Chapitre 8 Symétrie axiale

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1 I. s symétriques Chapitre 8 Symétrie axiale Définition 1 : Deux points, A et B, sont symétriques par rapport à une droite (d), si la droite (AB) est perpendiculaire à (d) et le point d intersection des deux droites, est le milieu du segment [AB]. Remarques : 1. La droite (d), l axe de symétrie des points A et B, est la médiatrice de [AB]. 2. Les points sur l axe de symétrie sont leurs propres symétriques. Définition 2 : Deux figures sont symétriques par rapport à une droite, si tous les points qui composent une des figures, sont symétriques, par rapport à cette droite, aux points de l autre figure. Exercices : 1, 2, 3 et 5 page 167 (à l'oral) 7 page page 169 David Prieto Colmenarejo 1

2 II. Construction de symétriques Le symétrique d un point A par rapport à la droite (d) est un point S, sur la droite perpendiculaire à (d) passant par A, et tel que la distance entre A et la droite soit la même que entre S et la droite. A. Avec règle graduée et équerre B. Avec compas (méthode 1) C. Avec compas (méthode 2) Exercices : 17, 18, 19 page page , 24 page 170 (à l'oral) David Prieto Colmenarejo 2

3 III. Propriétés de la symétrie axiale A. Alignement Propriété 1 : Le symétrique d une droite par rapport à un axe, est une droite. Propriété 2 : La symétrie axiale conserve l alignement. Les symétriques de trois points alignés par rapport à une droite, sont alignés. B. Longueurs Propriété 3 : La symétrie axiale conserve les longueurs. Propriété 4 : Le symétrique d un segment par rapport à un axe, est un segment de même longueur. Remarque 3 : Le symétrique du milieu d un segment est le milieu du segment symétrique. Remarque 4 : Les points de la médiatrice sont équidistants des extrémités du segment. Propriété 5 : Le symétrique d un cercle par rapport à un axe, est un cercle de même rayon que le premier et de centre, le symétrique du centre du premier cercle. C. Angles Propriété 6 : La symétrie axiale conserve la mesure des angles : le symétrique d un angle est un angle de même mesure. Remarque 5 : La bissectrice est un axe de symétrie de l'angle. Exercices : 22, 25, 27, 28 page , 32 page , 21 page page page 172 David Prieto Colmenarejo 3

4 Symétrie axiale avec GeoGebra Avant de commencer à utiliser Geogebra : la fenêtre doit occuper tout l écran ; enlever les axes en cliquant sur la case pour décocher, aux outils de graphique. Attention : pour savoir comment utiliser un outil de construction, il faut placer le curseur sur l outil pour obtenir une info-bulle. Exercice 1 : Les propriétés de la symétrie axiale : a. Construire le triangle ABC rectangle en A. Placer I le milieu de [AC]. Tracer le cercle O de diamètre [AC]. Tracer la droite (BU). b. Construire les points A', B', C' et I' symétriques respectifs des points A, B, C et I par rapport à l'axe (BU). Tracer le triangle A'B'C', symétrique de ABC par rapport à l'axe (BU). c. Répondre en justifiant, à côté de la figure, en utilisant l outil «insérer texte» à la suivante question : Quels sont le centre et le rayon du cercle O' symétrique du cercle O par rapport à la droite (BU)? Construire O. d. Dans une deuxième boite de texte, énoncer une remarque à propos de B et de B'. e. Afficher les mesures des angles des triangles ABC et A'B'C'. Dans une troisième boite de texte, énoncer la propriété qui justifie les relations entre ces mesures. Exercice 2 : Double symétrie a. Tracer le triangle ABC et la droite (d) parallèle à (BC) passant par A. b. Construire le triangle ADE, symétrique de ABC par rapport à (d). c. Tracer la droite (d ) perpendiculaire à (d) passant par A. d. Construire les triangles AFG et AHI, symétriques par rapport à (d ) des triangles ABC et ADE respectivement. e. Dans une boîte de texte, justifier pourquoi les triangles AFG et AHI sont symétriques par rapport à (d). Exercice 3 : Quadrilatères a. Tracer un cercle de centre A passant par E. Placer trois autres points F, G et H sur ce cercle. b. Construire les médiatrices des segments [EF], [FG], [GH] et [HE]. Que remarquez-vous? c. Bouger les points A, E, F, G et H pour vérifier que n est pas le hasard et dans une boîte de texte énoncer une conjecture pour décrire votre remarque. d. Dans une deuxième boîte de texte, démontrer la conjecture. Ne pas oublier d'enregistrer les fichiers pour les faire arriver au professeur! Les exercices doivent être enregistrés dans le dossier de l élève, sous-dossier "geometrie", sousdossier "sym_ax", sous le nom de «nom_prénom_exercice_numéro d exercice» (Exemple : prieto_david_exercice_2 dans le dossier "sym_ax", dans le dossier "geometrie", dans le dossier "prieto_david"). David Prieto Colmenarejo 4

5 IV. Axes de symétrie de figures usuelles A. Axe de symétrie d une figure Définition 3 : Une droite (d) est un axe de symétrie d une figure lorsque cette figure est sa propre symétrique par rapport à la droite. Exemples : Exercices : 1, 2, 4, 5 et 6 page 181 (à l oral) 8 page 182 (à l oral) 12, 14 et 15 page 182 B. Axes de symétrie de figures usuelles 1. Axes de symétrie d un triangle Propriété 7 : Un triangle isocèle a un axe de symétrie qui est à la fois la médiatrice de sa base et la bissectrice de son angle principal. Propriété 8 : Un triangle équilatéral a trois axes de symétrie qui sont à la fois les médiatrices de ses côtés et les bissectrices de ses angles. Exercices : 26, 27 page 184 (26 à l oral) 2. Axes de symétrie d un quadrilatère Propriété 9 : Un losange a deux axes de symétrie qui sont ses diagonales. Propriété 10 : Un rectangle a deux axes de symétrie qui sont les médiatrices de ses côtés. Propriété 11 : Un carré a quatre axes de symétrie qui sont les médiatrices de ses côtés et ses diagonales. David Prieto Colmenarejo 5

6 3. Conséquences Propriété 12 : a. Dans un triangle isocèle, les angles à la base ont la même mesure. b. Dans un triangle équilatéral, tous les angles ont la même mesure (60º). Propriété 13 : a. Dans un losange, les diagonales se coupent perpendiculairement en leur milieu. b. Dans un rectangle, les diagonales se coupent en leur milieu et ont la même longueur. c. Dans un carré, les diagonales se coupent perpendiculairement en son milieu et ont la même longueur. Exercices : 32, 33, 35, 36 page , 41, 43 page 186 David Prieto Colmenarejo 6