MATHÉMATIQUES LIAISON 3 ème / 2 nde. Lycée Notre Dame des Minimes Année scolaire LIVRET DE VACANCES

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1 MATHÉMATIQUES LIAISON ème / 2 nde Lycée Notre Dame des Minimes Année scolaire LIVRET DE VACANCES L objet du présent livret de vacances est d aborder le programme de mathématiques de seconde générale et technologique dans les meilleures conditions. Le choix a été fait de mettre l accent sur : - le calcul littéral, - l étude générale des fonctions, car ce seront les premiers chapitres traités à la rentrée. Ce livret est composé d un rappel de crs et de deux fiches d exercices. Le résumé de crs reprend la plupart des notions nécessaires pr résdre les exercices proposés. Ce travail sera repris en classe à la rentrée et sera le support d une évaluation dans la première quinzaine du mois de septembre. Un des exercices de ce livret sera intégralement repris dans le premier Devoir Surveillé de l année. Une correction des exercices proposés sera mise en ligne sur le site à partir du lundi 2 août 205. Il a été choisi de cibler les révisions pr éviter un travail trop lrd mais beaucp d autres notions du collège sont à maîtriser pr réussir la classe de seconde. Il est recommandé d aller approfondir le travail proposé en s exerçant sur les notions non abordées dans ce livret (calcul numérique, théorèmes de géométrie, etc. ). Pr s aider, on prra utiliser le site En tre, l'utilisation d'une calculatrice graphique est obligatoire en classe de seconde et il est demandé de posséder pr le jr de la rentrée une CASIO 5+E (avec Mode Examen), à l exclusion de tte autre modèle. Les professeurs de Mathématiques de seconde Bonnes vacances et bonnes révisions

2 Calcul littéral I- La distributivité pr développer factoriser Quels que soient les nombres,,, et, on a : + = " + " ( distributivité simple ) + + = " + " + " + " Applications : / Développer = 5 6 ( dble distributivité ) 2 / Factoriser = 7 2 / Développer = Corrections : voir au dos. II- Les identités remarquables Quels que soient les nombres et, on a : ² + 2" + ² = ( + )² = ² 2" + ² ² ² = ( + ) Applications de développement (D, E et F) et de factorisation (G, H et I) à l aide des identités remarquables : = + 5 = 7 Corrections : voir au dos. = = 6 25 = = + III- Équation produit nul Règle du produit nul : et étant deux nombres : si = 0, alors = 0 = 0. si = 0 = 0, alors = 0. Équation produit nul : équation dont l un des membres est un produit et dont l autre membre est zéro. Exemple : = 0 est une équation produit nul. Méthode de résolution : Exemple, résolution de l équation précédente : = 0 Cette équation est une équation produit nul. Or, si un produit est nul alors l un de ses facteurs est nul. Donc si = 0 alors : = 0 soit : 2 = 5 soit : = = 0 = = Cette équation admet donc deux solutions : et. Généralités sur les fonctions I- Définition, notations et vocabulaire Une fonction est un procédé mathématique qui à un nombre fait correspondre un nombre unique, noté (), et appelé l image de par la fonction. antécédent () image Vocabulaire : Dans le cas de la fonction définie par : : ² +, on dit que : est l image de 0 par la fonction. En effet : 0 = 0 + =. et sont les antécédents de par la fonction. En effet, () = et ( ) =. 6 n a pas d antécédent par la fonction car quel que soit le nombre choisi, on a tjrs > 0. Remarques : Un nombre peut avoir 0 image par une fonction. Un nombre peut avoir 0, plusieurs antécédents par une fonction. II- Représentation graphique d une fonction Définition : La représentation graphique d une fonction est une crbe formée par l ensemble des points dont les coordonnées sont ( ; ()). L ordonnée d un point de la crbe est l image de son abscisse.

3 Exemple : considérons la fonction : x Pr cette fonction on peut faire un tableau de valeurs qui permet de placer quelques points sur la crbe. x antécédent f(x) image 2 0,5 0 0, //////// 8 2 0,8 Les fonctions affines et linéaires I- Fonctions affines A- Définition d une fonction affine Une fonction affine est une fonction dont l expression algébrique est de la forme : = " +, où et sont deux nombres donnés. Exemple: ℎ = 6 + B- Représentation graphique d une fonction affine Propriété et définitions : Si une fonction est affine alors sa représentation graphique est une droite dont l équation est : y = " +. On dit que a est le coefficient directeur de la droite et b est son ordonnée à l origine. Propriété : Réciproquement, si une fonction a une représentation graphique qui est une droite non parallèle à l axe des ordonnées, alors c est une fonction affine. Remarque : Pr représenter graphiquement une fonction affine pr en retrver l expression algébrique, il suffit de connaître les coordonnées de 2 points. II- Fonctions linéaires et constantes : des fonctions affines particulières A- Fonction constante Une fonction affine dont le coefficient directeur vaut 0 est de la forme : () = où b est un nombre donné. On l appelle alors fonction constante. La représentation graphique d une fonction constante est une droite parallèle à l axe des abscisses. Exemple : si on a : =, alors a pr représentation graphique la droite C ci-contre. B- Fonction linéaire Cb Une fonction affine dont l ordonnée à l origine est égale à 0 est de la forme : () = " où a est un nombre donné non nul. On l appelle alors fonction linéaire. La représentation graphique d une fonction linéaire est une droite qui passe par l origine du repère. Exemple : si on a : () = x, alors b a pr représentation graphique la droite Cb ci-contre. Corrections des Applications «distributivité» / Développer = / Factoriser = 7² 2 = 5 + ( ) ( 6) = 7 + ( 7) 6 = = 7( + 6) Correction des Applications «Identités remarquables» = + 5 = 7 = ² = ² = 9² = 9² = 6 25 = = 5² = ² ² = 5 ( + 5) = ( + )² C / Développer = 2 + ( + 5) = = 2" = = 2 ² = ² 9 = + = ² = (2 )²

4 Fiche : Calcul littéral Exercice : Utilisation des identités remarquables. ) Développer les expressions suivantes : A = (2 + )² B = ( x )² C = ( 5 x)² D = ( x )(x + ) E = ( 5x 7)² F = ( x 8)( x + 8) 2) Factoriser les expressions suivantes : G = x ² 2x + 9 H = x ² 0x + 25 I = 6x ² 9 J = ( 2x )² 9 K = ( x 2)² 9 L = x² x Exercice 2 : Factorisation Factoriser les expressions suivantes : A = x² 8x B = 9 xy + ax C = ( x )² (x 5)² Exercice : H(x) = 6 x (x + 5)(8x 7) ) Développer. 2) Factoriser : 6x 2 9puis utiliser ce résultat pr factoriser. ) Résdre l équation : (8x 7)(9x + 2) = 0. ) Calculer pr x = 0, puis pr x = Exercice : 7 8. ) Résdre les équations suivantes : a) 5(2x ) (5x + ) = 0 b) 9x 2 = 25 c) ( 2x )( x + ) = 0 d) 2 x (x 8) = 0 2) On considère l inéquation : x 6 5x. Exercice 5 : a) Le nombre 2 est-il solution de cette inéquation? Justifier. b) Résdre l inéquation : x 6 5x, et représenter ses solutions sur une droite graduée. ) On effectue le programme de calcul suivant : - choisir un nombre x ; - lui sstraire ; - mettre le résultat au carré ; - écrire l inverse du nombre obtenu ; - additionner 2. Appliquer le programme de calcul au nombre 2? Que se passe-t-il si on attribue à la valeur? 2) Quelle expression de x obtient-on lorsqu on applique le programme?

5 Exercice : La crbe ci-contre représente la fonction f. ) Déterminer graphiquement l image de 7 par f. 2) Déterminer f ( ). ) Déterminer le ( les) antécédent(s) de 2 par f. Fiche 2 : Fonctions ) Donner un nombre qui ne possède pas d antécédents par f. 5) Résdre graphiquement l équation : f (x) = 0. Exercice 2 : On considère la fonction f : x 2² 5x + 2 ) Calculer l image de par f. 2) Calculer f ( ). ) Compléter le tableau de valeurs suivant : 5 () 2 Exercice : On considère la fonction définie par g(x) = 2x + ) Calculer g( ). 2) Déterminer l antécédent de 5 par g. ) Représenter graphiquement la fonction g dans le repère orthonormé ci-desss.

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