Deuxième partie : les apprentissages fondamentaux du cours préparatoire.

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1 Deuxième partie : les apprentissages fondamentaux du cours préparatoire. C est ici le début du cours de CP 1

2 Etape 6 : découverte de la numération décimale de position indoarabique. (Voir annexe IV) Cette étape est, pour les mathématiques, la plus importante de la classe de CP. Il est absolument nécessaire que tous les élèves réussissent l apprentissage visé, c est très souvent la méconnaissance du principe de numération écrite qui est la cause d échecs majeurs en mathématiques au delà du CP. Comprendre la numération écrite ne se réduit pas à savoir lire des nombres. Ce qui est en jeu, c est bien le sens de la position des chiffres. Il est très important que cette étape soit atteinte très tôt dans l année (vers la fin de la première période) de façon à donner aux élèves assez de temps pour utiliser un savoir nouveau, complexe et fondamental. Les élèves qui entrent en CP ont vu des écritures de nombres à plusieurs chiffres. Ils en ont souvent écrit en maternelle, ils savent souvent lire certains de ceux qui représentent les nombres inférieurs à 31, mais ils ignorent la plupart du temps le principe de la numération de position, même si depuis 2007, dans quelques classes de grande section, j ai pu montrer qu il était possible d enseigner la numération de position. Rappelons que seuls les Babyloniens, les Indiens et certains Amérindiens ont inventé ce principe extrêmement sophistiqué et abstrait, qu il est donc normal d avoir des difficultés à le comprendre, à le faire fonctionner et à le maîtriser. L écriture des «nombres à deux chiffres» est tout sauf naturelle. On utilise les bases 3 et 5 parce qu elles permettent une visualisation correcte du phénomène, qu elles permettent des comptages rapides et fiables, mais il ne faut en aucun cas pérenniser des écritures dans des bases non décimales. Les jeunes élèves apprennent vite et retiennent bien. Il serait dommage qu un long travail sur la base 3 amenât des élèves à lire «cinq» le nombre écrit «12»! Par le passé, je pensais qu une leçon, deux au maximum utilisant des bases non décimales étaient utiles, les expériences menées en avec les normaliens de FP 2 D m ont convaincu qu il fallait introduire la base dix en une seule On a par le passé eu recours aux bases non décimales pour générer des écritures de petits nombres avec beaucoup de chiffres (En base trois, vingt-huit s écrit avec 4 chiffres). Hélas, de nombreux instituteurs se mirent à enseigner des bases non décimales pour elles mêmes, développant par des pratiques abusives des compétences inutiles. Il ne s agit pas de cela. Le passage par des bases non décimales n est pas nécessaire. Nous avons constaté que leur usage permettait d éviter des erreurs de comptage qui pourraient nuire à la compréhension du concept visé, c est pourquoi elle sont maintenues, mais elles sont en sursis. Cette séquence doit être précoce. Dans toutes nos expérimentions, en école annexe ou en école de 2

3 circonscriptions, elle a débuté dans les premières semaines de l année de façon à ce que les élèves connaissent et utilisent la numération décimale au moins jusqu à 100 avant la fin de la première période. Séquence 1. Cette partie est nouvelle. Objectif : Découverte de la numération de position. Les bases trois et cinq. Le maître créé une situation magistrale. Il dispose de 7 verres, de paquets de trois citrons et de deux citrons isolés. Il veut mettre un citron dans chaque verre. Pour cela il «achète» successivement un paquet, un autre paquet puis un citron tout seul. Il place ses achats devant les verres et code son action. 3

4 4 21

5 Le principe de numération de position est une des beautés de l intelligence humaine. Seuls les Babyloniens, les Indiens et les Mayas l ont découvert. Il n est pas pensable que des élèves de CP le découvrent en quelques minutes. Aussi face au besoin de codage induit par la situation proposée par le maître, il est inutile, sans espoir et pour tout dire ridicule de demander aux élèves «alors les enfants, comment on pourrait faire?» La règle doit être dite et expliquée par le maître. L enjeu (considérable!) est de comprendre que dans l écriture 22, les deux signes identiques 2 n ont pas le même sens parce qu ils ne sont pas placés au même endroit. L un, celui de droite représente un nombre d objets, l autre, celui de gauche, un nombre de paquets contenant des objets. Le chiffre «2» placé à gauche signifie donc «6». Remarque, ces séances ont été filmées et des copies des film peuvent être demandées à Mme Poeti Pfennig ou à Mlle Nancy Brotherson, me contacter pour avoir leur adresse. Cette partie dure une dizaine de minutes. On affiche ensuite un dessin du type : 5

6 Le maître a «fait le paquet de 5». On constate que nombre d élèves n identifient pas le fait d entourer une collection avec celui de «faire un paquet», il faut s attendre à devoir faire une explication. Cette collection est codée 14 et expliquée, 1 paquet et 4 isolés. 6

7 Dans la version précédente, j avais donné 23 7

8 Que l on peut toujours utiliser si on préfère les fleurs aux citrons. Puis on affiche une collection du type 8

9 Et on demande à un élève de venir faire les paquets, puis de coder (ici 31) Rappel : L objectif n est pas de faire acquérir des compétences de lecture en bases non décimales. Si on utilise de petites bases, c est parce que les groupements réguliers de trois ou de cinq peuvent se faire sans erreurs. On ne s attarde pas. 9

10 On passe alors en base dix. On nomme «dizaine» les paquets de dix, «unité» les isolés ; On peut enrichir le vocabulaire, signaler l existence des mots «douzaine», «huitaine», etc. Cette partie de leçon a été proposée par M. Z. Tata et Mlle N. Bortherson, normaliens de FP 2 D. C est leur matériel qui est proposé en annexe. On apparie les élèves. On donne à chaque élève une paire de planches (voir annexe) dont un exemple est proposé ci-dessous. Chacun a un petit carton et doit y écrire «le code secret». Le premier qui y arrive a gagné. Il vérifie le résultat de son voisin et peut l aider. On change de planches deux ou trois fois. La leçon est un peu longue, mais son unité est nécessaire. 10

11 Exemple de planches. On s est aperçu qu il fallait un peu organiser les dizaines pour que la fabrication des paquets ne soit pas trop difficile. Ces feuilles sont plastifiées, un coup d éponge efface les traits de feutre et la feuille est immédiatement réutilisable. Les feuilles sont gardées pour l an prochain ou, plus tard, pour une possible rémédiation. Qui est codée 84 11

12 12

13 Séquence 2. Introduction du zéro. Le passage à la base dix engendrera peut être des erreurs de comptage. Il faut alors évaluer finement : un élève qui coderait une collection de 82 objets «81» parce qu il a réalisé «une dizaine à onze éléments» a évidemment compris le principe de l enseignement qui est visé, il s est simplement trompé en comptant. De même, celui qui code 82 sous la forme a compris l essentiel, il ne suffit plus que de lui faire réaliser l ambiguïté de son écriture qui code aussi 10. S ils tentent de les lire, des écritures comme 82 peuvent avoir de façon transitoire des noms comme «8 boîtes et deux isolés», «huit deux» etc. On peut éviter ces erreurs de comptage en organisant un peu les collections à coder. Dans cette séance, ressemblant à la première, certains groupes auront un nombre entier de dizaines. Il s agira de comprendre que 8 boîtes se codent 80 et non 8. On donne des planches de bonbons du type «écureuils», mais ayant un nombre entier de dizaines. Pour commander les bonbons réels, il faut coder la collection. Cette séance a été faite en section des grands, elle a été utilisée comme introduction à la numération de position. Nous espérons (en pratique, cet espoir a été comblé) que certains groupes qui auraient 4 dizaines de bonbons sur leur planche vont coder 4. Ils recevront alors 4 bonbons et non pas les 40 attendus. En phase collective, le maître montrera l ambiguïté du code (le «4» veut dire 4 bonbons). On compare avec ceux qui ont 43 bonbons et qui ont codé correctement. Leur «4» est à gauche, on sait donc qu il représente les dizaines. Pour avoir 4 dizaines de bonbons, il faut écrire «4 avec un rond à côté». Attention, c est au maître de donner ce code. Il est impossible qu il soit inventé par des élèves. Attention, il est faux de dire «on met un zéro» parce qu il n y a pas d unités. A ce stade, le zéro est un signe graphique qui marque une position non occupée. Puis, des travaux individuels de codages et décodages sont proposés. En particulier on jouera sur les ambiguïtés. 13

14 Troisième partie, début du temps d apprentissage. Avec les leçons précédentes s achève la fin du temps didactique. La compréhension des concepts enseignés diffère notablement d un élève à l autre, commence pour tous le temps d apprentissage. Les écritures rencontrées n ont pour le moment de sens que pour coder des collections visibles et concrètes ; la numération de position prendra du sens quand les élèves pourront tirer des seules écritures, et sans référence au matériel 1, des informations utiles. Attention!, les maîtres doivent bien comprendre que dans les activités qui suivent, ce n est pas la donnée de la réponse juste par l élève qui est un objectif, mais sa compréhension du code. Ainsi, un élève «qui aurait encore besoin de matériel pour trouver la réponse» ne fera jamais de progrès si ce matériel lui est laissé. Trouver que 42 > 39 en mimant ces deux nombres par des dessins ne sert à rien. Exemple d activités. 1) Voici deux boîtes de bonbons : Dans laquelle y a-t-il le plus de bonbons? 1 «Il convient de garder à l esprit que ce n est pas la manipulation qui constitue l activité mathématiques, mais les questions qu elle suggère et l activité intellectuelle que doivent développer les élèves pour y répondre lorsque le matériel n est plus disponible.» (extrait des programmes, cycle II.) 14

15 On attend des élèves qu ils puissent trouver la réponse sans avoir recours au matériel. Tous n y arrivent pas, c est normal, on commence le temps d apprentissage. Le maître valide le résultat par une explication orale ET par la preuve à l appui qui est obtenue en exhibant les collections réelles (le maître représente matériellement les collections, mais ce matériel n a pas servi à trouver la réponse, il la justifie.) Cette activité sera reproduite plusieurs fois. Rapidement, le matériel disparaît. Eventuellement on compare manuellement le nombre des dizaines (c est à dire en utilisant les doigts). Repérer les élèves qui se trompent souvent et commencer à envisager pour eux un travail différencié. 2) Lien entre numération de position et addition. Obtenir des égalités du type 23 = Le signe «=» pose toujours les mêmes difficultés, voire annexe. 3) Générer des écritures additives. Donner 53 et attendre des élèves qu ils écrivent , puis rapidement d autres écritures, , etc. 4) Introduire le signe «-» (connu le plus souvent depuis la section des moyens.). l utiliser dans des écritures du type 53 = 63 10, puis 53 = 60 7 etc. 5) Réduire des écritures = = = = 77 (dire «trois dizaines plus 4 dizaines», etc.) = = = = = 85 Refaire souvent des exercices de ce type, utiliser cette compétence pour résoudre des problèmes. Attention, tous les problèmes données ne doivent pas être additifs/soustractifs. (voir la dessus le document sur la résolution de problèmes. Remarques : 1 ) Le travail quotidien de calcul mental et de contrôle de la mémorisation du répertoire additif doit commencer à porter ses fruits. Les élèves savent donner rapidement l écriture canonique de la plupart des sommes inférieures à 10. Des exercices individuels, des ateliers dirigés dans lesquels des manipulations sont possibles sont à prévoir. 2 ) Le code commence à prendre du sens, les élèves peuvent maintenant ordonner trois nombres. 2 ) Dès qu ils connaissent l écriture des nombres jusqu à 100, les élèves doivent pouvoir calculer dessus, les utiliser dans des situations de communication écrite. Tout ce qui précède doit être termine avant la fin de la première période. 15

16 Ainsi les élèves disposeront d au moins 31 semaines d apprentissage par l usage. 16

17 Quatrième partie, connaissance des numérations orales. Comme il a été dit dans l introduction, les apprentissages de connaissances différentes sont distincts. Les élèves ont découvert dans la partie 2 le principe de la numération de position, dans la partie 3 ils ont développé des savoir-faire, mais ils ignorent, pour la plupart comment se disent les nombres qu ils manient. Ils ont appris à la maternelle (et dans la vie) le nom de certains nombres, ils ignorent presque toujours les règles des numérations orales. Par exemple, 83 se dit «8 dizaines et 3 unités», 130 se dit «treize dizaines». Que ce soit en français, en tahitien ou en marquisien, les règles de numération orale doivent être expliquées. Il faut donc éviter d apprendre à lire les nombres par tranches de 5 ou de 10 sans comprendre le fonctionnement. En Polynésie, deux langues sont en présence, le français, partout, et selon le lieu d enseignement, le tahitien, le marquisien, le paumotu, le mangarévien et les différentes langues des Australes avec les variantes dialectales. Chaque élève doit donc connaître deux numérations orales. Les programmes fixeront un jour des règles pour ces apprentissages, en septembre 2008, ces règles n existent pas et seule la numération française est indiquée comme objectif d enseignement. Il se posera alors la question de l ordre : laquelle des deux enseigner en premier? Il me semble qu il faudra toujours commencer par la plus compliquée, c est à dire la marquisienne, puis la française, et l inverse hors de la sphère linguistique des Marquises. En Polynésie Française, comme en Nouvelle-Calédonie, à Wallis et Futuna, la monnaie utilisée fait que les élèves rencontrent très tôt des nombres supérieurs à 100 ; le moindre achat du niveau des élèves (casse-croûte, bouteille d eau, bonbons ) coûte entre 100 et 1000 francs. Nous avons dons décidé d introduire plus tôt qu en Europe la numération orale des «grands» nombres. Comme on enseigne la règle, c est très simple. 1 ) Numération orale en français standard. Séance 1. Objectif : Numération orale des nombres de 17 à 59. Première phase : écriture des nombres. Dire : «Aujourd hui, je vais vous apprendre à dire les nombres à deux chiffres. Voici la règle. Pour dire les nombres à deux chiffres, il faut deux mots. Le premier mot désigne les dizaines, le deuxième mot désigne les unités. 17

18 Prenez votre ardoise. Je vais dire un nombre à deux chiffres, vous allez l écrire.» 53! On commence par un nombre compris entre 50 et 60, parce que c est la partie où la règle semble la plus facile à faire fonctionner, dans cinquante on entend bien cinq. On fait montrer les ardoises. On n attend pas que tous les élèves aient juste (ils sont en train d apprendre). L expérience montre que très peu ont écrit, mais l absence de réponse ne signifie pas absence de compréhension ; peur de se tromper, manque de confiance sont des freins très puissants. Le maître dit «c est bien, baissez, effacez vos ardoises». L élève peut penser alors que les autres ont trouvé, et que lui seulement n a pas trouvé. Ecrire la réponse au tableau en montrant pourquoi elle correspond à la règle. Deux mots, deux chiffres ; le premier mot, cinquante fait pense à 5, on écrit 5. Le second est 3, on écrit 3 ce qui donne 53. Même chose avec 59 Passer à 35, 37, 42, 48. On évitera les nombres se terminant par 1 parce que la règle diffère légèrement, on dit trente ET un, quarante ET un etc. On évitera les nombres entre 20 et 30 parce que dans vingt, on n entend pas deux. Deuxième phase : lecture des nombres. Dans la phase précédente, on a implicitement compris le sens de trois, mots, cinquante, quarante et trente. Trois mots pour dire trente nombre, c est assez efficace. Mais les dire soit même, c est autre chose. 18

19 On écrit au tableau des nombres du type de ceux qui viennent d être dictés. On aide les élèves à dire les mots qu ils ont compris dans la phase précédente, mais qu ils n ont pas encore mémorisés. Remarque : Entre 17 et 19, c est la seule partie de la numération orale française qui fonctionne comme la numération tahitienne : on sait que 17 = , et on lit «dix» «sept» (ahuru ma hitu). On réalise alors que pour dire certains nombres, on utilise des mots désignant d autres nombres, et une syntaxe. Remarque : A l issue de la séance de présentation, établir un répertoire du type : Remarque : + On a commencé par la règle la plus simple, celle pour laquelle on lit ce qu on voit, comme en tahitien ou en allemand. On devrait alors lire 16 «dix six» comme en espagnol, mais en français standard, on le lit autrement. La forme orale de 16 ne peut être trouvée par des procédés combinatoires comme 17 ( donne dix-sept). Il s agit d une lecture idéogrammique comme en chinois : on reconnaît la graphie «16», et on doit lui associer le son «seize». On peut remarquer cependant que «onze» est une altération de «un», «douze» vient de «deux» et ainsi de suite. Il ne faut pas hésiter à donner quelques informations sur l histoire de notre numération orale qui est rappelons le une des plus compliquée du monde. La mémorisation des lectures des nombres de 11 à 16 peut prendre un peu de temps. + Même si c est la connaissance de la numération orale qui est visée dans ces séances, on ne laisse pas de côté les apprentissages précédents, on continue la pratique quotidienne du calcul, on continue de résoudre des problèmes. + On peut, si cela est conforme aux objectifs de lecture, rencontrer des écritures en lettres des mots nombres que l on connaît, mais il ne s agit en rien d un objectif mathématique. Aussi, il serait malvenu d aborder l étape 6 très tard dans l année au prétexte que certains élèves font des fautes d orthographe sur certains mots. La graphie correcte des mots nombres relève au sens propre des leçons d orthographe. Séquence : 2 Objectif : Le nombre vingt. On explique pourquoi «20» se dit vingt. On introduit l écriture « = 20», on fait remarquer que 10 est la moitié de 20, et que 20 est le double de 10. On donne la règle de lecture des nombres de 20 à 29. On remarque que c est plus facile à lire que les nombres de 10 à 19, que 23 = On commence à dévoiler la règle de numération des nombres de 16 à 69. Ces nombres sont le plus souvent connu en maternelle. 19

20 Suivent deux à trois séances de travail individuel. (Voir exercices proposés.) Séquence 3 : La numération orale française standard des nombres de 20 à 99. Séance 1 : De vingt à soixante-neuf. On commence par un PLM de nombres connus (inférieurs à 20). Puis on demande aux élèves s ils savent écrire (en chiffres) des nombres comme 34, 42, 59, 64, A cette occasion on écrit ces nombres au tableau en donnant simultanément l écriture additive canonique correspondante (59 = ). Cela permet d expliciter la règle de fonctionnement de la numération dans ce créneau : un nom pour les dizaines suivi d'un nom pour les unités. On fait remarquer que «trente» commence comme «trois», «cinquante» comme «cinq» etc. Quand on entend «quarante, on écrit 4 dizaines) Analyse des erreurs rencontrées et attendues. Type d exercices. Erreurs rencontrées Procédure possible de remédiation Dictée de nombre sur l ardoise L élève qui entend «quarante» écrit 4. On fait remarquer que «4» se lit «quatre» et non «quarante». Suit un panel d exercices individuels. En plus du calcul quotidien, du contrôle de la mémorisation de résultats additifs, on procède à des dictées de nombres. On se souvient que pour certains il y a des règles de passade de l oral à l écrit, pour d autres, non. On donnera le successeur ou le prédécesseur de nombres donnés. Attention! la difficulté n est absolument pas la même si les nombres sont écrits ou dictés. Donner le prédécesseur ou le successeur d un nombre écrit revient à faire fonctionner une règle d écriture, s il est dit, il faut soit le replacer dans une suite mémorisée, soit transcrire mentalement ce qui est entendu sous forme écrite ou faire fonctionner tout procédé personnel. 20

21 Parallèlement, on affiche la suite numérique en chiffres, de 1 à 69. On s y réfère pour travailler sur l ordre. Il n est pas question, à ce moment, d écrire en lettres les nombres découverts. La maîtrise des graphies, qui relève d une compétence de lecture, est complexe, il serait malvenu de l introduire ici, au risque de perturber la compréhension de l objectif mathématique. Numération écrite des nombres de 70 à 99. Il faudra six à sept séances. Séance 2 : Numération orale des nombres de 70 à 79. La règle est différente et on doit l expliciter : il n y a plus un nom pour les dizaines, mais deux («soixante» - «dix»). Ici, quand on entend «soixante», il faut attendre avant d écrire. Si le mot suivant représente un nombre plus grand que 10, on écrit 7 dizaines. On donne deux écritures additives, celle qui correspond à ce qu on entend, et celle qui est canonique : 73 = = Exercices individuels. Analyse des erreurs rencontrées et attendues. Type d exercices. Erreurs rencontrées Procédure possible de remédiation Travaux individuels Confusion entre 65 et 75 etc. Cela peut durer un certain temps. On revient à la règle (c est pour cela qu il faut l avoir énoncée) Séance 3 : Numération orale des nombres de 80 à 89. (On n attend pas qu il n y ait plus d erreurs sur le créneau précédent pour aborder celui-ci. On y revient régulièrement, à l occasion de travaux différenciés.) Ne pas hésiter à donner une explication historique (étymologie) : la numération ancienne des celtes qui a influencé la numération française était vicésimale. On n hésite pas représenter les 21

22 quatre paquets de vingt par quatre pièces de 20F. On donne deux écritures additives, celle qui correspond à ce qu on entend, et celle qui est canonique : 83 = = A cette occasion on présentera des sommes à plusieurs termes comme 36 = ou 36 = , Utilisation des répertoires additifs appliqués aux dizaines : si on connaît = 5, on peut trouver = 50. Analyse des erreurs rencontrées et attendues. Type d exercices. Erreurs rencontrées Procédure possible de remédiation Travaux individuels Des élèves confondent 40 et 80. Les deux commencent par le même son, les deux s expliquent avec 4 paquets (de dix ou de vingt), cette confusion est normale.. Certains ont du mal à donner l'écriture additive correspondant au nombre donné On revient au sens. Quatre dizaines ce n est pas quatre vingtaines Séance 4 : La numération orale de 90 à 100. Même type de séance que pour les nombres de 70 à ) La numération orale en tahitien moderne. La numération orale en tahitien moderne est la traduction, par des pasteurs Anglais de la numération anglaise simplifiée. La numération ancienne utilisait des mots pour cent (rau), 22

23 mille (mano), dix mille (manotini), cent mille (rehu), million ( iu) dont l usage a été malheureusement perdu de façon à ce que la numération orale moderne ressemble le plus possible à l anglais. L abandon de rau pour hanere (hundred), de mano pour tahuatini (thousand) n a pas d autre explication. C est beaucoup plus simple qu en français. Le code primitif est connu (hō'ē, piti, toru, maha, pae, ono, hitu, va u, iva, mais pas de tous les élèves. Il peut donc être nécessaire de l enseigner. Le code primitif secondaire ( ahuru, hanere, tahuatini) doit être enseigné. Puis on donne la règle de lecture, pour les nombres inférieurs à 1000, la règle est unique, ce qui est infiniment plus simple qu en français. Pour lire un nombre à trois chiffres en tahitien, on dit «e», puis le nom du chiffre de gauche et on ajoute le mot hanere, puis on dit le mot ma puis on dit le nom du chiffre du milieu suivit du mot ahuru, puis on dit encore le mot ma puis on dit le nom du dernier chiffre. Exemple : 479 : e maha hanere ma hitu ahuru ma iva. Quand ceci est compris, on donne l exception à la règle, pour les nombres qui commencent par un 1, on omet la particule e. Exemple : 198 : hanere ma iva ahuru ma va u. Lien sur Note sur les numérations polynésiennes 23

24 Etape 8 Techniques de calcul de sommes Séance 1 : La barre à dix. Objectif : Enseigner une stratégie de calcul : recomposer une écriture additive pour faire apparaître des dizaines. ex : = = = = : la commutativité est implicite, (il n y a pas nécessité à enseigner le mot) : il faut chercher à faire 10, ce qui suppose de bien connaître le répertoire additif de 10. ou bien = = etc. Remarques - cette leçon peut être introduite à partir de problèmes écrits simples ou sous forme d exercices «secs», c est à dire sans habillage. - cette compétence est importante. Séance 2 : Les presque doubles. Objectif : Travail sur la diagonale de la table de Pythagore, savoir que dès que l on connaît a + a, on peut trouver a + (a + 1). ex : = = Remarque Cette séance apparaît dès que l occasion se présente, dès que l on connaît les doubles. L utilisation de ce procédé est alors permanente tout au long de l année. Télécharger les fiches relatives à cette séquence 24

25 Annexe 1 Le principe de la numération décimale de position avec zéro. Chacun sait qu il n est pas naturel d écrire les nombres comme nous le faisons. Nous sommes, pour cela comme pour le reste des héritiers. Comme toute numération, notre numération écrite veut résoudre le problème de la désignation des quantités par des signes graphiques sans avoir à inventer autant de signes différents qu il y a de nombres à écrire. Elle repose pour cela sur plusieurs principes. - Elle est décimale, c est à dire que les groupements des objets d une collection importante se font par puissances successives de 10. Cela n est pas naturel. Des civilisations, et non des moindres pratiquaient des groupements par puissances de soixante, voire des groupements irréguliers. Au Marquises, la numération orale traditionnelle est partiellement quadrécimale (de base quarante). - Elle est de position, c est à dire que la position d un chiffre est significative. Cela n est pas naturel. Des civilisations, et non des moindres utilisaient des numérations dans lesquelles seule la forme des chiffres avait du sens, la position n en avait pas. Le sens du chiffre pour désigner mille par exemple n était pas altéré par la position relative des autres chiffres. Il a existé encore des numérations de position sans zéro. Dans ces conditions, 51 pouvait tout aussi bien désigner 510 que 5001 etc. Ceci pour dire que l écriture en chiffres qui semble naturelle chez l adulte ne l est devenu que par l usage. Il s agit d une connaissance culturelle, complexe qui doit donc être enseignée. Enseigner la numération écrite ce n est pas apprendre à lire les nombres. Lire un nombre, c est passer d une représentation écrite à une représentation orale. Apprendre la numération écrite, c est comprendre comment un cardinal peut être codé, et apprendre à faire fonctionner le code. 25

26 Annexe 2 Le principe de la numération orale. Comme pour les numérations écrites, une numération orale a pour but de coder un nombre très grand de nombres avec un nombres restreint de mots. Toute numération orale est composée d une partie primitive (un mot différent pour chaque nombre) et d une grammaire qui en donnant des règles d association des mots de la liste primitive, au prix de l introduction de quelques mots supplémentaires, atteint le but fixé. Ces listes primitives, ces grammaires, sont des outils linguistiques qui dépendent des langues ou des particularismes et ne constituent pas des savoirs mathématiques authentiques intrinsèques (ils dépendent des langues pratiquées et non pas d un concept). En ce qui concerne les numérations orales pratiquées en Polynésie française, française, tahitienne et marquisienne, il est clair que les règles sont très différentes. (Voir annexes I, II et III) Pour la numération française standard jusqu à cent pratiquée en Polynésie (différente du français de Suisse pas exemple), trois règles cohabitent : - la numération primitive de un à seize (chaque nombre a un nom), - une numération décimale de dix-sept à soixante neuf - et une numération vicésimale de soixante à quatre vint dix neuf, celle-ci correspondant même à deux sous cas, de 60 à 79 et de 80 à 99. La numération tahitienne est plus simple. Moderne, elle se veut un mime exact de la numération écrite. Une liste primitive de 1 à 10 est suivie d une règle unique de 11 à 99. Quant à la numération orale marquisienne (voir annexe V), elle présente les mêmes difficultés de lecture que la numération française, toutes deux sont anciennes, antérieures à l introduction de la numération écrite. En résumé, seule la numération orale tahitienne justifierait que l on fît une étude parallèle des deux numérations. Par contre, en français la numération écrite des nombres de 10 à 99 répond à une règle unique, l écriture de ces nombres doit donc être abordée globalement comme unique réponse à un problème unique alors que la numération orale pour les mêmes nombres répond à trois règles différentes. Le découpage de l étude de la numération écrite ou de la numération orale par tranche de dix est une absurdité. Ce qui doit être fait, c est un découpage correspondant aux solutions apportées. Les règles de transcription à l écrit de la numération orale sont des règles orthographiques. Elles ne relèvent pas des mathématiques, et pour importantes qu elles soient, elles ne seront pas traitées ici. 26

27 Annexe 3 L addition. L élève de maternelle découvre que par des mots ou des signes, on peut coder des quantités. Il découvre donc que non seulement la nature des objets est conçue et nommée, mais que leur quantité est en soit un concept. Dans cette acception, le nombre est statique. Il désigne, c est tout. Avec l addition, on découvre un aspect dynamique du nombre. Deux nombres peuvent en engendrer un autre. C est cela en premier qu apporte l addition, une vision dynamique des nombres. Cela est largement abordé dès la moyenne section, le sens premier de l addition étant alors celui du fractionnement d une grande collection (c est à dire trop grande pour être nommée simplement). Vient ensuite le sens de la réunion. Outre la connaissance des sens de l addition, l élève du CP doit acquérir des compétences techniques, calculatoires. Il doit «savoir faire des additions». Là encore, il y a souvent mauvaise compréhension de l objectif, et plus encore, mauvaise stratégie. Il n est pas rare de rencontrer des progressions qui font la part belle à l étude de l algorithme, scindant son étude en sous algorithmes (apprendre à poser les additions à un chiffre, puis trois, puis quatre, puis «à retenues» etc.). L époque n est plus où il fallait que chaque citoyen put faire, fusse au prix de l incompréhension de la pratique et d un apprentissage long et coûteux, des opérations avec un crayon et du papier. On peut obtenir pour moins de 200cfp et parfois gratuitement dans des paquets de lessive de tels moyens. L étude de l addition en CP doit permettre de faire fonctionner la numération écrite, et de dégager, même implicitement, des règles comme l associativité et la commutativité. Pour cela, le calcul pensé avec l aide de l écrit est un outil privilégié. Les méthodes de calcul sont donc adaptées aux nombres à ajouter (voir annexe IV). On a vu en maternelle qu un nombre était une classe d équivalence d ensembles équipotents, qu on pouvait la représenter de façon symbolique par des représentants quelconques, puis de façon symbolique de façon unique par un chiffre ou un groupe de chiffres, enfin de façon unique par un mot ou un groupe de mots. L addition et le signe «=» vont faire découvrir l équivalence d écritures chiffrées. Le calcul peut alors être compris comme l usage de règles permettant de trouver des écritures équivalentes d un même nombre. Le signe «=» est plus abstrait que le signe «+», sa maîtrise est plus difficile. Il ne faut pas être surpris par des confusions entre «+» et «=», par la lenteur que certains mettront à en maîtriser l usage. Placé entre deux écritures, le signe «=» signifie que mêmes différentes, ces écritures représentent le même sens. L usage du signe = est donc contraire à la pratique orthographique : quand on écrit des mots, on est grondé si l on n écrit pas bien, alors que quand on écrit des nombres, plus les graphies sont baroques, plus le maître est content. 27

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29 Annexe IV Le calcul mental est un domaine privilégié pour tester les conceptions numériques des élèves et enseigner des propriétés des opérations. La nécessité d opérer rapidement ou sans algorithme unique oblige l élève à opter pour une mise en oeuvre des procédures révélatrices des conceptions qu ils se fait des nombres. En ce qui nous concerne celles-ci sont directement liées à la numération décimale et aux propriétés de l addition, voire de la soustraction. Prenons l exemple suivant : et = Voici quelques procédures obtenues : =( ) + (5+5) = ( ) + ( ) = ( ) = ( ) = (25 + 5) = ( ) + ( ).. Chaque élève choisit et utilise la procédure qui lui convient ou qu il maîtrise par soucis d économie pouvant porter sur la mémoire, la disponibilité des outils proposés ( les décompositions additives, les nombres, la maîtrise des calculs intermédiaires et une connaissance du système de numération de position). Annexe : cardinal et ordinal. Le nombre a été découvert à partir de l équivalence de collections de même cardinaux inférieurs à 5. Dans ce créneau, la reconnaissance globale est possible, on a donc évité d utiliser d abord tout processus de comptage qui privilégierait l idée d ordre sur celle de nombre. Le cardinal a été construit et compris comme la propriété commune de collections équipotentes. Chaque cardinal de 1 à 9 a été désigné oralement de par écrit. Les activités numériques supposent la connaissance du nombre. On vérifie dans cette leçon que les élèves ont une connaissance du concept cardinal et qu ils ne procèdent pas nécessairement par énumération pour déterminer une petite quantité. 29

30 Annexe Numération marquisienne (Langue de Ua Pou) La numération classique des Marquises a ceci de commun avec la numération en français qu elle n est pas entièrement à base dix La numération orale marquisienne est surprenante en cela aussi qu elle permet de désigner des nombres très grands, ce qui n est pas commun dans une «société traditionnelle». Elle ne s appuie pas sur une base fixe. Alternent des composants de bases dix, vingt et quarante. La liste primitive se compose de : un = tahi quatre = ha sept = hitu vingt = tekau deux = ùa cinq = ima huit = vau quarante = touha trois = toù six = ono neuf = iva quatre cent = au On a récemment baptisé le chiffre 0 «aè he mea» (il n y a rien). Pour de grands nombres, on utilise «e tahi mano» pour 4 000, et donc «onohuu mano» pour , mais le même mot que pour vingt, «tekau» est réutilisé pour Ceci n est pas rare, bon nombre de numérations, écrites et orales n ont pu lever ces ambiguïtés, le contexte permettant en général de s y retrouver. L ancienne numération tahitienne comprenait elle aussi ce type d ambiguïtés. La grammaire est assez naturelle (au sens où elle se retrouve dans presque toutes les langues) : si un mot précède un mot d un rang supérieur, le nombre formé par ces mots est le produit de leurs valeurs (ex : «trois cent» veut dire 3 x 100 et «e ùa touha» veut dire 2 x 40). Dans le sens inverse, ce mot désigne la somme (ex : «cent trois» veut dire et «touha ma ùa» veut dire ). 30

31 Cela doit suffire pour comprendre le fonctionnement de cette numération. - pour les nombres compris entre 10 et 20, onohuu + (nom de nombre inférieur à 10). Ex : 13 se dit «onohuu ma toù» - pour les nombres compris entre 20 et 30, tekau + (nom de nombre inférieur à 10) Ex : 23 se dit «tekau ma toù» - pour les nombres compris entre 30 et 40, tekau ma onohuu ma (nombre inférieur à 10) Ex : 33 se dit «tekau ma onohuu ma toù». - pour les nombres compris entre 40 et 399, on a le schéma : α touha (me te tekau) (ma onohuu) (ma β) où α et β sont inférieurs à 10. Ex : 75 se dit «e tahi touha me te tekau ma onohuu ma ima», Ce qui correspond à la décomposition , 278 se dit «e ono touha me te tekau ma onohuu ma vaù», Ce qui correspond à la décomposition 6 x pour les nombres supérieurs, on procède de la même façon, en combinant les mots de la liste primitive. Ex : 523 se dit «e tahi au e toù ma toù», soit 523 = 1 x x se dit «e vaù au e ha touha me te tekau ma ùa», soit 3382 = 8 x x

32 10625 se dit «e ùa mano e ono àu e ima touha me te takau ma ima», ce qui correspond à : = 2 x x x Remarque : Tout adulte qui ne connaîtrait pas la numération orale marquisienne serait comme un enfant de CP qui apprend à lires les nombres en français (c est à dire à passer de la numération écrite en chiffres à la numération orale). Par exemple, 82 ne se lit pas «huitante deux» ou «octante deux» en français standard, mais «quatre vingt deux» qui correspond à 4 x Lien sur Note sur les numérations polynésiennes. 32