Physique Statistique

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1 Phyique Statitique Chapitre 1 : Etat Quantique Stationnaire d un Sytème de Particule 1 Etat tationnaire d un ytème à particule En mécanique quantique, chaque particule et caractériée par a fonction d onde ( r, t) et d énergie olution de l équation de Schrödinger : H( r,t) = i ( r,t) t (1) A l équilibre, quand le nombre de particule et l énergie E ne varient pa avec le temp, cette équation devient : H( r) = E( r) () Ca d une particule dan une boîte Dan ce ca, l équation () devient : & m +V(x, y, z) () = E) (3) ' On uppoe V = 0 dan la boîte, et V = ur le bord. z V(z) L équation (3) écrit donc : m x + y + & ( = E) (4) z ' V(x) O V(y) y Si la boîte et cubique de côté «L», la olution era : x E = & m L. n x + n ( y + n z ) avec n x, n y, n z entier >0 (5) Chaque fonction d onde décrit un état quantique caractérié par une énergie donnée. Pour une particule, la fonction d onde et ouvent appelée «orbitale» Pour un ytème à particule, il peut y avoir pluieur fonction d onde (état quantique) correpondant à une eule énergie. On dit que ce niveau et dégénéré. Le nombre d état ayant la même énergie et appelé : la multiplicité d état ou le nombre de dégénérecence. 1

2 En phyique tatitique, il et important de dénombrer le nombre d état, c et ce qui va permettre de déterminer le propriété thermodynamique du ytème phyique. Exemple imple de état quantique et de multiplicité 14 1 (50) (3) (18) 7 6 (10) () 10 8 Energie (ev) (8) 5 4 (4) (6) () (10) (6) 5 4 () (1) (6) () 0 () 0 Hydrogène Lithium Bore (6) (4) 511 : 333 (6) 431 (3) (3) 4 33 (6) 41 (3) 331 (3) 411 (3) 3 (6) 31 (1) (3) 311 (3) 1 (3) 11 (1) Particule dan une boîte cubique

3 3 Sytème modèle à deux état quantique Pour implifier l étude, on uppoe que le particule n ont que deux état poible. On dit que c et un ytème binaire. Par exemple une chaîne de petit aimant (pin) itué le long d une ligne éparée d une ditance a et numéroté de 1 à =10 Si aucun champ magnétique n et appliqué, le aimant poèdent chacun un champ magnétique m orienté de façon aléatoire ver le haut ou le ba. Par exemple, +m i le champ et ver le haut, et -m il et ver le ba. Autre exemple de ytème binaire : Un parking avec 10 place occupée ou vide. Un lancer de 10 pièce en regardant le réultat pile ou face. Quetion : Combien y a-t-il de façon de ranger ce petit aimant indépendant et dicernable? C et le nombre de configuration. Répone : Pour le premier aimant :+/- m Pour le deuxième aimant :+/- m.. Il y a donc configuration poible. Chaque façon repréente une configuration poible pour le ytème, c et à dire un état quantique poible. Si =, le état quantique eront : =4 Si =3, le état quantique eront : 3 =8 3

4 4 Moment magnétique total du ytème Soit M = m i, le moment magnétique total de aimant de moment magnétique m i. i=1 Le valeur poible de M eront : m, (-)m, (-4)m, (-6)m, -m Il y a donc +1 valeur poible pour état quantique. Dan le ca général >>1, alor >>+1. Il y a beaucoup plu d état quantique que de valeur de moment magnétique M. Certaine valeur de moment magnétique M ont donc dégénérée. Exemple : = +m 0 0 -m =3 dégénérecence +m 1 0 -m 1 +3m +m +m -m -m +m -m -3m dégénérecence +3m 1 +m 3 -m 3-3m 1 Ca général Dan le ca général, M=m, et M= - m ont le eul état ingulier. Il y a façon d avoir un eul aimant ver le ba et tou le autre ver le haut, et réciproquement. Dan ce ca, le champ magnétique era : M=(-1)m + (-m)=(-)m 4

5 C et ce que l on vérifie : = M=0 état =3 M=1 3 état 5 Repréentation ymbolique On peut retrouver le réultat précédent en faiant de multiplication ymbolique : Ca = On retrouve le 4 ca précédent (+). (+) =+++ 6 Enumération de état et leur multiplicité (dégénérecence) On appelle ce petit aimant à deux état de ytème de moment m. On appelle + le nombre de ytème On appelle - le nombre de ytème Donc : = = et le nombre total de ytème et l excè de pin Quand on invere l orientation d un pin, l excè varie de deux unité. Donc et toujour un entier pair. et une variable aléatoire qui varie de à +. On peut écrire : M = m i = + m m = ( + ). m i=1 M = m M = m avec poitif ou négatif m = m Le valeur de varient de à + (entier pair). Par commodité, comme on traite de grand nombre, on prendra entier trè grand et pair. On aura alor : + = + et = Exemple : =, alor =4 configuration poible =- une eule configuration =0 ou deux configuration =+ une eule configuration 5

6 Si on applique un champ magnétique externe au ytème on lui communique de l énergie dont la valeur et : E = M. B B et l induction magnétique appliquée E = mb Dan l exemple à deux pin, on trouve troi niveaux d énergie E S dépendant de troi valeur de (-, 0, +). E - et E + ne ont pa dégénéré E 0 et doublement dégénéré (multiplicité double) + + On peut écrire : Pour = état état 1 état Pour = Pour n importe quel : + On trouve ce développement par le développement du binôme : ( x + y) = x + x 1 y + ( 1 ) x y + ( 1 ). 3. ( x + y) = x t y t ( t)..t t=0 ( ) x 3 y y Si t = = avec t=0, = et avec t=, =- ( x + y) = + ( x + = '. ' & & + y 6

7 ( x + y) = + x + y. + = La loi binomiale pour le pin écrit : (+) = = Le coefficient du terme + donne le nombre de configuration ayant + pin ver le haut et - pin ver le ba d excè de pin. C et donc la multiplicité de cet état caractérié par le nombre. On note g(, ) = = + ' &. & +. ' C et le nombre de configuration poible (configuration) pour produire avec pin le moment magnétique total M=m. Le nombre total de configuration et : ( ) = g, Pour un ytème de particule ayant chacune état propre, le nombre d état poible (configuration poible) et. Si =10, 10 =104 =0, g(10, 0) = = 5 =±, g(10,±) = = 10 =±4, g(10,±4) = =10 =±6, g(10,±6) = = 45 =±8, g(10,±8) = =10 =±10, g(10,±10) = =1 + = 7

8 Excè de pin Quelle et la probabilité d avoir une configuration (un état) préentant le moment magnétique M=m : ( ) = g (, ) P m 7 Largeur de la fonction multiplicité d état g(, ) Par expérience, un ytème phyique en équilibre thermique (à température contante) conerve de propriété bien définie proche de valeur moyenne tationnaire, c et à dire à probabilité maximum. La fonction g(, ) doit être trè raide comme un pic, comme on le voit ci-deu avec le chéma pour =10. En général et trè grand, et on cherche donc une approximation analytique de g(, ). 8

9 7.1 Approximation de g, Comme et grand, g, logarithme épérien : ln g, Or nou avon vu que : ( ) pour grand ( ) et grand aui. On préfère donc travailler avec le ( ). donc : g(, ) = + &. ' ln g(, ) = ln( ) ln + ln g, ou = & ( ) = ln( ) ln + +. ' ' ln ' & & ( ) ln( ) Formule de Sterling : Pour grand, il exite l approximation : ( ) 1/ exp + 1 = étant grand, on peut négliger Donc 1 1 devant = ' & ( ) 1/ exp () En prenant le logarithme de deux membre, on obtient : ln( ) = 1 ln( ) + 1 ln ( ) + ln( ) Ou encore : ln( ) = 1 ln ( ) &ln ( ) ' Calcul de ln( g(, ) ) de la même façon : ln( ) = 1 ln ( ) ( ) = 1 ln + ln ln( ) = 1 ln ( ) ( ) &.ln ( ) ' (6) &.ln + '.ln & ( ) ' + (7) ( ) (8) 9

10 En remplaçant par dan (6), on obtient : ( ) 1 ln + ln + ( + + ).ln ln( ) = 1 ln ln ( ) = 1 ln & ' &.ln Si on fait l opération : (9)-(8)-(7), achant que : On obtient : ln g (, ) = 1 ln & &ln ( ) ' &ln( ) ' + + ' ln g(, ) = ln( ) ln( + ) ln( ) ( ) ' 1 ln ( ) + ( ) ' + ' ' (9) ( ) ' &ln + ( ) + + ' 1 ln g(, ) = 1 ln( ) 1 ln( ) & '.ln '.ln & + ln g(, ) = 1 ln 1 & ' '.ln + & + 1 '.ln & Or + = + donc + = 1 1+ & et ln + = ln + ln 1+ ' & or i on fait un développement limité : ln( 1+ ) = on obtient : ln + = ln + ( ) ' + 1 ' ln de même : ln = ln Donc : &' &. 'ln + ' &' + 1 ' &. 'ln ' ' & En regroupant le terme : ln( g(, ) ) = 1 ln 1 &' &. 'ln + ' &' + 1 ' &. 'ln ' ' & ln( g(, ) ) = 1 ln 1 &+ ( +1). ln + &+ + 1 ' ' ' 1 + & ( ) = 1 ln 1 ln g(, ) ( ) = 1 ln 1 ln g(, ) or = &+ ln + + ln + ' &ln ' ( )

11 Finalement : ( ) = 1 ln ln g(, ) &+ ln ' Si =0, ln g(, 0) ( ) = 1 ln g(, 0) = &+ ln ( )e. g(, ) = g, 0 g(,) que l on note aui g (), et appelée ditribution de Gau. g(,) g(,0) g(,0)/e -() 1/ 0 +() 1/ 7. ombre total de configuration poible Le nombre total de configuration et l intégrale de moin l infini à plu l infini du nombre de configuration. + g(, ) d = C et l aire hachurée ou la courbe ou comparon le calcul exact avec =50, à la valeur approchée obtenue avec la relation de grand nombre : g(, 0) = 11

12 Valeur exacte : g(, 0) =. = 50 =1, x5 Valeur approchée : g(, 0) = 50 =1, ,14x50 On voit que pour =50 la valeur approchée et quaiment identique à la valeur exacte. Largeur de la ditribution de Gau ( ) On calcule la largeur de la ditribution de Gau quand la hauteur vaut g, 0 ( ) ( ) = g, 0 Quand =, c et à dire =, alor g, e La largeur de la fonction de ditribution Gauienne era : = Il et intéreant de comparer la largeur à la variation de qui va de à + = = La largeur et d autant plu faible que et grand. e 8 Rappel de probabilité Pour continuer avec la phyique tatitique, nou avon beoin de certain outil du calcul de probabilité. Ca du lancer d une pièce de monnaie Soit η le nombre de lancer d une pièce de monnaie, il y aura η meure. Soit η F le nombre de meure donnant face. Soit η P le nombre de meure donnant pile. On aura donc : η F +η P = η La probabilité de trouver face era : P F = F La probabilité de trouver pile era : P P = P Donc : P P +P F =1 1

13 8.1 Valeur moyenne d enemble Au lieu d envoyer η pièce de monnaie en même temp, on peut jeter η pièce de monnaie en même temp. On peut donc dire que : Un ytème de η meure et équivalent à η ytème de une meure Exemple :Valeur moyenne de note d une clae de élève Soit la note de chaque élève, elle varie de 0 à 0. et le nombre d élève ayant obtenu la note. P = et la probabilité d avoir la note dan cette clae. La note moyenne et donc : = = P. = 0 =0. Théorème ergodique (ou d ergodicité) La valeur moyenne d enemble et uppoée égale à la valeur moyenne de la fonction f(t) qui prendra de valeur différente f(t) à de temp «t» différent au cour d une période «T». f ( t) f = 1 T T f ( t) dt En pratique cela ignifie qu un ytème qui peut atteindre un certain nombre d état, i on lui en laie le temp, paera par tou ce état à un moment ou à un autre. Evidemment i le nombre de particule et trè élevé, le chance que le ytème pae par certain état et trè faible. Par exemple dan une pièce où e trouve un trè grand nombre de molécule de gaz, d aprè le théorème d ergodicité, à un moment donné, toute le molécule pourraient e retrouver dan un coin de la pièce, laiant le rete de la pièce vide. Ceci et vrai, mai il faudrait attendre de temp atronomique pour que cela ait une chance de e produire Conéquence Soient f() et g() deux obervable dépendant de la variable aléatoire : i) f + g = P [ f ()+ g() ] f + g = P f ()+ P g() f + g = f + g 13

14 ii) Si C et une contante : Cf = P Cf () Cf = C P f () Cf = C f iii) Soient f() et g(t) deux obervable dépendant de et t, variable aléatoire indépendante : P t = P P t f ().g(t) = P t f ().g(t) t f ().g(t) = P P t f ().g(t) t f ().g(t) = P f () P t g(t) f.g = f.g t 8.3 Diperion ou variance Soit la valeur d une variable aléatoire. Soit a valeur moyenne. L écart abolu ou la fluctuation et donnée par : La valeur moyenne de écart = et : = = = 0 la valeur moyenne de écart étant nulle, on définit la variance ou l écart quadratique moyen de : () = ( ) = P () 0 ( ) On meure donc mieux avec la variance le fluctuation de la valeur de. () = ( ) = + ( ) = + ( ) () = ( ) 14

15 La dimenion de l écart quadratique moyen et celui du carré de 8.4 Déviation tandard ou écart type = () et appelée déviation tandard ou écart type Il a la dimenion de. Remarque à retenir : Dan le ca d un ytème de particule identique dépendant de la variable, on a : Diperion ou variance ou écart quadratique moyen : () La déviation tandard ou écart type = () L écart type fractionnel relatif et : = Valeur moyenne de la ditribution de Gau Revenon à la ditribution de Gau de la fonction multiplicité g () du ytème modèle à état précédent. g(, ) = g(, 0)exp 1/ g(, 0) = & Valeur moyenne g () g (0) = 0 = = = = 0 Ce qui correpond au ca général. 0 Diperion () = ( ) = ( 0) = 0 Calcul de cette diperion : La définition d une valeur moyenne et : = g (, ) f f ( ) = P ( ) P donc : = g, Dan le ca de la ditribution de Gau : ( ) 15

16 Pour grand : g(, 0)exp + = d On poe : = X = X = X d = dx ( ) + g, 0 Donc = exp X.X dx = g, 0 + ( ) ( ) 3/ + X Or, X exp (X )dx = 4 ( ) = Et g, 0 & exp (X )dx 1/ Donc = ( ) 3/ 4 = La variance (diperion) et donc : () = ( ) dan le ca de la Gauienne : = 0 donc () = = L écart type era alor : = () = L écart type fractionnel era : = =

17 10 Energie du ytème binaire (modèle) Soient pin à l équilibre thermique an champ magnétique externe. Chaque pin a l équiprobabilité de e trouver ou En moyenne : + = et = et = 0 Si on applique un champ magnétique B, l énergie era u = m B avec m comme moment magnétique d un aimant L énergie totale era : U = u i = B 1 i m i U = B( + m m) avec l excè de pin = + on obtient : U = B m En poant M = m on obtient : U = M B Chaque changement de pin fait varier l énergie de mb 17