Mesures de risque dynamiques, pricing d options vanilles et EDSR quadratiques.

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1 Mesures de risque dynamiques, pricing d opions vanilles e EDSR quadraiques. Cyrille Guillaumie 1 Thibau Masrolia 2 Rappor echnique rendu en juin European Securiies and Markes Auhoriy, cyrille.guillaumie@esma.europa.eu 2. CEREMADE-UMR CNRS 7534, hibau.masrolia@ceremade.dauphine.fr

2 1

3 Table des maières Inroducion I Mesures de risque dynamiques 5 Préambule Quelques résulas sur les EDSR Le cas sandard : le cas Lipschiz Exisence e unicié EDSR linéaire en dimension Théorème de comparaison Le cas non lipschiz à croissance linéaire en dimension Le cas quadraique Mesures de risque dynamiques Mesures de risque g-condiionnelles Approche axiomaique Mesure de risque dynamique enropique g-opéraeurs dynamique, mesure convexe de risques dynamique e EDSR Représenaion duale de mesures de risque g-condiionnelles Transformée de Legendre-Fenchel BMO-maringales e héorème de Girsanov Représenaion duale des mesures de risques Mesures de risque g-condiionnelles γ-oléranes Inf-convoluion de mesures de risque dynamiques g-condiionnelle Inf-convoluion e exisence d opima Problème de couverure Eude numérique de la mesure de risque enropique 37 Appendice A : foncion de récession Appendice B : Inf-convoluion de foncions convexes II Simulaions numériques 41 4 Algorihme uilisé pour la résoluion d EDSR EDS e hypohèses Discréisaion du sysème d équaions Composane forward Composane backward Calcul de Z N k e Y N k par l algorihme de Longsaff-Schwarz Calcul de la composane Z N k Calcul de la composane backward Y N k Calcul à l insan = Calcul de la composane Z N

4 4.4.2 Calcul de la composane backward Y N Résulas numériques e observaions Opion Vanille EDSR quadraique Conclusion

5 Inroducion Ce rappor a éé réalisé dans le cadre du cours d équaion différenielles sochasiques rérogrades du maser MASEF de l universié Paris IX Dauphine. L objecif de ce rappor es d éudier le chapire 3 du livre Indifference Pricing : Theory and Applicaion (édié par R.Carmona concernan les mesures de risque dynamiques de P.Barrieu e de N.El Karoui (voir [1]. Dans une première parie, après un rappel concernan cerains résulas classiques sur les ESDR, nous avons reranscri [1], y avons apporé quelques modificaions e l avons commené. Puis nous avons ensuie fai un lien enre ce aricle, e plus pariculièremen la mesure de risque enropique avec simulaions numériques exraies de la hèse d A.Richou [12]. Dans la seconde parie, nous avons dans un premier emps décri un algorihme résolvan une EDSR à coefficien généraeur lipschizien en uilisan noammen la méhode de Longsaff-Schwarz, e en se basan sur l aricle d E.Gobe, JP.Lemor e X.Warin [7] Nous avons ensuie adapé ce algorihme à la résoluion de l EDSR à coefficien généraeur quadraique éudiée Parie 1 Chapire 3. Enfin, nous avons regroupé ous nos résulas ainsi que les différenes observaions e conclusions que nous avons pu irer. 4

6 Première parie Mesures de risque dynamiques 5

7 Préambule Dans cee parie héorique, nore éude es basée sur [1]. L objecif de cee éude es d éendre les résulas connus pour des mesures de risque saiques à des objes mahémaiques appellés mesures de risque dynamiques, e de relier ces objes à des soluions d équaions différenielles sochasiques rérogrades afin de résoudre, par exemple, des problème de couverure pour des agens financiers. Dans un premier chapire, nous rappelerons la héorie basique des EDSR : l exisence e l unicié de soluions à ces équaions dans les rois cas classiques (lipschizien ou sandard, linéaire e quadraique, ainsi que des héorèmes de comparaison. Dans le second chapire, le coeur de cee parie, nous avons éudié les mesures de risque dynamiques, leur lien avec les EDSR e nous avons éudié un problème de couverure pour des agens financiers en reranscrivan [1]. Enfin dans un roisième chapire, à l aide de [12], nous avons éudié numériquemen un ype pariculier de mesures de risque dynamiques : les mesures de risques enropiques, à l aide du logiciel Scilab. 6

8 Chapire 1 Quelques résulas sur les EDSR Dans ou ce chapire, on se place sur un espace probabilisé muni de la filraion naurelle d un mouvemen brownien d dimensionel, (W [,T ], compléée, i.e. de la forme suivane : F := (F [,T ] := σ(w s, s σ({x F P-négligeables}. On défini les espaces suivans : P n l ensemble des processus F -progressivemen mesurables, à valeurs dans R n définis sur Ω [, T ]. L 2 n(f := {η : F -mesurables e à valeurs dans R n els que E( η 2 < }. Sn(, 2 T := {Z P n coninus e els que E(sup T Z 2 < }. Hn(, 2 T := {Z P n, E( ( Z s 2 ds < }. Hn(, 1 T := {Z P n, E ( T Z s 2 1/2 ds < }. Définiion 1. Soi ξ T L 2 m(f. On di qu un couple de processus progressivemen mesurables (Y, Z à valeur dans R m R m d es soluion de l EDSR associée au couple (g, ξ T si : Y = ξ T Z s dw s + g(s, Y s, Z s ds, [, T ]. (1.1 avec Y S 2 m e Z H 2 m d. On di que g es le généraeur de l EDSR e ξ T sa condiion erminale. Sous ceraines condiions sur le coefficien g, on a exisence e unicié d un couple soluion. On va considérer dans une première secion la cas où g es lipschizienne en Y e en Z e monrer, avec une démonsraion différene dans la forme mais idenique dans le fond à celle du cours [3], qu on a alors l exisence e l unicié du couple soluion de l EDSR. Dans une deuxième sous secion, on éudiera le cas où g es à croissance au plus linéaire puis, dans la roisième secion, on se penchera sur le cas où g es à croissance quadraique. On monrera égalemen un aure résula : le héorème de comparaison. 1.1 Le cas sandard : le cas Lipschiz Soi ξ T L 2 m(f T, e soi g une foncion à valeur dans R m, P m B(R m R m d -mesurable. On fai les hypohèses suivanes : { λ >, P-p.s., g(, y, z g(, y (H1, z λ( y y + z z (, y, y, z, z (g(,, T Hm 2 dies condiions de Lipschiz. On va monrer dans un premier emps que sous ces condiions, l EDSR (1.1 adme un unique couple soluion (Y, Z dans S 2 H 2. Puis on énoncera le héorème de comparaison. 7

9 1.1.1 Exisence e unicié Soi β un réel posiif, on pose : { Hm 2,β = X processus prévisible à valeur dans R m, ( } E e β X 2 d < + muni de sa norme e S 2,β m = { ( X 2 H = E 2,β e β X 2 d, X processus prévisible à valeur dans R m, E( sup e β X 2 < + [,T ] } muni de sa norme : On a évidemen 1 : X 2 S = E( sup e β X 2,β 2. [,T ] S 2,β H 2,β Proposiion 1. Soien α < β deux réels posiifs. Alors les normes de H 2,α e de H 2,β (resp. S 2,α e de S 2,β son équivalenes. Démonsraion. Soien α < β. e βt e β X 2 e α X 2 e β X 2. Par croissance de l inégrale (resp. du sup puis de l espérance, on a l équivalence des normes dans H 2, (resp. S 2,. Remarque. Pour β = on a H 2, m = H 2 m([, T ]. On remarque que pour que l inégrale sochasique de l EDSR (1.1 soi bien définie, on prend Z dans H 2. On a plus précisemen le héorème suivan : Théorème 1 (Pardoux e Peng, voir [11]. Sous l hypohèse (H1, l EDSR (1.1 possède un unique couple soluion (Y, Z dans S 2 m H 2 m. Démonsraion. On va procéder en plusieurs éapes. Grâce à un β bien choisi, on consrui une applicaion Φ conracane qui nous perme d appliquer le héorème du poin fixe, dans les espaces souhaiés. a Consrucion d une applicaion Φ. On considère l applicaion Φ définie par : Φ : H 2,β H 2,β H 2,β H 2,β (y, z (Y, Z où : Y = ξ T Z s dw s + g(s, y s, z s ds. (1.2 L uilisaion du β non nul va nous permere de conrôler la consane de Lipschiz de Φ. Monrons que Φ es bien définie c es à dire qu à un couple (y, z de processus de H 2,β H 2,β on associe par Φ un unique couple (Y, Z dans H 2,β H 2,β soluion de ( On ome l indice m afin d alleger les écriures de Hm 2,β e Sm 2,β 8

10 ( Éan donné un couple (y, z dans H 2,β H 2,β, on pose Y := E ξ T + g(s, y s, z s ds F. On va monrer 2 que Y es dans H 2 e par l équivalence des normes, cela revien à monrer que Y es dans H 2,β. On a : ( E Y 2 d T E( sup Y 2, [,T ] avec : ( E( sup Y 2 = E [,T ] sup [,T ] (ξ E T + g(s, y s, z s ds g(s, y s, z s ds F 2. Par l inégalié (a + b 2 2(a 2 + b 2, on obien : ( E( sup Y 2 T 2E sup (ξ E T + g(s, y s, z s ds 2 F [,T ] [,T ] ( ( + 2E sup E g(s, y s, z s ds 2 F. [,T ] ( ( Or E ξ T + g(s, y s, z s ds F es une maringale, par l inégalié de Doob e l inégalié de Jensen, on a : E ( sup [,T ] (ξ E T + g(s, y s, z s ds 2 ( [ F k E ξ T + g(s, y s, z s ds ( ] + E g 2 (s, y s, z s ds. où k es une consane posiive qui varie d une ligne à l aure mais qui rese une consane posiive. On a alors : ( E sup (ξ E T + g(s, y s, z s ds 2 [ ( F k E ξt 2 + g 2 (s, y s, z s ds Or : [,T ] ( ] + E g 2 (s, y s, z s ds. g 2 (s, y s, z s ds 2 g(s, y s, z s g(s,, 2 ds + 2 g 2 (s,, ds e en appliquan l hypohèse (H1 e en uilisan le fai que y e z son dans H 2,β, on en dédui que Y S 2, < + donc Y S 2 H 2 e donc que Y H 2,β pour ou β posiifs par l équivalence des normes démonrée plus hau. On résoud mainenan l équaion (1.2 : ( Y = E ξ T + g(s, y s, z s ds F ( = E ξ T + = M g(s, y s, z s ds F g(s, y s, z s ds avec M un processus défini pour [, T ] par : ( M := E ξ T + g(s, y s, z s ds F. 2. On aura même mieux : Y es dans S 2 9 g(s, y s, z s ds 2

11 D après le héorème de représenaion des maringales, on en dédui qu il exise un unique processus Z dans H 2, el que : En prenan = T, on a : Y = M + Z s dw s M = ξ T Z s dw s + g(s, y s, z s ds. On injece l expression de M dans (1.3. On a alors : Y = ξ T Z s dw s + g(s, y s, z s ds, g(s, y s, z s ds, Y T = ξ T. (1.3 donc (Y, Z es soluion de (1.2. Si mainenan, on suppose (Y, Z e (Y, Z, deux couples dans H 2, H 2, vérifian : Y = ξ T + Z s dw s g(s, y s, z s ds e Alors : Or Y Y es adapé, donc : Y = ξ T + Z sdw s g(s, y s, z s ds. Y Y = Z s Z sdw s. Y Y = E(Y Y F ( = E Z s Z sdw s F =. On en dédui, par l inégalié de Burkholder-Davis-Gundy ou par l unicié dans la décomposiion d une maringale semi-coninue de la parie brownienne, que Z = Z pour ou. On a donc monré que l applicaion Φ es bien définie e qu elle es même à valeur dans S 2 H 2. b Esimées a priori dans H 2. Le réel posiif β n a pour rôle que de rendre l applicaion Φ conracane afin d appliquer le héorème du poin fixe de Picard, c es pour cela que les espace H 2,β e S 2,β on éé inroduis. On prend comme norme du couple (Y, Z : On pose : (Y, Z = (, e Y n+1 c es à dire : Φ(Y n, Z n = (Y n+1, Z n+1. (Y, Z 2 H 2,β = Y 2 H 2,β + Z 2 H 2,β. := ξ T Zs n+1 dw s + g(s, Ys n, Zs n ds, On défini : δ n Y := Y n+1 Y n 1

12 e On a alors : La formule d Iô donne : δ n Y 2 = 2 = 2 δ n 1 g := g(, Y n δ n Y = Y n+1 = = Y n (Z n+1, Z n g(, Y n 1 s Z n s dw s + δ n s ZdW s + δs n Y d(δs n Y δ n s Y δ n s ZdW s + 2 Par la formule d inégraion par parie : e β δ n Y 2 = β e βs δ n s Y 2 ds 2 d δ n Y s δs n 1 gds e βs δ n s Y δ n s ZdW s + 2, Z n 1. δs n 1 gds δs n Y δs n 1 gds δs n Z 2 ds. e βs δs n Y δs n 1 gds e βs δs n Z 2 ds, donc : β e βs δs n Y 2 ds + e βs δs n Z 2 ds 2 e βs δs n Y δs n ZdW s + 2 e βs δs n Y δs n 1 gds (1.4 ( Or N := eβs δs n Y δs n ZdW s es une maringale locale. Par l inégalié de Burkholder-Davis- Gundy, on en dédui : E( sup N d 1 E e 2βs δs n Y 2 δs n Z 2 ds [,T ] d 1 E sup e β δ ny 2 e βs δs n Z 2 ds [,T ] d 1 δ n Y S 2,β δ n Z H 2,β où ( on a appliqué l inégalié de Cauchy-Schwarz. Donc d après a, on a : E( N < +, donc eβs δs n Y δs n ZdW s es une maringale. En passan à l espérance dans (1.4 avec =, on a : ( β δ n Y 2 H + δ n Z 2 2,β H 2E e βs δ n 2,β s Y δs n 1 gds ( 2E e βs δs n Y g(s, Ys n, Zs n g(s, Ys n 1, Zs n 1 ds ( 2λE e βs 2 δ n s Y e βs 2 ( Y n s Ys n 1 + Zs n Zs n 1 ds 2λE e βs δs n Y 2 ds 2 e βs ( δs n 1 Y 2 + δs n 1 Z 2 ds où on a uilisé l inégalié de Cauchy-Schwarz e l inégalié (a + b 2 2a 2 + 2b 2. On obien : β δ n Y 2 H + δ n Z 2 2,β H 2 2λE e βs δ n 2,β s Y 2 ds e βs ( δs n 1 Y 2 + δ n 1 Z 2 ds s 11

13 On uilise mainenan l inégalié de Young 3 dans la dernière inégalié, on a : β δ n Y 2 H + δ n Z 2 2,β H 2λE(γ 2,β + 1 γ e βs ( δ n 1 s e βs δ n s Y 2 ds Y 2 + δs n 1 Z 2 ds 2λ(γ δ n Y 2 H 2,β + 1 γ (δn 1 Y, δ n 1 Z 2 H 2,β = (β 2λγ δ n Y 2 H 2,β + δ n Z 2 H 2,β 2λ γ (δn 1 Y, δ n 1 Z 2 H 2,β. On pose γ := β 1 2λ. On a une première condiion sur β : β > 1. On obien : On choisi β el que : On a alors : δ n Y 2 H 2,β + δ n Z 2 H 2,β 2λ2 β 1 (δn 1 Y, δ n 1 Z 2 H 2,β. 2λ 2 β 1 < 1, β > 1 β > 2λ > 1. Φ(δ n 1 Y, δ n 1 Z 2 H 2,β k (δ n 1 Y, δ n 1 Z 2 H 2,β où k < 1, donc Φ es conracane e par le héorème du poin fixe de Picard, on en dédui que l EDSR (1.1 a une unique soluion dans H 2,β H 2,β. Or, d après la proposiion 1 (l équivalence des normes, on en dédui que l EDSR (1.1 a une unique soluion dans H 2 H 2. c Soluion dans S 2 H 2. Le a monre que Y es en fai dans S 2. Il y a une unique soluion dans H 2 H 2 or Y es dans S 2 H 2 (sur le compac [, T ] donc on a une unique soluion au problème dans S 2 H 2. On a monré que l EDSR (1.1 admeai un unique couple soluion (Y, Z dans S 2 H 2, on va monrer que sous ceraines condiions iniiales, on a même un unique couple soluion dans L ([, T ] Ω H 2. Théorème 2. Si l hypohèse (H1 es saisfaie e si ξ e g(s,, son uniformémen bornées alors l EDSR (1.1 possède un unique couple soluion (Y, Z adapé dans L ([, T ] Ω H 2. Démonsraion. L exisence e l unicié du couple soluion on déjà éé monrés dans S 2 H 2. Il fau monrer que le processus (Y [,T ] (la première composane du couple soluion de (1.1 es uniformémen bornée. On suppose qu il exise c 1 e c 2 deux conanes elles que : e L idée consise à linéariser la foncion g. 3. Inégalié de Young : ab γa2 2 + b2 2γ ξ T c 1, P-p.s. g(s,, c 2 s [, T ], P-p.s. avec γ >. 12

14 i Linéarisaion g(s, Y s, Z s = g(s, Y s, Z s g(s, Y s, + g(s, Y s, g(s,, + g(s,, s [, T ]. Or on sai que pour une foncion g de classe C 1, on a : On a alors : g(x g(y = (x y 1 g (y + θ(x ydθ. 1 1 g(s, y s, z s = Z s z g(s, Y s, θz s dθ + Y s y g(s, θy s, dθ + g(s,, On pose A Z (s := 1 zg(s, Y s, θz s dθ e A Y (s = 1 yg(s, θy s, dθ. On sai que g es lipschizienne, il exise donc une consane λ posiive elle que pour ou s dans [, T ] : L EDSR (1.1 devien alors : Y = ξ T A Z (s + A Y (s λ. (L Z s (dw s A Z (sds + ii Uilisaion d un processus auxiliaire. Y s A Y (sds + g(s,, ds. On inrodui une variable aléaoire Γ s avec s T elle que : { dγ s = Γ s(a Z (sdw s + A Y (sds Ce qui signifie : Ou encore : Γ = 1 Γ s = 1 + s Γ u(a Z (udw u + A Y (udu. Γ s s = e A Z(udW s u+ A Y (udu 1 s 2 A Z(u 2du. (1.5 On inrodui l exponenielle sochasique (ou encore exponenielle de Doléans-Dade, une noaion classique, définie par : ( s E A Z (sdw s = e A Z(udW u 1 s 2 A Z(u 2du. On a évidemen : ( Γ s = E s A Z (sdw s e A Y (udu. Puisque A Z es uniformémen bornée, par le crière de Novikov 4 on en dédui que (E( s A Z(udW u s [,T ] es une maringale. Cee propriéé sera noée (α. On rappelle que ξ T = Y T. Par la formule d inégraion par parie avec pour emps iniial, on obien : Or : Γ T ξ T = 1 Y + Γ sdy s + Y s dγ s + Y, Γ T dy s = Z s dw s Z s A Z (sds Y s A Y (sds g(s,, ds, dγ s = Γ sa Z (sdw s + Γ sa Y (sds Y, Γ T = Γ sa Z (sz s dw s. 4. Si M es une maringale locale coninue elle que E(exp(1/2 M, M T < alors E(M es une maringale. 13

15 On obien : Donc : Γ T ξ T = Y Γ s(z s dw s Z s A Z (sds Y s A Y (sds g(s,, ds Y s Γ s(a Z (sdw s + A Y (sds Γ sz s A Z (sds iii Majoraion de Y Γ T ξ T = Y + (Γ sz s + Γ sy s A Z (sdw s Γ sg(s,, ds. (1.6 On adme provisoiremen que ( s (Γ sz s + Y s Γ sa Z (sdw s es une maringale. On noe s [,T ] cee propriéé (β. En reprenan (1.6, en uilisan le caracère F-adapé de Y, e par (β on obien : Y = E(Y F = E(Γ T ξ T F + E( Γ sg(s,, ds F. (1.7 D une par, par hypohèses e par (1.5 : E(Γ T ξ T F c 1 E(Γ T F ( (1.5 c 1 E E( A Z (sdw s e A Y (sds F. Or on a vu que comme g es lipschizienne, A Y es uniformémen bornée par une consane (condiion (L. Il exise donc une consane k elle que pour ou [, T ] : D aure par, par Fubini : ( E(Γ T ξ T F ke E( ( (α = ke E( = k. A Z (sdw s F A Z (sdw s E( Γ sg(s,, ds F c 2 E( Γ sds F c 2 E(Γ s F ds e on monre de même par (1.5, A Y éan uniformémen bornée e par (α qu il exise une consane k elle que pour ou [, T ] : E( Γ sg(s,, ds F k. On en dédui alors qu il exise k e k deux consanes elle que pour ou [, T ] : Y k + k. Ce qui achève la démonsraion du héorème en admean (β. 14

16 iv Preuve de (β On veu monrer que la maringale locale coninue N := ( s (Γ sz s + Y s Γ sa Z (sdw s s [,T ] es une maringale. Il suffi de monrer qu on a : ( E sup s [,T ] s (Γ sz s + Y s Γ sa Z (sdw s < + e par la procédure de localisaion e le héorème de convergence dominée, on aura alors une maringale. En effe, soi (τ n n une suie de emps d arrê issue de la procédure de localisaion, i.e. si s : E(N s τn F = E(N τn e On sai que T = lim τ n. n + N τn sup N s. s [,T ] Si on a l hyposhèse d inégrabilié sur le sup, alors on applique le héorème de convergence dominée e on en dédui que N es une maringale. Monrons donc que : ( E sup s [,T ] s (Γ sz s + Y s Γ sa Z (sdw s < +. En appliquan l inégalié de Burkholder-Davis-Gundy puis l inégalié (a + b 2 2a 2 + 2b 2, on a : s E( sup (Γ uz u + Y u Γ ua Z (udw u d 1 E Γ uz u + Y s Γ ua Z (u 2 ds s [,T ] 2d 1 E Γ uz u 2 + Γ uy u A Z (u 2 du. Or a + b a + b si a e b son posiifs. Donc : s E( sup (Γ uz u + Y u Γ ua Z (udw u 2d 1 E (Γ uz u 2 du s [,T ] + 2d 1 E (Γ uy u A Z (u 2 du 2d 1 E + 2d 1 E ( ( sup s [,T ] sup s [,T ] T Γ s 2 (Z u 2 du T Γ s 2 (Y u A Z (u 2 du. Par l inégalié de Cauchy-Schwarz, e sachan que A Z m on obien : ( s E (Γ uz u + Y u Γ ua Z (udw u K E( sup Γ s 2 ( Z H 2 + m Y H 2 (1.8 s [,T ] 15

17 D après (1.5, on a : s Γ s 2 = e ( s = E 2A Z(udW u+ s 2A Y (udu s A Z(u 2 du 2A Z (udw u e s 2A Y (udu e + s A Z(u 2du. D après la condiion (L, on en dédui qu il exise une consane K elle que : ( s Γ s 2 K E 2A Z (udw u. Or, d après le crière de Novikov, on en dédui que M := (E( s 2A Z(udW u s [,T ] es une maringale, donc E(M T = E(M = 1. Par le héorème de Doob : ( ( E(sup Γ s 2 4K E E 2A Z (udw u = 4K. On en dédui que : E(sup Γ s 2 < + donc en reprenan (1.8 : ( s E (Γ uz u + Y u Γ ua Z (udw u < +, s [, T ] On a prouvé (β, ce qui achève la preuve du héorème EDSR linéaire en dimension 1 On va éudier dans cee parie un cas pariculier d EDSR vérifian l hypohèse (H1, qui es aussi un cas pariculier des EDSR à coefficiens à croissance au plus linéaire que nous éudierons dans la secion suivane. On considère l EDSR : dy = (φ + Y β + Z µ d Z dw, Y T = ξ T (1.9 Proposiion 2. Soi (β, µ un couple de processus progressivemen mesurables, bornés, à valeurs dans R R d, φ un élémen de H1 2(, T e ξ T un élémen de L 2 1 (, T. Alors l EDSR (1.9 a un unique couple soluion (Y, Z dans S1 2(, T H2 d (, T. De plus, on a une expression de Y explicie : ( Y = E ξ T Γ T + Γ sφ s ds F (1.1 où (Γ s s es le processus adjoin défini par l EDS suivane : saisfai la propriéé de flo : dγ s = Γ s (β s ds + µ s dw s, Γ = 1 s u, Γ s Γ u s = Γ u P-p.s. Démonsraion. 1 La foncion (, y, z φ + yβ + zµ éan linéaire en y e z, elle es lipschizienne en ces variables. Par hypohèse, φ H1 2 (, T, on es donc sous la condiion (H1, on a donc d après le héorème 1, on en dédui que l EDSR (1.9 adme un unique couple soluion dans S1 2(, T H2 d (, T. 2 La représenaion de Y a déjà éé vue dans la preuve du héorème 2 en ii e iii. On obenai l expression de Y (1.7 à l aide du processus auxiliaire (ou adjoin Γ. En reprenan les noaions du héorème, on a donc l expression (1.1 de Y. 3 La propriéé de flo es évidene éan donné que Γ es une exponenielle sochasique. Cee proposiion nous perme de monrer la srice inégalié dans la héorème de comparaison suivan. 16

18 1.1.3 Théorème de comparaison Dans le cas uni-dimensionel (m = 1, on a un résula de comparaison pour les composanes Y de couples soluions d EDSR lorsque qu on peu comparer les condiions erminales e les coefficiens généraeurs (les foncions g de ces EDSR. Théorème 3 (Théorème de comparison, El Karoui, Peng, Quenez [4]. Soi (Y, Z (resp. (Y, Z la (resp. une soluion de l EDSR de généraeurs (g, ξ T (resp. (g, ξ T. On suppose que g saisfai les hypohèses de Lipschiz (H1 e que g (s, Y s, Z s es juse une foncion de H1 2. Si ξ T ξ T P-p.s. e que g(, Y, Z g (, Y, Z d dp-p.s., alors : Y Y, [, T ] P-p.s. De plus, si Y = Y alors ξ T = ξ T, g(, Y, Z = g (, Y, Z e Y = Y pour ou [, T ] P-p.s. En pariculier, par conraposée, si P(ξ T < ξ T > ou g(, Y, Z < g (, Y, Z alors Y < Y Démonsraion. On remarque que sous l hypohèse g(, Y, Z g (, Y, Z e la propriéé de Lipschiz de g, on a : g(, Y, Z g (, Y, Z g(, Y, Z g(, Y, Z λ( Y Y + Z Z. On va monrer que (Y Y + =. On rappelle que : e donc Y = ξ T + g(s, Y s, Z s ds Z s dw s Y = ξ T + g (s, Y s, Z sds Z sdw s Y Y = ξ T ξ T + g(s, Y s, Z s g (s, Y s, Z sds (Z s Z sdw s. On applique la formule d Iô à ((Y Y + 2 [,T ] e par la formule d inégraion par parie donne, pour α > :. avec : e α (Y Y +,2 = e αt (ξ T ξ T 2,+ 2 e αs (Y s Y s + (Z s Z sdw s + V,T, (1.11 V,T = e αs ( α(y s Y s +,2 1 Ys>Y s Z s Z s 2 + (Y s Y s + (g(s, Y s, Z s g (s, Y s, Z s ds. On en dédui alors que 5 : V,T e αs[ α(y s Y s +,2 1 Ys>Y Z s s Z s 2 ] + 2λ(Y s Y s + ( Y s Y s + Z s Z s ds. Lemme 1. Soien a e b deux réels quelconque e α > 2λ + λ 2 alors : 5. On majore λ par 2λ pour le lemme qui sui. α(a a> b 2 + 2λa + ( a + b. 17

19 Preuve du Lemme. Il suffi de remarquer que a + = 1 a> a. on a : α(a a> b 2 + 2λa + ( a + b = 1 a> ( α a 2 b 2 + 2λ a ( a + b = 1 a> ( ( b λ a 2 (α 2λ λ 2 a 2 On a monré le Lemme. a : En uilisan le Lemme, pour λ > 2λ + λ 2, on obien V,T. En reprenan l équaion (1.11, on e α (Y Y +,2 2 e αs (Y s Y s + (Z s Z sdw s, or on a monré, dans la démonsraion du héorème 1, que ( e αs (Y s Y s(z s Z sdw s [,T ] éai une maringale uniformémen inégrable e d espérance nulle. Alors E(e αs (Y Y +,2, donc (Y Y +. Ce qui implique le résula du héorème de comparaison voulu. On monre mainenan la srice inégalié. On suppose qu on a oujours ξ T ξ T e g(, Y, Z g (, Y, Z e que de plus Y = Y. Pour simplifier, on prend d = 1. On pose : ξ T := ξ T ξ T, φ := g(, Y, Z g (, Y, Z e : { (Y Y 1 (g(, Y, Z g(, Y, Z β := si Y Y sinon µ := { (Z Z 1 (g(, Y, Z g(, Y, Z si Z Z sinon. g éan lipschizienne par hypohèse par rappor à ses deuxième e sa roisième paramères, on en dédui que les processus progressivemen mesurables à valeurs réèlles β e µ son bornés. Par l hypohèse (H1, on en dédui que φ es dans H1 2(, T. Alors, le couple : (Y, Z := (Y Y, Z, Z es l unique soluion de l EDSR suivane : Y = ξ T + (φ s + Y s β s + Z µ s ds Z s dw s (1.12 On sai, d après la proposiion 2 que le processus Y es donné par : En prenan =, on obien : ( Y = E ξ T Γ T + Γ sφ s ds F ( = Y Y = E ξ T Γ T + Γ sφ s ds. Or : ξ T e φ son négaives par hypohèses e Γ es sricemen posiif, car c es une exponenielle sochasique. On en dédui alors que ξ T = ξ T e φ s = pour ou s [, T ]. Par ailleurs, on sai que, d après la première parie du héorème, Y s Y s, donc Y s = Y s pour s [, T ]. On en dédui que g(s, Y s, Z s = g (s, Y s, Z s, en reprenan (

20 1.2 Le cas non lipschiz à croissance linéaire en dimension 1 On a éudié dans la secion une EDSR don le généraeur g éai linéaire en Y e Z. Ceci es un cas pariculier d EDSR que l on va éudier dans cee parie, où le généraeur es à croissance linéaire, coninu, mais pas forcémen lipschizien en Y e Z. Plus précisémen, on reprend l EDSR (1.1 e on fai l hypohèse (H2 suivane : i k >, (y, z g(, ω, y, z g(, ω,, + k( y + z d P-p.s. (H2 ii (g(,, T H1 2 iii d P-p.s., (y, z g(, ω, y, z es coninue On a alors le résula suivan : Théorème 4 (Lepelier e San Marin. Sous l hypohèse (H2, l EDSR (1.1 a une soluion (Y, Z minimale (resp. maximale, i.e. si (Y, Z es une aure soluion de (1.1 alors Y Y P-p.s. (resp. Y Y P-p.s.. Démonsraion. Voir [1]. On a aussi un héorème de comparaison pour ces EDSR : Théorème 5. Soi (Y, Z la soluion minimale de (1.1 où (g, ξ T saisfai (H2. Soi (Y, Z une soluion d une aure EDSR avec pour généraeur (g, ξ T. On suppose que : alors, Y Y P-p.s. 1.3 Le cas quadraique ξ T ξ T P-p.s. e g(, ω, y, z g (, ω, y, z d dp-p.s. On éudie dans cee parie des EDSR quadraiques, qui nous seron uiles pour l éude des mesures de risque dynamiques (voir le chapire 2. On fai mainenan les hypohèses suivanes : i La foncion g es à valeurs réèlles. ii Il exise C > elle que P-p.s., g(, y, z C(1 + y + z (Q 2 pour ou (, y, z [, T ] R R d. iii P-p.s., pour ou [, T ], (y, z g(, y, z es coninue. iv La variable aléaoire ξ T es bornée. On pose B l ensemble des processus F -mesurable, bornés e coninus. Théorème 6 (Kobylanski [9]. Sous l hypohèse (Q, l EDSR (1.1 a une soluion maximale (Y, Z e une soluion minimale (Y, Z. De plus, Y e Y appariennen à B. Démonsraion. On renvoi à [9] pour la preuve de ce héorème. L unicié de la soluion a éé monrée par M. Kobylanski à l aide d un héorème de comparaison (voir [9] héorème 2.6, que l on énonce ici. On reprend l EDSR (1.1 sous l hypohèse (Q e on fai de plus l hypohèse (C suivane : (C ii La foncion g es différeniable en (y, z sur [ K, K] R d elle que : i Il exise C 1 > elle que g z (, y, z c 1( + C 1 z Il exise C 2 > elle que g y (, y, z c 2( + C 2 z 2 19

21 Définiion 2. On appelle sur-soluion (resp. sous-soluion de l EDSR (1.1, un processus adapé (Y, Z, C [,T ] saisfaisan : ( Y = ξ T + g(s, Y s, Z s ds Z s dw s + dc s resp. dc s où C es un processus croissan adapé, coninu à droie e (Y, Z S 2 H 2. On a alors le héorème de comparaison de Kobylanski : Théorème 7 (Théorème de comparaison. Soien (Y 1, Z 1, C 1 une sous soluion de l EDSR de paramères (g 1, ξt 1 saisfaisan l hypohèse (Q e (Y 2, Z 2, C 2 une sur-soluion de l EDSR de paramères (g 2, ξt 2 saisfaisan l hypohèse (Q. On suppose : ξ 1 T ξ 2 T P-p.s. e d P-p.s. (y, z, g 1 (, ω, y, z g 2 (, ω, y, z e que l hypohèse (C es saisfaie pour g 1 e g 2. On a alors : Y 1 Y 2 P-p.s. [, T ]. Démonsraion. Voir la preuve du héorème 2.6 de [9] On en dédui donc, grâce au héorème de comparaison précéden, sous l hypohèse (C, que l EDSR (1.1 adme une unique soluion maximale e une unique soluion minimale, sous la condiion (Q Dorénavan on noera (H3 l hypohèse (Q unie à (C. 2

22 Chapire 2 Mesures de risque dynamiques 2.1 Mesures de risque g-condiionnelles Dans cee parie, on me en place la noion de mesure de risque dynamique e on éudie plus pariculièremen la mesure de risque dynamique enropique, puis on me en évidence le lien enre ces objes e les EDSR Approche axiomaique On me ou d abord en place les axiomes suivan : Définiion 3. Soi (Ω, F, P, (F un espace de probabilié filré. Un L 2 -opéraeur dynamique (resp. L -opéraeur dynamique noé Y, associé à (F es une famille de semi-maringales coninues qui s applique d une variable ξ T L 2 (F T (resp. L (F T, pour ou emps d arrê borné T, vers un processus (Y (ξ T [,T ]. Un el opéraeur es di : 1. (P1 Convexe si pour ou emps d arrê S T, pour ou (ξt 1, ξ2 T e pour ou λ [, 1] on a : Y S (λξt 1 + (1 λξt 2 λy S (ξt 1 + (1 λy S (ξt 2 P-p.s. 2. (P2+ Croissan si pour ou emps d arrê S T e pour ou (ξ 1 T, ξ2 T : ξ 1 T ξ 2 T P-p.s. = Y S (ξ 1 T Y S (ξ 2 T. (P2- Déroissan si pour ou emps d arrê S T e pour ou (ξ 1 T, ξ2 T : ξ 1 T ξ 2 T P-p.s. = Y S (ξ 1 T Y S (ξ 2 T. 3. Invarian par ranslaion si pour ou emps d arrê S T, pour ou η S F S e pour ou ξ T on a : (P3+ Y S (ξ T + η S = Y S (ξ T + η S P-p.s. (P3- Y S (ξ T + η S = Y S (ξ T η S P-p.s. 4. Cohérene en emps si pour S T U rois emps d arrês bornés e pour ou ξ U : (P4+ Y S (ξ U = Y S (Y T (ξ U P-p.s. (P4- Y S (ξ U = Y S ( Y T (ξ U P-p.s. 5. (P5 Sans arbirage si pour ou emps d arrê S T e pour ou (ξ 1 T, ξ2 T els que ξ1 T ξ2 T, Y S (ξ 1 T = Y S (ξ 2 T sur A S = {S < T } = ξ 1 T = ξ 2 T p.s. sur A S. 6. (P6 Condiionnellemen invarian si pour ou emps d arrê S T, pour ou B F S e pour ou ξ T, Y S (1 B ξ T = 1 B Y S (ξ T p.s. 7. (P7 Posiivemen homogène si pour ou emps d arrê S T, pour ou λ S avec λ S F S e pour ou ξ T : Y S (λ S ξ T = λ S Y S (ξ T. 21

23 Remarques 1. i La propriéé (P5 de non arbirage implique que la monoonie dans les propriéés (P2+ e (P2- es srice. En effe, en uilisan la conraposée de (P5, on a la srice monoonie dans (P2+/-. ii Les axiomes avec un signe + caracérisen un sysème de prix éudié par El Karoui e Quenez dans [5], alors que ceux avec un signe - caracérisen une mesure de risque dynamique (ce qu on éudie ici. Définiion 4 (Mesure de risques dynamique. Un opéraeur dynamique saisfaisan les axiomes (P1 de convexié, (P2- de décroissance, (P3- d invariance par ranslaion, (P4- de cohérence en emps e (P5 d absence d arbirage es appelé mesure convexe de risque dynamique. On le noera R par la suie. Si R saisfai égalemen la posiive homogénéié (P7, on di que R es une mesure de risque dynamique cohérene. On va mainenan éudier un exemple de mesure de risque dynamique Mesure de risque dynamique enropique Pour ξ T une variable aléaoire bornée e F T mesurable e γ >, on défini : e γ (ξ T := γ ln E[exp ( 1 γ ξ T ] e e γ, (ξ T := γ ln E[exp ( 1 γ ξ T F ]. Comme ξ T es bornée, on en dédui que e γ, (ξ T es borné pour ou. Proposiion 3. L opéraeur e γ défini de L dans les processus L es une mesure convexe de risque dynamique. Démonsraion. On va monrer que e γ vérifie les axiomes de la définiion d une mesure de risque dynamique. (P2- Soien ξt 1 ξ2 T deux variables aléaoires bornées e F T -mesurables, par décroissance de la foncion x exp( 1 x, croissance de l espérance condiionnelle e du logarihme, sachan γ que γ es un réèl sricemen posiif, on en dédui que e γ, (ξt 1 e γ,(ξt 2 pour ou [, T ]. Donc e γ vérifie (P2- : l hypohèse de décroissance. (P3- Soi s T, soi η s une variable aléaoire F s -mesurable, alors pour ou ξ T variable aléaoire bornée : e γ,s (ξ T + η s = γ ln E[exp ( 1 γ (ξ T + η s F s ] ( = γ ln exp ( 1 γ η se[exp ( 1 γ ξ T F s ] = e γ,s (ξ T η s. Donc e γ vérifie l invariance par ranslaion (P3-. (P4- Il fau monrer que pour ou e pour ou h, e γ, (ξ T = e γ, ( e γ,+h (ξ T p.s. On a : e γ,+h (ξ T = γ ln E[exp ( 1 γ ξ T F +h ]. Donc : [ ( e γ, ( e γ,+h (ξ T = γ ln E exp 1 F ] γ ( e γ,+h(ξ T [ ( [ ( 1 = γ ln E exp γ γ ln E exp 1 F+h ] F ] γ ξ T = e γ, (ξ T. 22

24 (P5 Soi s T, soi (ξt 1, ξ2 T un couple de variables aléaoires bornées e F T -mesurables el que : ξt 1 ξ2 T. On suppose de plus que e γ,s(ξt 1 = e γ,s(ξt 2 sur {s < T }. On a alors : e γ,s (ξ 1 T = e γ,s (ξ 2 T E(exp( 1 γ ξ1 T F s = E(exp( 1 γ ξ2 T F s ( E exp( 1 γ ξ2 T exp( 1 γ ξ1 T F s =. Or par hypohèse ξ 1 T ξ2 T donc exp( 1 γ ξ2 T exp( 1 γ ξ1 T. On en dédui que ξ1 T = ξ2 T sur {s < T }. Donc e γ vérifie l absence d arbirage. (P1 Pour ce qui es de la convexié, on peu écrire e γ (ξ T comme le sup de foncions linéaires en ξ T : voir [6] chapire 4 Moneary measures of risk, qui es donc convexe en sa variable ξ T. La proposiion suivane perme de lier la mesure enropique de risque dynamique e γ avec la soluion d une ceraine EDSR. Proposiion 4. La mesure de risque enropique dynamique (e γ, (ξ T [,T ] es soluion de l EDSR quadraique de généraeur g(, z = 1 2γ z 2 e de condiion erminale ξ T, c es à dire : de γ, (ξ T = 1 2γ Z 2 Z dw, e γ,t (ξ T = ξ T. (2.1 Démonsraion. On pose M := E (exp ( 1 γ ξ T F. M es donc une F -maringale sricemen posiive e bornée (puisque ξ T l es. Par le héorème de représenaion des maringale e en uilisan la srice posiivié de M, il exise un processus (Z [,T ] dans H1 d 2 el que : dm = 1 γ M Z dw. Par la formule d Iô appliquée à la foncion x γln(x, on obien : d(γlnm = γ dm M γ M 2 Z 2 2γ 2 M 2 d, γlnm T = ξ T de γ, (ξ T = 1 2γ Z 2 Z dw, e γ,t (ξ T = ξ T. Remarque. Puisque e γ, (ξ T vérifie : on a, éan donné que ξ T es bornée : e γ, (ξ T = ξ T + [ E 1 T 2γ Z s 2 ds Z s dw s ] ] Z s 2 F ds F = 2γE [e γ, (ξ T + ξ T <. Réciproquemen, on peu monrer que si l EDSR (2.1 a une soluion (Y, Z elle que Y T e E[ Z s 2 ds F ] soien bornée, alors Y es bornée (voir la sous-secion suivane. 23

25 2.1.3 g-opéraeurs dynamique, mesure convexe de risques dynamique e EDSR C es dans cee secion qu on me en évidence le lien enre les mesures convexes de risques dynamiques e les EDSR. On commence par définir l opéraeur généré par la soluion maximale d une EDSR. Définiion 5. Soi g un coefficien sandard (i.e. vérifian H1. Le g-opéraeur dynamique, noé Y g, es el que Y g (ξ T es la soluion maximale de l EDSR associée au couple (g, ξ T. Auremen di, le g-opéraeur dynamique pris en ξ T correspond à la première composane du couple soluion de l EDSR de généraeur (g, ξ T. On va éudier les propriéé d un el opéraeur à l aide du lemme suivan. Lemme 2. Soien g 1 e g 2 deux coefficiens réguliers els que l EDSR associé à g 1 admee une unique soluion. On pose Y gi le g i -opéraeur dynamique où i {1, 2}. On suppose que : dp d-p.s. Y g1 (ξ T = Y g2 (ξ T pour ou ξ T dans L 2 ou L. 1 Si g 1 e g 2 ne dépenden que de e z alors : dp d-p.s. (y, z g 1 (, y, z = g 2 (, y, z. 2 Dans le cas général, si les coefficiens g 1 e g 2 son coninus en, alors : dp d-p.s. (y, z g 1 (, y, z = g 2 (, y, z. Avan de prouver ce lemme, prenons l exemple de la mesure de risque dynamique enropique de la sous secion précédene. Illusraion dans le cas quadraique On pose g 1 (, y, z := 1 2γ 1 z 2 e g 2 (, y, z := 1 2γ 2 z 2. On remarque que g 1 e g 2 vérifien les hypohèses (Q e (C. Par la proposiion 4, on a pour ou ξ T bornées : Y 1 := e γ1,(ξ T = ξ T + g 1 (s, Ys 1, Zs 1 ds Zs 1 dw s e Y 2 := e γ2,(ξ T = ξ T + g 2 (s, Ys 2, Zs 2 ds Zs 2 dw s. Par hypohèse g 1 e g 2 ne dépenden pas de y. On suppose Y 1 := e γ1,(ξ T = e γ2,(ξ T =: Y 2, alors par unicié de la décomposiion d une semi-maringale, pour ou [, T ] : { g1 (s, Ys 1, Zs 1 ds = g2 (s, Ys 2, Zs 2 ds P-p.s. Z1 s dw s = Z2 s dw s P-p.s. La deuxième égalié nous donne Z 1 = Z 2 P-p.s. [, T ]. Or g 1 e g 2 ne dépenden pas de y, on a donc : soi, pour ou : g 1 (s, Z s ds = On en dédui donc que γ 1 = γ 2 donc g 1 = g 2. On revien mainenan à la preuve du lemme. g 2 (s, Z s ds P-p.s. 1 Z s 2 1 ds = Z s 2 ds.p-p.s. 2γ 1 2γ 2 24

26 Preuve du lemme 2. On suppose que dp d-p.s. Y g1 (ξ T = Y g2 (ξ T pour ou ξ T dans L 2 ou L, auremen di, les EDSR de généraeurs g 1 e g 2 on pour soluions respecives (Y 1, Z 1 e (Y 2, Z 2, qui son elles que Y 1 = Y 2 =: Y s mais Z 1 Z 2 a priori. Donc : g 1 (s, Y s, Zs 1 ds Zs 1 dw s = g 2 (s, Y s, Zs 2 ds Zs 2 dw s Par unicié de la décomposiion d une semi-maringale, on en dédui alors : P-p.s. { g1 (s, Y s, Zs 1 ds = g2 (s, Y s, Zs 2 ds P-p.s. Z1 s dw s = Z2 s dw s P-p.s. (2.2 Donc Z 1 = Z 2 =: Z P-p.s.. En reprenan (2.2, on en dédui que g 1 (s, Y s, Z s ds = g 2 (s, Y s, Z s ds P-p.s. (2.3 Cependan, cee égalié n es vraie a priori que pour (Y, Z, soluion des EDSR précédenes. 1 On suppose que g 1 e g 2 ne dépenden pas de y. On prend Z un processus borné quelconque. On considère la semi-maringale locale U vérifian : U = u g 1 (s, Z s ds + Z s dw s. Soi τ un emps d arrê el que U T τ soi bornée. Alors U es soluion de l EDSR Par hypohèse e en reprenan (2.3, on a : τ τ U = U T τ + g 1 (s, Z s ds Z s dw s. τ g 1 (s, Z s ds = τ g 2 (s, Z s ds. On en dédui donc que d dp-p.s. pour ou z, g 1 (, z = g 2 (, z. 2.a Dans le cas général, soi Z un processus borné. On considère Y une soluion de l équaion différenielle sochasique dy = g 1 (, Y, Z d + Z dw, Y = y. Soi τ N défini par : e T si l ensemble précéden es vide. On a τ N := inf{ [, T ], Y N} lim τ N = T. N + Le couple (Y τn T, Z 1 ],τn ]( es soluion de l EDSR de généraeur g 1 e de condiion erminale Y τn T. Par hypohèse, ce couple es aussi soluion de l EDSR de généraeur g 2 e de condiion erminale Y τn T. On en dédui, en reprenan (2.2, que ( g1 (s, Y s, Z s ds e ( g2 (s, Y s, Z s ds son indisinguables sur ], τ N T ]. En faisan endre N vers l infini, on obien d dp-p.s. g 1 (, Y, Z = g 2 (, Y, Z pour ou processus Z borné. On a monré que g 1 (, Y, z = g 2 (, Y, z pour ou z R 1 d.cependan Y es un processus pariculier (soluion d une EDSR. On va faire en sore que l égalié soi vraie pour oue variable Y F -mesurable. 25

27 2.b On suppose que g 1 (, Y, z e g 2 (, Y, z son coninus par rappor à. Soi z R 1 d, on pose, pour oue variable Y F -mesurable : Y z u := Y u g 1 (s, Y z s, zds + u zdw s u [, + h]. Donc (Y z u, z es soluion de l EDSR de coefficien généraeur g 1 e de condiion emrinale Y z Par hypohèse, on a aussi : On en dédui donc : +h Yu z = Y+h z + +h Yu z = Y+h z + u u u g 1 (s, Y z s, zds g 2 (s, Y z s, zds g 1 (s, Y z s, zds = u +h u +h u zdw s g 2 (s, Y z s, zds. zdw s. u [, + h]. Par la coninuié de g 1 e g 2 en, on a alors : 1 ( lim h h E Y+h z Y F = g i (, Y, z pour i {1, 2}. Donc g 1 (, Y, z = g 2 (, Y, z pour oue variable Y F -mesurable. Donc +h : d dp-p.s. (y, z R R d, g 1 (, y, z = g 2 (, y, z. Le héorème suivan donne des propriéés de l opéraeur dynamique Y g en uilisan le fai que ce opéraeur es la soluion maximale d une EDSR e à l aide du lemme précéden donnan des condiions sur le généraeur g. Théorème 8. Soi Y g un g-opéraeur dynamique. Alors i Y g es croissan (P2+ e sans arbirage (P5. ii Y g es cohérene en emps si g ne dépend pas de y. iii Sous les hypohèses du lemme 2 : a Y g es invarian par ranslaion (P3+ si e seulemen si g ne dépend pas de y. b Y g es posiivemen homogène (P7 si e seulemen si g es posiivemen homogène par rappor à y e z. iv Si g es convexe, Y g l es (P1. v Si g 1 g 2 alors Y g1 Y g2. Démonsraion. i La croissance de Y g (P2+ e l absence d arbirage (P5 résule du héorèm 3, le héorème de comparaison dans le cas sandard avec sa version srice. ii Cohérence en emps. Soi S T U, on doi prouver que : En effe, si g es indépendane de y, Y S (T, Y T (U, ξ U = Y T (U, ξ U + U = ξ U + = ξ U + Y S (T, Y T (U, ξ U = Y S (U, ξ U p.s. T U S S g(, Z d g(, Z d g(, Z d U T U S S Z dw + Z dw. Z dw S g(, Z d Z dw S En uilisan l unicié de la soluion d une EDSR, on a la cohérence en emps. 26

28 iii Invariance par ranslaion (P3+. On veu prouver que Y g (ξ T + m = Y g (ξ T + m si e seulemen si g ne dépend pas de y. On pose g m (, y, z := g(, y + m, z. On remarque que g ne dépend pas de y es équivalen à g m = g pour ou m. Soi Y (ξ T := Y g (ξ T la soluion maximale de l EDSR associé au couple (g, ξ T e soi Y m := Y (ξ T + m m. On en dédui : Y m = Y m = ξ T + m + = ξ T + g(s, Y s, Z s ds g m (s, Ys m, Z s ds Z s dw s m Z s dw s. Donc Y m es la soluion maximale de l EDSR associée au couple (g m, ξ T. On en dédui que Y g S (ξ T + m = Y g S (ξ T + m équivau à Y (ξ T e Y m son indisinguables. Si g m = g alors par unicié de la soluion maximale, Y (ξ T e Y m son indisinguables. Réciproquemen, si Y (ξ T e Y m son indisinguables, d après le lemme 2, g m = g. Donc Y g S (ξ T + m = Y g S (ξ T + m équivau à g m = g donc équivau à g ne dépend pas de y. iii Homogénéié (P7. La démonsraion es la même que précédemen en posan g λ (, y, z = g(, λy, λz. iv Convexié Soi (Y 1, Z 1 (resp. (Y 2, Z 2 la soluion maximale de l EDSR associée au couple (g, ξt 1 (resp. (g, ξ2 T. On pose Ỹ := λy 1 + (1 λy 2. On a : Ỹ = ỸT + ( λg(s, Y 1 s, Z 1 s + (1 λg(s, Y 2 s, Z 2 s ds Or par hypohèse g es convexe, on peu donc écrire 1 : Ỹ = ỸT + g(s, Ỹ s, Z s + α(s, Y 1 s, Y 2 s, Z 1 s, Z 2 s ds ( λz 1 s + (1 λzs 2 dws. Z s dw s où α es une processus posiif (dû à la convexié de g. Par le héorème de comparaison : Y g (λξt 1 + (1 λξ2 T es plus pei que Ỹ. Auremen di : Y g (λξ1 T + (1 λξ 2 T λy g (ξ1 T + (1 λy g (ξ2 T v Si g 1 g 2, par le héorème de comparaison on a Y g1 Y g2. d dp-p.s. On a alors le corollaire suivan. Corollaire 1. Soi g un coefficien d EDSR convexe, ne dépendan pas de y, alors R g (ξ T Y g ( ξ T es une mesure convexe de risques dynamique, appellée mesure g-condiionnelle de risques. Démonsraion. On reprend la définiion 4 e on vérifie que l opéraeur R g ( Y g ( saisfai aux cinq axiomes (P1, (P2-, (P3-, (P4- e (P5. Par le héorème 8 e sachan que g es convexe e ne dépend pas de y, R g es convexe (P1, décroissane (P2-, invariane par ranslaion (P3- puisque : R g S (ξ T + η S := Y g S ( (ξ T + η S = Y g S ( ξ T η S = R g S (ξ T η S, cohérene en emps (P4- e sans arbirage (P Représenaion duale de mesures de risque g-condiionnelles Dans cee secion, on cherche à avoir une expression de R g (ξ T, la mesure de risque g-condiionnelle prise en ξ T définie dans le corollaire 1. On va dans un premier emps éudier la ransformée de Legendre Fenchel d une foncion, donner des résulas d analyse convexe qui nous permeeron d obenir une expression de la mesure de risque g-condiionnelle. On aura égalemen besoin des noions de BMOmaringales qui seron rappellées. 1. Avec une noaion évidene pour Z := λz 1 + (1 λz 2. 27

29 2.2.1 Transformée de Legendre-Fenchel Le principal ouil pour obenir une représenaion duale d une mesure de risque g-condiionnelle es la ransformée de Lengendre-Fenchel noée G de la foncion 2 g. On reprend pour l esseniel l éude faie dans le chapire 23 de [13] On défini la ransformée de Lengendre-Fenchel de g par : où D g es le domaine de g. G(, µ := sup z D g { µ, z g(, z} (2.4 Remarques 2. On s inerresse ici à des mesures de risques g-condiionnelles donc, par le corollaire 1, g ne dépend pas de y pour la définiion de la ransformée de Legendre-Fenchel. La foncion G es convexe en µ. Éan donné que g es coninue, on a aussi : g(, z := sup µ D G { µ, z G(, µ} (2.5 où D G es le domaine 3 de G. On cherche alors si ces problèmes de maximisaion on des soluions. On a besoin d inroduire la noion de sous-dérivée d une foncion. Définiion 6. La sous-dérivée d une foncion convexe g en z, noée g(z es l ensemble : g(z := {µ g(x g(z + µ, x z, x}. Les élémens µ apparenan à ce ensemble son appellés sous-gradiens de g en z. Remarques 3. Si z n es pas dans le domaine de g, alors g(z =. Si z es dans l inérieur du domaine de g, alors g(z es non vide. Si g(z es rédui à un poin, alors la foncion g es différeniable en z. Proposiion 5. Soi g une foncion convexe, on a : Démonsraion. Soi µ g(z alors : g(z = {µ g(z µ, z G(µ}. (2.6 g(z µ, z g(x µ, x x g(z µ, z G(µ donc équivau à µ {µ g(z µ, z G(µ}. On a alors le héorème suivan : Théorème 9. Soi g une foncion convexe. a ˆµ g(z g(z = inf{g(µ µ, z } = G(ˆµ ˆµ, z. µ b ẑ G(µ G(µ = inf{g(z µ, z } = g(ẑ µ, ẑ. z 2. Cee foncion es en pariculier le généraeur d une EDSR, par définiion d une mesure de risque g-condiionnelle. 3. Plus exacemen, l ensemble de définiion de G par rappor à µ 28

30 Démonsraion. Soi ˆµ g(z, d après (2.6 : g(z ˆµ, z G(ˆµ. Donc : Or d après (2.5 : g(z G(ˆµ ˆµ, z. g(z = inf{g(µ µ, z } G(ˆµ ˆµ, z. µ Donc ˆµ es l opimum du problème de maximisaion (2.5. La réciproque es claire, e le b se démonre de la même façon. Grâce à la ransformée de Legendre-Fenchel, on a la définiion suivane caracérisan la représenaion duale d une mesure de risques g-condiionnelle. Définiion 7. On di qu une mesure de risque g-condiionnelle R g a une représenaion duale s il exise un ensemble A de conrôles admissibles els que pour ou emps d arrê S T borné e pour ou ξ T dans L 2 ou L on a : R g S (ξ T = ess sup µ A E [ ξ Qµ T S ] G(, µ d F S, où Q µ es une mesure de probabilié équivalene à P. La représenaion duale es di exace en ˆµ si l ess sup es aein en ˆµ. Le bu de la secion es de monrer qu une mesure de risques g-condiionnelle adme une représenaion duale sous les hypohèses (H1, (H2 e (H3 précédenes. Pour cela il fau ou d abord mere en place les noions de BMO-maringales BMO-maringales e héorème de Girsanov Dans cee parie, on renvoi au livre de kazamaki [8] Définiion 8 (Exponenielle sochasique. Soi W un mouvemen brownien d-dimensionnel. Soi µ un processus adapé el que µ s 2 ds < +. La maringale exponenielle associée au processus µ es la maringale locale posiive (Γ µ [,T ] définie par : ( ( Γ µ := E µ s dw s := exp µ s dw s 1 µ s 2 ds, 2 soluion de l équaion différenielle sochasique 4 : dγ µ = Γµ µ dw, Γ µ = 1. Théorème 1 (Girsanov. Soi Γ µ la maringale exponenielle définie précédemen. On suppose que Γ µ es une maringale uniformémen inégrable. Si W es un mouvemen brownien sous P alors le processus W µ := W µ sds es un mouvemen brownien sous la probabilié Q µ équivalene à P elle que dqµ dp = Γµ T. Pour appliquer le héorème de Girsanov, il fau que le processus Γ µ soi une (vraie maringale sous P. Pour se faire, deux condiions sur µ son données ici. 4. Où on noe µ es un veceur ligne, ransposé de µ. 29

31 Changemen de probabilié avec des processus bornés Proposiion 6 (Crière de Novikov. Soi (µ [,T ] un processus F-adapé e soi (W [,T ] un mouvemen brownien sous la probabilié P. Si : alors Γ µ es une maringale. [ ( 1 T ] E exp µ 2 d < + 2 Remarque. Un cas pariculier de ce crière, qu on uilisera ici es le cas µ borné. Dans ce cas, Γ µ adme des momens de ou ordre p (voir chapire 1 de [8]. Proposiion 7. Soi µ un processus borné. Si un processus es dans H 2 (P alors il es dans H 1+ɛ (Q µ où Q µ es la probabilié équivalene à P donnée par le héorème de Girsanov précéden. Corollaire 2. Soi µ un processus F -adapé e borné, si M µ = Z sdw s es une H 2 (P-maringale, alors ˆM Z := Z sdw s µ es une Q µ -maringale uniformémen inégrable, d espérance nulle sous Q µ. Changemen de probabilié avec les BMO-maringales La condiion sur µ précédene es un peu fore, on va éendre la proposiion 7 e son corollaire sur l espace des BMO processus défini de la façon suivane : [ ] BMO(P = {ϕ H 2 C [, T ] E ϕ s 2 ds F C p.s.}. On [ le muni de la norme ϕ 2 BMO := C avec C l infimum des consanes C elles que [, T ], ] T E ϕ s 2 ds F C p.s. L inégrale sochasique ϕ sdw s es une BMO(P-maringale si le processus ϕ apparien à BMO(P. Théorème 11. Soi µ un BMO(P-processus adapé. Alors : i La maringale exponenielle associée Γ µ es une maringale uniformémen inégrable. Par le héorème de Girsanov, on peu définir une probabilié Q µ équivalene à P e W µ := W µ sds es un Q µ mouvemen brownien. ii M µ := µ µ sdw s es une BMO(P-maringale e, avec les noaions de i, ˆM := µ sdw s µ es une BMO(Q µ -maringale. Plus généralemen, oue BMO(P-maringale M Z := Z sdw s se ransforme en un processus coninu ˆM Z := Z sdw s µ qui es une BMO(Q µ -maringale. iii Les BMO-normes associées à P e Q µ son équivalenes, i.e. k Z BMO(Q µ Z BMO(P K Z BMO(Q µ où k e K son des consanes posiives qui ne dépenden que de µ. On renvoi au chapire 3 de [8] pour la preuve de ce héorème. Il en découle la proposiion suivane, qui nous servira dans la sous secion suivane. Proposiion 8. Sous (H3, soi (Y, Z la soluion maximale de l EDSR quadraique de coefficien généraeur g e de condiion erminale ξ T bornée : où M Z dy = g(, Z d dm Z, Y T = ξ T (2.7 := Z sdw s. Si g(, 1 2 BMO(P alors M Z es une BMO(P maringale. Démonsraion. En reprenan (2.7, on obien : Y = Y T + g(s, Z s ds + M Z MT Z. 3

32 Soi : Y = Y T + g(s, Z s ds Z s dw s. On applique la formule d Iô à la foncion x e βx. On obien : exp βy = exp (βy T + β soi exp (βy s g(s, Z s ds β exp (βy s Z s dw s β2 2 exp (βy s Z s 2 ds, exp βy = exp (βy T + β exp (βy s (g(s, Z s β2 Z s 2 ds β exp (βy s Z s dw s. (2.8 Par (H3, il exise k > el que g(, z g(, + k z 2. Donc : β 2 Z s 2 g(s, Z s ( β 2 k Z s 2 g(s,, s [, T ]. On fixe ɛ >, en choisissan β 2(k + ɛ, on obien : β 2 Z s 2 g(s, Z s ɛ Z s 2 g(s,, s [, T ]. (2.9 En passan sous l espérance condiionnelle dans (2.8 sous F e en uilisan (2.9, on obien, puisque Y es bornée d après le héorème 6 : [ ] [ ] βɛe exp (βy s Z s 2 ds F C 1 + βe exp (βy s g(s, ds F C 2, où C 1 e C 2 son des consanes réèlles posiives e en uilisan le fai que g(, 1 2 BMO(P pour la dernière inégalié. Or (exp (βy (,T ] es borné (puisque Y l es par le héorème 6, donc on a finalemen : [ ] E Z s 2 ds F C. Donc M Z := Z sdw s es une BMO(P maringale. Cee dernière proposiion va nous êre uile pour la preuve du héorème 12 de la parie qui sui Représenaion duale des mesures de risques On va mainenan éudier les représenaions duales des mesures de risques g-condiionnelles. L espace des conrôles admissibles dépend du coefficien g. On va éudier ce problème sous les hypohèses (H1 e (H3. En effe, si un coefficien g d une EDSR es convexe e saisfai (H2 avec g(, z c + k z, il saisfai en fai (H1 avec le même k comme consane de Lipschiz. Voir l Appendice sur les foncions de récession pour plus de précisions. Théorème 12. Soi g un coefficien convexe généraeur d EDSR ne dépendan pas de y e saisfaisan (H1 ou (H3 e soi G la ransformée de Legendre-Fenchel de g. i Pour presque ou (ω, Ω [, T ], le problème d opimisaion (2.5 adme une soluion opimale progressivemen mesurable µ(ω, dans la sous-dérivée de g en z, i.e. µ(ω, g(ω,, z. ii On a alors une représenaion duale pour la mesure de risques g-condiionnelle R g, exace en ˆµ au sens de la définiion 7 : ] R g (ξ T = ess sup µ A E [ ξ Qµ T G(s, µ s ds F où, = E Q µ [ ξ T 31 ] G(s, µ s ds F

33 1. Sous (H1 avec g(, z g(, + k z, A es l espace des processus µ adapés e bornés par k e Q µ la mesure de probabilié équivalene à P de densié Γ µ T := E( µ sdw s. 2. Sous (H3 avec g(, z g(, + k z 2, A es l espace des BMO(P-processus µ e Q µ la mesure de probabilié équivalene à P de densié Γ µ T := E( µ sdw s. iii Soi g une foncion foremen convexe, i.e. la foncion z g(, z 1 2 C z 2 es convexe, alors sa ransformé de Legendre-Fenchel G(, µ a une croissance quadraique en µ e on a la représenaion duale suivane, aeine en un ξ T : Démonsraion. [ ] E Qµ G(s, µ s ds { T = ess sup ξt E Qµ [ξ T F ] R g (ξ T = E Qµ [ξ T F ] R g (ξ T i L exisence d une soluion µ(ω, au problème d opimisaion (2.5 dans la sous dérivée de g en z es une conséquence du Théorème 9 e des Remarques 3. Pour ce qui es de la progressive mesurabilié de µ(ω,, on sai que l ensemble {µ R n : g(ω,, Z = µ, Z G(ω,, µ} es non vide (il conien µ. Alors par le héorème de sélecion mesurable, il exise un processus progressivemen mesurable, oujours noé 5 µ el que le problème d opimisaion (2.5 admee une soluion en ce processus. ii 1. Eude sous (H1. Soi g saisfaisan (H1 avec 6 g(, z g(, + k z. Alors, g(, H 2. Par définiion : donc : G(, µ := inf z D g {g(, z µ, z } G(, µ g(, H 2. (2.1 On pose : R g (ξ T := Y la soluion de l EDSR associée au couple (g, ξ T : dy = g(, Z d Z dw, Y T = ξ T. En posan A l espace des processus µ adapés e bornés par k, par le héorème de Girsanov, le processus : W µ := W µ sds es un mouvemen brownien sous la probabilié Q µ de densié Γ µ T := E( µ sdw s par rappor à P. On obien 7 alors : dy = (g(, Z µ, Z d Z dw µ, Y T = ξ T. (2.11 Comme M Z := Z sdw s es une H 2 P-maringale, par le corollaire 2, ˆM Z := Z sdw s µ es une maringale sous Q µ d espérance nulle. Or, µ A es borné par k e g es à croissance linéaire, donc le processus (g(, Z Z, µ es dans H 2 sous P. En reprenan l équaion (2.11, on obien pour ou µ A : ] Y = E [ ξ Qµ T + (g(s, Z s µ s, Z s ds F. On a alors, en reprenan (2.1 : ] Y E [ ξ Qµ T G(s, µ s ds F. (2.12 Vu que le processus ( G(, µ es borné supérieuremen par (g(, qui es inégrable sous Q µ, cee dernière espérance condiionnelle es finie. Pour avoir l égalié, on remarque 5. C es un abus de noaion ici 6. Voir appendice sur les foncions de récession 7. Nous pensons avoir décelé à ce niveau là une erreure de signe dans l aricle de N. El Karoui e P. Barrieu [1] ce qui explique leur problème de signe dans leur définiion de la ransformée de Legendre-Fenchel. 32