Journée de la Régionale de Poitou-Charentes 16 octobre 2013

Transcription

1 es Maéaiques dans l assurance-vie Journée de la Régionale de Poiou-arenes 6 ocobre 23 es aéaiques uilisées dans les éiers de l'assurance ou de la banque Associaion des Professeurs de Maéaiques de l Enseigneen Public édric OIRAT Parnasse-MAIF

2 es Maéaiques dans l assurance-vie Soaire. Principes générau de l assurance-vie 2. Applicaions de base Muualisaion Tarificaion Maéaiques financières Probabiliés 3. as praiques Epargne Assurance Teporaire Décès (arificaion) Assurance décès Vie Enière (arificaion) Foncions acuarielles Renes Assurance en couverure de prê 2

3 es Maéaiques dans l assurance-vie. Principes générau de l assurance vie (/4) Aspecs générau Assurance de personnes garanies poran sur la personne uaine Assurance de biens garanies poran sur le parioine Assurance doages corporels Acciden / Maladie Assurance vie Risques liés à la durée de vie uaine a survie e décès as pariculiers : les assureurs vie peuven proposer des garanies doages corporels à ire d assurance copléenaire. 3

4 es Maéaiques dans l assurance-vie. Principes générau de l assurance vie (2/4) Définiion d un conra d assurance vie Un conra par lequel un ASSUREUR, en l écange d une PRIME, s engage à verser au SOUSRIPTEUR ou au() BENEFIIAIRE(S) qu il a DÉSIGNÉ(S), une PRESTATION pour un onan déeriné en cas de survenance du risque couver (décès ou survie de l assuré). Souscripeur Désigne Paye la prie Bénéficiaire Assureur Verse la presaion aracère onéreu : «en l écange d une PRIME» aracère forfaiaire e non indeniaire : «une PRESTATION pour un onan déeriné» (Ar. 3- du ode des Assurances) Principe de sipulaion pour aurui : «au() BENEFIIAIRE(S) qu il a DÉSIGNÉ(S)» 4

5 es Maéaiques dans l assurance-vie. Principes générau de l assurance vie (3/4) Typologie des conras d assurance vie Selon la naure des risques couvers Risque de survie Risque de décès Selon l acivié Épargne e reraie Monosuppor ( ) Nouveau cap Mulisuppors ( e Uniés de ope) Assurance vie Responsable e Solidaire Prévoyance Teporaire Décès Rassurcap Soluions Décès Vie Enière Solliciudes Perp-MAIF Assurance Epruneur MAIF 5

6 es Maéaiques dans l assurance-vie es aéaiques dans l assurance-vie. Principes générau de l assurance vie (4/4) Probléaiques aéaiques es éodes acuarielles de l assurance-vie on pour obje l évaluaion du risque pris en carge par l assureur e son à la base de la déerinaion des pries deandées au assurés. e recours à ces éodes es indispensables pour évaluer les provisions dies aéaiques, e qui doiven perere à l assureur de faire face à l évoluion fuure des risques. es éodes uilisen les résulas éléenaires de la éorie des probabiliés ainsi que les conceps de base des aéaiques financières. «acuaria es un élange subil, aussi subil que ce que saven faire les Ecossais pour le wisky e les Hollandais pour le abac à pipe, de probabilié e de saisique, qui pere de raier inelligeen du risque e de l inceriude» Denis Kessler 6

7 es Maéaiques dans l assurance-vie 2. Applicaions de base : la uualisaion (/2) Muualisaion Réduie à un seul conra e un seul assuré, l opéraion d assurance ne serai qu un pari pour l assureur. Si le risque ne se réalise pas, l assureur fai un gain égal à la prie Si le risque se réalise, l assureur fai une grosse pere Pour que caque opéraion d assurance ne soi pas un pari, l assureur doi avoir réuni un grand nobre d assurés. enseble des assurés fore une uualié au sein de laquelle l assureur uualise (copense) les risques : l assureur paiera, avec les pries reçues de ous, les presaions des «alcanceu» 7

8 es Maéaiques dans l assurance-vie 2. Applicaions de base : la uualisaion (2/2) oi des grands nobres Soi un conra qui garani le verseen d un capial en cas de décès (Rassurcap Soluions). Il es souscri par. assurés qui on cacun une probabilié de % de décéder dans l année. Saisiqueen, le nobre de décès es une variable aléaoire binoiale Espérance (oyenne). % Ecar-ype racine carré ( 99%) 9.95 Probabilié que le nobre de décès soi copris enre 67 e 33 es de 99.9%, soi une inceriude de 33% Si l assureur a fai souscrire illion d assurés, les êes forules conduisen à un nobre de décès enre 9672 e 328 soi une inceriude de 3.3%. Si les risques son suffisaen nobreu, ideniques e indépendans, Si on uliplie par le nobre de risques Alors la loi des grands nobres précise que l inceriude es divisée par Il es nécessaire de se réassurer si les condiions d applicaion de la loi ne son pas respecées 8

9 es Maéaiques dans l assurance-vie 2. Applicaions de base : la arificaion (/4) a arificaion Tarifer c es définir : EPARGNE / RETRAITE PREVOYANE Verseen effecué Frais prélevés à caque verseen Tau de frais sur épargne gérée Frais prélevés en fin d année ou à caque rerai sur la valeur globale du conra. Monan de prie pure Monan à verser par l assuré selon : - son âge - le capial garani Frais Frais prélevés sur caque prie 9

10 es Maéaiques dans l assurance-vie 2. Applicaions de base : la arificaion (2/4) P PP Frais Frais f % P PP P f % alcul de la prie coerciale Prévoyance Prie Pure Frais Prie oerciale es frais son epriés en % de la prie coerciale (f) Prie oerciale Prie Pure / (-f) Epargne Monan invesi Monan versé Frais sur verseen es frais sur verseen son epriés en % du onan versé (fv) Monan invesi Monan versé (-fv)

11 es Maéaiques dans l assurance-vie 2. Applicaions de base : la arificaion (3/4) alcul de la prie pure (Prévoyance) a prie doi vérifier l égalié enre la valeur acuelle probable de l engageen de l assureur e celle de l assuré à la dae de l adésion 2 calculs à effecuer Valeur acuelle probable Engageen de l assureur V Valeur acuelle probable Engageen de l assuré W ondiions Générales onra Régleenaion Engageen? Valeur probable? Valeur acuelle? V W

12 es Maéaiques dans l assurance-vie 2. Applicaions de base : la arificaion (4/4) Noion d engageen es condiions générales du conra précisen les éléens perean d apprécier le niveau respecif de l engageen de l assureur e de l assuré Engageen de l assureur Monan forfaiaire : capial ou rene Survenance : décès de l assuré e/ou survie de l assuré sur une période déerinée Engageen de l assuré Verseen d une prie : unique, périodique ou viagère odaliés : fracionneen possible (ois, riesre), paieen en débu ou en fin de période 2

13 es Maéaiques dans l assurance-vie 2. Applicaions de base : a financières (/3) alculs d inérês Quelle es l épargne acquise si l on place une soe S au au d inérê i pendan années? Inérês siples es inérês son proporionnels à la durée Monan des inérês : S i Epargne acquise : S S i S (i) an : S (i) 2 ans : S (2i) N ans : S (Ni) Inérês coposés (capialisaion) inérê siple obenu es ajoué au capial pour porer à son our inérê siple pendan la période suivane (effe di de «clique») Epargne au bou de an : S S (i) Epargne au bou de 2 ans : S2 S (i) S (i) (i)s (i)² Epargne au bou de N ans : S (i) N 3

14 es Maéaiques dans l assurance-vie 2. Applicaions de base : a financières (2/3) Noion d acualisaion Quelle soe dois-je placer à 3% pour disposer de 4 dans un an? S? an S , 5 ( 3% ) euros 4 Quelle soe dois-je placer à 3% pour disposer de 4 dans 6 ois? S? 6 ois S 4 394, 32 ( 3% ),5 euros 4 4

15 es Maéaiques dans l assurance-vie 2. Applicaions de base : a financières (3/3) Eléens de calcul d un prê aracérisiques du prê : apial : Durée : n Aorisseen régulier Tau fie Tau ensuel 2 v Mensualié d un prê iobilier v v v n apial resan dû d un prê iobilier après paieen de l écéance au rang j nj v j RD j v ( ) v 5

16 es Maéaiques dans l assurance-vie 2. Applicaions de base : probabiliés (/2) Noion de probabilié de décès / probabilié de vie Age b vivans vivans à 75 ans 5878 vivans à 76 ans Soi 252 décès enre 75 ans e 76 ans Probabilié à 75 ans de décéder avan 76 ans : 252 / % Probabilié à 75 ans d êre vivan à 76 ans: 5878/ ,88% 5672 vivans à 77 ans Soi 2646 décès enre 76 ans e 77 ans Probabilié à 75 ans de décéder enre 76 e 77 ans : 2646 / % Probabilié à 75 ans d êre vivan à 77 ans : 5672/62399,56% 2 vivans à 9 ans vivan à ans Soi décès enre 9 e ans Probabilié à 75 ans de décéder enre 9 e ans : / %

17 es Maéaiques dans l assurance-vie 2. Applicaions de base : probabiliés (2/2) Table de oralié (INSEE 2-22) obre de vivans : Hoes Fees 7

18 es Maéaiques dans l assurance-vie 3. as praique : Epargne erifica d adésion Epargne versée Epargne invesie Valeurs de raca 8

19 es Maéaiques dans l assurance-vie 3. as praique : Epargne Epargne invesie Barèe arifaire < 3 2,4% [3-5 K [ [5-75 K [ 2,% [75 - K [ [ - 5 K [,5% [5-2 K [ [2 K e [,% Epargne invesie e Frais sur verseen Epargne invesie 9.76 Fv. 2,4% 24 ( F )V V 9

20 es Maéaiques dans l assurance-vie 3. as praique : Epargne Valeurs de raca dae débu dae fin nb de jours base annuelle onan invesi TAG bru TFGE PM 9//23 3/2/ , 2,52%,6% 9936,67 Année //24 8// ,%,6% 9933,72 9//24 3/2/ ,%,6% 9877,5 Année 2 //25 8// ,%,6% 9874, ( F ) V [( TAG)( Feg) ] n V 2

21 es Maéaiques dans l assurance-vie aracérisiques du conra apial décès :. Age assuré : 4 ans Tau d acualisaion : i 2% 3. as praique 2 : Assurance Teporaire Décès Tarificaion (/3) Principe de calcul Valeur acuelle probable Engageen de l assureur V Engageen? Valeur acuelle probable Engageen de l assuré W Prie an Valeur probable? Valeur acuelle? 6 ois apial Décès Engageen de l assuré engageen de l assuré correspondan au paieen de la prie. 2

22 es Maéaiques dans l assurance-vie 3. as praique 2 : Assurance Teporaire Décès Tarificaion (2/3) Engageen de l assureur Probabilié de décès q ( ) q. 5 ( i) Où es le nobre de vivans à l âge apial décès :. oefficien d acualisaion :,99 Age TF TH Q TF TH 4,%,24% 6,47%,5% Q TF TH Par consrucion, l engageen de l assuré es égal celui de l assureur. On en dédui que la prie pure à 4 ans avec la able de oralié TH (resp. TF) es de 234 (resp. 3 ). 22

23 es Maéaiques dans l assurance-vie 3. as praique 2 : Assurance Teporaire Décès Tarificaion (3/3) Prie coerciale Avec des frais à aueur de 2%, on obien une prie coerciale de : Q TF TH es écars de arif proviennen de la able de oralié uilisée. Régleenaireen, c es la able la plus prudene qui doi êre prise en cope.il s agi de la able de oralié des oes. 23

24 es Maéaiques dans l assurance-vie 3. as praique 3 : Assurance Décès Vie Enière Tarificaion (/7) Valeur acuelle probable de l engageen de l assureur à T Engageen de l assureur assureur s engage à verser 4 en cas de décès de l assuré quelque soi la dae du décès à coper de la dae T V? 75 ans 76 ans 77 ans 78 ans 9 ans ans ans S? S2? S3? S35? S36? S3 correspond à la soe que s aend à régler l assureur cope enu de la probabilié de décès de l assuré à 75 ans enre 77 e 78 ans 24

25 es Maéaiques dans l assurance-vie 3. as praique 3 : Assurance Décès Vie Enière Tarificaion (2/7) Valeur acuelle probable de l engageen de l assureur à T alcul des flu probabilisés V? 75 ans 76 ans 77 ans 78 ans 9 ans ans ans S? S2? S3? S35? S36? assureur s engage à verser 4 en cas de décès de l assuré enre 75 e 76 ans : S 4 4,2% 64,67 assureur s engage à verser 4 en cas de décès de l assuré enre 76 e 77 ans : S2 4 4,32% 72,83 assureur s engage à verser 4 en cas de décès de l assuré enre 77 e 78 ans : S3 4 4,52% 8,87 assureur s engage à verser 4 en cas de décès de l assuré enre 9 e ans : S35 4,2%,7 assureur s engage à verser 4 en cas de décès de l assuré enre e ans : S36 4,2%,7 S S2 S3 S35 S

26 es Maéaiques dans l assurance-vie 3. as praique 3 : Assurance Décès Vie Enière Tarificaion (3/7) Valeur acuelle probable de l engageen de l assureur à T V? 75 ans 76 ans 77 ans 78 ans 9 ans ans ans S 64,67 S3 8,87 S35,7 S2 72,83 S36,7 V 64,67 72,83 8,87...,7,7 (,75% ),5 (,75% ),5 (,75% ) 2,5 (,75% ) 34,5 (,75 % ) 35, 5 V 63,24 68,39 73,9...,4,4 3359,7 26

27 es Maéaiques dans l assurance-vie 3. as praique 3 : Assurance Décès Vie Enière Tarificaion (4/7) Valeur acuelle probable de l engageen de l assuré à T Engageen de l assuré assuré s engage à payer une coisaion unique à la dae T W? 75 ans 76 ans 77 ans 78 ans 9 ans ans ans P? 27

28 es Maéaiques dans l assurance-vie 3. as praique 3 : Assurance Décès Vie Enière Tarificaion (5/7) Valeur acuelle probable de l engageen de l assuré à T alcul des flu probabilisés W? 75 ans 76 ans 77 ans 78 ans 9 ans ans ans P? alcul de l acualisaion W P alcul de la prie unique pure W VO PRIME 3359,7 28

29 es Maéaiques dans l assurance-vie 3. as praique 3 : Assurance Décès Vie Enière Tarificaion (6/7) alcul de la prie eporaire pure (4 ans) alcul des flu probabilisés W? 75 ans 76 ans 77 ans 78 ans 9 ans ans ans PT? PT? PT? PT? alcul de l acualisaion W PT v PT v PT v PT W v v v PT 29

30 es Maéaiques dans l assurance-vie 3. as praique 3 : Assurance Décès Vie Enière Tarificaion (7/7) alcul de la prie eporaire pure (4 ans) alcul de l acualisaion W 95.88% 9.56% 87.4% PT 2 (.75% ) (.75% ) (.75% ) 3 W 3.65 PT Principe de arificaion W V PT /

31 es Maéaiques dans l assurance-vie 3. as praique 4 : Foncions acuarielles (/4) ouaions es couaions pereen une écriure rapide des forules acuarielles en cobinan probabilié e acualisaion. Soi i, le au d acualisaion, on appelle v le coefficien d acualisaion v Soi es le nobre de vivans à l âge ( i) ( ) k.5 k v k k D v M D k k k k A M D ä D a D ä : d D d 3

32 es Maéaiques dans l assurance-vie es Maéaiques dans l assurance-vie as praique 4 : Forules acuarielles (2/4) Assurance Décès Vie Enière : Tarificaion Engageen de l assureur : Engageen de l assuré (pries eporaires) Tarificaion ( ) ( ) ( ) v v v V PT v PT v PT v PT v PT W d d A D M D V k k ( ).5 k k k k v k k M D v ( ) PT D D D D W d... k k D d d D ä : PT ä W d : A PU ä A PT d :

33 es Maéaiques dans l assurance-vie 3. as praique 4 : Forules acuarielles (3/4) Assurance Décès Vie Enière : Provisionneen a provision aéaique à une dae k correspond à la différence enre la valeur acuelle probable de l assureur e celle de l assuré Prie unique.5( ) k k v k k M k D v k PM k A k Pries eporaires D ä : d k k D d PM k A k ä k: d PT ä k: d k D k d 33

34 es Maéaiques dans l assurance-vie 3. as praique 4 : Forules acuarielles (4/4) Assurance Teporaire Décès Engageen de l assureur : V v.5 ( ) Tarificaion en prie annuelle PA D 34

35 es Maéaiques dans l assurance-vie 3. as praique 6 : Rene de reraie (/3) alcul de la rene viagère alcul des flu probabilisés W? 75 ans 76 ans 77 ans 78 ans 9 ans ans ans R? R? R?... R? R? R? Engageen de l assureur V v R v R v R V v v v... R 35

36 es Maéaiques dans l assurance-vie 3. as praique 6 : Rene de reraie (2/3) alcul de la rene viagère Engageen de l assureur D D 2 D 3 V... R D D D V R D a R Soi, le capial à disposiion du fuur bénéficiaire de la rene Soi R, le onan de la rene annuelle viagère R a 36

37 es Maéaiques dans l assurance-vie 3. as praique 6 : Rene de reraie (3/3) alcul de la rene viagère Applicaions nuériques Tables généraionnelles 25 Fees (TGF5) apial à converir :. Tau ecnique :,5% Frais sur rene : 3% Age Reraie Année de naissance

38 es Maéaiques dans l assurance-vie es Maéaiques dans l assurance-vie as praique 7 : Assurance Epruneur Engageen de l assureur ( ).5 n vi RD VAPA ( ) ( ) ( ).5.5 n n vi e vi e VAPA ( ) j j n j v v v RD

39 es Maéaiques dans l assurance-vie es Maéaiques dans l assurance-vie as praique 7 : Assurance Epruneur Engageen de l assureur Soi i, le au ensuel d acualisaion égal à ((i) /2 -), on noe i i v i v D ( ) ( ) i D ' ( ).5 vi ( ) ( ) ( ).5 ' i k k M ω ' k k M ω ( ) ( ) n n D M M e D M M e VAPA ' ' ' ( ) ( ) ( ).5.5 n n vi e vi e VAPA

40 es Maéaiques dans l assurance-vie es Maéaiques dans l assurance-vie 4 3. as praique 7 : Assurance Epruneur Engageen de l assuré a prie en % du capial iniial peu alors s écrire : n I I vi VAPa α ( ) n I D I VAPa α ( ) ( ) ( ) n n n I D I D M M e D M M e ' ' ' α

41 es Maéaiques dans l assurance-vie 4. Quesions Quesions? 4

42 es Maéaiques dans l assurance-vie 5. Rappel de probabiliés (/3) Variables aléaoires es variables aléaoires liées à une épreuve aléaoire son les nobres X don la valeur dépend enièreen du résula de cee épreuve. On di qu une variable aléaoire X es discrèe si l enseble de ces valeurs possibles es une suie finie, 2, 3,.., n associée au probabiliés p, p 2, p 3,.., p n oi de Bernoulli Une variable aléaoire Bernouilli Z(p) ade pour valeurs possibles les nobres e avec respeciveen pour probabilié q e p. oi Binoiale Une variable aléaoire Binoiale es une soe de n variables aléaoires de Bernouilli Z(p) indépendanes e de êes paraères. 42

43 es Maéaiques dans l assurance-vie 5. Rappel de probabiliés (2/3) Espérance aéaique espérance aéaique de X es le nobre cerain, égal à la soe des valeurs possibles pondérées par les probabiliés. Elle correspond à la valeur oyenne si on réalise un grand nobre de irage. Bernoulli : E(Z) p Binoiale : E(X) np D où dans nore eeple, E(X). % Variance (Moen cenré d ordre 2) V ( X) E[ X E( X) ] 2 Développeen polynôe [ ] 2 2 V ( X) EX 2XE( X) E( X) V [ ] 2 ( ) [ ] 2 X EX E( X) Bernoulli : V(Z) p-p² pq Binoiale : V(X) npq [ [ 2 ] ( ) [ ] 2 X EX 2EXE( X) EE( X) V D ou dans nore eeple, V(X). % 99% 99 Ecar-ype 9,95 43

44 es Maéaiques dans l assurance-vie 5. Rappel de probabiliés (3/3) oi norale Si la variable aléaoire U sui une loi norale norée réduie N(,) Alors d après la able de la loi norale, Probabilié [-3,3 < U < 3,3] 99,9% Téorèe de la liie cenrale Si n es grand e si p n es pas pei, la variable binoiale X sui à peu près une loi norale. D où dans nore eeple: Probabilié [-3,3 < N(,) < 3,3] 99,9% Probabilié [-3,3 < (X-) / 9,95 < 3,3] 99,9% Probabilié [67 < X <33 ] 99,9% 44

45 es Maéaiques dans l assurance-vie 6. Rappel de aéaiques financières (/2) alcul d une écéance de prê Soi un prê d un onan e d une durée de n ois Soi, le au annuel e on noe le au ensuel 2????? 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) n... ( ) ( ) ( ) ( ) n [ ] 2 3 n v v v v... v Suie géoérique de n eres, de er ere v e de raison v n v v v 45

46 es Maéaiques dans l assurance-vie es Maéaiques dans l assurance-vie Rappel de aéaiques financières (2/2) alcul du capial resan dû e capial resan dû à la dae j es une suie géoérique de n-j eres, de er ere v e de raison v. v v v RD j n j e capial resan dû d une période à l aure peu s écrire grâce à la forule des inérês sous la fore : ( ) RD RD RD RD j j j j En appliquan un raisonneen par récurrence, il vien : Supposons Déonsraion : ( ) j j RD ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) QFD RD RD RD RD j j j j j j j