DJ - FAMILLES DE POLYNOMES
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- Clarisse Pellerin
- il y a 6 ans
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1 DJ - FAMILLES DE POLYNOMES I Ue famille remarquable de polyômes Pour tout etier positif, o ote Γ le polyôme Γ (X X(X 1 (X + 1!, et γ! Γ Les polyômes Γ formet ue base de R[X] O a tout d abord les formules suivates : Γ 0 (X + 1 Γ 0 (X 0, 1, Γ (X + 1 Γ (X Γ (X, 0, XΓ (X ( + 1Γ +1 (X + Γ (X La première formule est évidete puisque Γ 0 1 Pour la deuxième (X + 1X (X + X(X 1 (X + 1 Γ (X + 1 Γ (X!! X(X 1 (X + ((X + 1 (X + 1! X(X 1 (X +! X(X 1 (X +, ( 1! ce qui doe le résultat Pour la troisième formule Mais XΓ (X ((X + Γ (X (X Γ (X + Γ (X (X Γ (X X(X 1 (X! ( + 1 X(X 1 (X ( + 1! ( + 1Γ +1 (X, doc XΓ (X ( + 1Γ +1 (X + Γ (X
2 DJ Propositio 1 Il existe ue suite (P 0 de polyômes et ue seule telle que 1 P 0 (X 1 Pour tout 1, P (X + 1 P (X XP (X 3 Pour tout 1, P (0 0 Ces polyômes vérifiet alors i deg P ii Si 1, l esemble des racies de P cotiet {0,,} Notos aisi que Doc O a alors P (x λ k Γ k(x, k0 α deg P et β if{k λ k 0} P (x P (X + 1 P (X α kβ λ k Γ k(x λ k (Γ k (X + 1 Γ k (X k0 λ k Γ k 1 (X k1 k0 λ k+1 Γ k (X D autre part XP (X λ k XΓ k (X k0 λ k ((k + 1Γ k+1 (X + kγ k (X k0 k1 k1 λ k 1 kγ k(x + λ k kγ k (X k0 k(λ k + λk 1 Γ k(x L égalité est doc équivalete à P (X + 1 P (X XP (X,
3 DJ 3 (1 λ 1 Avec de plus, si 1, 0 et k 1, λk+1 P (0 λ 0 0 A partir de P 0 Γ 0 1, o obtiet immédiatemet que O a doc P 1 (X Γ (X α 1 β 1 k(λ k + λk 1 Puis tous les polyômes sot obteus de proche e proche de maière uique De la relatio etre les coefficiets de P et de P, o déduit que ces coefficiets sot tous positifs Soit 1 Etudios maiteat les degrés Puisque λ α λ α + (α + 1(λ α +1 D autre part, si k > α +, alors k 1 > k > α, doc Il e résulte que et doc, par récurrece, que α est pas ul, o a + λ α > 0 λ k (k 1(λ k 1 + λk 0 α α +, O procède de même avec les ombres β Puisque λ β λ β +1 est pas ul, o a β (λ β + λβ 1 > 0 D autre part, si 0 k < β + 1, alors k < k 1 < β, doc Il e résulte que λ k et doc, par récurrece, que β + 1 Fialemet O peut doc mettre Γ +1 (X e facteur P (X Γ +1 (X (k 1(λk 1 + λk 0 P (X k+1 β β + 1, λ k k+1 λ k Γ (X ce qui motre que les ombres 0, 1,, sot racies de P ( + 1! (X 1 (X k + 1, k!
4 DJ 4 Voici la table des premiersλ k : k k 3 k 4 k 5 k 6 k 7 k 8 k 9 k Voici la procédure Maple permettat de les créer aisi que de trouver les polyômes P B : proc ( local k, j, Q; global L, P; L : array(sparse,1,1 *; for k from 3 to do L[1,k] : 0 od; L[1,] : 1; for k from 3 to * do for j from to do L[j,k] : (k-1*(l[j-1,k-1]+l[j-1,k-] od od; P : array(sparse,1 *; P[1] : X ; for k from to * do P[k] : (X-k+1*P[k-1]/k od; Q : 0; for k from +1 to * do Q : Q+L[,k]*P[k] od; prit(evalm(l; prit(factor(q ed Il résulte de l équatio (1 que d où, par récurrece, λ +1 λ +1 λ et λ ( 1λ! et λ O obtiet facilemet les premiers polyômes : 1 3 ( 1 (!! Doc P (X P (X Γ 3 (X + 3Γ 4 (X X(X 1(X X(X 1(X (X X(X 1(X (8 + 3(X 3 X(X 1(X (3X 1
5 DJ 5 P 3 (X 6Γ 4 (X + 0Γ 5 (X + 15Γ 6 (X Doc P 3 (X X(X 1(X (X X(X 1(X (X 3(X X(X 1(X (X 3(X 4(X 5 48 X(X 1(X (X 3 (1 + 8(X 4 + (X 4(X 5 48 X(X 1(X (X 3 (X X 48 X (X 1 (X (X 3 48 P 4 (X Γ 5 (X + 130Γ 6 (X + 10Γ 7 (X + 105Γ 8 (X Doc P 4 (X X(X 1(X (X 3(X 4 13X(X 1(X (X 3(X 4(X X(X 1(X (X 3(X 4(X 5(X 6 + X(X 1(X (X 3(X 4(X 5(X 6(X X(X 1(X (X 3(X 4 [ (X (X 5(X (X 5(X 6(X 7] O peut calculer égalemet X(X 1(X (X 3(X (15X 3 30X + 5X + P 5 (X X (X 1 (X (X 3(X 4(X 5(3X 7X 1150 De la relatio de défiitio o tire que, pour tout etier j et pour tout 1, P (X j P (X j 1 (X j 1P (X j 1, et doc e sommat s 1 s 1 P (X P (X s (P (X j P (X j 1 (X j 1P (X j 1 j0 j0
6 DJ 6 E particulier, pour s etier s 1 s 1 P (s (s j 1P (s j 1 jp (j j0 j0 E teat compte du fait que les ombres de 0 à 1 sot racies de P, o obtiet, si s + 1 s 1 P (s jp (j j et e particulier d où l o déduit que Remarque P ( + 1 P ( P ( + 1! E dérivat la relatio liat les polyômes P, o obtiet : d où l o déduit P (X + 1 P (X P (X + XP (X, P (1 P (0 P (0, et ceci est ul si Doc das ce cas P (1 P (0 E particulier, si 0 est racie double, il e est de même de 1 II Expressios symétriques et sommes de puissaces Das l esemble des polyômes à coefficiets réels de q lettres X 1,,X q o cosidère les polyômes qui s écrivet comme des sommes, que l o dira de type k, de la forme X p 1 i 1 X p k i k où 1 k q, et où la somme cotiet tous les moômes différets possibles tels que les lettres X i1,,x ik soiet toutes différetes Ce sot des expressios symétriques des q lettres X 1,,X q Par exemple, les sommes de type 1 sot θ p q X p j j1 Notos σ k la somme de type k où p 1 p k 1 : o obtiet aisi les expressios symétriques élémetaires des q lettres X 1,,X q
7 DJ 7 Propositio Toute somme de type k et de degré r est ue expressio algébrique de θ 1,,θ r idépedate de q O motre par récurrece sur k que toute somme de type k et de degré r est ue expressio algébrique de θ 1,,θ r idépedate de q C est vrai de maière évidete si k 1 Supposos la propriété vraie jusqu à l ordre k 1, et soit S X p 1 i 1 X p k i k ue somme de type k et de degré r p p k (doc p j r Cosidéros le produit P ( k q j1 Lorsque l o développe ce produit, o obtiet la somme de tous les produits possibles de termes de la forme X p 1 i 1 X p k i k i1 E regroupat les moômes idetiques, il apparaît, la sommes S multipliée par ue costate etière M idépedate de q, plus des combiaisos liéaires à coefficiets etiers idépedats de q de sommes de type iférieur à k 1 obteues lorsque plusieurs lettres sot idetiques Toutes ces sommes sot ecore de degré r Doc Comme X p j i S 1 (P des sommes de type à k 1 M P k θ pj, j1 et e utilisat l hypothèse de récurrece, o e déduit immédiatemet que S est ue expressio algébrique de θ 1,,θ r idépedate de q Corollaire Toute expressio symétrique des q lettres X 1,,X q est ue expressio algébrique idépedate de q des θ p E effet, toute expressio symétrique des q lettres X 1,,X q est ue expressio algébrique des expressios symétriques élémetaires qui sot des sommes de type k E particulier, puisque σ p est de degré p, il existe u polyôme Q p de p lettres, idépedat de q, tel que σ p Q p (θ 1,,θ p, et si l o remplace toutes les lettres par 0, o obtiet 0 Q p (0,,0
8 DJ 8 Par exemple σ 1 θ 1, σ 1 (θ 1 θ, σ (θ3 1 3θ 1 θ + θ 3 III Sommes des puissaces des premiers etiers Si k 1, posos ν k j k j0 O posera égalemet ν 0 Propositio 3 Pour tout k 0, il existe u polyôme R k de degré k + 1, ul e 0, tel que ν k R k( La propriété se motre par récurrece sur k O a ν 0 R 0(, où R 0 (X X Supposos la propriété vraie jusqu à l ordre k 1, et calculos de deux maières la somme U [(j + 1 k+1 j k+1 ] j0 Tout d abord, par le procédé télescopique U k+1
9 DJ 9 D autre part e développat par la formule du biôme, U ( k+1 j0 ( k + 1 j i j k+1 i i0 j0 i0 k ( k + 1 j i k ( k + 1 i0 i i j i j0 k ( k + 1 ν i i i0 k 1 (k + 1ν k + ( k + 1 ν i i i0 O e déduit ν k 1 k + 1 ( k 1 ( k + 1 k+1 ν i i i0 Doc, e utilisat l hypothèse de récurrece, ν k 1 k + 1 ( k 1 ( k + 1 k+1 i i0 R i ( Si l o pose R k (X 1 k + 1 ( k 1 ( k + 1 X k+1 i i0 R i (X, o obtiet u polyôme de degré k + 1 tel que ν k R k ( De plus R k (0 1 k + 1 ( k 1 ( k + 1 i i0 R i (0 0 O retrouve facilemet les premiers polyômes R 1 (X 1 (X R 0 (X X(X 1,
10 DJ 10 puis R (X 1 3 (X3 R 0 (X 3R 1 (X 1 ( X 3 X(X 1 X X(X 1((X X(X 1(X 1 6 O a aussi R 3 (X 1 4 (X4 R 0 (X 4R 1 (X 6R (X 1 4 (X4 X X(X 1 X(X 1(X X(X 1(X + X + 1 (X X(X 1(X X ( X(X 1 IV Somme des produits de k ombres choisis das {1,,, 1} Soit et 1 k 1 Notos µ k la somme de tous les produits de k ombres disticts ordoés choisis das {1,,, 1} E particulier µ ( 1! Mais aussi µ ( 1 ( 1 Calculos µ O a µ 1 j j1 j j1,
11 DJ 11 et doc ( (( µ 1 1 ( 1( ( ( 1 ( ( 1 (3 3 (4 ( 1 (3 7 + ( 1 ( (3 1 O peut calculer µ 3 par ue techique aalogue Lorsque l o développe j j1 {1,,, 1} Ils sot de trois types : 3 o obtiet tous les produits ijk de trois ombres quelcoques de les termes de la forme i 3 les termes de la forme ij avec i j O les obtiet chacu 3 fois puisque l o obtiet u tel terme e preat i das u des 3 facteurs et j das les deux autres les termes de la forme ijk, où i, j et k sot deux à deux disticts O les obtiet chacu 3! fois car c est le ombre de permutatios de 3 objets Doc j j1 3 j ij + 6µ 3, j1 i j soit µ j j1 3 j 3 3 ij j1 i j Par ailleurs j j j1 j1 j1 j 3 + ij i j O obtiet doc
12 DJ 1 µ 3 1 j 6 j1 3 + j 3 3 j1 ( i1 i j1 j ( (( ( ( 1 ( ( ( 1 ( ( 1 + ( ( 1 ( + 4 ( ( 1 ( ( 1 ( ( 3 ( 1( 1 6 O remarque que, si 1 k, la somme µ k peut se séparer e deux parties : les termes coteat 1, et ceux qui e le cotiee pas Das le premier cas o fait la somme de produits de k facteurs pris das {1,, } : c est doc µ k Das le secod cas 1 est e facteur das ue somme de produits de k 1 facteurs pris das {1,, } : c est doc ( 1µ k 1 Doc o a la relatio ( µ k µk Das le cas où k 1, o a + ( 1µk 1 µ 1 µ1 + ( 1, et la relatio précédete reste vraie à coditio de poser µ 0 1 Das le cas où k 1, o a µ ( 1µ ( 1!, et la relatio ( reste vraie à coditio de poser µ 0 O posera doc si 1, µ 0 et µ 0 1 La relatio permet de calculer les coefficiets das u triagle aalogue à celui de Pascal k 0 k 1 k k 3 k 4 k 5 k
13 DJ 13 O costate que, pour k 1, ou 3, o a µ k P k(, où P est le polyôme du paragraphe I Nous allos motrer que cette propriété est vraie quel que soit O a vu das II que l o avait σ p Q p (θ 1,,θ p Preos q 1 et remplaços l esemble de lettres X 1,,X q par 1,, 1, o obtiet µ p Q p (ν 1,,ν p, et doc, d après III, Si l o pose cela s écrit µ p Q p (R 1 (,,R p ( H p (X Q p (R 1 (X,,R p (X, µ p H p( La relatio ( deviet alors H k ( H k ( 1 + ( 1H k 1 ( 1, et il e résulte que le polyôme H k (X (H k (X 1+(X 1H k 1 (X 1 s aule pour tout etier k + C est doc le polyôme 0, et l o a H k (X H k (X 1 + (X 1H k 1 (X 1 O costate alors que la suite de polyômes (H 0 vérifie la même relatio que la suite (P de la partie I De plus, si 1, H (0 Q p (R 1 (0,,R p (0 Q p (0,,0 0, et efi H 1 P 1 Alors, par uicité, pour tout 1, o a H P O peut doer ue autre démostratio du fait que µ k est de la forme H k ( E effet, de la relatio ( o tire immédiatemet µ k jµ j k 1 jk
14 DJ 14 Doc si o suppose la propriété vraie à l ordre k 1, o aura µ k jh k 1 (j jk Si l o pose o aura H k 1 (X δk 1 i Xi, i0 µ k j jk i0 δ i k 1 ji δk 1 i j i+1 i0 jk i0 δk 1 i (νi+1 ν i+1 k δk 1 i (R i+1( R i+1 (k i0 Doc e posat o a H k (X Comme o a vu que deg P k k, si o a doc Mais P k (0 R i (0 0 Alors P k (X δk 1 i (R i+1(x R i+1 (k, i0 P k 1 (X k i0 µ k H k ( k i0 δ i k 1 Xi, δ i k 1 (R i+1(x R i+1 (k, k P k (0 δk 1 i R i+1(k 0, i0 et fialemet, si k, P k (X k i1 δ i k 1 R i+1(x,
15 DJ 15 ce qui doe u autre moye de calculer de proche e proche les polyômes P k Par exemple P (X δ1 1 R (X + δ1 R 3(X 1 X(X 1(X ( X(X 1 6 X(X 1 ( (X 1 + 3X(X 1 X(X 1 (3X 7X + X(X 1(X (3X 1 V Les ombres de Stirlig de première espèce Ce sot les coefficiets das la base aturelle des polyômes γ Si 1, o a et, e développat le produit γ (X X(X 1 (X + 1, γ (X X µ 1 X + µ X + + ( 1 µ X Notos S p le coefficiet de X p das le polyôme γ Si 0 p o a doc, S p ( 1 p µ p O pourra compléter e posat S 0 0 µ O a doc de maière symétrique µ p ( 1 p S p La relatio liat les ombres de Stirlig se déduit alors de ( O obtiet ( 1 k S k ( 1 k S k d où e multipliat par ( 1 k et e posat p k, S p Sp 1 ( 1Sp + ( 1( 1 k 1 µ k, O a la table des premiers ombres de Stirlig de première espèce :
16 DJ 16 p 0 p 1 p p 3 p 4 p 5 p O a égalemet S 1 ( 1 ( 1!, S ( 1, S ( 1( (3 1, S 3 ( 1 ( ( 3 48 VI Les ombres de Stirlig de deuxième espèce (Voir BF A partir de la relatio de récurrece σ k kσk + σk 1, vérifiée par les ombres de Stirlig de deuxième espèce, o obtiet O e déduit σ k ( kσ k + σ k 1 σ k jk+1 (j kσ j k j 1, et doc par récurrece, il existe ue famille de polyôme T telle que Ces polyômes vérifiet alors la relatio σ k T k ( T (X + 1 T (X (X + 1 T (X, O a et si l o écrit T 0 (X 1, T 1 (X T (X X(X 1 ξ k Γ k(x, k0,
17 DJ 17 o a (X + 1 P (X XP (X + (1 P (X ce qui coduit à la relatio ξ k+1 k0 (kξ k 1 kξ k 1 + (1 + k ξk + (1 + k ξk Γ k (X, O costate, comme pour les polyômes P, que les polyômes T sot de degré et que les ombres 0,1,, sot racies Voici la table des ξ k : k k 3 k 4 k 5 k 6 k 7 k 8 k 9 k E particulier, o motre par récurrece que ξ +1 Voici les premiers polyômes : 1 et ξ 1 3 ( 1 (!! X(X 1 T 1 (X X(X 1(X (3x 5 T (X T 3 (X X(X 1(X (X 3 48 T 4 (X X(X 1(X (X 3(X 4(15X3 150X + 485X T 5 (X X(X 1(X (X 3(X 4 (X 5 (3X 3X E fait les polyômes T sot reliés très simplemet aux polyômes P par la relatio T (X P ( X E effet de la relatio P (X + 1 P (X XP (X,
18 DJ 18 o tire e remplaçat X par X 1, doc et si l o pose o trouve P ( X P ( X 1 ( X 1P ( X 1, P ( X 1 P ( X (X + 1 P ( X 1, U (X P ( X, U (X + 1 U (X (X + 1 U (X Doc U et T vérifiet la même relatio Comme de plus U 1 T 1, et que U (0 P ( T (0 0, o obtiet par uicité la même famille de polyômes Si l o écrit P ( X T (X +, o costate que les valeurs du polyôme P pour les etiers égatifs doe les ombres de Stirlig de deuxième espèce, alors que les valeurs pour les etiers positifs doet, au sige près, les ombres de Stirlig de première espèce E particulier O a aussi et E particulier et Doc σ p T p ( P p (p et S p S k S ( k σ ( 1, σ ( 1( (3 5, σ 3 ( 1( ( 3 48 σ k σ ( k ( 1 p P p ( T k ( P k ( k, ( 1 k P k ( ( 1 k T k ( k S 1 ( 1 T ( 1 ( 1 ( 1!, σ 1 P ( 1 1 T ( 1! et P ( 1 1
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