3 IEME TOPO. Procédés topos. (planimétrie et altimétrie) AIT AABDELLAH Abdeljalil I A V H A S S A N 2

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1 3 IEME TOPO Procédés topos (planimétrie et altimétrie) AIT AABDELLAH Abdeljalil 2011 I A V H A S S A N 2

2 Procédées topographiques : toute méthodes qui permet de déterminer la position d un point inconnu { partir d un ensemble de points connus. observation des angles et de distances. Un procédé topo s effectue en 2 étapes : Observations sur le terrain Etape bureau (calcule) :traitement des observations 3 catégories de procédés en se basant sur la nature des observations : Procédés n utilisant que les mesures angulaires Procédés n utilisant que les mesures de distances (linéaires) Procédés combinent les deux méthodes Les procédés topo n utilisant que les mesures angulaires : L intersection : Inconnus : M(x,y)?? +données : A,B :connus Stationables Intervisibles M doit être visible à partir des deux points A et B.

3 Partie terrain : Principe de l intersection L intersection consiste on la détermination de la position planimétrique d un point inconnu { partir de deux points connus intervisibles. A partir des points connus on vise les points inconnus (on effectue que la lecture angulaire ) Partie bureau : 1) γ=200-(α+β) pour améliorer le résultat on choisit AM et BM quasi-égal (triangle quasi-équilatéral ) -> condition supplémentaire.

4 2) sinα BM = sinβ AM = sinγ AB avec AB = x 2 + y 2 Si la distance est mesurée sur le terrain on applique les réductions. Dans ce cas pas de réduction à faire car on se base sur les coordonnées x,y AM, BM 3) Gt AM= Gt AB-α 4) SinGt AM = x AM AM x AM = AM. SinGt AM et y AM = AM. CosGt AM x M = x A + AM. SinGt AM y M = y A + AM. SinGt AM Remarques : Ce procédé utilisé souvent pour le rattachement Mener les calcules à partir de A et B ne contrôle pas la position de M, et si on trouve une différence entre les calcules celles de A et celles de B -> il ya une erreur dans les calcules Quelque soit la détermination on topo il faut toujours présenter les valeurs avec : + la précision + le contrôle On ne corrige pas les angles car on a adapté la projection conforme Remarques : pour contrôler le point M, il faut avoir un 3 ième point connu C, intervisible avec B et que M visible à partir de B et C, --> on aura un contrôle sur BM puis sur la position de M. On compare entre la position M obtenu des 2 triangles, et on adopte la moyenne si : x < 15 cm y < 25 cm Relèvement M(x,y)?? Données : 3 points connus, Les conditions : M est stationable. 3 points visibles à partir de M.

5 Observées : A,B et C sont des références Bureau : rp sq x M = x C + p 2 + q 2 q rp sq y M = y C + p 2 + q 2 p Avec : r = y C y A + x C x A cotgα s = x C x A y C y A cotgα p = x B x C y B y C cotgβ + s p = y B y C + x C x B cotgβ + r remarque : On peut faire les calcules avec plusieurs points connus. On admet jusqu'{ 30 cm d écart entre les coordonnées. La précision de x et y dépend de α et β. Recoupement Inconnus : M(x,y) Données : A,B et C : connus (Gt AC direction connue)

6 calcules : γ, α -> M(x,y)?? 1) Gt AM= Gt AC+ γ 2) AM/sinβ 2 =AB/sinα ---> AM Avec : Gt AB- Gt AM= β 1 et β 1+ β 2+α=200 β 2 AM, Gt AM x AM = AM. SinGt AM y AM = AM. CosGt AM x M = x A + AM. SinGt AM y M = y A + AM. CosGt AM

7 Remarque : Pour contrôler les mesures on utilise un autre procédé on se basant sur un autre point pour effectuer soit l intersection, soit relèvement, selon les données. Les procédés topo n utilisant que la mesure de distance Inconnus : M(x,y) Données : A et B: connus (au moins deux points connus) observés : d 1 et d 2. Calcule : d 1 2=(x A-x M) 2 +(y A-y M) 2 d 2 2=(x B-x M) 2 +(y B-y M) 2 on aura 2 solutions M 1(x 1,y 1) et M 2(x 2,y 2), laquelle on va adopter?? Il faut un contrôle (autre procédé ) On ajoute un 3 ième point connu (d 3 connu) On adopte les coordonnées qui correspond à la distance d 3. Remarque : Si on se base sur : 2 points bilateration 3 points trilateration On effectue les calcules { l aide de la relation d Alkachy.

8 Procédés combinant les deux méthodes Rayonnement : Inconnu : M(x,y)?? Données : A : connu, stationable, et M visible à partir de A. Direction connu (Gt AC connu ) Partie terrain : Partie calcule : Gt AM=Gt AC+α x AM = AM. SinGt AM y AM = AM. CosGt AM Remarque : x M = x A + AM. SinGt AM y M = y A + AM. CosGt AM Puisque on a mesuré AM sur le terrain, donc il va subir 3 correction : - Réduction { l horizontale - Réduction { l ellipsoïde - Réduction au plan de projection. Remarque : Dans cette méthode on dit qu on a rayonné M { partir de A. si on ajoute un autre point B connu, stationnable, telle que M est visible à partir de ce point B on parle dans ce cas de : double rayonnement.

9 Dans ce cas on adopte la moyenne des deux résultats avec les conditions suivantes : - Urbaine : x < 5 cm et y < 10 cm - Rurale : x < 10 cm et y < 10 cm Cheminement (polygonale ) Succession du rayonnement qui permet en partant d un point connu et d une direction connu de calculer un ensemble de points intermédiaires (ou inconnus ), ainsi en effectuant les mesures angulaires et les mesures de distance. Remarque : On utilise cette méthode souvent pour établir les plans topos. Inconnus : M(x,y)?? Données : - 2 points connus - 2 directions connues Partie bureau : 1) Calcule de Gt depart = Gt AC = Arctan( x/ y)+ 2) Calcule de Gt arrivé = Gt BD = Arctan( x/ y)+ ( c est Gt fixe ou bien Gt calculé ) 3) Calcule de Gt intermédiaires Gt AM1 = Gt AC + α 1 Gt M1M2 = Gt AM1 + α 2 = Gt AC + α α 2 = Gt AC + α 1 + α Gt M2M3 = Gt M1M2 + α 3= Gt AC + α 1 + α 2+ α Gt M2M3 = Gt AC + α 1 + α 2+ α 3 + α Gt BD arrivé(obs) = Gt AC + α 1 + α 2+ α 3 + α 4 + α ) Calcule de Gt d arrivé : Gt arriv é (obs ) = Gt BD = Gt AC + Gt arriv é (obs ) = Gt depart + n i=0 n i=0 α i α i (n 1) 200

10 Avec : n =nombre de stations= nombre de points=nombre de points intermédiaire +2 5) Calcule de tolérance angulaire : T α=2,7 * σ Gtarrivé (obs) On a : Gt BD arrivé(obs) = Gt AC + α 1 + α 2+ α 3 + α 4 + α σ 2 Gtarrivé (obs)= 0 + 5*σ 2 α + 0 avec : σ 2 α =2 σ 2 L σ 2 Gtarrivé (obs)= 5*σ 2 α = 10*σ 2 L en général σ Gtarr (obs ) = 2n σ L 6) Calcule de la fermeture angulaire : f α =Gt arr fixe Gt arr obs 7) Comparaison entre T α et f α : Si f α >= T α 1. Refaire les calcules 2. refaire le terrain Si f α <= T α compensation des Gt. 8) Compensation (correction) des Gt : Quelque soit α i α i corrigé = α i + f α/n Gt AC=Gt Ac Gt AM1 compensé =Gt AC + α 1 compensé = Gt AC + α 1 + f α/5 Gt M1M2 compensé = Gt AC + α 1 + α 2+ 2 f α/5 Gt M2M3 compensé = Gt AC + α 1 + α 2+ α 3+ 3 f α/5 Gt BD arrivé compensé = Gt AC + α 1 + α 2+ + α 5+ f α = Gt arrivé (fixe) si on n a pas cette égalité -->il ya une faute de calcule. 9) Calcule des coordonnées approchés des M i : x M1 approché = x A + d 1. SinGt AM 1compensé y M1 approché = y A + d 1. CosGt AM 1compensé x M2 approché = x M1approché + d 2. SinGt M1M2compensé y M2 approché = y M1approché + d 2. CosGt M1M2compensé x B approché = x M3approché + d 4. SinGt M3Bcompensé y B approché = y M3approché + d 4. CosGt M3Bcompensé Remarque : Les coordonnées approchées sont obtenus à partir des Gt corrigés 10) Fermeture linéaire : f x= X B fixe - X B approché f Y= Y B fixe - Y B approché f l = f X 2 + f Y 2 11) Tolérance linéaire théorique : T l²= T 2 x + T 2 Y avec : T X = 2.7 * σ X B approché et T Y = 2.7 * σ Y B approché Mais c quoi l expression de σ 2 X B approché et σ 2 Y B approché On a déj{ l expression de x B approché = x M3approché + d 4. SinGt M3Bcompensé x B approché = x A + d 1. SinGt AM 1compensé + d 2. SinGt M1M2compensé d 4. SinGt M3Bcompensé Donc on appliquant la loi de propagation des erreurs on peut tirer facilement l expression de σ 2 X B approché et même chose pour σ 2 Y B approché.

11 12) Tolérance linéaire pratique : - Urbaine : T l = Rurale : T l = d i 2000 d i 1000 (m) 13) Comparaison entre T α et f α : Si f l > T l 1. Refaire les calcules 2. refaire le terrain Si f l <= T l compensation des données. 14) compensation des données : méthodes de compensation : - méthode des moindres carrés - méthodes des parallèles proportionnelles (souvent utilisée en topo) 15) les coordonnées définitives : m dx M1 = f X d 1 d i dx M2 = f X d 1 + d 2 d i dx M3 = f X d 1 + d 2 + d 3 d i dx B = f X d 1 + d 2 + d 3 + d 4 d i = f X X M1 = X M1 approché + dx M 1 Y M1 = Y M1 approché + dy M 1 X M2 = X M2 approché + dx M 2 Y M2 = Y M2 approché + dy M 2

12 Classification des cheminement selon la nature des points de départ et des points d arrivés : 2 types de cheminement : - cheminement principal : les points A et B sont connus issus de la triangulation - cheminement secondaire : les points A et B sont connus ne sont pas issus de la triangulation remarque : un point nodal : est un point d intersection en 3 cheminements - si un cheminement part d un point nodal et ferme sur un point nodal c est un cheminement principal Classification des cheminement selon la forme : Si les 2 points A et B sont confondus cheminement fermé Cheminement ouvert : - A et B sont connus et différents - Les angles α i soient tendus (tend vers 200 <> brisés ) - Les distances d i soient homogènes Point sur l alignement : Objectif :créer un point sur un alignement données exemple d utilisation : tracer les lignes d assainissement. Partie terrain : I = milieu de [I 1, I 2]

13 Partie calcule : x I = x A + AI. SinGt AB y I = y A + AI. CosGt AB x B = x I + IB. SinGt AB y B = y I + IB. CosGt AB f x= X B fixe - X B obs f I = f X 2 + f Y 2 f Y= Y B fixe - Y B obs X Icompensé Y Icomppensé = X I obs + f X = Y I obs + f Y AI AB AI AB Rabattement: Partie terrain: 1) Choisir M et P ( les triangles MAN et NAP ---- équilatéraux ) 2) S assurer qu { partir de N il ya une référence B. Observations : Remarque : A partir des références on ne peut effectuer que les observations angulaires. Partie bureau : sinm = sin N 1 = sin A 1 AN AM MN AN1

14 sinp = sin A 2 AN NP AN 2 AN = moy(an 1, AN 2 ) - Gt AN?? Gt AB : connu à partir des coordonnées Gt AN = Gt AB + α Avec α = 200 (β + γ) et sin β AN = sin γ AB β x N = x A + AN. SinGt AN y N = y A + AN. CosGt AN Station excentrée : réduction des observations au centre : Partie terrain : 1) Hors centre Repère centre 2) Mesurer la distance SR = r ( en mm, ex : chainage ) Partie bureau : 1) RO II SO 2) Objectif : trouver L A en fonction de (L A, L B, r ) sinɵ A r = sin (L 0 L A ) D AR Remarque : - D AR doit subir 3 corrections inversement avant de l introduire dans les calcules. Ɵ A = Arcsin( r sin L D 0 L A ) AR L A = L A Ɵ A Remarque : O est virtuelle (pour simplifier les calcules) D AR est obtenu par les coordonnées.

15 Rappel et définitions : Géoïde : surface équipotentiel de champ de la pesanteur qu on approxime au niveau moyen des mers et qu on prend comme référence pour les observations altimétriques. Remarque : Toutes les procédés mesurent H, mais GPS mesure h. Repère de nivellement : général fait parti d un réseau du nivellement (installé sur un endroit fixe pour indiquer l altitude d un point). RNGM : Réseau de Nivellement General du Maroc. Nivellement : Définition : l ensemble des opérations et des procédés permettant de déterminer directement ou indirectement la hauteur ou l altitude des points par rapport { une surface de relief, il permet aussi de calculer la différence d altitude entre les points dénivelé Types de nivellement : Directe : Nivellement ordinaire : Géométrique Utilisé en topographie Quelques cm/km On utilise : niveau N 2, Mire Nivellement de précision : Utilisé en géodésie 1 mm/km On utilise : niveau N 3, Mire invar (codé) Indirecte : trigonométrique Géodésique Portée : D < 300 m D=400 m -----> 4 km Utilisation en : Topographie Géodésie Quelques cm à quelques dm On mesure : - Angle verticale - Distances Barométrique : On utilise Nivellement Barométrique pour savoir l allure du terrain.

16 Nivellement Géométrique : 1) Matériels utilisés : Niveau N 2 + Mire (échelle graduée en cm estimée en mm, σ L = 2 mm ) + trépieds (à pied non coulissant ). 2) Mesure d une dénivelé : Choisir M à quasi-égale distance (milieu de AB ) Viser A ( f s, f n, f i ) H AB = H B - H A = L R L v Avec : L R : lecture arrière L v : lecture avant Mode opératoire : Remarque : Collimation : inclinaison entre ligne de visé et verticale ou zénith. 1) Stationner à quasi-égale distance entre A et B. (pas de centrage à faire) 2) Vérifier si N 2 est réglé : L CG L CD < ε= Soit on réglage de N 2. - Soit on prend la moyenne des 2 lectures : L = L CD + L CG 2 3) Placer une mire en A et viser cette mire 4) Corriger l erreur de collimation verticale 5) Lire : f s, f n, f i 6) Contrôler : 1 = f s - f n 2 = f n - f i 1-2 < ε= ) Refaire les même étapes pour B (à partir de 3 éme étape ) 8) Calcule de distance D 1 = 100 (f s - f i) pour A D 2 = 100 (f s - f i) pour B D 1 - D 2 < 1 m 9) H AB = L R L v

17 Remarque : - Ni la hauteur de l instrument, ni la position de point M, ni son altitude n interviennent dans la détermination de la dénivelé H AB - Eviter les visés rasantes ( < 50 cm ; afin de minimiser l effet de la courbure terrestre, et l effet atmosphérique ). Cheminement Altimétrique (directe) - Réglage de N 2 : Procédure de réglage de N 2 : 1) H AB = L R L v H AB = L R L v =(L R + e) (L v + e) = L R L v 2) H AB = L R L v =(L R + e) (L v + e ) = L R L v + (e e ) = L R L v + AB* tg(ε) ε e, e L R, e > L R = L R e L V, e > L V = L V e H AC = L R1 L v1 H CD = L R2 L v2 H BD = L R3 L v3

18 H AB = H AC + H CD + H BD = (L Ri L Vi ) Avec n : nombre de stations. Mode opératoire : 1) Choisir les points tournants 2) Refaire les étapes de mesure d une dénivelé sur chaque tronçon : AC, CD, BD On note les observation sur la fiche d observation (pour faciliter les calcules). Procédure de calcule : 1) Calcule des H approchées des points tournants H AC = H C - H A = L R1 L v > H C app = H A + (L R1 L v1 ) H CD = H D H C = L R2 L v > H D app = H C app + (L R2 L v2 )=H A + (L R1 L v1) + (L R2 L v2) H DB = H B H D = L R3 L v > H B app = H D app +(L R3 L v3) = H A + (L R1 L v1) + (L R2 L v2) +(L R3 L v3) 2) f a = H B fixe H B app 3) T a =2,7* σ HB app On a H Bapp = H A + L Ri 3 i=1 H Bapp = H A + L Ri Donc on appliquant la loi de propagation des erreurs on aura : σ 2 HB app = f (σ 2 L) avec : σ 2 L = 3 mm σ 2 L dépend de : Opérateur Grossissement de l appareil Distance mire-station total 4) Comparaison de f a et T a : Remarque : K : en (mm) Cte : longueur total du cheminement en (Km) n i=1 T apratique = cte k n i=1 3 i=1 n i=1 L Vi L Vi Ordre du cheminement Cte (mm) Spécial 3 1 ér ordre 4 2 éme ordre 8 3 éme ordre 12 4 éme ordre 120

19 Comparaison de f a et T a : Si f a > T a 1. Refaire les calcules 2. refaire les observations Si f a <= T a compensation des altitudes (dénivelés). 5) Compensation : Si f a est petite ---> repartir f a également sur les différentes H i d( H i) = f a/n Si f a est importante : Terrain plat : d( H i) =( f a * d i )/n Terrain accidenté : H i compensé = H i app + d( H i) d H i = f a H i I H i I Nivellement indirecte : - Nivellement trigonométrique - Nivellement géodésique Définition : effectuer un nivellement indirecte entre A et B, c est de calculer la dénivelé entre A et B (en utilisant la mesure des distances et des angles verticales ) nivellement indirecte permet de déterminer la différence d altitude entre 2 points via des mesures d angles verticaux et de distance. tgα= h n/d h --- > h n = D h * tgα avec α = V h AB =h i + h n - h V --- > h AB = h n+ h i - h V

20 Cheminement Altimétrique (indirecte) 1) Choisir les points intermédiaires C et D 2) Calculer la 1 ér dénivelé h AC 3) Calculer les autres tronçons n 4) H AB = i=1 H i avec n :nombre des stations. Calcule des H i approchées : H 1 approché = D H1 * tgα 1 + h i1 - h V1 H 2 approché = D H2 * tgα 2 + h i2 - h V2 H 3 approché = D H3 * tgα 3 + h i3 - h V3 H AB = σ 2 H app = f (σ 2 D, σ 2 α, σ 2 hi, σ 2 hv) avec : σ 2 hi = σ 2 hv σ 2 D ----> a + b * ppm n i=1 D Hi tgα i + h ii n i=1 n i=1 h Vi 5) f a = H AB fixe H AB app 6) T a =2,7* σ H app 7) Comparaison de f a et T a : Si f a > T a 1. Refaire les calcules 2. refaire les observations Si f a <= T a compensation des altitudes (dénivelés). 8) Compensation : Si f a est petite ---> repartir f a également sur les différentes H i d( H i) = f a/n Si f a est importante : Terrain plat : d( H i) =( f a * d i )/n Terrain accidenté : H i compensé = H i app + d( H i) d H i = f a H i H i

21 Correction du niveau apparente : Erreur du à la courbure terrestre : H réel = Bb (sans tenir compte de la courbure terrestre S ) Avec S : erreur de sphéricité, erreur de courbure terrestre. Ob = R 0 + S oab ---> ob² = Ab² + R 2 0 (R 0 + S)² = D² + R 0² S² + 2SR 0 = D² D² S = 2 R 0 Erreur du à la réfraction atmosphérique : Soit b : le point visé en tenant compte de la réfraction atmosphérique. Et B : le point visé sans tenant compte de la réfraction atmosphérique. r : erreur de la réfraction atmosphérique. Ɵ/2 =ρ, Ɵ= tgɵ = D/R --- > ρ= D/2R ρ= tg ρ =r/d ----> r=d* ρ = D²/ 2 R D² r = 2 R R 0 = D² R 0 R 0 2 R 0 R r = k D² 2 R 0

22 avec k :coefficient de réfraction atmosphérique. R :rayon de trajectoire de visé R 0 : rayon terrestre ρ: angle de réfraction. Remarque : On a 0,11 < k < 0,15 [ 12 h 15 h ] ---> la période ou k est petit Pour nous on prend k= 0,16 correction du niveau apparent : N a : Na = D2 avec D en (km) 15 Donc : ---- > H AB = D H * tgα + h i - h V + N a Na = S r = D² 2 R 0 k D² 2 R 0 = D2 2 R 0 (1 k) Références : -notes de cours de Mme Loubna Elmansouri

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