Angles orientés et repérage, cours, première S

Transcription

1 Angles orientés et repérage, cours, première S F.Gaudon 24 mai 2010 Table des matières 1 Cercle trigonométrique et radian 2 2 Angles orientés 3 3 Propriétés des mesures d'angles orientés 4 4 Cosinus et sinus d'angles orientés Cosinus et sinus d'un réel Cosinus et sinus d'un angle orienté Coordonnées polaires dans le plan 7 1

2 1 Cercle trigonométrique et radian Soit (O; i; j) un repère orthonormal du plan. On appelle cercle trigonométrique tout cercle dont le rayon est égal à l'unité de longueur et de centre l'origine O du repère. Dans un repère orthonormal (O; OI; OJ), on considère le cercle trigonométrique de centre O et la droite D tangente en I à la droite (OI). On considère sur cette droite un repère (I; IK) tel que IK = 1. Á tout nombre réel x on fait correspondre le point N d'abscisse x dans le repère (I; IK) de D. Par enroulement de la droite D autour du cercle C, on obtient un point M unique du cercle trigonométrique tel que la distance à zéro de x soit égale à la longueur de l'arc IM. On appelle mesure en radian de l'angle ÎOM la distance à zéro du nombre x précédent. http: // mathsfg. net. free. fr 2

3 Propriété : La mesure d'un angle en radian est proportionnelle à la mesure du même angle en degrés. Remarques : Un radian correspond à la mesure de l'angle au centre d'un cercle trigonométrique intercepté par un arc de longueur d'une unité de longueur ; Un angle plat mesure 180 en degrés ou π en radians. Exemple : π rad = rad = 3 π Angles orientés Soit (O; i; j) un repère du plan. Sur le cercle trigonométrique (cercle de centre O et de rayon 1), deux sens de parcours sont possibles, l'un est dit direct, l'autre indirect. Un sens de parcours direct (par convention on prend le sens inverse des aiguilles d'une montre) étant choisi, le plan est alors dit orienté. M et N sont les points images des réels x et y sur le cercle trigonométrique de centre O. Les mesures en radians de l'angle orienté noté ( OM; ON) sont les réels y x + 2kπ où k Z. On note plus simplement par abus de notation ( OM; ON) = y x. http: // mathsfg. net. free. fr 3

4 Propriété et dénition : M et N sont deux points du cercle trigonométrique de centre O. L'angle orienté ( OM; ON) possède une mesure et une seule a dans l'intervalle ] π; π]. Cette mesure est appelée mesure principale de l'angle orienté ( OM; ON). L'angle non orienté (encore appelé géométrique M ON est égale à a radians. Toute mesure en radians d'un angle orienté est de la forme x + 2kπ où k Z. On cherche les entiers k tels que π x + 2kπ π. Cela équivaut à π x 2kπ π x ou encore à pi+x k π x 2π 2π c'est à dire 1 x k 1 x. L'encadrement étant d'amplitude 1, il existe un uique entier k qui y 2 2π 2 2π appartient ce qui signie que l'angle orienté admet une et une seule mesure entre π et π. Soient u et v deux réels non nuls. Soient M et N les points du cercle trigonométrique tels que OM est colinéaire de même sens à u et ON est colinéaire de même sens à v. On appelle mesure de l'angle orienté ( u; v) toute mesure en radian de l'angle ( OM; ON). 3 Propriétés des mesures d'angles orientés Propriété (relation de Chasles) : Pour tous les vecteurs non nuls u, v et w, ( u; v) = ( u; w) + ( w; v) http: // mathsfg. net. free. fr 4

5 Admise Propriété : Soient u et v deux vecteurs non nuls. u et v sont colinéaires de même sens si et seulement si ( u; v) = 0. u et v sont colinéaires de sens contraire si et seulement si ( u; v) = π. Conséquence directe de la dénition des angles orientés. Conséquences de la relation de Chasles : Pour tous les vecteurs u et v non nuls, ( v; u) = ( u; v) ; ( u; v) = ( u; v) + π ; ( u; v) = ( u; v) + π ; ( u; v) = ( u; v). On a ( u; u) = 0 et d'après la relation de Chasles ( u; u) = ( u; v) + ( v; u) donc ( u; v) = ( v; u) ; ( u; v) = ( u; v) + ( v; v) = ( u; v) + π ; de même que précédemment ; ( u; v) = ( u; u) + ( u; v) + ( v; v) = π + ( u; v) + π = ( u; v). Exemple (fondamental) : ABC est un triangle. On a( AB; AC) + ( AC; BC) + ( BC; BA) = ( AB; AB) = 0 d'après la relation de Chasles donc ( AB; AC) + ( BC; BA) + ( CA; CB) = ( AB; AC) + ( AC; BC) + ( BC; BA) + π = π d'où la somme des angles orientés dans un triangle est égale à π radians. 4 Cosinus et sinus d'angles orientés 4.1 Cosinus et sinus d'un réel Soit (O : i; j) un repère orthonormal et C le cercle trigonométrique de centre O. Soit M le point de C image du réel x. On appelle : cosinus de x noté cos(x) l'abscisse du point M ; sinus de x noté sin(x) l'ordonnée du point M. http: // mathsfg. net. free. fr 5

6 Propriétés : Pour tout réel x et tout entier relatif k : 1 cos(x) 1 ; 1 sin(x) 1 ; cos 2 (x) + sin 2 (x) = 1 ; cos(x + k2π) = cos(x) ; sin(x + k2π) = sin(x). Conséquences directes de la dénition. 4.2 Cosinus et sinus d'un angle orienté Propriété et dénition : Le cosinus (ou le sinus) d'un angle orienté est le cosinus (ou le sinus) d'une mesure en radians de cet angle orienté. Si α et β sont deux mesures en radians de l'angle ( u; v), alors il existe un entier k tel que α = β + k2π. On a donc cos(α) = sin(β). Propriétés : Pour tout réel x : cos( x) = cos(x) ; sin( x) = sin(x) ; cos(π x) = cos(x) ; sin(π x) = sin(x) ; cos(π + x) = cos(x) ; sin(π + x) = sin(x) ; cos( π x) = sin(x) ; 2 sin( π x) = cos(x). 2 http: // mathsfg. net. free. fr 6

7 5 Coordonnées polaires dans le plan Soient O et I deux points distincts tels que OI = 1. M est un point du plan distinct de O. Tout couple (r; θ) avec r > 0 tel que OM = r et ( OI; OM) = θ est un couple de coordonnées polaires dans le repère polaire (O; OI). Remarques : Si (r; θ) est un couple de coordonnées polaires d'un point M, alors tout couple (r; θ + k2π) où k est un entier relatif est un autre couple de coordonnées polaires de M ; un repère polaire étant choisi, à tout couple de coordonnées polaires correspond un point et un seul ; pour l'origine O, on convient que r = 0 et θ est quelconque. Propriété : Soit (O; i; j) un repère orthonormal. Si un point M distinct de O a pour coordonnées (x; y) dans ce repère et pour coordonnées polaires (r; θ) dans le repère polaire (O; i), alors : r = x 2 + y 2 ; x = r cos(θ) ; y = r sin(θ). Soit C le cercle trigonométrique de centre O. La demi-droite [OM) coupe C en un point N. Alors OM et ON sont colinéaires de même sens. On a OM = r et ON = 1 donc OM = ron. N est sur C et ( i; ON) = ( i; OM) donc les coordonnées cartésiennes de N sont (cos(θ); sin(θ)). Par suite, les coordonnées cartésiennes de M sont (r cos(θ); r sin(θ)). En outre OM 2 = x 2 + y 2. Remarque : Les règles de calcul sur les coordonnées cartésiennes ne s'appliquent pas en général aux coordonnées polaires. http: // mathsfg. net. free. fr 7