Calcul des variations

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Vincent St-Cyr
il y a 6 ans
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1 Chpitre 2 Clcul des vritions 2.1 Préliminire : Multiplicteurs de Lgrnge Pour comprendre l intérêt des multiplicteurs de Lgrnge, considérons une fonction f : f : U R (, ) f(, ) U est un ouvert de R 2. f est supposée continue et dmettnt des dérivées première et seconde continues sur U. df = + d = grd f. dr Si en ( 0, 0 ),on ( 0, 0 )=0et ( 0, 0 )=0lors ( 0, 0 ) est un point sttionnire de f. L nture du point sttionnire dépend des dérivées d ordres supérieurs. Que se psse-t-il si (, ) u lieu de prcourir tout U, se déplce sur une trjectoire g(, ) = cste (c R) et g une fonction de clsse C 2 sur U? U=R 2 et g(, ) = ère méthode Pr substitution. On eprime une vrible pr rpport à l utre (e : = 1 2 ) et on résout df =0. Cette méthode se révèle peu prticble pour les fonctions de plus de 2 vribles. 2 ème méthode On utilise les multiplicteurs de Lgrnge. Prtons de : df = + d Si et d sont indépendnts, lors df =0= =0 et =0 49

2 50 CHAPITRE 2. CALCUL DES VARIATIONS Mis ici, ce n est ps le cs puisque et d sont reliés pr l reltion g(, ) =cste. dg = g + g Donc, en supposnt que g 0,on: g d =0= = g d ( ) g df = ( ) g On cherche les points (, ) de l trjectoire utorisée (c est-à-dire g(, ) =cste) pour lesquels df =0. df =0 = = ( ) ( ) g ( ) g ( ) = ( ) = g ( g ) = λ (en supposnt que = g 0) Au points recherchés, f et g doivent être colinéires pour que f soit sttionnire sur le chemin défini pr g. On lors : λ g =0 (2.1) λ g =0 (2.2) Ce sstème donne (, ) en fonction de λ. En réinjectnt (λ) et (λ) dns g(, ) =cste, on trouve les vleurs possibles de λ et les éventuelles solutions du problème. Remrques - (2.1) et (2.2) l fonction f λg est sttionnire en l bsence de toute contrinte sur (, ). - λ est ppelé multiplicteur de Lgrnge. f(, ) = = = et = g(, ) = =1= g =2 et g =2

3 2.2. EQUATION D EULER-LAGRANGE 51 λ g =0 = 2λ =0 (2.3) λ g =0 = 2λ =0 (2.4) (2.3) + (2.4) = ( + )(1 2λ) =0 (2.3) (2.4) = ( )(1 + 2λ) =0 Pour λ ± 1 2,on =0et =0: ces solutions ne stisfont ps g(, ) =2 + 2 =1 Pour λ = 1 1, = = (, ) =(, ) ou(, ) =( 1 2, 1 2 ) Pour λ = 1 1, = = (, ) =(, 1 ) ou(, ) =( 1, ) 2.2 Eqution d Euler-Lgrnge Introduction β B α A C(,) b +d A B + On considère un signl qui se propge dns un milieu inhomogène vec une vitesse C(, ). Quel est le trjet entre A et B qui rende le temps de prcours miniml? Supposons le trjet sous l forme = (), on( = ) =α et ( = b) =β. ds = 2 + d 2 = 1+ 2 Le temps de prcours à minimiser vut : b 1+ 2 C(, )

4 52 CHAPITRE 2. CALCUL DES VARIATIONS Formultion générle du problème Soit L une fonction de clsse C 2 : L : R 3 R (u 1,u 2,u 3 ) L(u 1,u 2,u 3 ) Considérons l fonctionnelle I, qui, à toute fonction f (f : f()) de l intervlle borné [, b] dns R et de clsse C 2, ssocie le nombre : I[f] = L(f(),f (),) Problème Trouver l fonction qui rende I(f) etrémle tout en stisfisnt : f() =α f(b) =β vec (α, β) R 2 Soit f l solution recherchée. On considère l fonction : f()+εη() vec ε R petit et η() rbitrire, C 1 sur [, b], stisfisnt η() =0et η(b) =0. = f() B A = f() + ε n() L fonctionnelle I ser sttionnire pour f si I[f] =I[f + εη] à l ordre 1 en ε. I[f + εη] I[f] =o (ε) I[f + εη] = L(f()+εη(),f ()+εη (),) L(f()+εη(),f ()+εη (),)=L+ εη + εη + o (ε) où on utilise les nottions : = (u 1,u 2,u 3 ) u 1 = (u 1,u 2,u 3 ) u 2

5 2.2. EQUATION D EULER-LAGRANGE 53 vec u 2 = f () u 1 = f() u 3 = = I[f + εη] = I[f]+ε = I[f]+o (ε) { η + η } = 0 Pr intégtion pr prtie (IPP) : η = = = [ η ] b d ( η(){ d L fonction η() étnt rbitrire, il vient : d C est l éqution d Euler-Lgrnge. { η + l η } + o (ε) ( ) η d ) η cr η() =η(b) =0 ( ) =0 ( ) } =0 Toute solution de cette éqution rend sttionnire l fonctionnelle I[f] = Remrques L(f(),f (),). L éqution d Euler-Lgrnge est une éqution différentielle du second ordre pour f. est bien une fonction de uniquement. En effet, = (u 1,u 2,u 3 ) vec u 1 = f(), u 2 = f (), u 3 =. u Cs prticuliers (i) L ne dépend ps eplicitement de f de. =0donc, d près l éqution d Euler-Lgrnge, = cste c est-à-dire ne dépend ps I[f] = 1+f 2 Soit L(u 1,u 2,u 3 )= 1+u 2 2

6 54 CHAPITRE 2. CALCUL DES VARIATIONS = 2u 2 = u u 2 2 f = = cste 1+f 2 = f() = β α ( )+α b L trjectoire f() est le chemin le plus court entre A(, α) et B(b, β). (ii) L ne dépend ps eplicitement de L(u 1,u 2,u 3 ) est indépendnt de u 3. dl = f + f Comme f est solution de l éqution d E.L, on : = d + (= 0) ( ) Donc, dl = d = d ( ( f ) f + ) f Il s git ici d une intégrle première. = L f = cste Quelle est l surfce d ire minimle qui relie deu cercles de même ron prllèles et centrés sur le même e? h 0 k R r = r(z) -h R

7 2.2. EQUATION D EULER-LAGRANGE 55 L ire ltérle de l surfce vut : Soit I[r] = +h h 2πr(z) 1+(r (z)) 2 dz Cel donne donc d près le (ii) : L(u 1,u 2,u 3 )=2πu 1 1+u 2 2 L r r = 2πk = 2πr 1+r 2 2πr r.r 1+r 2 Au finl on obtient l éqution de l surfce, qui est une cténoïde : r = k 1+r 2 En intégrnt, r(z) =k ch ( z k ) on obtient k pr l condition u limites R=k ch ( h k ) Remrques Si on pose k = k Rh lors h k =ch(1 k ) On peut donc déterminer numériquement k en fonction de R h en trçnt les courbes R et ch (). h Lorsque cette éqution n dmet plus de solution, notmment si h est "trop grnd, c est R qu il rupture de l surfce. L résolution de l éqution d E.L donne un etremum et ps forcément un minimum. R=1, h = 1 donne k =0.235 et k = On montre que l première vleur de k 2 correspond à une ire mimum et l seconde à l ire minimum recherchée Vritions contrintes On ttche une corde entre deu points A et B, s longueur l 0 étnt supérieure à 2. L éqution de l corde () est telle que () =( ) =0. En considérnt que l corde est non-etensible, on obtient () en minimisnt l énergie potentielle.

8 56 CHAPITRE 2. CALCUL DES VARIATIONS A B I[] = (µg( 1+ 2 )()) L longueur de l corde étnt fie, on une contrinte supplémentire : l 0 = 1+ 2 On introduit donc le multiplicteur de Lgrnge λ et on doit mintennt rendre sttionnire l fonctionnelle : (µg() λ) 1+ 2 L fonction (µg() λ) 1 2 ne dépend ps eplicitement de donc d près le prgrphe : (µg() λ) 1+ 2 ((µg() λ) 1+ 2 = k (k R) D où : µg() λ = k 1+ 2 Après quelques mnipultions et intégrtion de l éqution différentielle : () = k µg ch (µg k ( + C)) + λ µg Cette éqution trois inconnues : k,λ, et C et nous vons trois équtions supplémentires : L contrinte l 0 () =0 ( ) =0 Le résultt définitif est donc : vec () = k µg {ch (µg) ch (µg k k )} sh ( µg k )=µgl 0 2k

9 2.2. EQUATION D EULER-LAGRANGE 57 B α A C(,) b Etrémité libre On reprend l eemple de chpitre 2.2.2, mis l ordonnée du point B n est plus imposée. I[f] = L(f(),f (),) f( = ) =α et η( = ) =0 On veut encore rendre l fonctionnelle I sttionnire : I[f + εη] I[f] =ε ( = b)η( = b)+ε Cette reltion doit être vrie pout tout η ; on donc ( = b) =0 en plus de l reltion d Euler-Lgrnge : dl df = d η ( ). ( d ( )) + o (ε) Pour un milieu homogène, on L= 1+f 2. L ne dépend ps de f donc : = f 1+f 2 = cste ( = b) =0impose que =0et donc f =0 L bonne solution est donc logiquement l ligne droite Mécnique clssique et "principe de moindre ction Soit un point mtériel de mssse m se déplçnt sur l e des dns un potentiel V(). Soit A, l position de l prticule en t = t A et B, l position de l prticule en t = t B Quelle v être l trjectoire (t) de cette prticule? On considère l fonctionnelle S, l Action qui ssocie à une trjectoire (t) le nombre tb ( ) 1 S= 2 mẋ2 V() dt t A

10 58 CHAPITRE 2. CALCUL DES VARIATIONS L quntité L= 1 2 mẋ2 V() est ppelée Lgrngien. L trjectoire effectivement suivie est celle qui minimise l ction. Pr l éqution d Euler- Lgrnge on donc : ( ) d = dt ẋ ẋ = mẋ ( ) d = mẍ dt ẋ = dv() On retrouve donc l reltion fondmentle de l dnmique : Remrques mẍ = dv() L ne dépend ps eplicitement du temps donc ẋ L est indépendnt du temps. Cel ẋ implique que 1 2 mẋ2 +V() est indépendnt du temps : c est l conservtion de l énergie. On peut ussi eprimer certins problèmes de mécnique quntique sous forme vritionnelle.

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Chapitre VI Contraintes holonomiques

Chapitre VI Contraintes holonomiques 55 Chpitre VI Contrintes holonomiques Les contrintes isopérimétriques vues u chpitre précéent ne sont qu un eemple prticulier e contrintes sur les fonctions y e notre espce e fonctions missibles. Dns ce