Exercice 2. Calculer les dérivées partielles et la différentielle pour les fonctions suivantes : f 1 (x, y) = 4 x 5 y + 6 f 1 x = f 1

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1 L Chimie, Léo Glangetas Université de Rouen NOM Prénom Groupe Note sur 0: Test en mathématiques note non retenue) Mercredi 8 octobre 04 documents, calculatrice interdits) Exercice. Calculer les dérivées des fonctions suivantes : f x) = x + 3 x 4 f x) = f x) = x ln x f x) = f 3 x) = ex x f 3x) = f 4 x) = 4 sin x + π/4) f 4x) = Exercice. Calculer les dérivées partielles et la différentielle pour les fonctions suivantes : f x, y) = 4 x 5 y + 6 f x = f y = df = f x, y) = x 3 x y + 3 y 7 f x = f y = df = f 3 x, y) = 3 x 3 4 x y + 5 y + 6 x + y 9 f 3 x = f 3 y = df 3 = f 4 x, y) = e y lnx) + sinx) siny) f 4 x = f 4 y = df 3 = Exercice 3. Soit ψr, θ) = a r e r/r 0 sinθ) composante d une orbitale p). Calculer les dérivées partielles et la différentielle, a et r 0 étant constantes : ψ r = ψ θ =

2 Exercice 4. On donne le développement limité de sinx) en 0 à l ordre 3: sinx) = x 6 x3 + ox 3 ). Donner le développement limité de sin x) à l ordre 3 : sin x) = Donner le développement limité de à l ordre de : sin x) x fx) = = x Exercice 5. Raccordement de fonctions continues dérivables par morceaux. On considère la fonction f définie par a et b sont des constantes) : fx) = x pour x ], [, fx) = a x + b pour x [, [. À quelles conditions sur a, b la fonction f est elle continue au point? Déterminer explicitement a et b pour que f soit dérivable au point. Petit formulaire. u, v, f fonctions et n, a, b constantes réelles) Différentielle de f : df = f f dx + x y fdy Dérivées usuelles : u ) au + bv) = au + bv uv) = u v + uv u v uv = ) v v x n ) = nx n = ) ) x = x x x = x ) u n ) = nu u n = v ) ) u = u v v = u u sin = cos cos = sin tan = + tan ) ) sin u = cosu) u ) cos u = sinu) u tan u = + tan u) ) u e x ) = e x ln x) = fax + b)) = a f ax + b) x e u ) = e u u ln u) = u fu)) = f u) u u

3 L Chimie, Léo Glangetas Université de Rouen NOM Prénom Groupe Note sur 0: Contrôle Continu, mathématiques V Mercredi 3 octobre 04 documents, calculatrice interdits) Exercice. Calculer les dérivées des fonctions suivantes : f x) = 3 x 5 x + 3 f x) = f x) = x + ) ln x f x) = f 3 x) = e x x f 3x) = f 4 x) = 3 sin3 x π/3) f 4x) = Exercice. Calculer les dérivées partielles et la différentielle pour les fonctions suivantes : f x, y) = x + 7 y 4 f x = f y = df = f x, y) = 3 x + x y 9 y + x + f x = f y = df = f 3 x, y) = 3 x x 3 y 3 y + x 5y + 3 f 3 x = f 3 y = df 3 = f 4 x, y) = e x sinx) + lnx) siny) f 4 x = f 4 y = df 4 = Exercice 3. Soit µr, t) = a e b r /t. Calculer les dérivées partielles et la différentielle, a et b étant constantes : µ r = µ t =

4 Exercice 4. On donne le développement limité de expx) en 0 à l ordre 3: expx) = + x + x + 6 x3 + ox 3 ). Donner le développement limité de exp x) à l ordre 3 : exp x) = Donner le développement limité de à l ordre de : fx) = exp x) + x = x Exercice 5. Raccordement de fonctions continues dérivables par morceaux. On considère la fonction f définie par a et b sont des constantes) : fx) = x 3 3 x pour x ], [, fx) = a x + b pour x [, [. À quelles conditions sur a, b la fonction f est elle continue au point? Déterminer explicitement a et b pour que f soit dérivable au point. Petit formulaire. u, v, f fonctions et n, a, b constantes réelles) Différentielle de f : df = f f dx + x y dy Dérivées usuelles : u ) au + bv) = au + bv uv) = u v + uv u v uv = ) v v x n ) = nx n = ) ) x = x x x = x ) u n ) = nu u n = v ) ) u = u v v = u u sin = cos cos = sin tan = + tan ) ) sin u = cosu) u ) cos u = sinu) u tan u = + tan u) ) u e x ) = e x ln x) = fax + b)) = a f ax + b) x e u ) = e u u ln u) = u fu)) = f u) u u

5 L Chimie, Léo Glangetas Université de Rouen Note sur 0: NOM Prénom Test N o en mathématiques Lundi 5 novembre 04 documents, calculatrice interdits) Groupe Exercice. Calculer, lorsque cela est possibles, les produits matriciels : ) ) ) Exercice. On rappelle le développement limité à l ordre 3 : expx) = + x + x + 6 x3 + ox 3 ). Donner le développement limité de fx) = e x +x x en 0 à l ordre : exp x) =... fx) =... Exercice 3. Soit fx) = + x + 3 x. Calculer f x) =... Calculer f x) =... Déterminer a tel que f a) = 0. Expliciter la formule de Taylor au point a à l ordre : f... + h) =... Quelle est la nature du point a? explications)...

6 Exercice 4. Soit fx, y) = 0 x + 6 x y + y x. a) Calculer : x f = y f = xx f = xy f = yy f = b) Calculer df = Le gradient de f : f = c) Déterminer le point a, b) tels que fa, b) = 0 : a = b = d) On pose Qh, k) = Expliciter Qh, k) = xx fa, b) h + xy fa, b) h k + yy a, b) k ) d) Expliciter la formule de Taylor pour f au point a, b) déterminé en c) sans expliciter fa, b)) : e) Cas k 0. On pose P t) = Qt, ). On a alors Qh, k) = k P ) h k Expliciter P t) = Donner le signe de P t) explications) : Donner le signe de Qh, k) : f) Cas k = 0 et h 0. Donner le signe de Qh, 0) explications) : g) Donner la nature du point a, b) par rapport à la fonction f explications): Exercice 5. Soit fx, y) = x + y. On pose r = x + y. Calculer : f x = f y = f x = f y = En déduire le Laplacien de f en donner son expression en fonction de r: f = f x + f y =... Petit formulaire. u, v, f fonctions et n, a, b constantes réelles) Formule de Taylor dim : fa + h) = fa) + hf a) hn n! f n) a) + oh n ) Différentielle de f : df = x fdx + y fdy Gradient de f : f = Formule de Taylor à l ordre dim : ) x f. y f fa + h, b + k) = fa, b) + x fa, b) h + y fa, b) k) + xx fa, b) h + xy fa, b) h k + yy fa, b) k ) + o h + k ) Dérivées usuelles : au + bv) = au + bv u ) v = u v uv v ) v = v v u n ) = nu u n

7 L Chimie, Léo Glangetas Université de Rouen NOM Prénom Note sur 0: Contrôle continu N o en mathématiques - sujet Lundi 5 novembre 04 documents, calculatrice interdits) Groupe Exercice. Calculer, lorsque cela est possibles, les produits matriciels : 3 ) 5 3 ) ) 0 4 Exercice. On rappelle le développement limité à l ordre 3 : sinx) = x 6 x3 + ox 3 ). sin x)+x Donner le développement limité de fx) = x en 0 à l ordre : sin x) =... fx) =... Exercice 3. Soit fx) = + 3 x + 5 x. Calculer f x) =... Calculer f x) =... Déterminer a tel que f a) = 0. Expliciter la formule de Taylor au point a à l ordre : f... + h) =... Quelle est la nature du point a? explications)...

8 Exercice 4. Soit fx, y) = x + x y + 6 x 5 y + 6 y. a) Calculer : x f = y f = xx f = xy f = yy f = b) Calculer df = Le gradient de f : f = c) Déterminer le point a, b) tels que fa, b) = 0 : a = b = d) On pose Qh, k) = Expliciter Qh, k) = xx fa, b) h + xy fa, b) h k + yy a, b) k ) d) Expliciter la formule de Taylor pour f au point a, b) déterminé en c) sans expliciter fa, b)) : e) Cas k 0. On pose P t) = Qt, ). On a alors Qh, k) = k P ) h k Expliciter P t) = Donner le signe de P t) explications) : Donner le signe de Qh, k) : f) Cas k = 0 et h 0. Donner le signe de Qh, 0) explications) : g) Donner la nature du point a, b) par rapport à la fonction f explications): Exercice 5. Soit fx, y) =. On pose r = x x +y +z + y + z. Calculer : f x = f y = f x = f y = En déduire le Laplacien de f en donner son expression en fonction de r: f = f x + f y + f z =... f z = f z = Petit formulaire. u, v, f fonctions et n, a, b constantes réelles) Formule de Taylor dim : fa + h) = fa) + hf a) hn n! f n) a) + oh n ) Différentielle de f : df = x fdx + y fdy Gradient de f : f = Formule de Taylor à l ordre dim : ) x f. y f fa + h, b + k) = fa, b) + x fa, b) h + y fa, b) k) + xx fa, b) h + xy fa, b) h k + yy fa, b) k ) + o h + k ) Dérivées usuelles : au + bv) = au + bv u ) v = u v uv v ) v = v v u n ) = nu u n

9 L Chimie, Léo Glangetas Université de Rouen Note sur 0: NOM Prénom Test n o 3 en mathématiques note non retenue) Mercredi 3 décembre 04 documents, calculatrice interdits) Groupe Exercice. Matrices jacobiennes ) et composition. x y a) Soit fx, y) =. Calculer A = J x y f x, y) =... b) Soit gu, v) = v u + v ). Calculer J g u, v) = Calculer B = J g fx, y)) = J g x y, x y) =... c) Calculer J g fx, y)) J f x, y) = B A =... d) Calculer hx, y) = g f)x, y) = gfx, y)) =... e) A partir de l expression de hx, y) calculer J h x, y) =...

10 Exercice. Relations entre dérivées partielles. Soient trois variables P, V, T liées par une relation loi d état). Simplifier : =... =... =... =... Exercice 3. Coordonnés polaires: Soit ux, y) = ln x +y ) R, R > 0 constante. a) Donner l expression de u en coordonnées polaires : vr, θ) = ur cos θ, r sin θ) =... b) Calculer u en coordonnées polaires : u =... c) Calculer u en coordonnées polaires : u =... Exercice 4. Dérivées partielles de fonctions composées. Soit gu, v) une fonction donnée et F x, y) = gx y, x y). Calculer x F et y F explicitement en fonction de u g, v g et x, y. x F x, y) =... y F x, y) =...

11 L Chimie, Léo Glangetas Université de Rouen Note sur 0: NOM Prénom Controle continu n o 3 en mathématiques - Sujet Mercredi 0 décembre 04 documents, calculatrice interdits) Groupe Exercice. Matrices jacobiennes ) et composition. x y a) Soit fx, y) =. Calculer A = J x y f x, y) =... b) Soit gs, t) = s + t s ). Calculer J g s, t) = Calculer B = J g fx, y)) =... c) Calculer J g fx, y)) J f x, y) = B A =... d) Calculer hx, y) = g f)x, y) = gfx, y)) =... e) A partir de l expression de hx, y) calculer J h x, y) =...

12 Exercice. Relations entre dérivées partielles. Soient trois variables P, V, T liées par une relation loi d état). Simplifier : =... =... =... En déduire en fonction de : et puis simplifier : =... Simplifier : =... Application : Pour P V nrt = 0, calculer V =... =... Exercice 3. Coordonnés polaires: Soit ux, y) = exp x +y ) a + x, a > 0 constante. a) Donner l expression de u en coordonnées polaires : vr, θ) = ur cos θ, r sin θ) =... b) Calculer u en coordonnées polaires : u =... c) Calculer u en coordonnées polaires : u =... Exercice 4. Dérivées partielles de fonctions composées. Soit gu, v) une fonction donnée et F x, y) = gx + y, x + cosy)). Calculer x F et y F explicitement en fonction de u g, v g et x, y. x F x, y) =... y F x, y) =...

13 L Chimie, Léo Glangetas Université de Rouen Note sur 0: Test n 4 Mercredi 7 décembre 04 Exercice. Extremums. a) Soit fx) = + 3 x x. Calculer f x) = Calculer f x) = Déterminer a tel que f a) = 0. Expliciter tous les termes de la formule de Taylor à l ordre au point a : f... + h) = Quelle est la nature du point a? explications) b) Soit fx) = x e x. Calculer f x) = Calculer f x) = Déterminer a tel que f a) = 0. Expliciter tous les termes de la formule de Taylor à l ordre au point a : f... + h) = Quelle est la nature du point a? explications) Exercice. Extremums. Soit m une constante. Calculer pour fx, y) = 5 x + y 4 y x 4 x m xx f = x f = xy f = y f = yy f = Déterminer en fonction de m) le point X 0 = a, b) tels que fx 0 ) = 0 : Calculer en fonction de m) fa, b) = Expliciter en fonction de m) tous les termes de la formule de Taylor à l ordre au point a, b) fa + h, b + k) = Matrice Hessienne H f X 0 ) = deth f X 0 )) = fx 0 ) = Nature du point X 0?

14 Exercice 3. Extremums. Soit m une constante. Calculer pour fx, y) = 3 x + 4 y x y 4 x m xx f = x f = xy f = y f = yy f = Déterminer en fonction de m) le point X 0 = a, b) tels que fx 0 ) = 0 : Calculer en fonction de m) fa, b) = Expliciter en fonction de m) tous les termes de la formule de Taylor à l ordre au point a, b) fa + h, b + k) = Matrice Hessienne H f X 0 ) = deth f X 0 )) = fx 0 ) = Nature du point X 0? Exercice 4. Calcul d intégrales multiples Déterminer une fonction F x, y) telle que y F x, y) = 4 x + x y. F x, y) = Calculer 0 4 x + x y) dy = Calculer l intégrale I = [,] [0,] 4 x + x y) dx dy = Exercice 5. Calcul d intégrales en coordonnées sphériques a) Soit fr) = et B R la boule de centre 0 et de rayon R dans l espace R 3. Calculer l intégrale : I = fr) dx dy dz = B R Que remarque-t-on? b) Soit gr) = e r3. Déterminer une fonction Gr) telle que G r) = r e r3. Calculer l intégrale B R gr) dx dy dz =

15 L Chimie, Léo Glangetas Université de Rouen Numéro d anonymat à reporter sur la copie d examen anonymisée Note sur 0: Examen de mathématiques, ère session Mardi 6 janvier 05, 3h30-5h30h, amphi documents, calculatrice interdits) Exercice. Calculer, lorsque cela est possibles, les produits matriciels : x y ) x y ) cost) sint) sint) cost) cost) sint) sint) cost)

16 Exercice. a) Calculer fx, y) = x y xy + 5 x 4 xx f = x f = xy f = y f = yy f = b) Calculer fx, y) = e 3 x ln y + ) + cos x) y /3 xx f = x f = xy f = y f = yy f = Exercice 3. Extremums. a) Soit fx) = 3 x + x. Calculer f x) = f x) = Déterminer a tel que f a) = 0. Expliciter tous les termes de la formule de Taylor à l ordre au point a : f... + h) = Quelle est la nature du point a? explications) b) Soit fx) = x lnx). Calculer f x) = f x) = Déterminer a tel que f a) = 0. Expliciter tous les termes de la formule de Taylor à l ordre au point a : f... + h) = Quelle est la nature du point a? explications)

17 Exercice 4. Extremums. Soit m une constante. Calculer pour fx, y) = x + 4 m x + y + x y xx f = x f = xy f = y f = yy f = Déterminer en fonction de m) le point X 0 = a, b) tels que fx 0 ) = 0 : Calculer en fonction de m) fa, b) = Expliciter en fonction de m) tous les termes de la formule de Taylor à l ordre au point a, b) fa + h, b + k) = Matrice Hessienne H f X 0 ) = deth f X 0 )) = fx 0 ) = Nature du point X 0? Exercice 5. Variables liées Gaz de Van der Walls). Soient P, V, T trois variables liées par la relation T = P + V ) V ) Calculer : = = Calculer : = = Simplifier : = Calculer l expression explicite en fonction de P et V de : ) = 3

18 Exercice 6. Matrices jacobiennes et composition. a) Soit fx, y) = b) Soit gu, v) = ey x y u v v. Calculer A = J f x, y) =. Calculer J g u, v) = c) Calculer B = J g fx, y)) = d) Calculer J g fx, y)) J f x, y) = B A = e) Soit hx, y) = g f)x, y) = gfx, y)). Expliciter hx, y) = f) En déduire le calcul direct : J h x, y) = g) Commenter les résultats obtenus. Exercice 7. Développements limités On rappelle que : e x = +x+ x + 6 x3 +o x 3 ). Donner le développement limité de fx) = x+x e x x en 0 à l ordre : e x = fx) = 4

19 Exercice 8. Raccordement de fonctions continues dérivables par morceaux. On considère la fonction f définie par a, b sont des constantes) : fx) = x pour x ], a[, fx) = lnx + b) pour x [a, [. A quelle condition sur les constantes a et b la fonction f est elle continue au point a? Déterminer les constantes a et b pour que la fonction f soit dérivable au point a : Exercice 9. Calcul d intégrales multiples a) Déterminer une fonction F x, y) telle que x F x, y) = 6 x y. F x, y) = Calculer 6 x y ) dx = Calculer l intégrale I = 6 x y ) dx dy = [,] [,] b) Soit fr) = r et B R la boule de centre 0 et de rayon R dans l espace R 3. Calculer l intégrale : I = fr) dx dy = B R 5

20 Exercice 0. Calcul de la solution fondamentale de l équation de Schrödinger. Soir où a C une constante. On considère la fonction d onde Calculer t ϕ = ϕt, x) = t e a x t. Calculer x ϕ = Calculer xx ϕ = Déterminer explicitement la constante a telle que pour tout t > 0 et tout x R la fonction ϕ vérifie l équation de la chaleur i t ϕ = xx ϕ. 6