Chapitre 4. Adjoints Opérateurs auto-adjoints et isométries

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1 Chapitre 4 Adjoints Opérateurs auto-adjoints et isométries I. Adjoint : Cas général d une forme { bilinéaire symétrique sesquilinéaire hermitienne On suppose dans tout I que E est un espace vectoriel de dimension finie sur un corps K, que ϕ : E E K est une application, et qu on est dans un des deux cas suivants : { Soit K est un corps de car 2 et ϕ est bilinéaire symétrique Soit K = C et ϕ est sesquilinéaire hermitienne Dans les 2 cas on suppose ϕ non dégénérée. Théorème et définition Soit f L K (E, E), alors il existe une seule application linéaire f L K (E, E) vérifiant : (x, y) E E ϕ ( f(x), (y) ) = ϕ ( x, f (y) ). On dit que f est l adjoint de f. Remarque ) On a : f adjoint de f (x, y) E E ϕ ( x, f(y) ) = ϕ ( f (x), y ) dans le cas hermitien, utiliser la symétrie hermitienne : ϕ ( x, f(y) ) = ϕ ( f(y), x ) ϕ ( f (x), y ) = ϕ(y, f (x) ). 2) Dans le cas où E serait de dimension infinie, on pourrait définir de façon analogue un adjoint : s il existe il est alors unique, mais il n existe pas nécessairement. 3) Si F est un espace vectoriel sur K, si u L(E, F ), on a défini t u : F E par : f F t u(f) = f u. On a donc x E (t u(f) ) (x) = f ( u(x) ) ce qu on peut écrire : x/( t u)(f) = u(x)/f formule à rapprocher de la formule de l adjoint. Démonstration du théorème. ) Soit y E fixé. L application : E K x ϕ ( f(x), y ) est un élément de E. Or ϕ est non dégénérée donc l application (semi-linéaire) E E z ( x ϕ(x, z) ) est bijective. Donc!z E tel que x E ϕ(x, z) = ϕ ( f(x), y ). Posons z = f (y). On définit ainsi f : E E et c est l unique application vérifiant x, y ϕ ( f(x), y ) = ϕ ( x, f (y) ).

2 2) Montrons que l application f ainsi définie est linéaire. Soient y, y 2 dans E, λ K, x E. On a : ϕ ( f(x), y + y 2 ) = ϕ ( f(x), y ) + ϕ ( f(x), y2 ) = ϕ ( x, f (y ) + ϕ ( x, f (y 2 ) ) = ϕ ( x, f (y ) + f (y 2 ) ) = ϕ ( x, f (y + y 2 ) ) d où f (y ) + f (y 2 ) = f (y + y 2 ) (unicité de la construction de f (y + y 2 )). ϕ ( { ) ( ) f(x), λy = λ ϕ f(x), y avec λ = λ cas bilinéaire λ = λ : cas hermitien = λ ϕ ( x, f (y ) ) = ϕ ( x, λf (y ) ) = ϕ ( x, f (λy ) ). D où de même λf (y ) = f (λy ). Notation. On notera désormais pour λ K { λ = λ dans le cas bilinéaire λ = λ dans le cas hermitien on a donc dans tous { les cas, pour (x, y) E 2 et λ K ϕ(x, λy) = λϕ(x, y) ϕ(y, x) = ϕ(x, y). Proposition.- Soient f et g dans L(E, E), λ K. Alors on a : ) (f + g) = f + g. 2) (λf) = λ f. 3) (f g) = g f. 4) (f ) = f. 5) Si f est inversible, alors f est inversible et on a : (f ) = (f ). Les propriétés ) 2) 3) sont immédiates. Montrons ) par exemple. Soit (x, y) E E. On a : ϕ ( (f + g)(x), y ) = ϕ ( f(x), y ) + ϕ ( g(x), y ) = ϕ ( x, f (y) ) + ϕ ( x, g (y) ) = ϕ ( x, f (y) + g (y) ) = ϕ ( x, (f + g) (y) ). On utilise alors l unicité de la construction de (f + g) (y). 4) Plaçons-nous par exemple dans le cas hermitien. On a : (x, y) E E ϕ ( f(x), y ) = ϕ ( x, f (y) ) = ϕ ( f (y), x ) d où f (x) = f(x) = ϕ ( y, ϕ (x) ) = ϕ ( f (x), y ) (ϕ non dégénérée). 5) Si f est inversible on a f f = f f = d où f (f ) = (f ) f = =. Proposition : matrice de f Soit (e,..., e n ) une base de E. Soit f L(E, E) de matrice M dans la base (e,..., e n ). Soit A la matrice de ϕ dans la base (e,..., e n ). Soit M la matrice de f dans la base (e,..., e n ). ) Alors on a : M = A tm A. 2) En particulier si (e,..., e n ) est orthonormale on a : M = t M. 2

3 Remarque ) Ces propriétés permettent de retrouver les résultats de la proposition précédente. 2) Dans le cas où K = C, on notera M = t M. Démonstration de la proposition On a : (x, y) E E ϕ ( f(x), y ) = ϕ ( x, f (y) ), ce qui se traduit matriciellement par : (X, Y ) colonnes à n lignes à coefficients dans K ou encore : t (MX)AŶ = t X A MŶ t MA = A M, ou M = A t MA. Si (e,..., e n ) est orthonormale, on a A = I. Définition.- Soit f L(E, E). On dit que f est un opérateur normal si on a : f f = f f. Cas particuliers : f = f : on dit alors que f est auto-adjoint f = f : on dit que f est isométrique. On va étudier ces cas spécialement pour E euclidien ou hermitien. II. Opérateurs normaux : Cas hermitien Proposition Soit E un espace euclidien ou hermitien de dimension n. Soit f L(E, E), de matrice A dans base orthonormale de E. Alors les 4 propriétés suivantes sont équivalentes : ) f est normal. 2) A est une matrice normale : A A = A A. 3) (x, y) E E f(x)/f(y) = f (x)/f (y). 4) x E f(x) = f (x). 2. En effet A est alors la matrice de f. 3. En effet on a : f(x)/f(y) = x/(f f)(y) f (x)/f (y) = x/(f f )(y) Considérons les deux applications E E K ϕ : (x, y) f(x)/f(y) et ϕ 2 : (x, y) f (x)/f (y). Alors ϕ et ϕ 2 sont deux applications bilinéaires symétriques (resp. sesquilinéaires hermitiennes). Pour qu elles soient égales, il faut et il suffit que les formes quadratiques (resp. quadratiques hermitiennes) associées soient égales, c est-à-dire : x E f(x)/f(x) = f (x)/f (y). Théorème.- On suppose E hermitien de dimension n. Soit f L C (E, E). Alors les deux propriétés suivantes sont équivalentes : ) f est normal. 2) Il existe une base orthonormale de E diagonalisant f. 3

4 Remarque Attention! le théorème ne se généralise pas au cas euclidien. Par exemple la matrice de rotation [ ] cos θ sin θ A = est normale, mais si θ / πz, A n admet pas de valeur propre réelle. On sin θ cos θ retrouvera ce cas plus loin. Démonstration du théorème 2 =. En effet, toute matrice diagonale est normale. = 2. On raisonne par récurrence sur la dimension n de E. n = immédiat. n >. Soit λ C un vecteur propre de f. Soit E = E λ (f) et soit F = E. On a E {0}. Si F = {0} alors E = E le résultat est immédiat. Supposons F {0}. On a f f = f f d où f (E ) E. f(f ) F. En effet, soit x F, soit y E. On a f(x)/y = x/f (y) = 0 car f (y) E. f (F ) F. En effet, soit x F, soit y E On a f (x)/y = x/f(y) = 0 car f(y) E. Soit { g L(F, F ) obtenu par restriction de f à F g L(F, F ) obtenu par restriction de f à F. D après ce qui précède, on a g = g ; on peut appliquer l hypothèse de récurrence à F et g. Il suffit alors de juxtaposer : { une base orthonormale de E une base orthonormale de F diagonalisant g. Corollaire (E hermitien) Si f est normal, alors les espaces propres de f sont deux à deux orthogonaux. Corollaire 2 (interprétation matricielle) Soit A M(n n, C) matrice normale. Alors il existe U M(n n, C), U unitaire tel que U AU soit diagonale. Méthode pratique pour diagonaliser f normal, dans une base orthonormale (resp. A matrice normale, avec une matrice de passage unitaire) il suffit de juxtaposer des bases orthonormales des espaces propres de f(resp. A). Corollaire 3 (E hermitien) Soit f normal et soit λ C. Alors : ) λ est valeur propre de f si et seulement si λ est valeur propre de f. 2) On a E λ (f) = E λ (f ). Soit (e,..., e n ) une base orthonormale dans laquelle la matrice de f est diagonale D = λ.... Alors dans cette base la matrice de f est λ D D =.... λ n Corollaire 4 (E hermitien) ) Si f est normal alors exp f est normal. 2) Si A M(n n, C) alors exp(a) est normale. λ n 4

5 III. Opérateurs auto-adjoints : Cas hermitien et euclidien ) Généralités - définitions Proposition Soit E un espace euclidien ou hermitien de dimension n. Soit f L(E, E), de matrice A dans une base orthonormale de E. Alors les 3 propriétés suivantes sont équivalentes. ) f est auto-adjoint. 2) A = A. 3) (x, y) E E f(x)/y = x/f(y). immédiate. Ceci justifie les définitions suivantes : Définition.- ) Une matrice A M(n n, C) telle que A = A est dite hermitienne. Un opérateur f auto-adjoint d un espace hermitien est dit hermitien. 2) Une matrice A M(n n, R) telle que t A = A est dite symétrique. Un opérateur f auto-adjoint d un espace euclidien est dit symétrique. 2) Cas hermitien Proposition.- Soit E un espace hermitien de dimension n, et soit f L(E, E). Alors on a : f hermitien f est normal et ses valeurs propres sont réelles. ) En effet toute matrice hermitienne diagonale est réelle. 2 Si f est normal à valeurs propres réelles, alors il existe une base orthonormale dans laquelle la matrice de f est D diagonale réelle. Alors D est hermitienne. Corollaire : réduction des matrices hermitiennes. Soit A M(n n, C) telle que A = A, alors il existe U M(n n, C), U unitaire telle que U AU soit diagonale réelle. Méthode pratique : comme pour le cas normal. Juxtaposer des bases orthonormales des espaces propres. Corollaire 2 : Réduction simultanée Soit E un espace hermitien de dimension n. Soit ψ : E E C une forme sesquilinéaire hermitienne quelconque sur E. Alors il existe une base de E qui est à la fois orthonormale pour la structure hermitienne et orthogonale pour ψ. Soit (e,..., e n ) une base orthonormale de E et soit A la matrice de ψ dans cette base. On a A = A car ψ est hermitienne. D après le corollaire, il existe une matrice unitaire U telle que U AU soit diagonale. Donc D = t UAU diagonale. Soit (f,..., f n ) la base de E telle que U = Pass ( (e,..., e n ), (f,..., f n ) ). Dans cette base la matrice de ψ est D et cette base est encore orthonormale pour la structure hermitienne. 5

6 Exercice. Avec ces notations, montrer qu il existe une unique application linéaire f L(E, E) telle que : (x, y) E E x/f(y) = ψ(x, y). Pour toute base orthonormale de E, si ψ admet la matrice B alors f admet la matrice B. Donc trouver une base orthonormale réduisant ψ revient à trouver une base orthonormale diagonalisant f. 3) Cas euclidien Théorème.- Soit E un espace euclidien et soit f L(E, E) un opérateur symétrique. Alors f est diagonalisable et ses espaces propres sont deux orthogonaux. ) Soit (e,..., e n ) une base orthonormale de E et soit A la matrice de f dans cette base On a t A = A, A M(n n, R) donc t A = A. Il existe donc U M(n n, C), U unitaire tel que U AU = D = diagonale réelle. P A (x) est donc scindé dans R[x] et pour toute valeur propre λ de A, le rang de (A λi n ) est le même calculé dans R ou C. Donc A est diagonalisable sur R. 2) Soient λ et µ des valeurs propres distinctes de f, soient x et y des vecteurs propres associés. On a : f(x)/y = λ x/y = x/f(y) = µ x/y d où x/y = 0. Corollaire. Soit f un opérateur symétrique d un espace euclidien de dimension n. Alors il existe une base orthonormale de E diagonalisant f. Corollaire 2 : Réduction de matrices symétriques réelles Soit A M(n n, R), A symétrique, alors il existe O M(n n, R), O matrice orthogonale ( t 0 = 0 ) telle que 0 AO soit diagonale. Corollaire 3 : réduction simultanée Soit E un espace euclidien de dimension n. Soit ψ : E E R une forme bilinéaire symétrique quelconque sur E. Alors il existe une base de E orthonormale pour la structure euclidienne et orthogonale pour ψ. analogue au cas hermitien. 4) Exemples - Exercices a) Soit E euclidien, φ : E R forme quadratique donnée dans une base orthonormale (e, e 2, e 3 ) par : 4x 2 + 4y 2 + z 2 + 2yz + 2zx 4xy. On cherche une base orthonormale réduisant φ. Soit A = matrice de φ = on a P A (X) = ( X)(3 X)(6 X). Les espaces propres de A sont 2 à 2 orthogonaux, il suffit de choisir une base orthonormale pour la structure euclidienne canonique de chaque espace. 6

7 λ = 0 posons X =. 6 2 λ = 3 posons X 2 =. 3 λ = 6 posons X 3 =. 2 0 Soit P = [X X 2 X 3 ] on a alors t P = P et P AP = La base (f, f 2, f 3 ) telle que P = Pass ( (e i ) i, (f j ) ) répond à la question. b) Soit E hermitien, φ : E C donnée donne une base orthonormale (e, e 2, e 3 ) par : 4 x 2 +4 y 2 +4 z 2 +ixy ixy + ixz ixz + yz + yz. A = 4 i i i 4 P A (X) = (2 X)(5 X) 2. i 4 λ = 2. Soit X = i base de E 2 (A) X =. 3 λ = 5. E 5 (A) a pour équation x + iy iz = 0. On choisit X 2 = i 2 E 5 (A) puis X 3 E 5 (A), tel que t X 2 X 3 = 0, X 3 normé par exemple X 3 = 6 normé dans 0 i. 2 Soit U = [X X 2 X 3 ]. On a t U = U, U AU = La base (f, f 2, f 3 ) telle que U = Pass ( (e i ), (f j ) ) est orthonormale pour la structure euclidienne et orthogonale pour φ. 5) Décomposition polaire et de Cartan Lemme.- Soit B M(n n, C), B hermitienne à valeurs propres strictement positives. Alors il existe une unique matrice hermitienne à valeurs propres strictement positives H telle que : B = H 2. ) Soit H une solution. Alors il existe U matrice unitaire telle que : u U HU =... avec? µ i > 0 Mais alors on a : U BH = µ 2 µ n.... µ 2 n 7

8 Comme on a : (µ i = µ j µ 2 i = µ2 j ) car µ i > 0, µ j > 0 on en déduit ) que les valeurs propres µ de H sont les élément µ > 0 tels que µ 2 soit valeur propre de H 2) que l on a alors Ker(H µi) = Ker(B µ 2 I). D où l unicité de H. 2) Existence de H. Soit V unitaire tel que λ V BV =... = µ 2 = D 2. λ diagonale.... où pour tout i {... n} µ i > 0, µ 2 i = λ i µ 2 n On a B = V D 2 V = (V DV ) 2. On pose H = V DV unitaire et D diagonale réelle). (H est hermitienne, car U est Proposition : Décomposition polaire Soit C M(n n, C), C inversible. Alors il existe un unique couple (U, H) tel que : { C = UH U unitaire H hermitienne à valeurs propres > 0. ) Soit (U, H) une solution. Alors on a C. C = H U UH = H 2 2) On remarque que C C est hermitienne, et d autre part, si λ est une valeur propre de C C, et X un vecteur propre associé on a : X C CX = λx X d où : (CX) CX = λ X X avec CX 0 et X 0 d où : λ > 0 puisque pour Y = on peut alors appliquer à C C = H 2. On pose alors U = CH on a : y, on a Y Y = n y i 2. y i= C C le lemme précédent, et on obtient H unique tel que U. U = (H ) C CH = H H 2 H = I et donc U est unitaire. Remarque ) Le résultat peut se généraliser au cas où C n est pas inversible. On obtient évidemment H hermitienne à valeurs propres 0, d autre part on n a plus alors unicité. Ceci s obtient en écrivant C sous la forme : C = lim m (C x ni) avec { lim(xn ) = 0 x m non valeur propre de C 2) La proposition peut également s écrire dans le cas de C M(n n, R). On obtient alors U et H réelles. Corollaire : (décomposition de Cartan) { D diagonale à valeurs propres réelles > 0 Soit C GL(n, C). Alors il existe des matrices V, W unitaires telles qu on ait C = V DW. 8

9 On écrit = UH comme dans la proposition précédente. On sait qu il existe W unitaire telle que W HW = D soit diagonale (à termes réels > 0) d où H = W DW puis C = UW DW. On pose : UW = V. IV. Isométries vectorielles - Cas euclidien On désigne par E un espace euclidien de dimension n. Proposition.- Soit f L(E, E). Soit A la matrice de f dans une base orthonormale de E. Alors les 4 propriétés suivantes sont équivalentes : ) f est isométrique (f f = I) 2) A est orthogonale ( t A A = I). 3) (x, y) E E f(x)/f(y) = x/y. 4) x E f(x) = x. immédiate Seul point à remarquer : 3 4 car les deux formes bilinéaires symétriques (x, y) x/y (x, y) f(x)/f(y) sont égales si et seulement si les formes quadratiques associées sont égales. Remarque ) Le point 4) justifie le nom d isométrie. 2) On peut énoncer dans le cas hermitien des équivalences analogues. ( t A devient A ). 3) Dans le cas euclidien étudié les isométries vectorielles s appellent aussi opérateurs orthogonaux et on note O(E) l ensemble des opérateurs orthogonaux sur E. Il est immédiat que O(E) est un groupe pour la composition des applications. 4) Les opérateurs orthogonaux directs (de det 0) de E forment un sous-groupe de O(E), on le note O + (E), ou encore{ SO(E) (groupe spécial orthogonal). f O(E), det f = ± 5) Il est immédiat que si f O + (E), det f =. 6) On a vu précédemment qu un opérateur orthogonal par exemple de matrice : ( ) cos θ sin θ sin θ cos θ n est pas toujours diagonalisable. On étudie dans la suite les réductions des éléments de O(E). 7) Autre exemple d opérateurs orthogonaux : les symétries orthogonales. 9

10 Lemme.- Soit f O(E) et soit F un sous-espace vectoriel de E. Alors on a : f(f ) F = f(f ) F. Soit x F et soit y F. On a dim f(f ) = dim F car f est injective donc f(f ) = F, donc z F tel que y = f(z). On a : f(x)/y = f(x)/f(z) = x/z = 0. Lemme 2.- Soit f O(E). Alors : ) Les valeurs propres de f sont dans {, }. 2) Les éventuels espaces propres relatifs à et à - sont orthogonaux. ) Soit λ R une valeur propre de f} et soit x E un vecteur propre associé. On a f(x)/f(x) = λ 2 x/x d où λ = x/x 2 =. 2) Soient x et y dans E tels que f(x) = x et f(y) = y. On a f(x)/f(y) = x/y = x/y = 0. Exercice. Retrouver le résultat précédent en utilisant le théorème de réduction dans C des matrices unitaires. Corollaire : Etude de O (E) pour n = 2 ) Si n = 2 les éléments de O (E) sont les symétries orthogonales par rapport aux droites (vectorielles). 2) Si u O + (E), si s O(E) alors! s O (E)! s O (E) tel que u = s s = s s. 3) Si u O + (E) et si s O (E) on a sus = u. 4) Le groupe O + (E) est commutatif. ) On a vu que les symétries orthogonales sont dans O(E). Si n = 2 une symétrie orthogonale par rapport à une droite a dans une certaine base orthonormale pour matrice : [ 0 0 ]. Elle est donc indirecte. [ ] a b Réciproquement soit s O (E), de matrice dans une base orthonormale. c d On a P A (X) = X 2 (a + d)x + (ad bc) avec ad bc = = (a + d) , donc P A admet 2 racines réelles distinctes qui ne peuvent être que et -. On a donc E = E (s) E (s) somme directe orthogonale. Si x = x + x 2 E avec x E et x 2 E on a s(x) = x x 2 donc s est la symétrie orthogonale par rapport à E. 2) Si u O + (E) alors us O d où us = s u = s s su O d où su = s u = ss. 3) (su) O (E) donc susu = id E d où sus = u. 4) u, u O + (E) u = ss uu = us u = su s = u ss = u u. Lemme 3 : Etude O + (E) pour n = 2 On suppose choisie une orientation sur E. [ ] a b ) Soit f L(E, E), de matrice A = dans une base orthonormale directe (e c d, e 2 ). Alors on a : f O + (E) a = d, b = c, a 2 + c 2 =. 0

11 2) Si f O + (E) la matrice de f est indépendante du choix de la base orthonormale directe (e, e 2 ). On pose : a = cos θ, c = sin θ. On dit que f est, pour l orientation fixée, une rotation d angle de mesure θ. 3) Le groupe O + (E) est abélien et isomorphe au groupe additif R/ 2πZ par l application : [ ] cos θ sin θ θ rotation de matrice dans la base (e sin θ cos θ, e 2 ). 4) Si f O + (E) alors f n admet pas de valeur propre sauf si f = ±id E. ) On a f O + (E) t AA = I et det A = les colonnes de A sont 2 à 2 orthogonales et de norme et det A = { f O + (E) a 2 + c 2 = b 2 + d 2 = ab + cd = 0 ad bc = { (b, d) = λ(c, a) pour un λ R c 2 + a 2 = λ = λa 2 λc 2 = (b, d) = (c, a) avec c 2 + a 2 = [ ] a c A = avec a 2 + c 2 =. c a 2) Si (e, e 2) est une autre base orthonormale directe alors P = Pass ( (e, e 2 ), (e, e 2) ) est orthogonale directe donc du type [ ] [ ] a c 0 c a = a I + c J où J = avec a 0, c R. Elle est permutable avec A. Donc Mat ( f, (e, e 2) ) = P AP = A. On posera a = cos θ, c = sin θ, θ R et on dira que f est la rotation d angle de mesure θ, on notera f = r θ. 3) Deux matrices orthogonales directes sont permutables, donc le groupe O + (E) est abélien et de plus les formules : cos(o + O ) = permettent de vérifier que l application sin(o + O ) = R 2πZ O+ (E) classe(θ) la rotation r θ est un isomorphisme de groupes. 4) Avec les mêmes notations, on a : P A (X) = (cos θ X) 2 + sin 2 θ = X 2 2 cos θx + cos 2 θ 0. Donc P A ne peut avoir de racines réelles que pour cos θ = ± c est-à-dire θ πz, où f = ±id E. Définitions : angles et mesures d angles. Soit E un espace euclidien de dimension 2. Remarquons que si u et v sont des vecteurs unitaires de E, il existe une et une seule rotation r telle que r(u) = v. En effet, si (u, u ) est une base orthonormale et si[ v = au + ] ba avec a b a 2 + b 2 =, la seule rotation qui convient est celle qui a pour matrice dans la b a base (u, u ). On note U l ensemble des vecteurs unitaires de E et A = U U où R est la relation R d équivalence donnée par : (f, f 2 ) R (f, f 2) r O + (E) tel que r(f ) = f 2 et r(f, f 2).

12 L ensemble A est l ensemble des angles de vecteurs unitaires de E. On note ( f, f 2 ) la classe de (f, f 2 ) U U. L ensemble A s identifie à O + (E) et est donc muni d une structure de groupe abélien, noté additivement. On a donc (par définition) : f, f 2, f 3 U, ( f, f 2 ) + ( f, f 3 ) = ( f, f 3 ). Si u et v sont des éléments non nuls de E, on posera : ( u, v) = ( u u, v ). v 2. Si E est euclidien orienté de dimension 2, en utilisant la bijection O + (E) R 2πZ du Lemme 3, on a deux bijections : R 2πZ O+ (E) A on dit que θ R 2πZ on notera indifféremment r α = r θ. θ r θ α est la mesure de cycle α pour l orientation, on posera : { cos α = cos θ sin α = sin α Remarque ) Soient u et v des vecteurs unitaires et soit r O + (E) tel que r(u) = v. Soit u unitaire tel que (u, u ) soit une base orthonormale directe. On pose v = cos θ u+sin θ u ( [ ] ) cos θ sin θ la matrice de r dans la base (u, u ) est et θ est la mesure de ( sin θ cos θ u, v). Dans le cas où f, g sont des vecteurs non nuls, on a f g = f g cos ( ( f, ) g ). 2) Si E est euclidien de dimension n, n 3 et si u et v sont des vecteurs unitaires, u et v sont dans un même péan P, mais l orientation de E ne détermine pas celle de P, on peut alors définir la mesure de ( u, v) au signe près, ou encore écrire : u v = cos( u, v). Remarques : on revient au cas n = 2, E orienté ) Si u et v sont unitaires et si s O (E) alors ( s(u), s(v) ) = ( u, v). ( )bis Si r O + (E) r(u), r(v) ) = ( u, v). En effet soit r O + (E) tel que : r ( s(u) ) = s(v) alors (s r s)(u) = v (r )(u) = v. Pour ) bis on décompose r en produit de 2 symétries. Le résultat peut aussi se trouver directement à partir de la définition de A. 2) Si on désigne par s u, s v les symétries orthogonales par rapport à u et v, on a s u s v = r 2( v, u. En effet, on a : ( v, (s u s v )(v) ) = ( v, s u (v) ) = ( v, u) + ( u, s u (v) ) = ( v, u) + ( s u (u), s u (v) ) = ( v, u) + ( v, u) = 2( v, u). Théorème.- Soit f O(E). Alors il existe une base orthonormale (e,..., e n ) de E dans laquelle la matrice de f est du type : I p I q A... A r 2

13 [ ] cos θi sin θ avec i {,..., r} A i = i sin θ i cos θ i f est directe si et seulement si q est pair. θ i R \ πz. Démonstration ) On peut décomposer E en une somme directe orthogonale : E = E E F. On a, d après le lemme, f(f ) F. Il suffit donc de démontrer le résultat pour g = f/f, g O(F ), g sans valeur propre. 2) Si g O(F ) avec dim F = m 0, g sans valeur propre, montrons, par récurrence sur m qu il existe une base orthonormale de F dans laquelle g a une matrice du type : A... A r [ ] cos θi sin θ A i = i sin θ i cos θ i a) m = impossible. b) m = 2. Il suffit d utiliser les corollaires du lemme 2. c) m > 2. Soit (f,..., f m ) une base de F et soit B la matrice de g dans cette base. Soit λ C (λ / R) une valeur propre de B et Z une colonne propre associée. Z = X + iy avec X et Y colonnes réelles on a BZ = λz et BZ = λ Z. Comme λ / R, on a λ λ, et Z et Z indépendants sur C, donc sur R. On a : B. (CX + CY ) CX + CY. Soient α et β dans R, alors il existe γ, δ, η, ζ réels tels que : B. (αx + βy ) = (δ + iη)x + (δ + iζ)y et, en considérant les parties réelles : B. (αx + βy ) = γx + δy RX + RY. On en déduit que F admet un sous-espace vectoriel F de dimension 2 stable pour g. On a F = F F et g(f ) F. On peut alors appliquer l hypothèse de récurrence à F. D autre part la restriction de g à F est d après les corollaires du lemme 2, une rotation. 3) On a i {... r} det A i =, d où det f = ( ) q. Remarque : cas n = 3 ) Si dim E = 3 et si f O + (E) on a q = 2 ou q = 0, il existe donc une base orthonormale (e, e 2, e 3 ) de E dans laquelle la matrice de f est du type : ou ou cos θ sin θ avec θ R \ πz. 0 sin θ cos θ On trouve donc que f est soit id E, soit une rotation dont l axe est Re = espace propre relatif à, et de matrice cos θ sin θ avec θ R \ 2πZ (le cas θ = π correspond au second cas). 0 sin θ cos θ Supposons maintenant f id et E orienté. Le choix d une orientation de l axe Re induit une orientation sur e et donc une mesure de l angle de rotation. Plus précisément si on oriente Re par e, et si (e, e 2, e 3 ) est direct, alors on obtient plus haut la mesure θ de l angle de la rotation pour l orientation de Re donnée par e. 3

14 Remarquons qu on a : ) trace(f) = + 2 cos θ 2) e 2 f(e 2 ) = (sin θ)e ce dernier résultat peut s obtenir en remplaçant e 2 par tout vecteur unitaire e 2 de e, on a donc : e 2 f(e 2) = (sin θ)e. 2) Si dim E = 3 et si f O (E), on a q = 3 ou q =, il existe donc une base orthonormale (e, e 2, e 3 ) de E telle que la matrice de f dans cette base soit du type : ou ou cos θ sin θ avec θ R \ πz. 0 sin θ cos θ Donc f est composé de la symétrie orthogonale par rapport au plan P = Vect(e 2, e 3 ) et d une rotation, qui est soit id, soit une rotation d axe Re ; ces deux applications sont permutables. Si f id E alors l axe de la rotation est Re espace propre relatif à. Si alors on oriente E et l axe par e la mesure de l angle est bien déterminée. On a : ) trace (f) = + 2 cos θ. 2) Pour tout e 2 e on a : e 2 f(e 2) = (sin θ) e. On verra plus loin des exemples. Corollaire du théorème : Décomposition des isométries. ) Soit f O(E). Alors f peut se décomposer en produit de symétries orthogonales par rapport à des hyperplans. 2) Si f O + (E) et si n 3, alors f peut se décomposer en produit de symétries orthogonales par rapport à des espaces vectoriels de dimension n 2. Remarque. Dans le cas n = 3. f O(E) est produit de symétries orthogonales par rapport à des plans. f O (E) est produit de symétries orthogonales par rapport à des droites. ) Si A est la matrice de f obtenue dans le théorème, alors A est produit de matrices du type : () et (2) A i Une matrice de type () est matrice d une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan. Une matrice de type (2) représente un endomorphisme f i du type suivant : E = E i F i somme directe orthogonale dim E i = 2 x F i, f i (x) = x g i = f E i = fi E i est une rotation sans valeur propre de E i. 4

15 Alors g i est produit de 2 symétries orthogonales par rapport à des droites d i et d i de E i. On en déduit que f i est produit des symétries orthogonales par rapport aux hyperplans d i F i et d i F i de E. 2) Remarquons que si on a f O + (E), alors f est produit d un nombre pair de symétries par rapport à des hyperplans. Montrons que si H et H 2 sont des hyperplans distincts, alors S H S H2 est produit de 2 symétries orthogonales par rapport à des sous-espaces vectoriels de dimension n 2. On a H H 2 {0} car 2(n ) > n. Soit a H H 2 \ {0}. Pour i {, 2}, on pose i = H i a. On a E = Ra i Hi somme directe orthogonale. On vérifie que S Hi = S i S Ra = S Ra S i d où : S H S H2 = S S Ra S Ra S 2 = S S 2. Remarque. Dans le cas n = 3, reprenons le cas de la rotation R d axe Re, ( id E ). P d 2 e2 e e3 d Soit P = e i, soit r la restriction de R à P. Alors r se décompose en produit des deux symétries par rapport à des droites s d et s d2 dans P. D où R se décompose en S P S P2 où i {, 2}. P i est le plan vectoriel d i Re. En choisissant a = e dans la démonstration précédente, on obtient que R est composé des deux symétries orthogonales s d et s d2 dans E. Exemple d étude pratique d éléments de O(E) en dimension 3 ) On suppose E euclidien orienté de dimension 3 et on suppose que dans la base orthonormale directe (f, f 2, f 3 ) l endomorphisme f a pour matrice A A = a) On vérifie que les colonnes de cette matrice sont 2 à 2 orthogonales, et de norme ( 4 ( ) = ). On a donc f O(E). b) On calcule det(a) comme on a ici det A > 0 ; il s agit donc d un élément de O + (E) et f id E. c) Angle de rotation : donné au signe près à l aide de la trace : + 2 cos θ = 4 cos θ = 2 ( ) : d où θ = ±π/3 d où θ = ±π/3 mod 2π (selon orientation de l axe). d) Axe de rotation = E (f) = Ker(f id E ) = {xf + ye 2 + ze 3 / x = y, z = 0}. Posons e = (f + f 2 ) et orientons l axe par e. 2 er calcul. On choisit e 2 e e 2 de norme et on calcule e 2 f(e 2 ). 5

16 Par exemple e 2 = f 3 6 ( ) 3 e 2 f(e 2 ) = f + f 2 = 4 2 e 3 d où sin θ = 2 θ = π/3 mod 2π. 2ème calcul. On complète (e, e 2 ) par e 3 pour obtenir une base orthonormale directe Soit en calculant un élément e 3 de norme de (Vect(e, e 2 )) en veillant à ce que Det(e, e 2, e 3 ) =. Soit en posant : e 3 = e e 2. On obtient : e 3 = (f f 2 ) 2 on sait alors qu on doit avoir f(e 2 ) = cos θ e 2 + sin θ (e 3 ). Vérification on obtient donc bien : 2) On suppose maintenant qu on a : f(e 2 ) = 4 ( 6)(f f 2 ) + 4.2f 3 3 = 2 e e 2 cos θ = 2 A = 3 et sin θ = a) On vérifie que les colonnes de cette matrice sont 2 à 2 orthogonales et de norme ( ) =. 3 b) On a DetA < 0 et A I. Donc on a f O (E), f id E. c) Angle de rotation donné au signe près par : + 2 cos θ = trace(f) = 3 ( 2) = 2 d où : cos θ = d) Calcul de E = Re = ker ( ) f + id E / xf + yf 2 + zf 3 5x+y - 2z = 0 = -2x+5y-z = 0 -x - 2y + z= 0 = Re avec e = (f + f 2 + 3f 3 ). On choisit e 2 de norme dans e. Par exemple : e 2 = (f f 2 ) f(e 2 ) = (f + 4f 2 f 3 ) on a : e 2 f(e 2 ) = 6 (f + f 2 + 3f 3 ) = 6 e. On obtient donc : f est composé commutatif de la symétrie orthogonale par rapport à e, et de la rotation R d axe Re et angle de mesure θ pour l orientation de cet axe par e avec cos θ = 5 6, sin θ = 6 (on a bien 25+ = 36!). 6