Correction Exercices Chapitre 10 - Intégrales impropres

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1 Correcion Eercices Chapire - Inégrales impropres. Déerminer si les inégrales suivanes son convergenes, e le cas échéan, calculer leur valeur : e d. d ( + ) d e d d 3 d e d d +. Convergence de e d. La foncion e es coninue sur [, [, on a donc a priori uniquemen un problème en. Soi >. Alors L inégrale. Convergence de e d = e d es donc convergene e on a : d [ e ] = e + e = e e d =. La foncion es coninue sur [, [, on a donc a priori uniquemen un problème en. Soi [, [. Alors d [ ] ( = ) d = = = d d L inégrale es donc convergene e on a : =. 3. Convergence de La foncion ( + ) d ( + es coninue sur [, [, on a donc a priori uniquemen un problème en. ) Soi. Alors ( + ) d = L inégrale ( + ) d = [ ] + = ( + ) ( + d es donc convergene e on a : ) ( + ) d = 4. - Lycée du Parc /6

2 Correcion Eercices Chapire - Inégrales impropres 4. Convergence de La foncion e Soi ], ]. Alors L inégrale 5. Convergence de e d es coninue sur ], ], on a donc a priori uniquemen un problème en. e d = ( )e d = e d es donc convergene e on a : d [ e ] = + e e d =. La foncion es coninue sur [, [, on a donc a priori uniquemen un problème en. Soi. Alors L inégrale 6. Convergence de d es donc divergene. La foncion 3 = problème en. Soi. Alors d = 3 ln(3) L inégrale 7. Convergence de 3 d e ln(3) d = [ ] = = e ln(3) es coninue sur [, [, on a donc a priori uniquemen un ( ln(3))e ln(3) d = [ ] ( e ln(3) e ln(3) e = ln(3) ln(3) d es donc convergene e on a : 3 e d 3 d = 9 ln(3). ln(3) ) La foncion e es coninue sur [, [, on a donc a priori uniquemen un problème en. Soi >. Calculons e d. On pose u() = v () = e e u () = v() = e une inégraion par paries : [ ] e d = e L inégrale e d es donc convergene e on a : e ln(3) ln(3). Les foncions u e v éan de classe C sur [, ], on peu faire [ ] e d = e + e = e e + e d =. - Lycée du Parc /6

3 Correcion Eercices Chapire - Inégrales impropres 8. Convergence de d + La foncion es coninue sur [, [, on a donc a priori uniquemen un problème en. + Soi >. Alors : L inégrale [ ] + d = Arcan() d es donc convergene e on a : + π = Arcan() d + = π.. Déerminer si les inégrales suivanes son convergenes : d d + d e d d d sin() d d ln ( + ) d d. d. cos() e d. Convergence de d La foncion u : es coninue e dérivable sur [, [ (foncion polynômiale) e, u () = = 3(5 + ). La foncion u es donc croissane e puisque u() = 7, elle es sricemen posiive sur [, [ e ne s annule donc jamais sur [, [. + 3 La foncion f : es donc coninue e posiive sur [, [ comme composée de foncions + 7 coninues. Il y a a priori uniquemen un problème en. Or; donc f() = = 5 5 Donc par le héorème d équivalence des foncions posiives, les inégrales f()d e d même naure. Or, diverge (Inégrale de Riemann). On en dédui donc que Puisque l inégrale diverge, on conclu que : f()d diverge f()d converge (inégrale sur un segmen d une foncion coninue) e que d diverge + 7 d son de f()d - Lycée du Parc 3/6

4 Correcion Eercices Chapire - Inégrales impropres. Convergence de La foncion f : d = 5 (+) es coninue sur [, [. Sur [5, [, la foncion f es coninue e posiive, e on a Puisque 5 f() = = d diverge (Inégrale de Riemann), on en dédui par le héorème d équivalence des fonc- ions posiives que l inégrale Puisque l inégrale 5 diverge, on conclu que : 3. Convergence de 5 f()d diverge égalemen. f()d converge (inégrale sur un segmen d une foncion coninue) e que + d f()d diverge La foncion f : es coninue sur ], [. On a a priori un problème en e en. + Eude de + d. La foncion f : es coninue e négaive sur ], ]. De plus, + e f() = + = d converge, donc par héorème d équivalence des foncions négaives, l inégrale converge égalemen. Eude de + d. La foncion f : es coninue e posiive sur [, [. De plus, + f() = + donc par héorème d équivalence des foncions négaives, l inégrale que l inégrale d. Cherchons un α > el que ( ) = o α α ( ) = o α : α Il suffi de choisir un α ], [, par eemple α = 3. ( ) = o 3/ 5 f()d + d d es de même naure + α > α < - Lycée du Parc 4/6

5 Correcion Eercices Chapire - Inégrales impropres Or, d converge (Inégrale de Riemann), donc par héorème de négligeabilié de foncions 3/ posiives, on en dédui que d converge, e enfin par équivalence de foncions posiives, on en dédui que d converge égalemen. + Puisque 4. Convergence de f()d e e d f()d convergen, on en dédui donc que d converge + La foncion e es coninue e posiive sur [, [. De plus, Puisque que l inégrale e = e ( ) = e = o d converge (Inégrale de Riemann), on en dédui par négligeabilié de foncions posiives Puisque l inégrale e d converge. [, ]), par somme on a que : e d ne pose pas de problème (inégrale d une foncion coninue sur le segmen e d converge + 5. Convergence de + 4 d La foncion + es coninue sur ], [, on a donc a priori des problèmes en e en Eude de + 4 d. La foncion + +4 es coninue sur ], ] (mais pas forcémen posiive) e Or, d converge, donc par héorème d équivalence des foncions posiives, l inégrale converge e donc l inégrale Eude de d. + d converge égalemen. + 4 La foncion + +4 es coninue sur [, [ e posiive, e d - Lycée du Parc 5/6

6 Correcion Eercices Chapire - Inégrales impropres [ ] Or, pour >, d = () = (ln()), donc l inégrale d es divergene. On en dédui par héorème d équivalence des foncions posiives que l inégrale d diverge égalemen. + + Puisque d converge e d diverge, on en dédui que : d diverge Convergence de d La foncion es coninue e posiive sur ], ], donc il n y a de problème qu en. On a : Or, pour ], ], L inégrale dédui que 7. Convergence de = ( ) [ ] d = ln( ) = ln() ln( ) d es donc divergene, e par héorème d équivalence des foncions posiives, on en La foncion sin() Eude de sin() d. sin() d. La foncion sin() convergence. On a : d diverge es coninue sur ], [, il y a donc a priori deu problèmes en e. es coninue sur [, [ mais pas forcémen posiive. On regarde l absolue, sin() Or, d es convergene (Inégrale de Riemann), donc par héorème de comparaison des foncions posiives, l inégrale sin() d converge, e donc l inégrale sin() d converge. sin() Eude de d. Sur ], ], sin() es coninue e posiive. De plus, sin() = - Lycée du Parc 6/6

7 Correcion Eercices Chapire - Inégrales impropres Or, d diverge (Inégrale de Riemann) e par héorème d équivalence des foncions posiives, on sin() en dédui que d diverge égalemen. Puisque 8. Convergence de sin() d converge e d sin() d diverge, on en dédui que sin() d diverge La foncion = ( ) es coninue sur R e s annule en, 3 5 ne s annule qu une seule fois sur l inervalle [, ] : en. La foncion es donc coninue e posiive sur ], ]. De plus, = + / e 3+ 5, donc Or, d converge (Inégrale de Riemann), donc par héorème d équivalence des foncions posiives, / on en dédui que d converge Convergence de ln ( + ) d La foncion ln ( + ) es coninue e posiive sur [, [, on a un problème uniquemen en. De plus, ln ( + ) e d converge (Inégrale de Riemann), donc par héorème d équivalence des foncions posiives, on en dédui que ln ( + ) converge. Convergence de d. La foncion f : es coninue e posiive sur [, [. Cherchons un α > el que ( ) = o α : ( ) = o α α α Il suffi de choisir un α ], [, par eemple α = 3. ( ) = o 3/ α > α < - Lycée du Parc 7/6

8 Correcion Eercices Chapire - Inégrales impropres Or, d converge (Inégrale de Riemann), donc par héorème de négligeabilié de foncions posiives, on en dédui que 3/ d converge. Convergence de La foncion Eude de / d. es coninue e posiive sur ], [. On a a priori des problèmes en e. d. La foncion e / es coninue e posiive sur ], /]. De plus : + d converge, donc par héorème d équivalence des foncions posiives, on en dédui que / d converge Eude de / d. La foncion es coninue e posiive sur [/, [. De plus : = Ainsi, la foncion es prolongeable par coninuié en. On a donc une inégrale faussemen impropre sur [/, ] : l inégrale converge. / Par somme, puisque d e d convergen, on a bien que. Convergence de cos() e d / d converge La foncion cos() e es coninue (mais pas forcémen posiive) sur ], [. On regarde donc l absolue convergence. cos() Eude de e d. La foncion cos() e es coninue e posiive sur ], ]. De plus, cos() e + e d converge (Inégrale de Riemann), donc par crière d équivalence des foncions posiives, on en dédui que cos() e converge - Lycée du Parc 8/6

9 Correcion Eercices Chapire - Inégrales impropres Eude de cos() e d. La foncion cos() e es coninue sur [, [. De plus, cos() e e e / = e / e Or, e d converge, donc par comparaison, puis équivalence, puis comparaison des foncions posiives, on en dédui que cos() e d converge, donc : Par somme, puisque.3 Déerminer la naure de cos() d converge e cos() e d e cos() d convergen, on en dédui que : e cos() d converge e e a d selon les valeurs de a R. + e La foncion e a +e d es coninue e posiive sur R. On a donc deu problèmes à éudier : en e. e a Eude de + e d. e a e a + e e = e ( a ) Donc par héorème d équivalence des foncions posiives, l inégrale e ( a ) d. Or, pour >, si a, [ e ( a ) = a e( a ) d ] = e( a ) a e si a =, on a clairemen e d = d qui diverge. Ainsi, en conclusion : e a d converge a > + e Eude de e a + e d. e a e a + e = e a Donc par héorème d équivalence des foncions posiives, l inégrale e a d. Or, pour <, si a, [ ] e a = a e a d = e a a e a +e d es de même naure que a+ si a > si a < e a +e d es de même naure que a si a < si a > - Lycée du Parc 9/6

10 Correcion Eercices Chapire - Inégrales impropres e si a =, on a clairemen e d = d qui diverge. Ainsi, en conclusion : e a d converge a < + e En conclusion, on obien que e a d converge < a < + e.4. Monrer que d e d son convergenes e opposées (on pourra effecuer le change- + + men de variable u = ).. En déduire la valeur de + d. Convergence de + d La foncion es coninue e négaive sur ], ]. De plus, + + e d converge, donc par crière d équivalence des foncions négaives, l inégrale converge. + d Convergence de + d La foncion es coninue e posiive sur [ + [. + De plus, ( ) + = o 3/ Or, d converge, donc par crière de négligeabilié de foncions posiives, on en dédui que 3/ d converge, e enfin par crière d équivalence des foncions posiives, on en dédui que + d converge. Soi ], ]. Calculons + d. On pose [, ], ϕ() =. La foncion ϕ es de classe C sur [, ] e [, ], ϕ () =. De plus, si u =, on a = u = e = u =. - Lycée du Parc /6

11 Correcion Eercices Chapire - Inégrales impropres On a alors ( ) ln + d = ( ) + d = On a donc monré que pour ou ], ], on a : / ln(u) / u + du = ln(u) u + du / + d = ln(u) u + du En faisan endre vers +, puisque les deu inégrales d e d convergen bien, on + + en dédui que. Puisque converge e d e + + d = + d d convergen, d après la relaion de Chasles, l inégrale + + =.5 On pose I = ( + ) + d. 4. Monrer que l inégrale converge. + d +. En uilisan le changemen de variable u =, calculer I. + d = + d. La foncion ( + ) es coninue sur [, [ (mais pas forcémen posiive). + 4 L inégrale ( + ) d ne pose pas de problème, puisque c es l inégrale d une foncion coninue + 4 sur un segmen. Sur [, [, la foncion ( + ) es coninue e posiive, e on a : + 4 ( + ) + 4 = Or, d converge (Inégrale de Riemann), donc par héorème d équivalence pour les foncions posiives, on en dédui que ( + ) d converge. + 4 Par somme, puisque ( + ) d convergen, on en dédui que l iné- + 4 grale I converge. ( + ) d e Lycée du Parc /6

12 Correcion Eercices Chapire - Inégrales impropres. Fions-nous >. Calculons / ( + ) + d. [ ] 4 On pose,, ϕ() = [ ] = u. La foncion ϕ es de classe C sur, e De plus, si u =, on a = u = e = u =. On a alors : [ ],, ϕ () =. / ( + ) + d = 4 / d / = u ( + u ) u 4 + ( du) = / u ( + u ) + u 4 du En faisan endre dans les deu inégrales, puisque les inégrales ( + ) d convergen, on obien : + 4 ( + ) d e + 4 ( + ) + d = 4 ( + ) + d 4 On conclu donc que ( + ) + 4 d =.6 Soi f la foncion définie par f() =. Déerminer l ensemble de définiion de f.. Quel es le sens de variaions de f? + d. 3. On adme que f es une foncion coninue sur son ensemble de définiion. Déerminer f() + f( + ) pour >. En déduire la limie de f en e en.. Déerminer l ensemble de définiion de f revien à rouver les valeurs de R pour lesquels l inégrale d es convergene. + Pour ou R, la foncion es coninue sur [, [, donc il s agi de regarder le problème en +. + = + On voi donc que l inégrale d es de même naure que l inégrale de Riemann + qui, elle, converge si e seulemen si + >, c es-à-dire >. Ainsi, f es définie sur ], [. + d - Lycée du Parc /6

13 Correcion Eercices Chapire - Inégrales impropres. Soien, y deu réels sricemen posiifs e soi (donc el que ). y = y =, y =, e y e =, y =, y + + = (A ) f() f(y) = A >, Ainsi, on a monré que la foncion f es décroissane sur ], [. 3. Soi >. Alors f() + f( + ) = On a donc monré que = + d + + d + + = + + d [ = ] = A A + y + d d (somme de deu inégrales convergenes) >, f() + f( + ) = Limie de f en. On sai que f es une foncion décroissane, e minorée par, donc elle adme en une limie finie l qui vérifie l. En passan à la limie lorsque dans l égalié précédene, on obien Limie de f en +. On a l + l = = lim f( + ) = f() = = = lim f() = = lim A = lim A + d ( + ) d ( + A ) d ( + ) d [ ln( + ) ] A ( ( ) ) A = lim ln + ln() A A + = ln() - Lycée du Parc 3/6

14 Correcion Eercices Chapire - Inégrales impropres Or, d après l éaglié rouvée au débu de la quesion, on sai que lim(f() + f( + )) = donc puisque lim f( + ) = ln(), on a nécessairemen lim f() =.7. Monrer que e d converge. On noe l sa valeur.. Soi un réel sricemen posiif. Monrer que e e d = ln() + l + d (après avoir jusifié ( l eisence des inégrales). e ) En déduire lim d + ln().. Convergence de e d. La foncion f : e es coninue sur ], [, on a donc a priori deu problèmes : en e. Eude de e d. La foncion f : e es coninue e négaive sur ], ] e e Or, converge, donc par équivalence des foncions négaives, on en dédui que converge. e d Eude de e d. La foncion f : e es coninue e posiive sur [, [ e Or, d, f() = e e = o ( ) converge (Inégrale de Riemann), donc par crière de négligeabilié des foncions posiives, e d converge e enfin par comparaison des foncions posiives, Par somme de deu inégrales convergenes, on en dédui donc que e d converge e converge. - Lycée du Parc 4/6

15 Correcion Eercices Chapire - Inégrales impropres. Convergence de e La foncion e d es coninue sur [ + [, e [, [, e = o ( ), donc puisque converge (Inégrale de Riemann), donc par crière de négligeabilié des foncions posiives, converge. Puisque Convergence de e La foncion e e d d e d eise (foncion coninue sur le segmen [, ] ou [, ]), on en dédui que e es coninue sur ], ], e e d converge + = La foncion es donc prolongeable par coninuié sur le segmen [, ] e donc l inégrale es faussemen impropre e converge donc. Monrons l égalié voulue. Soien e A deu réels sricemen posiifs. En inégran par paries, on obien : A [ ] A A e d = e ( e ) d = e A ln(a) + e ln() + En faisan endre A vers, on obien e d = e ln() + (oues les inégrales convergen bien d après ce qui précède, e Soi alors un réel sricemen posiif. On a : e d = e ln() + = e ln() + e d + d + e d A e d d ln(a) lim = par croissances comparées). A e A e = e ln() + ln() ln() + = (e ) ln() + ln() + d e d + e e d + e d + d e e Or, e e d e d convergen e (e ) ln() ln() Ainsi, en faisan endre vers dans l égalié précédene, on obien : l = ln() + e d + e d d d. - Lycée du Parc 5/6

16 Correcion Eercices Chapire - Inégrales impropres ou auremen di e d = ln() + l + e d La foncion h : e sur R, noée H. Alors es prolongeable en une foncion coninue sur R, donc elle adme une primiive e d + ln() = l + e d = l + H() H() Puisque H es dérivable sur R, en pariculier, elle es coninue en. Donc ( e ) lim d + ln() = l + H() H() = l - Lycée du Parc 6/6