Polaires et courbes hessiennes

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1 Polaires et courbes hessiennes Emilie Morel 29 octobre

2 2 POLAIRES 1 Motivation Cet exposé s intéresse à la manière de trouver les tangentes et les points d inflection des courbes algébriques dans l espace projectif de C. Nous verrons que la technique consiste à couper la courbe algébrique C avec d autres courbes, en l occurence les polaires et les courbes hessiennes. Ainsi, nous pourrons utiliser le théorème de Bézout pour calculer le nombre de tangentes et de points d inflection. 2 Polaires 2.1 Définitions Pour pouvoir définir ce qu est une polaire, nous avons tout d abord besoin de rappeler la notion de tangente : Soit C = V (F ) P 2 (C) et p C un point lisse, c est-à-dire grad p F (0, 0, 0) pour F le polynôme minimal de C, alors l espace tangent à C dans le point p, écrit T p C, se résume à une tangente donnée par l équation 2 i=0 X i F X i (p) = 0. Donc un point q P 2 (C) quelconque appartient à T p C, s il satisfait l équation 2 i=0 q i F X i (p) = 0. ( 2 Ainsi on peut voir que p V i=0 q i F X i ). Motivé par l équation précédente, on peut formuler la définition suivante : Définition Soit C P 2 (C) une courbe algébrique avec F son polynôme minimal de degré 2. Soit q = (q 0 : q 1 : q 2 ) P 2 (C) quelconque. On définit F F F D q F := q 0 + q 1 + q 2. X 0 X 1 X 2 Alors deg(d q F ) 1 et on appelle P q C := V (D q F ) la polaire de C selon le pôle q. Pour motiver la suite de cet exposé, regardons un exemple : 2

3 2.2 Exemple 2 POLAIRES 2.2 Exemple Parabole de Neil Soit C la parabole de Neil avec F = X X 0 X 2 1 C [X 0, X 1, X 2 ]. Alors D q F = q 0 X q 1 X 0 X 1 + 3q 2 X 2 2. Prenons p = (1 : 0 : 0) le point dans lequel C a la tangente T = V (X 1 ) (toujours possible grâce à un changement de coordonnées!). Le but est de trouver la multiplicité de l intersection C P q C en p. Pour cela, on va distinguer des cas selon la position du pôle q : Cas 1 : q 1 = 0, donc q V (X 1 ). Comme c est plus intéressant de prendre p q, posons q 2 0. Donc D q F = 3q 2 X2 2 C [X 2 ]. R C,PqC = Alors mult p (C P q C) = X 0 X X 0 X1 2 3q q q = 27q2X 3 0X Cas 2 : q 1 0, q 2 = 0, i.e. q V (X 2 ). Donc, D q F = q 0 X q 1 X 0 X 1 = X 1 (q 0 X 1 + 2q 1 X 0 ) (C [X 0 ])[X 1 ]. Alors P q C est composé de deux droites : V (X 1 ) et V (q 0 X 1 +2q 1 X 0 ) qui passe par (0 : 0 : 1). Et R C,PqC = Alors mult p (C P q C) = 3. X 0 0 X X 0 0 X 3 2 q 0 2q 1 X q 0 2q 1 X 0 0 = 4q1X 2 0X q0x = X2(4q 3 1X q0x 2 2). 3 Cas 3 : q 1 0, q 2 0 Alors, D q F = X2 2 +X 1 (q 0 X 1 +2q 1 X 0 ) (C[X 0, X 1 ])[X 2 ], et P q C est une parabole tangente en p. De plus : R C,PqC = X 0 X X 0 X X 1 (q 0 X 1 + 2q 1 X 0 ) X 1 (q 0 X 1 + 2q 1 X 0 ) X 1 (q 0 X 1 + 2q 1 X 0 ) (X 0 X 2 1) 2 + (q 0 X q 1 X 0 X 1 ) 3 = X 0 X q 3 1X 3 0X 3 1 = X 3 1(X 0 X 1 + 8q 3 1X 3 0). Donc, mult p (C P q C) = 3, car q =

4 2.3 Propriétés 2 POLAIRES 2.3 Propriétés Nous pouvons formuler des premières propriétés de la polaire : Proposition Soit C P 2 (C) une courbe algébrique, F son polynôme minimal avec deg(f ) = n et soit q = (q 0 : q 1 : q 2 ) P 2 (C). Alors : a) La polaire P q C ne dépend pas du choix des coordonnées. b) D q F = 0 C est constituée de n droites qui passent par q. c) deg(d q F ) = n 1, si D q F 0. d) C et P q C ont une composante commune C contient une droite qui passe par q. e) Si p C est singulier et q P 2 (C) quelconque, alors p P q C. a) On veut voir que la polaire ne dépend pas des coordonnées. Donc prenons un point q = (q 0, q 1, q 2 ) dans une première base et choisissons une matrice de changement de base A = (a ij ) ij P GL(3; C) qui envoie q sur e 1, i.e. A q 0 q 1 q 2 = = q 0 q 1 q 2 et a 00 q 0 + a 01 q 1 + a 02 q 2 = 1 = q 0. De plus, en ce qui concerne la variable (x 0, x 1, x 2 ) : x 0 x 0 A x 1 = x 1 et x x 2 x i = a i0 x 0 + a i1 x 1 + a i2 x 2, 2 une fonction par rapport à des indéterminés x i. On peut alors appliquer la règle de la chaîne et avec, on obtient : D q F = Maintenant, soit B = A 1, ainsi : 2 i=0 q i F x i = q 0 F x 0 = 2 F x i. x i i=0 x 0 Donc, x i = b i0 x 0 + b i1 x 1 + b i2 x 2. 2 i=0 F x i x i x 0 = 2 i=0 b i0 F x i. Alors les racines des polynômes associés aux polaires avant et après le changement de base sont les mêmes. b) : Soit D q F = 0 pour q = (1 : 0 : 0). Ainsi F ne dépend pas de X 0. On peut écrire F (1, X 1, X 2 ) = f(x 1, X 2 ) = f (0) + f (1) f (n) en parties homogènes, et 4

5 2.4 Conséquences 2 POLAIRES comme F ne dépend pas de X 0, F (X 0, X 1, X 2 ) = X n 0 f (0) + X n 1 0 f (1) X 0 f (n 1) + f (n) = f (n). Comme f = f (n), alors ord q (f) = n = ord q (C) = deg(c). C est donc composée de n droites différentes passant par q. : C est composé de n droites différentes passant par q = (1 : 0 : 0). Alors n = deg(c) = ord q (C) et F [X 0, X 1, X 2 ] = f (n) (X 1, X 2 ). Donc D q F = 0. c) Clair par la définition de D q F. d) : Supposons que C et P q C ont une composante commune. Par le lemme de Study, les polynômes minimaux associés ont un facteur premier commun. Alors F = G H et D q F = G H. Donc, F F F D q F = q 0 + q 1 + q 2 = X 0 X 1 X 2 q 0 X 0 H + q 0 G H X 0 + q 1 X 1 H + q 1 G H X 1 + q 2 X 2 H + q 2 G H X 2. Donc G divise q 0 X 0 H, q 1 X 1 H et q 2 X 2 H. Ainsi, il faut que X 0 = X 1 = X 2 = 0. V (G) est une droite. C contient une droite passant par q. : C contient une droite, alors F = G X 2, où V (X 2 ) est une droite qui passe par q. Alors : D q F = q 0 X 0 X 2 + q 1 X 1 X 2 + q 2 X 2 X 2 + q 2 G = X 2 H, comme q appartient à V (X 2 ). Donc C et P q C ont une composante commune. e) Comme p est singulier, grad p F = 0. Alors p P q C. 2.4 Conséquences Avec les propriétés que nous avons énumérées dans la section précédente, nous pouvons formuler le théorème suivant : Théorème Soit C = V (F ) une courbe algébrique de degré n 2 qui ne contient pas de droites et q P 2 (C) quelconque. Alors la polaire P q C est une courbe algébrique de degré n-1, qui n a pas de composantes 5

6 2.4 Conséquences 2 POLAIRES communes avec C. L intersection C P q C est composée des points de tangence à C par le point q et des singularités de C. Par le théorème de Bézout que l on peut appliquer à C P q C, car ce sont des courbes algébriques dans P 2 (C) sans composantes communes, il y a au plus n(n 1) tangentes à C par q. Mais ce nombre compte les tangentes doubles, les points d inflection et les singularités. Pour plus de précision, on peut formuler cette proposition : Proposition On suppose que C a une tangente simple T en p, i.e. mult p (T C) = 2. Soit q T, q p. Alors P q C est transversal à C dans p, i.e. mult p (P q C C) = 1. En particulier, la polaire est lisse dans p. Pour pouvoir exprimer le polynôme minimal F, prenons p = (1 : 0 : 0) et T = V (X 2 ) la tangente à C en p (toujours possible grâce à un changement de coordonnées). Donc q 1 0 et q 2 = 0 Ainsi F = X 2 1G(X 0, X 1 ) + X 2 H(X 0, X 1, X 2 ) avec 2 = mult p (C T ), tel que G(1, 0) 0 et H(1, 0, 0) 0. Regardons si C et P q C sont lisses dans p : Tout d abord concentrons-nous sur C. Il faut qu on trouve une dérivée partielle différente de 0 en p. C est la cas, car : Donc grad p F (0, 0, 0). F X 2 = X 2 H X 2 + H(X 0, X 1, X 2 ) 0 en p. Maintenant, regardons si D q F est lisse en p. Commençons par calculer D q F : D q F = q 0 X 2 1 H + q 0 X 2 + 2q 1 X 1 G(X 0, X 1 ) + q 1 X 2 H 1 + q 1 X 2. X 0 X 0 X 1 X 1 Il faut trouver une dérivée partielle différente de 0 en p. C est le cas de ce terme qui apparaît dans la dérivée partielle par rapport à X 1 : D q F X 1 = 2q 1 G(X 0, X 1 ) + 2q 1 X 1 X Donc, grad p D q F (0, 0, 0). Ainsi C et P q C sont lisses dans p. 6

7 3 COURBES HESSIENNES On peut alors calculer la multiplicité grâce à l ordre, puisque P q C et C n ont ni composantes, ni tangentes communes : mult p (C P q C) = ord p (C) ord p (P q C) = 1. Corollaire Si C est une courbe algébrique de degré n et q / C, alors presque toutes les droites qui passent par q ont exactement n points d intersection simples avec C. On sait que l ensemble des points d intersection de C P q C est composé des points de tangence des tangentes de C par q et des singularités de C et cet ensemble est fini. Donc toutes les droites qui passent par q et qui passent pas par C P q C satisfont le corollaire. 3 Courbes hessiennes 3.1 Motivation Quand on souhaite étudier les inflections d une courbe, nous avions l habitude de manière naïve d étudier les dérivées secondes des courbes. Nous sommes maintenant en mesure d étudier les inflections des courbes algébriques planes au moyen des courbes hessiennes. C est un concept qui intègre effectivement les dérivées secondes. 3.2 Définitions Définition Soit F C[X 0, X 1, X 2 ] : (a) La matrice hessienne de F est définie par ( ) 2 F H F = X i X j. 0 i,j 2 (b) Si F C[X 0, X 1, X 2 ] est homogène de degré 2 et le polynôme minimal de C P 2 (C) tel que deg(deth F ) 1, alors on appelle H(C) := V (deth F ) la courbe hessienne de C. Pour ne pas devoir calculer toutes les dérivées secondes de la matrice hessienne, il existe d autres formules pour calculer ce déterminant. C est pourquoi, nous pouvons regarder le lemme suivant : 7

8 3.2 Définitions 3 COURBES HESSIENNES Lemme Soit F C[X 0, X 1, X 2 ] homogène de degré n, F i = F X i et F ij = 2 F X i X j, alors det(h F ) = n 1 X 0 F 0 F 1 F 2 F 02 F 12 F 22 Commençons par la première égalité : On applique la formule de Euler à F i : X 0 = n 1 X0 2 nf F 1 F 2 (n 1)F 1 F 11 F 21 (n 1)F 2 F 12 F 22 2 F 2 F 2 F + X 1 + X 2 = X 0 F i0 + X 1 F i1 + X 2 F i2 = (n 1)F i X i X 0 X i X 1 X i X 2 Grâce aux opérations élémentaires du déterminant, on a que : F 00 F 10 F 20 det(h F ) = F 02 F 12 F 22 = 1 X 0 F 00 X 0 F 10 X 0 F 20 X 0 F 02 F 12 F 22. Puis on ajoute X j fois la j-ème ligne à la première : det(h F ) = 1 X 0 F 00 + X 1 F 01 + X 2 F 02 X 0 F 10 + X 1 F 11 + X 2 F 12 X 0 F 20 + X 1 F 21 + X 2 F 22 X 0 F 02 F 12 F 22 = 1 (n 1)F 0 (n 1)F 1 (n 1)F 2 X 0 (n 1) F 0 F 1 F 2 = F 02 F 12 F 22 X 0 F 02 F 12 F 22. Pour prouver la deuxième égalité, on reprend le résultat obtenu ci-dessus et on applique les mêmes étapes, aux colonnes cette fois. Donc det(h F ) = n 1 F 0 F 1 F 2 X 0 (n 1) X 0 F 0 F 1 F 2 = F 02 F 12 F 22 X0 2 X 0 X 0 F 02 F 12 F 22 (n 1) X 0 F 0 + X 1 F 1 + X 2 F 2 F 1 F 2 = X0 2 X 0 F 01 + X 1 F 11 + X 2 F 21 F 11 F 21 (n 1) nf F 1 F 2 = X 0 F 02 + X 1 F 12 + X 2 F 22 F 12 F 22 X0 2 (n 1)F 1 F 11 F 21 (n 1)F 2 F 12 F 22. 8

9 3.3 Propriétés 3 COURBES HESSIENNES 3.3 Propriétés Avec les définitions que nous avons déjà vues, nous pouvons déjà formuler les points suivants : Proposition a) La courbe hessienne H(C) de C ne dépend pas des coordonnées. b) deg(det(h F )) = 3(n 2). c) Sing(C) H(C). a) La preuve se fait sur le même principe que le point a). b) Soit F de degré n. Alors deg(f ij ) = (n 2), et donc det(h F ) satisfait l affirmation. c) p est singulier, donc les dérivées secondes valent 0, de même que det(h F ). 3.4 Conséquences La concept des courbes hessiennes nous permet de formuler le théorème suivant sur les points d inflections d une courbe : Théorème Soit C = V (F ) P 2 (C) une courbe qui ne contient pas de droites, alors : a) Un point lisse p est un point d inflection p H(C). b) det(h F ) 0. c) C et H(C) n ont pas de composantes communes. d) Pour p C un point d inflection simple, mult p (C H(C)) = 1. a) Soit p = (1 : 0 : 0) lisse pour C avec la tangente T = V (X 2 ) et k = mult p (C T ) fini. Alors f(x 1, X 2 ) = F (1, X 1, X 2 ) peut être représenté dans la forme où g(0) 0 et h(0, 0) 0. On peut écrire : f(x 1, X 2 ) = X k 1 g(x 1 ) + X 2 h(x 1, X 2 ) X k 1 g(x 1 ) = X k 1 (c 0 + c 1 X 1 + c 2 X ) = a 2 X a 3 X a 4 X et a 2 0 pour k = 2 et a 2 = 0 pour k 3 h(x 1, X 2 ) = b 0 + b 1 X 1 + b 2 X 2 + avec b 0 0 9

10 3.4 Conséquences 3 COURBES HESSIENNES f(x 1, X 2 ) = a 2 X1 2 + a 3 X X 2 (b 0 + b 1 X 1 + b 2 X 2 + ) avec a 2 = 0, si k 3, c est-à-dire si p est un point d inflection. Avec le lemme 3.2.1, on peut dire que det(h f (p)) = (n 1) b 0 0 2a 2 b 1 b 0 b 1 2b 2 = (n 1)2 b b 1 2a 2 0 2b 2 b 1 b 0 = 2(n 1)2 b 2 0a 2 Comme b 0 0, det(h F (p)) = 0 a 2 = 0 Donc p H(C) det(h F (p)) = 0 a 2 = 0 k 3 p est un point d inflection. b) Il suffit de montrer qu il existe un point lisse p qui n est pas un point d inflection. On suppose que det(h F ) = 0. Donc V (det(h F )) = P 2 (C) et tous les points dans C sont des points d inflection d après a). On utilise le théorème des fonctions implicites de la partie 6.9 : Soit p = (p 1, p 2 ) C lisse, donc grad p F 0 et F (p) = 0. D après ce théorème, un voisinage ouvert U dans C 2 de p et un voisinage ouvert V dans C de p 1, ϕ : V C continûment différentiable t.q. {(x 1, x 2 ) U f(x 1, x 2 ) = 0} = {(x 1, ϕ(x 1 )) x 1 V } Donc, si p (C U) = {(x 1, x 2 ) U ϕ(x 1 ) = x 2 } est un point d inflection, alors ϕ (p 1 ) = 0. On a supposé qu il n existait que des points d inflection, alors ϕ = 0 et ϕ = ax 1 + b. Alors (C U) = {(x 1, x 2 ) U x 2 ax 1 b = 0} et soit L := V (x 2 ax 1 b). (L C) = L C. Ceci est une contradiction, car C ne contient pas de droites. Donc tous les points lisses ne sont pas des points d inflection. c) Soit p = (1 : 0 : 0) C lisse avec la tangente T = V (X 2 ) et mult p (C T ) = k 2, k <. On coupe H(C) et C avec T. Ainsi si H(C) et C avaient une composante commune dans un point lisse p, on aurait mult p (H(C) T ) = mult p (C T ). D abord det(h F ) = X k 2 1 G(X 0, X 1 ) + X 2 H(X0, X 1, X 2 ) avec G(1, 0) 0. On coupe maintenant H(C) avec T = V (X 2 ) X 2 = 0 dans det(h F ). Alors det(h F ) = X1 k 2 G(X 0, X 1 ) et det(h F )(p) = 0 H(C) et T se coupe en p et mult p (H(C) T ) = k 2, car G(1, 0) 0. Donc mult p (H(C) T ) = k 2 < mult p (C T ) = k, k <, car C ne contient pas de droites par hypothèse. Alors C et H(C) n ont pas de composantes communes. 10

11 3.4 Conséquences 3 COURBES HESSIENNES d) p un point d inflection simple mult p (C T ) = 3 = k, T la tangente à C dans p p est lisse dans C. De plus, mult p (H(C) T ) = k 2 = 1 (voir preuve pt c)), donc T n est pas tangente à H(C) dans p. Comme H(C) et C n ont pas de composantes communes, ni de tangentes communes : mult p (H(C) C) = ord p (H(C)) ord p (C) = 1 1 = 1. Corollaire Une courbe algébrique C P 2 (C) de degré 2 qui ne contient pas de droites, possède, au plus, 3n(n 2) points d inflection. deg(c) = n et deg(h(c)) = 3(n 2) (par prop ) Le théorème de Bézout nous donne le nombre de points d inflection : p H(C) C mult p (C H(C)) = 3n(n 2) si ce sont des points d inflection simples, < sinon. Proposition C H(C) C est la réunion de droites. On peut également le formuler ainsi : a) C contient une droite L, alors L H(C) b) Soit C C une composante irréductible avec C H(C), alors C est une droite. a) Soient C = V (F ), où F = X 0 G, et la droite L = V (X 0 ), ainsi C = L V (G) et on a bien que C contient une droite. Alors F i = X 0 G i et F ij = X 0 G ij, i = 1, 2. D après le lemme : det(h F ) = n 1 X 2 0 nf F 1 F 2 (n 1)F 1 F 11 F 21 (n 1)F 2 F 12 F 22 X0det(H 2 F ) = X0(n 3 1) X2 0det(H F ) = (n 1) ng G 1 G 2 (n 1)G 1 G 11 G 21 (n 1)G 2 G 12 G 22 nx 0 G X 0 G 1 X 0 G 2 (n 1)X 0 G 1 X 0 G 11 X 0 G 21 (n 1)X 0 G 2 X 0 G 12 X 0 G 22 =: X3 0 det(h F ) = X 0 Donc H(C) = V (det(h F )) = V (X 0 ) V ( ) = L V ( ) L H(C). b) Il faut montrer qu une composante non-linéaire C C ne peut pas être une composante de H(C). Quand on l aura montrer, les droites ne pourront plus qu être alors les 11

12 3.5 Exemple 3 COURBES HESSIENNES composantes communes. Pour faire cela, on choisit donc un point p qui est lisse dans C et H(C), où C est irréductible et non-linéaire. On fait la même preuve que la preuve du théorème c) : On obtient que : Comme C C et C H(C) k 2 = k, ce qui est seulement possible pour k =. Mais c est une contradiction à mult p (C T ) <. Donc, C n est pas une composante non-linéaire, et C est une droite. 3.5 Exemple Parabole de Neil Soit C N = V (F ) avec le polynôme minimal F = X1 3 X 0 X2. 2 Alors 0 0 2X 2 det(h F ) = 0 6X 1 0 2X = 2X X X 2 = 24X 1X2 2 et H(C) = V ( 24X 1 X 2 2) = V (X 1 ) V (X 2 ), où V (X 2 ) est compté deux fois, comme X 2 est un zéro double du déterminant. Pour trouver les points d inflection, il faut couper C et H(C) : On veut d abord trouver les points d intersection de C et V (X 2 ), qui correspondent aux zéros de G(Y 0, Y 1 ) = F (Y 0, Y 1, 0) = Y1 3. On peut factoriser G par le théorème fondamental de l algèbre homogénéisé : G = (b 1 Y 0 a 1 Y 1 ) k1... = (0Y 0 ( 1)Y 1 ) 3. Alors (a 1 : b 1 : 0) = ( 1 : 0 : 0) = (1 : 0 : 0) = p, le point d intersection de C et de V (X 2 ) et mult p (C V (X 2 )) = 3. Maintenant, on cherche les points d intersection entre C et V (X 1 ) : G = F (Y 0, 0, Y 2 ) = Y 0 Y 2 2 = (1Y 0 + 0Y 2 ) 1 (0Y 0 + 1Y 2 ) 2 q = (0 : 0 : 1) et p = (1 : 0 : 0) sont les points d intersection avec respectivement mult q (C V (X 1 )) = 1 et mult p (C V (X 1 )) = 2. Maintenant, il faut déterminer si les points d intersection sont des points d inflection ou des singularités de C : gradf = ( X 2 2, 3X 2 1, 2X 0 X 2 ) 12

13 RÉFÉRENCES RÉFÉRENCES grad p F = (0, 0, 0) grad q F = ( 1, 0, 0) C est lisse en q et singulier en p q est un point d inflection et p est une singularité. Enfin mult p (C H(C)) = = 8, car p est une triple intersection de V (X 2 ) qui compte double et une double intersection de la droite V (X 1 ). Références [1] G. Fischer, Ebene algebraische Kurven, Vieweg 13

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