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1 POUTRE SIMPLE LINTEAU COUVERTURE 3.1 Introduction - considérations générales. On définit la flèche f comme la déformation maximale d un élément de structure soumis à une flexion simple (Mf). La flèche f est proportionnelle aux forces F exercées sur l élément cad proportionnelle à Mf dans chaque section.. Si F et h ne changent pas, la flèche f la plus grande se trouve sur l axe de symétrie car (Mf est maximal sur cet axe). POUTRE SIMPLE

2 . Si F et la hauteur de l élément sont constantes, la flèche f est inversement proportionnel à la largeur b de l élément (pour un même matériau). h f 1. b 1 = f 2. b 2 = cte b1 b2. Si b =cte, on remarque que f. h 13 = f. h 23 = cte h 1 h 2 LA HAUTEUR D UNE POUTRE A BEAUCOUP PLUS D IMPORTANCE QUE SA LARGEUR D UN POINT DE VUE DES FLEXIONS SIMPLES LA HAUTEUR D UNE POUTRE A BEAUCOUP PLUS D IMPORTANCE QUE SA LARGEUR D UN POINT DE VUE DES FLEXIONS SIMPLES Autrement dit : b 1 b 2 b 1 + b 2 x.h Si non lamellé collé Et non riveté x. h

3 3.2 Décomposition du phénomène P o Il existe un plan tel que la matière ne subit pas de déformations longitudinales. C est le plan neutre (axe neutre ou fibre neutre) Po On remarque :. Au dessus de Po, la matière subit un effort de compression (raccourcissement). Au dessous de Po, la matière subit un effort de traction (allongement) Ces deux efforts sont d autant plus forts que l on s éloigne de l axe neutre 3.2 Décomposition du phénomène On doit constater que les sollicitations de flexion provoquent :. Des contraintes normales n aux sections droites. Des contraintes de traction d un côté du plan neutre. Des contraintes de compression de l autre côté du plan neutre. Des contraintes de cisaillement longitudinales (et donc par réciprocité transversales) Comment connaître n et t en chaque point?

4 3.3- Moment et Module d inertie - Contrainte normale. L axe neutre est défini par le centre de gravité de la section. On peut définir le Moment d inertie de la section / à l axe neutre [unité m 4 ]. et le Module d inertie en m 3 I = S y 2 ds I v y v=y max v= distance à l axe neutre (S) Axe neutre 3.3- Moment et Module d inertie Ainsi, on peut montrer qu en 1 pt quelconque repéré par y dans une section de moment d inertie I et de module d inertie I/v, soumise à la flexion due à Mf, La contrainte normale est n = Mf / (I/y) T et elle a donc pour valeur maximale Mf n max = Mf / (I/v) V=y max (V= distance max à l axe neutre ) v (S) y Axe neutre

5 3.3- Moment et Module d inertie. La répartition de la contrainte de cisaillement longitudinale et transversale est donnée par : L t = ( T. W ) / ( I. L) avec W = S y ds A.N. S y. La contrainte tangentielle est nulle sur les fibres les plus extérieures et maximales sur la fibre neutre.. C est pour cela, que pour qu un profilé en H on ne tient compte que de l âme pour calculer t max et t moyen o x t 3.3- Conséquences La conception cherche à placer la matière à la plus grande distance possible de l axe neutre en gardant au niveau de celui-ci le minimum pour résister à la contrainte tangentielle 1- une poutre de bois présente toujours une hauteur supérieure à sa largeur et peut même présenter une âme d épaisseur plus faible

6 3.3- Conséquences 2- Les profilés d acier présentent des ailes qui constituent l essentiel du moment d inertie (alors que l âme résiste au cisaillement ou sont creux, le métal central n ayant que très peu de rôle. 3- Les tôles ne sont pas utilisées sans ondulation ou plissage Conséquences 4- Un plancher n est pas posé avec de longues portées mais sur des solives permettant d avoir avec moins de bois plus d inertie, elles-même éventuellement supportées par des poutres de grandes hauteur.

7 3.4- Mise en pratique Dans la pratique, I et I/v sont donnés. (cf documentation jointe). Par ex, pour les sections rectangulaires,. pour les profilés I = b. h 3 / 12 I/v = b. h 2 / 6 b h I = S. h 2 / 2 I/v = S.h h 3.4- Mise en pratique La sollicitation de flexion peut entraîner des concentrations de contraintes. On simplifie alors :. La contrainte normale maximale ne pas dépasser Ra (en traction comme en compression). La contrainte maximale tangentielle ne pas dépasser Rag. La flèche ne doit pas dépasser une valeur fixée (la déformation ne doit pas dépasser une certaine valeur) (en générale donnée par la Réglementation) par exemple, les déformations maximales du gros-œuvre sont fixées de telle sorte que le second-œuvre ne souffre pas

8 Inéquations d équarrissage A- Résistances au contraintes n max = Mf / (I/v) Ra 3.4- Mise en pratique avec tmax : t max = T. W0 / (I/L0) Rag t max = k. T / S R ag (dans le cas général) avec k = 3/2 ; k = 4/3 ; k=1 et S = S âme (n max et t max se situant respectivement au niveau de Mf max et T max pour une section constante) B- Déformation : on vérifie que la flèche maximale est inférieure à une valeur donnée par : Flèche : f = (fonction connue de charge, E, I, l) 1/ N N = 150 pour console ou partie sans circulation N = 200 éléments supportant une couverture N = 300 éléments supportant matériaux verriers, pannes N= 400 pour les solives N = 500 pour les poutres maîtresses (avec circulation) Exercice : Soit une panne de section constante sur appuis simples supportant une charge uniformément répartie p = 800 dan/m sur sa longueur l de 5m. Quelles dimensions lui donner selon qu elle est : PANNE * bois (Ra = 10MPa E = MPa Rag = 1,2 MPa) * Acier (Ra = 160MPa E = MPa Rag = 100 MPa) Données : Mf max = (p.l 2 ) / 8 au centre la poutre T max = (p.l) / 2 aux appuis f = (5 p.l 4 ) / (384 E.I) Panne => f 1/300 Comment faire : Calculer Mfmax, Tmax et f et appliquer les inéquations d équarrissage

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