Mes outils de numération

Transcription

1 Mes outils de numération Les nombres entiers 2 Les nombres jusqu'à Comparer les nombres 4 Orthographier les nombres () Doubles et moitiés 6 Décomposer un nombre 7 Encadrer un nombre 8 Orthographier les nombres (2) 9 Chiffre ou nombre? 0 Les fractions () Les nombres jusqu'à Placer un nombre sur une droite graduée 3 Les fractions (2) 4 Les fractions décimales Encadrer une fraction par deux entiers 6 Ajouter deux fractions de même dénominateur 7 Les nombres décimaux 8 Décomposer une fraction 9 Comparer les nombres décimaux 20 Encadrer un nombre décimal, le placer sur une droite graduée 2 Décomposer un nombre décimal, en donner une valeur approchée

2 Numération Les nombres entiers Numération 2 Les nombres jusqu'à Les nombres servent à compter les objets. Dans la numération décimale, on regroupe toujours les objets par 0 objet c'est unité On utilise le tableau suivant : centaines de mille Classe des milliers dizaines de mille unités de mille Classe des unités simples centaines dizaines unités 0 0 objets c'est dizaine c d u c d u dizaines (00 objets) c'est centaine Dans chaque classe, il y a 3 colonnes : - les unités (u) - les dizaines (d) - les centaines (c) centaines (00 dizaines) c'est millier ou unité de mille Dans chaque colonne, on place un seul chiffre. Lorsque l'on écrit, sans tableau, un nombre de plus de 3 chiffres, on groupe les chiffres par 3 à partir de la droite en laissant un espace entre deux classes. Exemples : pas d'espace espace espace Les nombres sont ainsi plus faciles à lire.

3 Numération 3 Comparer les nombres Numération 4 Orthographier les nombres () On utilise les signes de comparaison : < signifie «est plus petit que» ou «est inférieur à» > signifie «est plus grand que» ou «est supérieur à» Si deux nombres entiers n'ont pas le même nombre de chiffres, le nombre le plus grand est celui qui a le plus de chiffres. On veut ranger 624 et est écrit avec 3 chiffres, 68 est écrit avec 2 chiffres. «624 est plus grand que 68» ou bien «624 est supérieur à 68». En langage mathématique, on écrit : 624 > 68 Évidemment, on peut aussi dire que : «68 est plus petit que 624» ou bien «68 est inférieur à 624». En langage mathématique, on écrit : 68 < 624 Si deux nombres entiers ont le même nombre de chiffres, on compare les chiffres un à un de gauche à droite. Dès que l'on rencontre un chiffre différent, on peut trouver quel est le nombre le plus grand. On veut comparer 4 62 et Le er chiffre à gauche est 4 pour les deux nombres. Le 2e chiffre à gauche est pour les deux nombres. Le 3e chiffre à gauche (dizaines) est 6 pour 4 62 et 3 pour est supérieur à 3, donc «4 62 est supérieur à 4 39». On écrit : 4 62 > 4 39 ou bien 4 39 < 462. Pour orthographier correctement tous les nombres, il suffit de connaître 26 mots : zéro huit seize million un neuf vingt milliard deux dix trente et trois onze quarante quatre douze cinquante cinq treize soixante six quatorze cent sept quinze mille Une fois qu'on a comparé les nombres, on peut les ranger du plus petit au plus grand (par ordre croissant) ou du plus grand au plus petit (par ordre décroissant).

4 Numération Doubles et moitiés Numération 6 Décomposer un nombre Le double d'un nombre est obtenu en multipliant ce nombre par 2. Décomposer un nombre, c'est dire de quoi il est composé : Exemple : Pour connaître le double de 24, je calcule 24 X 2 = 48. Exemple : Décomposer Le double de 24 est La moitié d'un nombre est obtenu en séparant la quantité en deux parties égales Exemple : Je cherche la moitié de objets 9 objets La moitié de 8 est 9. Remarque : je ne peux chercher la moitié que pour un nombre pair. En maths, on écrit : = (2 X 000) + (4 X 00) + (3 X 0) + (6X) Les nombres 00, 000,0 000, , sont appelés des puissances de 0 parce que pour les obtenir on a multiplié 0 par luimême : 00 = 0 x = 0 x 0 x = 0 x 0 x 0 x c est donc 0 multiplié 3 fois par lui-même, on écrira alors : 0 3 On lit 0 puissance 3

5 Numération 7 Encadrer un nombre Numération 8 Orthographier les nombres (2) Encadrer un nombre, c'est le placer entre deux nombres, l'un plus petit et l'autre plus grand. Par convention, on place le plus petit à gauche et le plus grand à droite et on utilise le signe de comparaison <. Exemple : Pour encadrer 3 46, je peux écrire : 3 42 < 3 46 < Encadrer un nombre par deux dizaines consécutives : Dans ce cas, les nombres à placer avant et après doivent être des multiples de 0, c'est-à-dire des nombres se terminant par 0. Exemple : Je dois encadrer Je cherche la dizaine qui précède ce nombre et celle qui le suit. Je trouve : 3 40 < 3 46 < Encadrer un nombre par deux centaines consécutives : Dans ce cas, les nombres à placer avant et après doivent être des multiples de 00, c'est-à-dire des nombres se terminant par 00. Exemple : Je dois encadrer Je cherche la centaine qui précède ce nombre et celle qui le suit Je trouve : < 3 46 < 3 00 Quand faut-il mettre un S? on doit mettre un S à la fin du mot vingt lorsque le nombre se termine par 80 (mais pas pour 8, 82, 83, 90,...) exemple : 280 : deux cent quatre-vingts 787 : sept cent quatre-vingt -sept on doit mettre un S à la fin du mot cent lorsque le nombre se termine par 200, 300, 400,..., ou 900. exemple : 700 : mille sept cents 2 80 : deux mille huit cent un : deux cent mille (le nombre ne se termine pas par 200). on doit mettre un S à la fin du mot million (ou milliard) lorsque le nombre est composé de plusieurs millions (ou milliards). exemple : : deux millions : un milliard : sept milliards : huit milliards six cent mille Quand faut-il mettre un trait d'union? On met un trait d'union pour relier les mots correspondants à une quantité inférieure à 00 dans chaque classe : exemple : 64 : cinq cent soixante-quatre : sept cent trente-deux mille trente-huit

6 Numération 9 Chiffre ou nombre? Numération 0 Les fractions () Les nombres servent à compter (le nombre d'élèves dans la classe par exemple) ou à ordonner (pour dire à quelle place je suis arrivé à la course). Il existe une infinité de nombres. Les chiffres sont des symboles qui nous servent à écrire les nombres. Il n'existe que 0 chiffres : et 9 Exemples : Dans ma ville, il y a habitants est un nombre. Pour écrire ce nombre, j'utilise chiffres billets d'entrée ont été vendus est un nombre. Pour écrire ce nombre, j'utilise 4 chiffres. J'ai 3 chats. 3 est un nombre. Pour écrire ce nombre, j'utilise chiffre. Une fraction est un nombre qui représente des parties d'entiers (par exemple des parts de gâteaux). Dans une fraction, il y a 2 nombres : un nombre en bas pour dire en combien de parts on partage l'unité un nombre en haut pour dire combien de parts on prend. On a partagé l'unité en 8 parts égales. On a colorié 3 parts. La partie coloriée s'écrit : 3 8 huitièmes». On le lit «3 Le nombre du haut s'appelle NUMÉRATEUR et celui du haut DÉNOMINATEUR. Lorsque je partage l'unité en deux parties égales, on parle de demi. 2 se lit «un demi» et signifie que j'ai partagé l'unité en deux parties égales et que j'en ai pris une. Lorsque je partage l'unité en trois parties égales, on parle de tiers. 2 3 se lit «deux tiers» et signifie que j'ai partagé l'unité en trois parties égales et que j'en ai pris deux. 2 4 Lorsque je partage l'unité en quatre parties égales, on parle de quart. se lit «deux quarts» et signifie que j'ai partagé l'unité en quatre parties égales et que j'en ai pris deux.

7 Numération Les nombres jusqu'à Numération 2 Placer un nombre sur une droite graduée Classe de millions Classe des mille Classe des unités simples Centaines de million Dizaines de million Unités de million Centaines de mille Dizaines de mille Unités de mille c d u c d u c d u Centaines Dizaines Unités Graduer une ligne droite avec les nombres entiers, c'est placer régulièrement les nombres entiers sur cette ligne en les rangeant du plus petit au plus grand. On peut graduer une ligne droite en unités On reporte régulièrement toujours le même segment et on compte de en. On dit que le pas de la graduation est. On peut graduer une ligne droite en dizaines. Pour les grosses quantités, on utilise la classe des millions : une unité de million vaut Il ne faut pas oublier le laisser un espace entre les classes pour lire le nombre correctement : classe classe classe des des des millions milliers unités simples Je lis donc : «23 millions 806 mille 43» Dans certains grands nombres, je n'entends pas le mot «mille». Cela signifie qu'il n'y a que des zéros dans la classe des milliers : Je lis : «7 millions 92» On reporte régulièrement toujours le même segment et on compte de 0 en 0. Pour placer exactement, 2, 3,..., il faut faire une sous-graduation entre les dizaines. On peut aussi faire un graduation avec le pas que l'on veut : 00, 000, ou même. Exemple : Graduation avec un pas de Pour placer un nombre sur une droite graduée, il suffit de l'encadrer par deux nombres de cette droite.

8 Numération 3 Les fractions (2) Numération 4 Les fractions décimales Les fractions peuvent servir à mesurer un segment. Exemple : Le segment [AB] a été coupé en trois parties égales. Le point C est placé à la première graduation. On dit que AC = de AB 3 Sur une droite graduée, on peut aussi coder une longueur : Exemple : Je cherche à quelle fraction correspond la graduation indiquée par une flèche. ère étape : je regarde en combien de parties est séparée mon unité. Ici, entre 0 et, il y a trois parties (le dénominateur sera donc 3) 2ème étape : Je compte le nombre de parts entre 0 et la flèche. Ici j'en compte Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est 0, 00, 000, etc. Exemples : , 00, se lit «un dixième» sont des fractions décimales. se lit «quatorze dixièmes». se lit «deux cent cinquante-six millièmes». Ainsi, si une surface est divisée en 0 parties égales, on pourra coder la surface coloriée en dixièmes. Exemple : La partie coloriée correspond à Ainsi, si une surface est divisée en 00 parties égales, on pourra coder la surface coloriée en centièmes. Exemple : La partie coloriée 32 correspond à

9 Numération Encadrer une fraction par deux entiers Certaines quantités représentées par des fractions correspondent à une valeur entre deux entiers. ère méthode pour encadrer une fraction : par représentation Exemple : J'ai acheté des cakes. Je coupe chaque cake en 0 parts égales. Chaque élève mange une part, soit de cake. Dans la classe, il y a 0 27 élèves. Voici donc la représentation de ce qui est mangé : On voit bien dans cet exemple qu'il faut plus de 2 cakes entiers, mais moins de 3 cakes entiers. En mathématiques, on écrit : 27 0 Numération 6 Pour additionner deux fractions, il faut vérifier qu'elles ont le même dénominateur. Exemple : Je ne peux pas calculer 4 et 7 9. Pour additionner deux fractions, il suffit Exemple : Léa a mangé Je calcule =. En tout, ils ont donc mangé Additionner deux fractions de même dénominateur d'additionner les numérateurs. 2 7 de la pizza et Jordan en a mangé de la pizza. 2 < 27 0 < 3 En représentant les fractions, je peux vérifier ce résultat : 2ème méthode pour encadrer une fraction : avec les tables 2 Exemple : Je dois encadrer la fraction par deux entiers. Je 4 cherche à encadrer 2 dans la table de 4. Je trouve : Donc < 4 X < 2 < 4 X < 6

10 Numération 7 Les nombres décimaux Un nombre décimal est un nombre qui représente une quantité qui n'est pas entière. Par exemple, la taille de Noémie est,3 mètre. Cela signifie que sa taille ne fait pas un nombre entier de mètres. Un nombre décimal peut s'écrire sous la forme d'une fraction décimale (voir leçon Numération 4) mais plus souvent à l'aide d'un nombre à virgule. Fraction Signification : 0 l'unité est divisée en 0 : 00 l'unité est divisée en 00 : 000 l'unité est divisée en 000 Écriture à virgule Lecture 0, un dixième 0,0 un centième 0,00 un millième Dans le tableau de numération, il faut donc ajouter des colonnes à droite des unités : Partie entière millions milliers Unités simples C D U C D U C D U virgule Partie décimale dixièmes centièmes, 3 millièmes Numération 8 Décomposer une fraction Pour avoir une idée de l'ordre de grandeur d'une quantité représentée par une fraction il faut la décomposer, c'est-à-dire chercher la partie entière (le nombre d'unités) et la partie fractionnée (inférieure à ). Pour cela, je vais chercher le nombre entier le plus proche de la fraction. 6 Exemple : Pour décomposer, je cherche dans la table de 7 ce 7 qui se rapproche le plus de 6. Je trouve 7 X 8 = 6. Je décompose alors 6 7 = 6 7 = = Exemple 2 : Pour décomposer, je cherche dans la table de ce qui se rapproche le plus de 34. Je trouve X 6 = 30. Je décompose alors 34 = 30 4 = = Dans le tableau, j'ai placé unité, dixièmes et 3 centièmes soit,3., 3 partie entière partie décimale

11 Numération 9 Comparer les nombres décimaux Numération 20 Encadrer un nombre décimal le placer sur une droite graduée Méthode pour comparer deux nombres décimaux : Les deux nombres ont-ils la même partie entière? oui Les deux nombres ont-ils le même chiffre des dixièmes? oui Les deux nombres ont-ils le même chiffre des centièmes? oui non non non Alors je compare les parties entières. Ex : 23, > 67,8 Alors je compare les dixièmes. Ex : 6,69 < 6, 7 Alors je compare les centièmes. Ex : 78, 789 > 78, 704 Je continue avec les millièmes, puis les dix-millièmes si nécessaire... Pour encadrer un nombre décimal par deux entiers consécutifs, il suffit de regarder sa partie entière : elle nous donne le nombre entier qui vient juste avant. Il faut ensuite rajouter à ce nombre pour trouver celui qui vient juste après. Exemple : je veux encadrer 23,46. La partie entière est 23. Je peux donc dire que 23 vient juste avant. Ensuite, je calcule 23 + = 24, c'est le nombre qui vient juste après. 23 < 23,46 < 24 Pour placer un nombre décimal sur une droite, il faut l'encadrer par deux entiers, puis chercher où se trouvent ces deux entiers sur la droite proposée. Dans certaines exercices, il faut d'abord tracer la droite graduée. Exemple : Je dois placer 4,72 Cas particulier : Si je dois comparer les dixièmes (ou aux centièmes, aux millièmes...) et qu'un des nombres n'a pas de chiffre aux dixièmes, je peux considérer que le chiffre est 0. Exemple : 60,34 < 60, 3 car 60,34 < 60, 30

12 Numération 2 Décomposer un nombre décimal, en donner une valeur approchée Pour décomposer un nombre décimal, on commence par séparer la partie entière de la partie décimale. La partie entière se décompose comme un nombre entier (voir leçon Num 6). La partie décimale se décompose en dixièmes (er chiffre après la virgule), centièmes (2éme chiffre) et millièmes. Il peut être très utile de placer le nombre dans un tableau. Exemple : décomposer 829,67. Partie entière virgule C = 00 D = 0 U = Dixièmes = 0, Partie décimale Centièmes = 0, , 6 7 Millièmes = 0,00 829,67 = 8 X X X + 6 X 0, + 7 X 0,0 Pour donner une valeur approchée d'un nombre décimal à l'unité près, je cherche le nombre entier le plus proche. Dans ma tête, je commence par l'encadrer (voir Num 20), puis je regarde si mon nombre est plus proche du nombre de gauche ou de droite. Exemple : je cherche la valeur approchée à l'unité près de 6,8. Je sais que 6 < 6,8 < 66. Et 6,8 est plus proche de 6 que de 66. La réponse est donc : 6,8 6 à l'unité près. Pour donner une valeur approchée d'un nombre décimal au dixième près (ou au centième près), on agit de la même façon. Exemple : je cherche la valeur approchée au centième près de 87,969 Je sais que 87,96 < 87,969 < 87,97. Et 87,969 est plus proche de 87,97 La réponse est donc : 87,969 87,97 au centième près.