpht outissnt à l étt. Dns notr xmpl : A 0 B 0 On spéii ls étts initiux pr s lèhs ntrnts ns ls étts onrnés t ls étts inux pr s lèhs sortnts : A 0 B 0 C C Déinition.. Un ADEF s pplé omplt si s ontion trnsition st un pplition. Pr xmpl : onsiérons Σ A = {0, }, E A = {pir, impir}, I A = {pir}, F A = {pir} t l ontion trnsition τ : E A Σ A E A (pir, 0) impir (pir, ) pir (impir, 0) pir (impir, ) impir 7

39 Dns un ADEF omplt, tous ls oiints l mtri sont rmplis (l mtri st omplèt). L grph t utomt st : 0 pir impir 0 Théorèm..5 Complétion un utomt Soit A un utomt étt inis étrminist. Consiérons l utomt A éini n rjoutnt un nouvl étt tl qu : Alpht : Σ A = Σ A Étts : E A = E A {} Étts initiux :I A = I A Étts inux :F A = F A Fontion trnsition : τ A : E A Σ A E A { τa (x, σ) si st éini (x, σ) sinon Alors A, pplé l omplété A, st un utomt étt inis étrminist omplt. Démonstrtion. C st un onséqun trivil l onstrution A. Consiérons l ADEF (non omplt) A suivnt : Σ A = {0, } E A = {A, B, C} I A = {A, B} F A = {A, C} Fontion trnsition : τ : E A Σ A E A (A, 0) B (B, ) C (B, 0) B (C, ) A L omplété tt utomt st : Σ A = {0, } E A = {A, B, C, } I A = {A, B} F A = {A, C} Fontion trnsition : M A = 0 A B B B C C A τ : E A Σ A E A (A, 0) B (B, ) C (B, 0) B (B, ) (C, 0) (C, ) A (, 0) (, ) A 0 B 0 C 0 0, 8

40 Ronnitr un lngg Déinition.. Soint A un ADEF, σ Σ A tl qu σ = n. On ir qu σ st pté pr A si il xist un suit 0,,..., n E A tl qu. 0 I A,. n F A,. k [, n], τ A ( k, σ k ) = k Autrmnt it : un mot longuur n st pté pr un utomt s il xist un hin longuur n ns l grph rprésntnt l utomt ynt un étt initil pour origin t un étt inl pour outissmnt. 0 pir impir Ls mots ε, 00, 00, 00, 00 sont ptés pr l utomt i-ontr. 0 Déinition..7 L lngg un ADEF A st l nsml s mots ptés. { } L(A) = σ Σ A σ st pté pr A 0 pir impir Ls mots ronnus pr t utomt sont tous ls mots {0, } possént un nomr pir 0. 0 Déinition..8 Soint Σ un lpht t L(Σ) Σ un lngg. On ir qu L(Σ) st un lngg étts inis, s il xist un ADEF A tl qu Σ = Σ A t L(A) = L(Σ). On it qu l utomt A ronnit l lngg L(Σ). Consiérons pr xmpl l lpht Σ = {0,,,,, 5,, 7, 8, 9} t l lngg L(Σ) = N s nomrs. Il s git un lngg étts inis. En t ls nomrs (n ommnçnt ps pr 0 su 0 lui mêm) sont ronnus pr l ADEF suivnt : Σ Vri,...,9 Fux 0 0 Σ Σ 9

41 REGEX Ls REGEX, pour REGulr EXprssions, sont un nsml ommn prmttnt tur s rhrhs ns ls hins rtèrs (notmmnt pour ls ormulirs w). Pr xmpl, nous vons mné à un utilistur ntrr un rss mil. Nous voulons nous ssurr qu l hin rtèrs sisi st u on ormt (s rtèrs suivis u ros suivit u moins ux rtèrs suivis un point suivis rtèrs u plus). Pour évitr ir un rhrh "à l min" à l i ouh TANT QUE, on put utilisr l REGEX suivnt : prg_mth("#^[-za-z0-9]+@[-za-z0-9]{,}\.[-z]{,}#",$hin_sisi) L ontion prg_mth rtourn vri si l REGEX pssé n prmètr pprit ns l hin u son prmètr. Il xist uoup utr ontion prmttnt jour v ls REGEX qu vous éouvrirz plus tr ; nous n nous intérssrons qu à l ontion prg_mth t rtournr l vlur vri. Nous llons ir l nlogi ntr ls REGEX t ls ADEF. Pour ommnr ixons un ois pour tout l lpht. Nous onsiérrons l lpht Σ tous ls rtèrs ASCII. Si A ésign un nsml lttr Σ, on notr A l nsml Σ A. Détillons l syntx qulqus REGEX insi qu ls ADEF ssoiés : Exmpl s. prg_mth("#eulr#",$txt) rnvrr vri si l hin Eulr pprit ns l vril $txt (ttntion à l s). L ADEF qui lui st ssoié st l suivnt : E E E E u E u l l r Σ r {E,u} E {E,l} {E,} {E,r} {E} L OU. prg_mth("#thé é#",$txt) rnvrr vri si l hin thé ou é pprit ns l vril $txt. L ADEF qui lui st ssoié st l suivnt : {h,,t} t {é,,t} t t h t h t é Σ {t,} é {,t,} t {,t,} t é {é,t,} 0

42 L éut. prg_mth("#^eulr#",$txt) rnvrr vri si l hin Eulr pprit u éut l vril $txt. L ADEF qui lui st ssoié st l suivnt : E Σ {E} E u u l l r r {u} {l} {} {r} Σ L in. prg_mth("#eulr$#",$txt) rnvrr vri si l hin Eulr pprit à l in l vril $txt. L ADEF qui lui st ssoié st l suivnt : E E E E E u E u l l r r {E,u} E {E,l} {E,} {E,r} {E} {E} Ls lsss rtèr. En utilisnt ls rohts, on put spéiir un lss rtèr. Pr xmpls : #gr[oi]s# st l mêm REGEX qu #grs gros gris#. #[A-Z]# st l mêm REGEX qu #A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z#. #[-8]# st l mêm REGEX qu # 5 7 8#. L NON. prg_mth("#[^e]#",$txt) rnvrr vri si E n pprit ps ns l vril $txt. L ADEF qui lui st ssoié st l suivnt : {E} V E F Σ On prnr gr! Il y un iérn ntr ls REGEX #[^E]# t #^[E]#. Dns l prmir s, l ontion rnvoi vri si l rtèr E n pprit ps ns l hin tnis qu ns l son s, où ls rohts sont illurs inutils, l ontion rnvrr vri si l hin ommn pr E.

43 Ls répétitions. prg_mth("#e{,}ulr#",$txt) rnvrr vri si l hin EEulr, EEEulr ou EEEEulr pprit ns l vril $txt. D l mêm mnièr #E{,}ulr$# rnvrr vri si l hin ontint EEulr, EEEulr,EEEEulr, EEEEEEEEEulr... (ntr t un ininité E). On ispos ommn simpliitri :... rvint à? {0,} + {,} * {0,} Pour inir on notr qu ls REGEX s utilis pour tur s rhrhs ns ls ss onné pr l intrméiir l ommn REGEXP. Pr xmpl, si l on possè un s onné v un tl tuints possént un hmp num_tl lur numéro téléphon ix ou moil. On souhit xtrir tt tl ls nom s étuints ont on ispos lur numéro téléphon portl, ommnçnt pr 0 ou 07. L REGEX ssoié st #^0[7]#. L lign ommn st lors : SELECT nom FROM tuints WHERE num_tl REGEXP ^0[7] Mémnto sur ls REGEX. REGEX #Eulr# #Eulr ulr# #[E]ulr# #^Eulr# #Eulr$# #^Eulr$# #[-z]# Rnvoi tru si l hin ontint l mot Eulr ontint l mot Eulr ou ulr ontint l mot Eulr ou ulr ommn pr Eulr ini pr Eulr n ontint qu l mot Eulr ontint un lttr minusul #[0-9]# ontint un hir #[--gf-h]# ontint un ou ou ou un lttr minusul prmi,,,,,, g ou un lttr mjusul prmi F, G, H #[^XYZ]# #[^A-Z]# #^[^-z]# #[^Eulr]$# #H{,}# #(H){,}# n ontint ps X ou Y ou Z n ontint ps lttr mjusul n ommn ps pr un lttr minusul n ini ps E ou u ou l ou ou r ontint l mot H ou H ou H ontint l mot HH ou HHH ou HHHH #H+# ontint l mot qui ommn pr H suivit u moins un. Ctt REGEX équivut à #H{,}# #H?# #H*# ontint l mot H ou l mot H. Ctt REGEX équivut à #H{0,}# ontint l mot H ou H ou H ou.... Ctt REGEX équivut à #H{0,}# #Goo*gl# ontint l mot Googl ou Gooogl ou Goooogl... #ng?# #Allo\?# ontint l mot ng ou n ontint l mot Allo?

44 . Annxs. Algorithms.. : Algorithm u mrqug.. S = {x}. Pour un vril ntièr i llnt à n On onsièr S tmp tous ls * sussurs (si l on hrh à étrminr Γ +n (x, G)) * prééssurs (si l on hrh à étrminr Γ n (x, G)) s sommts S. S = S tmp. Fin pour. Γ ±n (x, G) =S... : Algorithm u mrqug +.. On mrqu l sommt x. Tnt qu il xist s sommts mrqués mis non séltionnés On séltionn un sommt mrqué y t non sltionné. On mrqu tous ls * sussurs (si l on hrh à étrminr Γ + (x, G)) * prééssurs (si l on hrh à étrminr Γ (x, G)) y. Fin tnt qu. Γ ± (x, G) = ls sommts mrqués... : Algorithm Brélz. Initilistion Pour hqu sommt x DSAT[x] = gré x Fin pour. Itértions Tnt qu il xist s sommts non oloriés Pour hqu sommt x non olorié Si uun voisin x n st olorié DSAT(x) = gré x = nomr voisin x. sinon DSAT(x) = nomr sommt jnt x qui sont oloriés. Fin si Fin pour On hoisit un sommt x non olorié tl qu DSAT(x) soit l plus grn. Si il y onlit, on hoisit l sommt qui n plus l gré mximl. On olori l sommt v l plus ptit oulur possil. Fin tnt qu

45 .. : Algorithm plnriition. n = l nomr intrstion ntr ls rêts G. Tnt qu n>0 Pour hqu sommt x G i(x) = l nomr intrstion qu ompt ls rêts issus x. Fin pour x = l sommt tl qu i(x) st mximl. x = l isoryntr s voisins x. G = l grph G ou l on éplr l sommt x n x. n = l nomr intrstion ntr ls rêts G. Si x=x Fin l lgorithm Fin si Si n <n Rmplr G pr G t n pr n Fin si Fin tnt qu..5 : Solution Dijkstr (prtnt un sommt x).. Initilistion _min(x)=0; sommt_proh(x)={}; Pour tous ls sommts y iérnt x _min(y)=+ ; sommt_proh(y)={}; Fin pour. Tnt qu il xist s sommts non mrqués On mrqu un sommt y non mrqué tl qu _min(y) soit l plus ptit possil. Pour tout sommt z non mrqué t sussur/voisin à y Si _min(z) > _min(y)+λ({y,z}) _min() = _min(y)+λ({y,z}); sommt_proh(z) = y; Fin si Fin pour Fin tnt qu.. : Algorithm Kruskl (on n érit ls grphs qu pr lur rêts). A = l nsml s rêts G F = Tnt qu A = élémnt A tl qu λ() soit miniml. A = A {}. Si F {} st sns iruit F = F {} Fin si Fin tnt qu Solution = F.

46 ..7 : Algorithm iltrtion pr ls sours.. Initilistion n = (l ini l numérottion) Pour hqu sommt x u grph Pr[x] = ls prééssurs x. Fin pour S = ls sours = ls sommts x tl qu Pr[x] soit vi.. Itértions Tnt qu S st non vi Numérotr ls élémnts S n inrémntnt n. Supprimr ls élémnts S ns l tlu Pr. S = ls sommts x non numéroté tl qu Pr[x] soit vi. Fin tnt qu. Conlusion Si Pr st omplètmnt vi L grph st sns iruit. L numérottion tué st un onn numérottion. Sinon L grph possè u moins un iruit. Fin si..8 : Algorithm énoyutg. N = Tnt qu Som(G) N = N {Puits G} Supprimr G ls élémnts N t lur prééssurs. Fin tnt qu. L progrmmur most C st pr un séri oïnins qu j i mrssé l prossion progrmmur, oiillmnt l prmir mtin u printmps 95, t pour utnt qu j i pu hrhr, j us l prmir Hollnis à l ir ns mon pys. Rétrosptivmnt, l hos l plus étonnnt ut l lntur v lqull l prossion progrmmur émrg, u moins ns m région u mon, un lntur qui st mintnnt iiil à roir. Mis j i ux souvnirs très nts tt pério qui onirmnt tt lntur sns uun out. Après voir progrmmé pnnt trois ns, j us un isussion v A. vn Wijngrn qui étit lors mon ptron u Cntr Mthémtiqus Amstrm, un isussion pour lqull j lui rstris à jmis ronnissnt. L qustion étit qu, étnt simultnémnt supposé étuir l physiqu théoriqu à l univrsité Lin, t trouvnt ls ux tivités plus n plus iiils à onilir, j vis m éir soit à rrêtr progrmmr t à vnir un véritl, un rsptl théoriin l physiqu, soit à hvr ms étus physiqus v l minimum ort t à vnir? oui quoi? Un progrmmur? Mis étit- un prossion rsptl? Cr près tout, qu étit- qu l progrmmtion? Où étit l soli hmp onnissns qui pouvit l soutnir omm un isiplin intlltullmnt rsptl? J m rppll très vivmnt omm j nvii ms ollègus trvillnt sur l mtéril, qui, intrrogés sur lurs ompétns prossionnlls, pouvint u moins mttr n vnt lur plin onnissn s tus à vi, s mpliiturs t tout l rst, lors qu j vis l imprssion qu, onronté à tt qustion, j n uris rin u à réponr. Empli outs, j rppis à l port u uru Wijngrn t lui mnis si j pouvis «lui prlr qulqus instnts» ; qun j quittis son uru plusiurs hurs plus tr, j étis un utr prsonn. Cr, près voir ptimmnt éouté ms prolèms t it, or v moi, qu il n y vit ps vrimnt isiplin l progrmmtion, il s mit à xpliqur posémnt qu ls orinturs utomtiqus étint là pour urr, qu nous n n étions qu u éut t qu put-êtr j sris un s prsonns 5

47 pplés à ir l progrmmtion un isiplin rsptl ns ls nnés à vnir. C ut un tournnt m vi, t j m érrssis ms étus physiqus l plus rpimnt possil. Un s morls tt histoir st, in sûr, qu nous vons ir très ttntion lorsqu nous onnons s onsils à nos ts : prois ils ls suivnt! Dux ns plus tr, n 957, j m mriis t, l érémoni hollnis u mrig mnnt qu vous élriz votr prossion, j élris qu j étis progrmmur. Mis ls utorités muniipls l vill Amstrm n l ptèrnt ps, onsiérnt qu un tll prossion n xistit ps. Et, royz-l ou non, sous l titr «prossion», mon t mrig port l mntion riiul «physiin théoriqu»! Voilà pour l lntur v lqull j i vu l prossion progrmmur émrgr ns mon propr pys. Dpuis lors, j i vu un plus grn prti u mon t mon imprssion générl st qu ns ls utrs pys, v qulqus élgs ts, l moèl roissn été n grn prti l mêm. Lissz-moi ssyr érir l sitution ns s jours nins v un pu plus étil, ns l spoir qu l nous onn un millur ompréhnsion l sitution ujour hui. En poursuivnt notr nlys, nous vrrons omm tnt mlntnus à propos l véritl ntur l tivité progrmmtion puvnt rmontr à pssé mintnnt lointin. Ls prmirs orinturs éltroniqus utomtiqus étint tous s mhins uniqus, n un sul xmplir, t ils étint tous situés ns un nvironnmnt imprégné l min nthousismnt un lortoir xpérimntl. Qun l ié l orintur utomtiqu pprut, s rélistion ut un ormil éi pour l thnologi éltroniqu isponil à l époqu, t un hos st rtin, nous n pouvons ps nir l ourg s équips qui éièrnt s lnr ns l onstrution un équipmnt ussi ntstiqu. Cr étit s équipmnts ntstiqus ; rétrosptivmnt, on put sulmnt s émrvillr qu s prmièrs mhins int sulmnt ontionné, u moins prois. L tâh érsnt étit mttr t onsrvr s mhins n étt ontionnmnt. L préouption nvrs ls spts mtérils u lul utomtiqu s rlèt toujours ns ls noms s plus viills soiétés sintiiqus u stur, omm l Assoition pour l Outillg Inormtiqu (Assoition or Computing Mhinry - ACM) ou l Soiété Britnniqu l Orintur (British Computr Soity), s noms isnt irtmnt réérn à l équipmnt mtéril. Et l puvr progrmmur? Et in, à l vérité on l rmrquit à pin. D or, ls prmièrs mhins étint si mssivs qu lls étint prtiqumnt impossils à éplr, t plus lls mnint un mintnn si onsiérl qu il st nturl qu l nroit où ls gns ssyint ls utilisr étit l lortoir mêm où lls vint été miss u point. Duxièmmnt, son trvil à pu près invisil étit sns prstig, vous pouviz montrr l mhin ux visiturs t étit plus sptulir, plusiurs orrs grnur, qu qulqus uills listing. Mis l plus importnt tout étit qu l progrmmur lui-mêm vit un opinion très most son trvil, tout l signiition son trvil vnit l xistn tt proigius mhin. Pr qu tt mhin étit uniqu, il n svit qu trop in qu ss progrmms n vint qu un porté lol t ussi, puisqu il étit in évint qu tt mhin urit un uré vi limité, il svit qu très pu son trvil urit un vlur url. Finlmnt, il y un utr spt s ironstns qui vit un inlun proon sur l ttitu u progrmmur nvrs son trvil ; un ôté, n plus êtr pu il, s mhin étit hitullmnt trop lnt t s mémoir trop ptit, il étit à l étroit, lors qu l utr son o instrution n générl plutôt singulir lissit l hmp lir ux onstrutions ls plus inttnus. Et à tt époqu uoup progrmmurs stuiux rtirint un immns stistion intlltull s stus ingéniuss grâ uxqulls ils prvnint à ir tnir l impossil ns l r ontrignnt lur équipmnt. Dux opinions onrnnt l progrmmtion tnt tt époqu. J ls mntionn simplmnt, j y rvinris tout à l hur. L un étit qu un progrmmur vrimnt ompétnt vit êtr mtur énigms t stus ; l utr étit qu l progrmmtion n étit rin plus qu l optimistion u prossus lul, ns un sns ou ns l utr. Ctt rnièr opinion étit l résultt s ironstns réqunts où l équipmnt isponil étit véritlmnt très ontrignnt, t l on rnontrit souvnt l spérn nïv qu un ois qu s mhins plus puissnts srint isponils, l progrmmtion n srit plus un prolèm, puisqu à momnt-là l ort pour poussr l mhin à l limit ss pités n srit plus néssir, t étit in là tout n quoi l progrmmtion onsistit, non? Mis u ours s énnis