Résumé du cours d analyse de maths spé MP

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1 1 TOPOLOGE Résumé du cours d nlyse de mths spé MP 1 Topologie 1) Normes, normes équivlentes Une norme sur l espce vectoriel E est une ppliction N de E dns R vérifint : x E, N(x). x E, (N(x) = x = ) (xiome de séprtion). x E, λ K, N(λx) = λ N(x) (x, y) E 2, N(x + y) N(x) + N(y) (inéglité tringulire). Normes équivlentes. Les normes N et N sont équivlentes si et seulement si il existe deux réels strictement positifs α et β tel que x E, αn(x) N (x) βn(x). l revient u même de dire que l fonction N N est bornée sur E \ {}. Théorème. Si E est de dimension finie sur K, toutes les normes sont équivlentes. 2) Voisinge Un voisinge de x est une prtie de l espce vectoriel normé (E, N) qui contient une boule ouverte non vide de centre x. L ensemble des voisinges de x se note V (x). Si V est une prtie de E, (V V (X) r > / B o (x, r) V). Théorème.Une réunion quelconque de voisinge de x est un voisinge de x. Une intersection finie de voisinge de x est un voisinge de x. 3) Ouverts, intérieur. Ouvert. Un ouvert de l espce vectoriel normé (E, N) est soit, soit une prtie non vide de E voisinge de chcun de ses points. Si O est une prtie non vide de E, (O est ouvert x O, r > / B o (x, r) O). Théorème. Une réunion quelconque d ouverts est un ouvert. Une intersection finie d ouverts est un ouvert. ntérieur. Un élément x de A est intérieur à A si et seulement si A est voisinge de x ( x E), (x A A V (x)). L intérieur d une prtie non vide A est l ensemble des points de A dont A est voisinge. Théorème. A est le plus grnd ouvert contenu dns A. Théorème. A est ouvert si et seulement si A = A. 4) Fermés, dhérence Fermé. A est fermé si et seulement si le complémentire de A est ouvert. Théorème. Une intersection quelconque de fermés est un fermé. Une réunion finie de fermés est un fermé. Théorème (crctéristion séquentielle des fermés). Une prtie non vide A est fermée si et seulement si toute suite convergente d éléments de A converge dns A. Adhérence. Un élément x de E est dhérent à A si et seulement si tout voisinge de x rencontre A ( x E, x A V V(x), V A ). L dhérence de A est l ensemble des points dhérents à A. Théorème. A est le plus petit fermé contennt A. Théorème. A est fermé si et seulement si A = A. Théorème. x est dhérent à A si et seulement si il existe une suite d éléments de A convergente de limite x. http :// 1 c Jen-Louis Rouget, 28. Tous droits réservés.

2 et E sont des prties à l fois ouvertes et fermées. 2 FONCTONS 5) Compcts Une prtie non vide K de E est compcte si et seulement si de toute suite d éléments de K, on peut extrire une sous-suite qui converge vers un élément de K. Sinon, est compct. Théorème. Si K est compcte, K est fermée et bornée. Théorème (de Borel-Lebesgue). Si (E, N) est un evn de dimension finie, les compcts sont les prties fermées et bornées. Théorème (de Bolzno-Weierstrss). Si (E, N) est un evn de dimension finie, de toute suite bornée, on peut extrire une sous-suite convergente. 6) Espces complets L evn (E, N) est complet si et seulement si toute suite de Cuchy d éléments de E converge dns E. Un evn complet est un espce de Bnch. Théorème. Si (E, N) est un espce de dimension finie, lors (E, N) est un espce de Bnch. 2 Fonctions 2.1 Continuité Théorème des vleurs intermédiires. f est une fonction d un evn (E, N) dns un evn (E, N ). Si f est continue sur E, l imge d un connexe pr rcs de E est un connexe pr rcs de E. En prticulier, si f est une fonction de R dns R et est continue sur R, l imge d un intervlle de R pr f est un intervlle de R. Théorème (imges réciproques d ouverts ou de fermé). f est une ppliction d une prtie D d un evn (E, N) dns un evn (E, N ). f est continue sur D si et seulement si l imge réciproque de tout ouvert de (E, N ) est un ouvert de D, c est-à-dire l intersection d un ouvert de E vec D. f est continue sur D si et seulement si l imge réciproque de tout fermé de (E, N ) est un fermé de D, c est-à-dire l intersection d un fermé de E vec D. Théorème (imge continue d un compct). f est une ppliction d une prtie D d un evn (E, N) dns un evn (E, N ). Si f est continue sur D, l imge directe d un compct de D est un compct de (E, N ). Théorème de Heine. Si f est continue sur un compct, lors f est uniformément continue sur ce compct. Théorème (continuité de l norme). L ppliction N : (E, N) (R, ) x N(x) est continue. Théorème (continuité d une ppliction linéire). f est une ppliction linéire de (E, E ) dns (F, F ). f est continue sur E si et seulement si f est continue en si et seulement si k R + / x E, f(x) F k x E si et seulement si f est lipschitzienne. Dns ce cs, l norme subordonnée à N et N est { } f(x) F f = sup, x E \ {} = sup { f(x) F, x E 1} = sup { f(x) F, x E = 1}. x E est une norme sur L c (E, F) qui est sous-multiplictive. Théorème. Si E est de dimension finie, toute ppliction linéire, forme linéire, ppliction multilinéire... est continue sur E. Conséquence : les sev d un evn de dimension finie sont fermés. 2.2 Dérivtion Théorème (de Rolle). f est une ppliction définie sur un segment [, b] de R à vleurs dns R. Si f est continue sur [, b], dérivble sur ], b[ et vérifie f() = f(b), lors il existe c ], b[ tel que f (c) =. Théorème des ccroissements finis. f est une ppliction définie sur un segment [, b] de R à vleurs dns R. Si f est f(b) f() continue sur [, b], dérivble sur ], b[ lors il existe c ], b[ tel que = f (c). b Le théorème de Rolle et le théorème des ccroissements finis sont fux pour les pplictions de R dns C ou les pplictions de R dns R n, n 2. http :// 2 c Jen-Louis Rouget, 28. Tous droits réservés.

3 2.3 ntégrtion 3 SÉRES NUMÉRQUES Théorème. f est une ppliction définie sur un segment [, b] de R à vleurs dns R ou C. Si f est continue sur [, b], de clsse C 1 sur ], b] et si f une limite réelle ou complexe en, lors f est de clsse C 1 sur [, b]. Formule (de Tylor-Lplce). Soit f une ppliction définie sur un intervlle de R à vleurs dns R ou C de clsse C n+1 sur. Alors, pour tout (, b) 2, f(b) = n k= f (k) () b (b ) k + k! (b t) n f (n+1) (t) dt. n! néglité des ccroissements finis. Soit f une ppliction définie sur un intervlle de R à vleurs dns R ou C, dérivble sur. On suppose que f est bornée sur. Alors, pour tout (, b) 2, f(b) f() b sup f. néglité de Tylor-Lgrnge. Soit f une ppliction définie sur un intervlle de R à vleurs dns R ou C, n + 1 fois dérivble sur. On suppose que f (n+1) est bornée sur. Alors, pour tout (, b) 2, n f(b) k= f (k) () (b ) k k! sup f (n+1) (b ) (n+1). (n + 1)! 2.3 ntégrtion Théorème. Soit f une fonction continue sur un intervlle de R à vleurs dns R ou C. Alors, pour tout x de, l x fonction F : x f(t) dt est de clsse C 1 sur et x, F (x) = f(x). x Plus générlement, si f est continue pr morceux sur, F est continue sur, dérivble à droite et à guche en tout point de l intérieur de et pour x intérieur à, F g(x) = f(x ) et F d (x) = f(x + ). 3 Séries numériques Règle de d Alembert. (u n ) est une suite complexe, ne s nnulnt ps à prtir d un certin rng telle que une limite l [, + ]. Si l < 1, l série de terme générl u n converge bsolument. Si l > 1, l série de terme générl u n diverge grossièrement. Produit de Cuchy de deux séries bsolument convergentes. Si les séries de termes générux u n et v n sont bsolument convergentes, lors l série de terme générl w n = n ( k= u kv n k converge et dns ce cs, + ) ( + w n = u n v n ). Critère spécil ux séries lternées (ou théorème de Leibniz). Soit (u n ) une suite réelle lternée en signe, dont l vleur bsolue tend vers en décroissnt. Alors, l série de terme générl u n converge. De plus, S, S n et R n sont du signe de leur premier terme et leur vleur bsolue est mjorée pr l vleur bsolue de leur premier terme. Enfin, S est encdrée pr deux sommes prtielles consécutives. Théorème (séries télescopiques). Soit ( n ) une suite complexe. L suite ( n ) et l série de terme générl n+1 n sont de même nture. Comprison séries-intégrles. Si f est une fonction continue pr morceux sur [, + [, à vleurs réelles positives décroissnte, l série de terme générl n n 1 f(t) dt f(n) converge. En prticulier, l série de terme générl f(n) converge si et seulement si f est intégrble sur [, + [. u n+1 u n http :// 3 c Jen-Louis Rouget, 28. Tous droits réservés.

4 4 SUTES ET SÉRES DE FONCTONS Théorème (sommtion des reltions de comprison). Soient ( n ) et (b n ) deux suites réelles strictement positives telles que n b n. Si l série de terme générl n converge, lors l série de terme générl b n converge et k=n+1 k k=n+1 (règle de l équivlence des restes de séries à termes positifs convergentes). Si l série de terme générl n diverge, lors l série de terme générl b n diverge et n k= k (règle de l équivlence des sommes prtielles de séries à termes positifs divergentes). Résultts nlogues en remplçnt pr o( ) ou O( ). Théorème de Fubini. Soit (u i,j ) une suite complexe double. Si Pour tout i, l série de terme générl u i,j est bsolument convergente et que i= j= n k= u i,j < +, lors l suite (u i,j ) est sommble et de plus, u i,j = (i,j) i= j= u i,j = b k j= b k ( + u i,j ). i= Ne font ps prtie du cours, mis constituent des grnds clssiques d écrit : l règle de Rbe-Duhmel (méliortion de l règle de d Alembert pour les séries numériques) et l trnsformtion et l règle d Abel (pour une série du type cos(nθ) ) n 4 Suites et séries de fonctions 4.1 Suites de fonctions 1) Convergence simple, uniforme L suite de fonctions (f n ) converge simplement sur D vers l fonction f si et seulement si, pour chque x de D, l suite numérique (f n (x)) converge vers le nombre f(x). L suite de fonctions (f n ) converge uniformément vers f sur D si et seulement si l suite ( f f n ) est définie à prtir d un certin rng et tend vers qund n tend vers +. 2) nterversion des limites Théorème d interversion des limites. est dhérent à D ( réel, infini, complexe...). Si (f n ) converge uniformément vers f sur D et si chque f n une limite l n K qund x tend vers, lors : ) f une limite qund x tend vers ; b) l suite (l n ) converge ; c) lim f(x) = lim l x n. (c est-à-dire lim ( lim f x n(x)) = lim ( lim f n(x)).) x 3) Continuité. Théorème. Si l suite de fonctions (f n ) converge uniformément vers f sur D et si chque f n est continue sur D, lors f est continue sur D (une limite uniforme de fonctions continues est continue). 4) Dérivtion. Théorème. Si ) l suite de fonctions (f n ) converge simplement vers f sur D ; b) chque fonction f n est dérivble sur D ; c) l suite des dérivées (f n ) converge uniformément sur D (vers s limite). Alors, f est dérivble sur D et f = lim f n (c est-à-dire d dx ( lim f n) = lim ( d dx f n).) http :// 4 c Jen-Louis Rouget, 28. Tous droits réservés.

5 4.2 Séries de fonctions 4 SUTES ET SÉRES DE FONCTONS Théorème (générlistion). Si ) l suite de fonctions (f n ) converge simplement vers f sur D ; b) chque f n est de clsse C p, p 1, sur D ; c) les suites des dérivées (f (k) n ), 1 k p, convergent toutes uniformément sur D (vers leur limite) Alors, f est de clsse C p sur D et k 1, p, f (k) = lim f(k) n. 5) ntégrtion Théorème (convergence uniforme sur un segment). Si chque f n est continue pr morceux sur le segment [, b] et si l suite (f n ) converge uniformément vers f sur [, b], lors : ) f est continue pr morceux ) sur [, b] ; b) l suite c) b (c est-à-dire ( b f n (x) dx f(x) dx = lim b b converge ; f n (x) dx. lim f n(x) dx = lim b f n (x) dx). Théorème de convergence dominée. (f n ) est une suite de fonctions continues pr morceux sur un intervlle quelconque de R à vleurs dns R ou C. Si l suite (f n ) converge simplement vers une fonction f continue pr morceux sur et s il existe une fonction ϕ continue pr morceux, positive et intégrble sur telle que n N, f n ϕ (hypothèse de domintion), lors f est intégrble sur et f(x) dx = lim f n (x) dx. 4.2 Séries de fonctions 1) Convergence simple, uniforme, bsolue, normle L série de fonctions de terme générl f n converge simplement sur D vers S si et seulement si, pour chque x de D, l série numérique de terme générl f n (x) converge vers S(x). L série de fonctions de terme générl f n converge uniformément sur D vers S si et seulement si l suite ( R n ) est définie à prtir d un certin rng et tend vers qund n tend vers +. L série de fonctions de terme générl f n converge bsoluement sur D si et seulement si, pour chque x de D, l série numérique de terme générl f n (x) converge bsolument. L série de fonctions de terme générl f n converge normlement sur D (vers S) si et seulement si l série numérique de terme générl f n converge. C.U. Théorème. C.N. C.S. Toutes les utres implictions sont fusses. C.A. 2) nterversion des limites Théorème d interversion des limites. est dhérent à D ( réel, infini, complexe...). Si l série de fonction de terme générl f n converge uniformément vers S sur D et si chque f n une limite l n K qund x tend vers, lors : ) S une limite qund x tend vers ; b) l série numérique de terme générl l n converge ; c) lim S(x) = l n. x ( + ) (c est-à-dire lim f n (x) = x lim f n(x)). x 3) Continuité Théorème. Si l série de fonctions de terme générl f n converge uniformément vers S sur D et si chque f n est continue sur D, lors S est continue sur D. http :// 5 c Jen-Louis Rouget, 28. Tous droits réservés.

6 4) Dérivtion Théorème de dérivtion terme à terme. Si ) l série de fonctions de terme générl f n converge simplement vers S sur D ; b) chque f n est dérivble sur D ; c) l série de fonctions de terme générl f n converge uniformément ( sur D, lors, S est dérivble sur D et S = f n (c est-à-dire d + ) d f n = dx dx (f n)). Théorème (générlistion). Si ) l série de fonctions de terme générl f n converge simplement vers S sur D ; b) chque f n est de clsse C p, p 1 sur D ; c) les séries de termes générux (f (k) n ), 1 k p, convergent toutes uniformément sur D, lors, S est de clsse C p sur D et k [[1, p]], S (k) = Revoir l étude de l fonction ζ de Riemnn. f (k) n. 6 SÉRES DE FOURER 5) ntégrtion terme à terme Théorème (convergence uniforme sur un segment). Si chque f n est continue pr morceux sur le segment [, b] et si l série de terme générl f n converge uniformément vers S sur [, b], lors : ) S est continue pr morceux sur [, b] ;) b) l série de terme générl c) b S(x) dx = b ( b f n (x) dx. f n (x) dx converge ; Théorème de convergence dominée. (f n ) est une suite de fonctions continues pr morceux sur un intervlle quelconque de R à vleurs dns R ou C. Si l série de terme générl f n converge simplement vers une fonction S continue pr morceux sur et s il existe une n fonction ϕ continue pr morceux, positive et intégrble sur telle que n N, f k ϕ (hypothèse de domintion), lors S est intégrble sur et S(x) dx = f n (x) dx. Théorème. Si chque f n est continue pr morceux et intégrble sur, si l série de terme générl f n converge simplement vers une fonction S continue pr morceux sur et si f n < +, lors S est intégrble sur et S(x) dx = f n. 5 Séries entières 1) Ryon de convergence R = sup{r [, + [/ ( n r n ) bornée}. 2) Convergence normle Théorème. L série de fonctions n x n converge normlement sur tout [ r, r] (resp. tout disque fermé de ryon r) où r < R. Théorème. L somme d une série entière est de clsse C sur son intervlle ouvert de convergence et les dérivées successives s obtiennent pr dérivtion terme à terme. dem pour primitive pr intégrtion terme à terme. Les différents ryons de convergence considérés sont égux. De plus, l somme d une série entière est égle à l somme de s série de Tylor : x ] R, R [, f(x) = f (n) () x n. n! k= 6 Séries de Fourier 1) Coefficients de Fourier et série de Fourier f est une fonction continue pr morceux sur R, 2π-périodique à vleurs dns R ou C. http :// 6 c Jen-Louis Rouget, 28. Tous droits réservés.

7 coefficients de Fourier sous forme trigonométrique 2π n N, n (f) = 1 f(t)cos(nt) dt et n N, b n (f) = 1 f(t) sin(nt) dt π π coefficients de Fourier sous forme exponentielle n Z, c n (f) = 1 2π f(t)e int dt 2π Si f est pire, n N, n (f) = 2 π π 2π f(t)cos(nt) dt et n N, b n (f) =. Si f est impire, n N, n (f) = et n N, b n (f) = 2 f(t) sin(nt) dt. π L série de Fourier trigonométrique de f est Sf(x) = (f) + ( n (f)cos(nx) + b n (f)sin(nx)). 2 π L série de Fourier exponentielle de f est Sf(x) = c n (f)e inx. 6 SÉRES DE FOURER 2) Théorème de Dirichlet Théorème. Si f est de clsse C 1 pr morceux sur R, 2π-périodique, lors l série de Fourier de f converge en tout réel x vers 1 2 (f(x ) + f(x + )). x R, ( n (f)cos(nx) + b n (f)sin(nx)) = c n (f)e inx = 1 2 (f(x ) + f(x + )). Corollire Si f est continue sur R, de clsse C 1 pr morceux et 2π-périodique, lors l série de Fourier de f converge simplement vers f sur R. 3) Formule de Prsevl Théorème Si f est continue pr morceux et 2π-périodique, lors (f) ( n (f) 2 + b n (f) 2 ) = 1 π c n (f) 2 = 1 2π 2π 2π f(t) 2 dt. f(t) 2 dt 4) Convergence normle Si f est de clsse C 1 pr morceux, n N, n (f ) = nb n (f) et n N, b n (f ) = n n (f). (f ) = et n N, n (f) = b n(f ) n, b n(f) = n(f ) n. n Z, c n (f ) = inc n (f). c (f ) = et n Z, c n (f) = 1 in c n(f ). Théorème. Si f est continue, de clsse C 1 pr morceux sur R et 2π-périodique l série de Fourier de f converge normlement vers f sur R. Théorème. Si f est de clsse C k sur R lors l suite (c n (f)) est négligeble devnt l suite ( n k ) qund n tend vers ± et les suites ( n (f)) et (b n (f) sont négligebles devnt n k qund n tend vers +. http :// 7 c Jen-Louis Rouget, 28. Tous droits réservés.

8 5) Fonctions T-périodiques 7 NTÉGRALES DÉPENDANT D UN PARAMÈTRE On pose ω = 2π T. coefficients de Fourier trigonométriques T n N, n (f) = 2 f(t)cos(nωt) dt et n N, b n (f) = 2 T T coefficients de Fourier exponentielles n Z, c n (f) = 1 T T f(t)e inωt dt T f(t) sin(nωt) dt L série de Fourier trigonométrique de f est Sf(x) = (f) + ( n (f)cos(nωx) + b n (f)sin(nωx)). 2 L série de Fourier exponentielle de f est Sf(x) = c n (f)e inωx. (f) Formule de Prsevl ( n (f) 2 + b n (f) 2 ) = 2 T c n (f) 2 = 1 T T T f(t) 2 dt. f(t) 2 dt 7 ntégrles dépendnt d un prmètre est une prtie de R et J est un intervlle quelconque de R. f : J K est une fonction de deux vribles, définie sur J, à vleurs dns K = R ou K = C. (x, t) f(x, t) Ps de théorème d interversion des limites Pour x, on pose F(x) = f(x, t) dt. Théorème de continuité d une intégrle à prmètres. Si ) pour tout x de, l fonction t f(x, t) est continue pr morceux sur J, b) pour tout t de J, l fonction x f(x, t) est continue sur, c) il existe une fonction ϕ continue pr morceux, positive et intégrble sur J telle que, pour tout (x, t) J, f(x, t) ϕ(t). Alors, l fonction F est définie et continue sur. Théorème de dérivtion sous le signe somme (ou théorème de Leibniz) Si pour tout x de, l fonction t f(x, t) est continue pr morceux sur J et intégrble sur J, et si f dmet une dérivée prtielle f vérifint les hypothèses du x théorème précédent, c est-à-dire : ) pour tout x de, l fonction t f x (x, t) est continue pr morceux sur J, b) pour tout t de J, l fonction x f xf(x, t) est continue sur, c) il existe une fonction ϕ continue pr morceux, positive et intégrble sur J telle que, pour tout (x, t) J, f (x, t) ϕ(t). x Alors, l fonction F est de clsse C 1 sur et x, F f (x) = (x, t) dt. x J J http :// 8 c Jen-Louis Rouget, 28. Tous droits réservés.

9 8 EQUATONS DFFÉRENTELLES Théorème de dérivtion sous le signe somme (générlistion) Si pour tout x de, l fonction t f(x, t) est continue pr morceux sur J et intégrble sur, et si f dmet des dérivées prtielles i f xi, 1 i k, vérifint : ) pour tout x de et tout i 1, k, l fonction t i f i(x, t) est continue pr morceux sur J, x b) pour tout t de J et tout i 1, k, l fonction x i ff(x, t) est continue sur, x i c) il existe des fonctions ϕ i continues pr morceux, positives et intégrble sur J telle que, pour tout (x, t) J et tout i 1, k, i f x i(x, t) ϕ i(t). Alors, l fonction F est de clsse C k sur et x, i 1, k, F (i) (x) = Revoir l étude de l fonction Γ. 8 Equtions différentielles J i f xi(x, t) dt. Théorème de Cuchy Soient et b deux fonctions continues sur un intervlle de R à vleurs dns K = R ou K = C. Alors, pour tout (x, y ) K, il existe une et une seule solution f de l éqution différentielle y +y = b sur vérifint de plus f(x ) = y à svoir : x, f(x) = y e A(x) + e A(x) x x e A(t) b(t) dt où A(x) = x x (t) dt. Théorème de Cuchy. Soit A M n (K). Soit B une fonction continue sur un intervlle de R à vleurs dns M n,1 (K). Alors, pour tout (t, X ) M n,1 (K), il existe une et une seule solution X de l éqution différentielle X = AX + B sur vérifint de plus X(t ) = X à svoir t, X(t) = e ta X + e ta t t e ua B(u) du. Théorème de Cuchy. Soient A et B deux fonctions continues sur un intervlle de R à vleurs respectivement dns M n (K) et M n,1 (K). Alors, pour tout (t, X ) M n,1 (K), il existe une et une seule solution X de l éqution différentielle X = AX + B sur vérifint de plus X(t ) = X. Théorème de Cuchy. Soient, b et c trois fonctions continues sur un intervlle de R à vleurs dns R ou C. Alors, pour tout (x, y, z ) K K, il existe une et une seule solution f de l éqution différentielle y + y + by = c sur vérifint de plus f(x ) = y et f (x ) = z. Théorème de Cuchy-Lipschitz. Soit f une ppliction de clsse C 1 sur un ouvert U de R 2 à vleurs dns R. Pour tout (x, y ) R, il existe une et une seule solution mximle de l éqution y = f(x, y) prennt l vleur y en x. De plus, l intervlle de définition de cette solution mximle est ouvert. http :// 9 c Jen-Louis Rouget, 28. Tous droits réservés.