L3 Géographie UE Méthodologie. Statistiques COURS 1. Salle 125. Intervenants : Nadège. UMR Centre de Recherches de Climatologie (CRC)

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1 L3 Géographie UE Méthodologie Statistiques COURS 1 Salle 125 Intervenants : Nadège Martiny & Julien Crétat UFR Sciences Humaines (Département de Géographie) UMR Centre de Recherches de Climatologie (CRC)

2 Introduction générale 12 séances dont 1 d examen Epreuve : 10 janvier 2010 (durée 1h30) + Contrôle continu : 2 mini-épreuves surprise Emploi du temps : Tous les lundis 9h-11h sauf : 25/10/10 vacances Toussaint 20/12/10 et 27/12/10 vacances Noël Organisation des séances Outil Excel Fonctionnement de la salle informatique

3 Bibliographie Bouroche JM, Saporta G. : L analyse des données. Que sais-je? N 1854, PUF, 2002 Bry X. : Analyses factorielles simples. Economica, 1995 Cibois Ph. : L analyse factorielle. Que sais-je? N 2095, PUF, 2000 (ACP et AFC) De Lagarde J. : Initiation à l analyse de données. Dunod, 1998 Groupe Chadule : Initiation aux pratiques statistiques en géographie. Masson, 1997 (succint) Escofier B. : Analyses factorielles simples et multiples : objectifs, méthodes et interprétation. Dunod, 3 ème édition, 1998 Lebart L., Morineau A., Piron M. : Statistique exploratoire multidimensionnelle. Dunod, 2000 Rodriguez H., Ruben Salles D. : Initiation à l analyse factorielle des données. Ellipse, 2002 Sanders L. : L analyse des données appliquées à la géographie. Reclus, 1990 Saporta G. : Probabilités, analyse des données et statistiques. Technip, 1990 Volle M. : Analyse des données. Economica, 4 ème édition 1997

4 I. Introduction à l analyse multivariée Généralités En géographie, on est amené à travailler non pas sur une ou deux variables mais conjointement sur un nombre beaucoup plus important de variables (10, 100, voire, 1000) Dans ce cas, leur étude séparée, ou 2 à 2 devient très difficile De plus, chaque variable (=caractères) décrit un nombre important d observations (=individus)

5 Exemple : quelles sont les zones dont la Nature reste préservée? L analyse statistique permet-elle de mettre en évidence des zones de parcs naturels régionaux en France? Surface territoire Evolution surfaces Surface de forêt Taux Part territoire Part territoire Sites gérés par les conservatoirs Zones humides en zones naturelles (%) naturelles (%) par habitant (ha) de boisement (%) fortement protégée (%) faiblement protégée (%) des espaces naturels (%) d'importance internationale (%) ALSACE 42,50 0,40 0,18 38,00 0,84 24,89 0,43 0,00 AQUITAINE 51,30-0,20 0,60 43,00 0,46 12,16 0,02 0,00 AUVERGNE 35,30-2,00 0,51 27,40 0,09 27,10 0,06 0,00 BASSE-NORMANDIE 11,50 6,20 0,12 9,50 0,67 22,98 0,03 3,97 BOURGOGNE 33,20-1,30 0,60 30,20 0,08 7,16 0,15 0,00 BRETAGNE 20,00 6,60 0,11 11,90 0,08 6,32 0,14 1,71 CENTRE 28,60 2,30 0,39 22,40 0,07 9,60 0,06 3,54 CHAMPAGNE-ARDENNE 28,80-0,40 0,54 25,90 0,11 4,74 0,07 5,24 CORSE 86,30 7,70 1,23 46,00 9,59 43,20 0,03 0,25 FRANCHE-COMTE 49,00 2,90 0,64 42,40 0,23 11,80 0,12 0,36 HAUTE-NORMANDIE 21,50 0,80 0,13 18,30 0,70 6,58 0,08 0,00 ILE-DE-France 26,10 0,40 0,03 23,10 0,11 13,50 0,02 0,00 LANGUEDOC-ROUSSILLON 64,30-0,60 0,41 35,10 4,08 19,88 0,09 1,77 LIMOUSIN 41,30-3,10 0,79 34,20 0,04 22,13 0,09 0,00 LORRAINE 39,10-1,80 0,38 35,50 0,23 15,56 0,14 0,45 MIDI-PYRENEES 40,60-1,10 0,46 27,10 0,83 16,35 0,02 0,00 NORD-PAS-DE-CALAIS 13,10 8,70 0,03 7,30 0,14 24,33 0,05 0,00 PACA 74,60 0,00 0,30 42,80 4,95 25,93 0,47 2,68 PAYS-DE-LA-LOIRE 16,20 6,40 0,11 9,80 0,20 8,66 0,01 1,14 PICARDIE 19,60 1,00 0,19 15,50 0,17 2,52 0,09 0,87 POITOU-CHARENTES 18,90 5,00 0,24 14,70 0,39 0,00 0,18 0,17 RHONE-ALPES 57,70 2,00 0,29 34,40 3,43 19,58 0,63 0,20 * 22 régions donc 22 individus * 8 caractères

6 I. Introduction à l analyse multivariée Avantages d une analyse multivariée Elle permet une étude globale des liens entre les différentes variables prises en compte Elle permet de mettre en évidence des ressemblances, des oppositions ou des différences entre les différents caractères des individus Rmq : La quantité de données à traiter exige le recours à l utilisation d outils informatiques

7 I. Introduction à l analyse multivariée Trois familles de méthodes (1) Les régressions multiples : Expliquer et prévoir (2) Les méthodes factorielles : Synthétiser (3) Les méthodes de classification : Classifier

8 I. Introduction à l analyse multivariée (1) Les régressions multiples Exemple au Mali Le trachome (qui peut entraîner la cécité) est une maladie contagieuse, qui dépendrait fortement de paramètres biogéographiques (individuels, comportementaux, sociaux et environnementaux). Par régression multiple, on calcule les degrés de liaison (corrélations multiples) entre les taux de prévalence et les variables environnementales telles que la température, la pluviométrie, l hygrométrie, l altitude, la latitude et la longitude. Source. Laffly, UPPA, 2006

9 I. Introduction à l analyse multivariée (1) Les régressions multiples Equation-type : Résultats L auteur a établi un modèle de prévisions des taux de prévalence du trachome, sous forme de cartes : ce sont des valeurs estimées à partir des variables environnementales Le modèle n explique que 40% de la distribution TT : trachome actif TF : trachome chez les femmes TI : trachome chez les enfants TS : trachome suspecté Source. Laffly, UPPA, 2006, extrait de Fig. A10

10 I. Introduction à l analyse multivariée (2) Les méthodes factorielles Elles se proposent de fournir des représentations synthétiques de vastes ensembles de valeurs numériques Elles utilisent l algèbre linéaire Elles produisent des représentations graphiques où les objets à décrire (individus et caractères) deviennent des points sur un axe ou un plan

11 I. Introduction à l analyse multivariée (2) Les méthodes factorielles Exemple Les notes des étudiants constituent une base de données importantes à traiter, comment synthétiser ces informations? Nous pouvons mener une Analyse en Composantes Principales. De nouveaux axes (dits «factoriels») sont définis. Dans ce nouveau repère, les étudiants sont représentés par des points dont la répartition spatiale donne des informations importantes. Axe 2 Axe 2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 X1_Maths X2_Physique X3_Français X4_Anglais Etudiant Etudiant Etudiant Etudiant Etudiant Etudiant Etudiant Etudiant Etudiant Etudiant Anglais Maths Français -1-0,8-0,6-0,4-0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1-0,2-0,4-0,6-0,8-1 Cercle des Axe corrélations 1 Physique Projection des individus dans le plan principal : Etudiant 6 Etudiant 3 Etudiant 0,0 10 Etudiant 5 2,0 1,5 1,0 0,5-0,5-1,0-1,5-2,0 Etudiant 2 Etudiant 9-3,0-2,0-1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 Etudiant 1 Etudiant 4 Axe 1 Etudiant 8 Etudiant 7

12 I. Introduction à l analyse multivariée (3) Les méthodes de classification Elles sont destinées à produire des regroupements d objets ou d individus décrits par un certain nombre de variables ou de caractères Elles mettent en jeu des formules algorithmiques Elles produisent des classes ou des familles de classe

13 I. Introduction à l analyse multivariée (3) Les méthodes de classification Exemple Etude des variations spatiales du contenu pollinitique de l air Les auteurs ont choisi d utiliser une méthode de classification qui leur a permis de montrer que des zones pollinitiques semblables correspondent en fait à des sites géographiques distincts Ceci a des implications importantes dans la perspective d amélioration de la gestion d un réseau métrologique. Bassin d air homogène Source. Rieux et al., 2008, Figures 1 & 5

14 I. Introduction à l analyse multivariée Conclusions A partir d un tableau de données décrivant plusieurs variables, l analyse multivariée aide à définir les structures dominantes d organisation de ces données Rmq 1 : ces méthodes sont complémentaires Rmq 2 : elles peuvent être utilisées conjointement (ou successivement) sur un même jeu de données

15 Plan du cours I. Introduction à l analyse multivariée II. III. IV. Analyses factorielles : présentation générale L Analyse en Composantes Principales (ACP) L Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) V. La classification automatique

16 II. Analyses factorielles : présentation générale Présentation de deux méthodes factorielles fondamentales : 1/ L Analyse en Composantes Principales (ACP) Elle permet d obtenir un résumé descriptif (sous forme graphique le plus souvent) d un ensemble de n observations effectuées sur p variables numériques 2/ L Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) Elle permet d obtenir la description de tableaux de contingence (tableau croisé des fréquences d association entre plusieurs modalités). Parfois utilisée aussi avec des tableaux d incidence (codages présence/absence).

17 II. Analyses factorielles : présentation générale D autres méthodes 1/ L analyse des rangs Variante de l ACP, où le tableau initial de données est transformé en tableau de rangs. Il s agit d une analyse non-paramétrique. Recommandée lorsque les données de base sont hétérogènes. Donne des résultats d une grande robustesse, et se prête à des interprétations simples en termes de statistiques. Justifiée dans les cas suivants : - Les données de base sont elles-mêmes des classements - Les échelles de mesures des variables sont tellement différentes que l ACP normée reste insuffisante - Les hypothèses a priori faites implicitement sur les mesures sont plus faibles et par conséquent moins arbitraires : la loi des distances est non-paramétrique - Les représentations fournies sont robustes, peu sensibles à l existence de valeurs aberrantes

18 II. Analyses factorielles : présentation générale D autres méthodes 2/ L analyse canonique A pour but de synthétiser les relations qui existent entre deux groupes de variables. Elle fournit un cadre théorique général, pour la plupart des analyses multivariées : * régression multiple : si l un des deux groupes est réduit à une seule variable * analyse discriminante : lorsque les variables de l un des deux groupes sont les variables indicatrices d une partition des individus * analyse des correspondances : si les deux groupes sont constitués par les variables indicatrices de deux partitions Régression multiple Analyse discriminante Analyse des correspondances Individus Individus V1 V1 Groupe de variables 1 Groupe de variables 2 V2 V3 Groupe de variables 1 Groupe de variables 2 V2 V3 Groupe de variables 1 V4 V5 V6 V7

19 II. Analyses factorielles : présentation générale D autres méthodes L analyse discriminante Famille de techniques destinées à décrire et à classer des individus caractérisés par un nombre important de variables. Très fréquemment utilisée : diagnostic automatique, reconnaissance de formes, contrôle de qualité, prévision de risques. Il s agit d une méthode à la fois descriptive et prédictive, qui donne lieu à des calculs d axes principaux (comme dans le cas des ACP). Elle peut être considérée comme une extension de la régression multiple. Grande importance historique et théorique de cette méthode : analyse linéaire discriminante ou analyse discriminante de Fisher, ou analyse canonique discriminante, ou analyse factorielle discriminante

20 II. Analyses factorielles : présentation générale D autres méthodes L analyse des correspondances Avec l ACP, autre technique fondamentale des méthodes en axes principaux. Elle concerne cependant un domaine d application différent : cette analyse est adaptée aux tableaux de contingence et permet d étudier les éventuelles relations existant entre deux variables nominales. Cette méthode n est pas un cas particulier de l ACP bien que l on puisse se ramener à cette technique en faisant des changements de variables appropriés.

21 II. Analyses factorielles : présentation générale 1. L approche graphique Principe Matrice de n lignes (individus) et p colonnes (variables) Le tableau de données est donc une matrice dans laquelle chaque vecteur, ligne ou colonne, représente un point soit dans R p soit dans R n La confrontation des espaces d individus et de variables enrichira les interprétations Nuage des n individus (le nuage des points-lignes) situé dans l espace à p dimensions R p des variables (des colonnes) : chacune des n lignes est représentée par un point à p coordonnées Nuage des p variables (le nuage des points-colonnes) situé dans l espace à n dimensions R n des individus (des lignes) : chacune des p colonnes est représentée par un point à n coordonnées Source. Lebart et al., 2006, Statistique exploratoire multidimensionnelle

22 II. Analyses factorielles : présentation générale Principe 2. La synthèse du nuage de points : projeter sur un sous-espace (idéalement 2D) Source. Bry et al., 1995, Principe des analyses factorielles L analyse factorielle permettra d identifier des axes d allongement maximal du nuage ; les différents points du nuage seront ensuite projetés sur chacun des axes

23 II. Analyses factorielles : présentation générale Principe 3. Comment déterminer les axes qui donnent la meilleure visualisation 2D autrement dit les axes factoriels? Chacune des dimensions du tableau de données permet de définir des distances (ou des proximités) entre les éléments définissant l autre dimension. L ensemble des colonnes permet de définir, à l aide de formule appropriées, des distances entre lignes. L ensemble des lignes permet de calculer des distances entre colonnes. Les proximités géométriques entre points-lignes et points-colonnes traduisent en fait des associations statistiques soit entre les individus, soit entre les variables.

24 II. Analyses factorielles : présentation générale Principe Les tableaux de distances associés à ces représentations géométriques pourront alors être décrits par les 2 grandes familles de méthodes factorielles : Notions essentielles : Espaces vectoriels Nuages de points Poids affectés aux points Métriques Source. Lebart et al., 2006, Statistique exploratoire multidimensionnelle

25 II. Analyses factorielles : présentation générale Principe 3. Comment déterminer les axes qui donnent la meilleure visualisation 2D autrement dit les axes factoriels? Définir une métrique qui va permettre de calculer la distances entre les points-individus et les points-variables Ex. Distance euclidienne : d 2 (a,b) = (X a -X b ) 2 + (Y a -Y b ) 2 a (y) Y a Y b a b d 2 (a,b) X a X b (x) b

26 II. Analyses factorielles : présentation générale Principe 3. Comment déterminer les axes qui donnent la meilleure visualisation 2D autrement dit les axes factoriels? Définir une métrique qui va permettre de calculer la distances entre les points-individus et les points-variables Calculer la dispersion globale du nuage de points, autrement dit son inertie totale, I t I 1 Moyenne des carrés des distances des n points au centre de gravité n = 2 t d i n i= 1 Ou mesure «l éloignement» des points par rapport à leur centre de gravité

27 II. Analyses factorielles : présentation générale Distance entre la projection du point A et le centre de gravité Principe Inertie des points projetés le long d un axe = dispersion dans la direction de cet axe Identification des axes d allongement maximum du nuage Projection du point A sur l axe 1 Centre de gravité du nuage Direction portée par le 1 er axe factoriel, axe α I, Inertie du nuage dans la direction α u, vecteur portant l axe Notée λ

28 II. Analyses factorielles : présentation générale Propriétés des axes factoriels Chaque axe est perpendiculaire à chacun des autres. Les vecteurs propres sont donc orthogonaux 2 à 2. Chaque axe est centré sur le centre de gravité du nuage de points Les valeurs propres λ i des axes factoriels sont telles que : λ 1 > λ 2 > λ 3 > > λ p La somme des valeurs propres est égale p l inertie du nuage I t = i= 1 λ i

29 II. Analyses factorielles : présentation générale Finalement L analyse factorielle va permettre de révéler des «angles de vues» privilégiés de description d un tableau de données. Elle crée ainsi de nouvelles variables synthétiques (composantes ou facteurs) qui décrivent chacune d elles une part maximum d information sur la structure et l organisation des données.