Nombre complexe. 1. Il existe un nombre noté i, (ou j dans les matières comportant de l électricité), tel que

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1 Nombre complexe I. Forme algébrique, Représentation géométrique 1. Il existe un nombre noté i, (ou j dans les matières comportant de l électricité), tel que 2. On appelle nombre complexe tout nombre de la forme a+bi (où a est un réel, b est un réel, et i tel que i²=-1. a est appelé la parie réel du complexe a+bi b est appelé la partie imaginaire du complexe a+bi 3. On note, l ensemble des nombres complexes. 4. On identifie le réel, a et le complexe a+0i vec cette convention, tout réel est aussi un complexe. D où : c : inclus dans 5. Egalité de deux complexes Soient z=a+bi et z a +b i deux complexes =z si et seulement si a=a et b=b. 6. on écrit un complexe z sous la forme z=a+bi on dit qu on écrit z sous la forme algébrique. 7. On définit dans l ensemble des complexes une addition, une soustraction, une multiplication, une division. Les règles de calcul sont les même que dans l ensemble des réel en plus i²=-1 8. Tout nombre z=0+bi=bi est appelé un imaginaire pur Par exemple i=1xi=0+1x1, donc i est un imaginaire pur Pi x i est aussi un imaginaire pur 9. Le conjugué d un nombre complexe a. Définition Soit z=a+i un nombre complexe, le complexe conjugué de z est le complexe noté et définit par b. Exemple

2 c. Propriété admise En particulier : - Soit et le résultat est toujours un réel le résultat est toujours un imaginaire la résultat est toujours un réel positif ette dernier formule est utilisé pour ecrire un quotient de complexe sous forme algébrique Exemple : écrire sous forme algébrique le complexe 10. Représentation géométrique des nombres complexes Le plan est rapporté au repère orthonormé Soit et L image de z est le point M (a; b) que l on note M(z) Le vecteur, image de z est le vecteur Le complexe z est l affixe du point M et de vecteur ppelons M l image de z donc on à M (a ; b ) L image de z+z est le point M tel que 'est-à-dire tel que OMM M est un parallélogramme M est l image de z et si M est l image de z lors le vecteur, image de z-z est M4 tel que Remarque

3 Tout réel on une image situé sur l axe des abscisses est réciproquement tout point de l axe des abscisses et l image d un réel L axe des abscisses est parfois appelé l axe réel. Tous les imaginaires purs ont une image située sur l axe des ordonnées et réciproquement tout point de l axe des ordonnées et l image d un imaginaire pur. L axe des ordonnées et parfois appelé l axe imaginaire. II. Module et argument, forme trigonométrique 1. Module d un complexe a. Définition Soit z = a+bi un complexe, et d image M Le module de z est un réel positif ou nul noté, on lit module de z e module est définit par b. Propriété et seulement si ttention : Mais : M est l image de, et M est l image de z alors Donc est l image de z-z 2. rgument d un complexe non nul Soit un complexe non nul d image M, les points M et O sont donc distincts On appelle argument de z toutes mesures θ (en radian) de l angle Schéma Remarque : θ est une mesure de l angle est ou k appartient à entier relatif. 3. Forme trigonométrique d un complexe non nul a. Théorème

4 Tout complexe, non nul, z, peut s écrire sous la forme trigonométrique suivante : Où r est le module de z et θ l argument de z. ette forme est appelé forme trigonométrique de z. b. Passage d une forme à une autre lors vec θ Est définit par : et lors vec c. Théorème admis Soit et deux complexes lors on a d. Exemple On considère les complexes et Ecrire z1, z2, z1 x z2, z1/z2, z2^3, z1^10 sous forme trigonométrique est calcul ne sont pas saisi e. as particuliers Soit un complexe d image M, z est différent de 0 Supposons que la forme trigonométrique de z soit : L angle θ est une mesure de l angle M est le symétrique de M par l axe réel, on a donc : Soit θ un argument de, alors θ = - θ

5 Donc on a : Et on a :, où, et si lors : Rappel de première Factoriser X0 ; =0 :, admet deux solutions x 1 et x 2 III. Equation du second degré a coefficient réel 1. Définition Une équation du second degré et une équation qui peut s écrire sous la forme : az²+bz+c=0 où a, b, c, sont des réels constants et z est l inconnue qui prend ces valeurs dans l ensemble des complexes. Résoudre dans l ensemble des complexes az²+bz+c=0 c est trouver tout les complexes solutions de cette équation. 2. Résolution dans l ensemble des complexes de l équation az²+bz+c=0 (où a, b, c réel non nul) On calcule le discriminant delta : Delta est un réel On distingue 3 cas a. as 01 alors l équation az²+bz+c=0 admet deux solutions z1 et z2 qui sont réel. et b. as 02 alors l équation az²+bz+c=0 admet une solution z qui est réel c. as 03 alors l équation az²+bz+c=0 admet deux solutions complexes conjugués

6 et 3. Exemple Résoudre dans l ensemble des complexes l équation 3z²-z+5 = 0 alcul du discriminant delta : Le discriminant delta est strictement inferieur à 0, l équation admet 2 solutions complexes conjuguées IV. Forme exponentielle d un complexe non nul 1. On pose et 2. Tout complexe non nul z dont la forme trigonométrique est peut s écrire aussi 3. La forme est appelle forme exponentiel ou écriture exponentielle du nombre z. 4. Formule Θ ( ) ( ) ( ) r r ' cos Θ + Θ ' + i sin Θ + Θ ' = r e r ' e = r r ' e r e r i( Θ Θ') = e ' r ' e r ' r e r r i( Θ) = e = n i n inθ r e = r e i z = r e Θ alors 5. Formule d Euler e e = cos Θ + i sin Θ = cos Θ i sin Θ e i ( ) i z r e Θ Θ = = r e En ajoutant membre a membre on obtient e + e = 2cos Θ e + e => = cos Θ 2 ' i( Θ Θ')

7 En soustrayant membre à membre on obtient e e = 2i sin Θ e e => = sin Θ 2 6. Linéariser des expressions avec les formules d Euler Exemple linéariser l expression : = cos ²(2 x) sin(3 x) = (cos(2 x))² sin(3 x) = cos ²(2 x) sin(3 x) = (cos(2 x))² sin(3 x) e + e e + e cos(2 x) = = 2 2 e e e e sin(3 x) = = 2i 2i ( ) i2x i2x i3x i3x i2x i2x 2 i3x i3x e + e e e = 2 2i 2 i2x i2x i3x i3x e + e e e = 2² 2i 1 2ix 2 2ix 2ix 2ix 2 i3x i3x = ((( e ) + 2 e e + ( e ) ) ( e e ) 8i ) ( a + b) = a² + 2ab + b² 1 4ix 4ix i3x i3x n inθ ' Θ' = (( e e ) ( e e )) ( e ) = e et e e = e 8i 1 7ix ix 3ix 3ix ix 7ix = ( e e + 2e 2e + e e ) 8i 1 7ix 7ix 3ix 3ix ix ix = ( e e + 2 ( e e ) ( e e )) 8i 1 = ( 2 i sin ( 7 x) i sin ( 3 x) 2 i sin ( x) ) 8i = sin(7 x) + sin( 3x) sin( x) V. omment trouver un argument d un complexe quand les valeurs ne sont pas remarquables Exemple : Trouver un argument des complexes suivants : = 2 + 3i = 1+ 4i = 3 4i = 2² + 3² = alcule des modules respectifs des trois nombres complexes : ( ) = 1 ² + 4² = 17 ( ) ( ) = 3 ² + 4 ² = 5

8 vec la méthode du cosinus et du sinus calcule des arguments respectifs des complexes 2 cos Θ z = Θ = sin Θ = Θ = Θ = cos Θ = Θ 17 = sin Θ = Θ 17 = Θ = cos Θ = Θ = 5 4 sin Θ = Θ = 17 Θ = Règle générale Soit z = a + bi un complexe non nul où z est le module de ce complexe et Θ un argument de ce complexe sin Θ > 0alors sin Θ < 0alors VI. ompléments 1 a Θ = cos z 1 a Θ = cos z r r Le plan est rapporté au repère ortho normal( O; u; v), z1 z 2 z 3 sont trois nombres complexes distincts, d image respective M 1, M 2, M 3. Les points M 1 d affixe z 1, M 2 d affixe z 2, et M 3 d affixe z 3 sont alignés si est seulement si il existe z z = k z z un réel k tel que : ( ) Une mesure en radian de l angle ( M uuuuuur 1M 2; uuuuuur z z M1M 3 ) est un argument du complexe = 3 1 z2 z1 En particulier si z 1 =0 dans ce cas M 1 =0.

9 Une mesure en radian de l angle ( OM 2; OM 3 ) uuuuur uuuuur z est un argument du complexe = 3 z Exemple : On considère d affixe z =3+2i et d affixe z =-4+4i Placer les points et uuur uuur Déterminer une mesure en radian à 10-2 près de l angle ( O; O) Une mesure de l angle ( O; O) uuur uuur est un argument du complexe = ( 5 + 4i) ( 3 2i) ( )( ) 5 + 4i i + 12i = = = = + i 3 + 2i 3 + 2i 3 2i = + = 7 7 cos Θ = = sin Θ = = sin Θ > Θ = = cos 1.88 Θ = = π rad VII. Etude de deux transformations du plan, liée aux nombres complexes r r Le plan est rapporté a un repère orthonormé ( O; u; v) 1. Translation Soit z 0 =α+βi ou α et β sont des reels Soit f la fonction définit sur l ensemble des complexes qui a tout complexe z associe : z ' = f ( z) = z + z 0 M est l image de z et M l image de z On appelle x r le vecteur image de z 0 (on sait que x r (α; β)

10 z ' = f ( z) z ' = z + z z ' z = z 0 0 uuuuur r MM ' = x M est l image de M par la translation de vecteur x r Théorème : Soit f la fonction définit sur l ensemble des complexes qui à tout z associe le complexe z ' = f ( z) = z + z0où z 0 est un complexe donné au départ. Soit M l image de z et M l image de z M est l image de M par la translation de vecteur x r d affixe z 0 On dit que cette translation est associée à la fonction f 2. Rotation i Soit z0 = e Θ un complexe de module 1 donné 0 Soit f la fonction définit sur l ensemble des complexes qui a tout z associe z ' = f ( z) = e z Soit M l image de z, on appelle M l image de z (z =f(z)) 0 z =f(z) si est seulement si z ' = f ( z) = e z 0 z=0 alors z ' = e 0 z est différent de 0 alors il existe un module et un argument réel tel que z = r Dans ce cas 0 z ' e r = z ' = r e ( Θ Θ) i 0 On en déduit que z ' = r et que Θ0 Θest un argument de z Donc OM =r=(om) uuuur uuuuur OM ; OM ' a pour mesure un argument de Et ( ) z ' z = soit ( ) Θ + Θ Θ = Θ 0 0 Donc M est l image de M par la rotation de cantre O et d angle Θ 0 Théorème : Soit f la fonction définit sur l ensemble des complexe z associe le complexe : 0 z ' = f ( z) = e z (Θ 0 réel donné) Soit M l image de z et M l image z M est l image de M par la rotation de centre 0 et d angle Θ 0 On dit que cette rotation est associée à f.