TS Fonction logarithme népérien (1)

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1 TS Foctio logritme épérie () Logos : rpport riso Aritmos : ombre Néper : stroome écossis du XVI e siècle I. Géérlités ) Défiitio Nous dmettros provisoiremet qu il eiste ue uique foctio f défiie sur ]0 ; +[ vérifit les coditios : C : f est dérivble sur ]0 ; +[ 0 ; f ' C : et f 0 Cette foctio est ppelée «foctio logritme épérie» et est otée l. ) Remrque O peut démotrer que l e peut s eprimer à l ide des symboles usuels (il y ps de «formule») bie que l dérivée soit très simple. 3 ) Coséqueces immédites de l défiitio C : l foctio l est dérivble sur l itervlle ]0 ; +[ et 0 ; l ' C : l 0 Les pretèses sot fculttives. 4 ) Utilistio de l clcultrice Touce l ou LN. Pour clculer l, o tpe l. l = 0,69347 (ombre irrtioel) 5 ) Foctios défiies pr u l f : l A () f eiste si et seulemet si A 0 Eemple : f : l f eiste si et seulemet si 0 si et seulemet si D f = ] ; +[ II. Propriétés lgébriques du logritme épérie ) Propriété (propriété fodmetle) Eocé, b l b l lb esemble des couples de réels strictemet positifs Eemple l 3 l 4 l 3 4 l e eercice Vérifier que > 0 et b > 0. l b l b l l b Si < 0 et b < 0, lors Démostrtio (ROC) Hypotèses : 0 fié b 0 fié But : Démotrer que Prérequis : l ' l 0 l b l lb f : l l Astuce de déprt : o cosidère l foctio D f = L foctio f est dérivble sur d près les règles sur les foctios dérivbles.

2 et b sot deu réels tels que 0. I et J sot deu itervlles tels que I b J. u est ue foctio défiie et dérivble sur J. f u b. f est l foctio défiie pr L foctio f est dérivble sur I et I f ' u ' b. imge de + b pr l foctio u Pour dériver f, o «met» le devt et o «met» l dérivée de u ppliquée à + b. f ' f ' 0 Doc l foctio f est costte sur. Ue foctio dérivble dot l dérivée est ulle sur u itervlle est costte sur cet itervlle. Pour trouver cette costte, o pred comme vleur prticulière. f l l l Doc f l E prticulier, pour b, o obtiet f b l c est-à-dire Filemet : Géérlistio, b, c 3 l b lb l l b l lb,,..., l bc l lb l c ) Propriété Eocé Eemple l l l l l... l l... l Démostrtio (ROC) l l prop. déf. l l 0 l l 3 ) Propriété 3 Eocé, b l l lb b Eemple 3 l l 3 l e eercice Vérifier que > 0 et b > 0. l l l b b l b Si < 0 et b < 0, lors Démostrtio (ROC) b b l l b b prop. l l l b b prop. l l lb b 3 4

3 4 ) Propriété 4 Eocé Eemple l 9 l 3 l3 l l Démostrtio (ROC) 3 e cs : 0 0 (pr défiitio) 0 l l 0 0 O peut doc écrire : l Bil : l l 5 ) Propriété 5 Eocé 0 l : esemble des etiers reltifs (positifs ou égtifs) = { ; ; ; 0 ; ; ; } l l er cs : 0 Eemple... fois l l... termes prop. l l l... l l l e cs : 0 O pose : m l 3 l 3 0 et b 0 l b l b Démostrtio (ROC) l l prop.4 m 0 m m l l l l l l m prop. N.B. : l l l m ml m > 0 doc le er cs s pplique l l 5 6

4 6 ) Formulire récpitultif l b l lb l l l l l b b l l l l III. Etude de l foctio logritme épérie ) Défiitio L foctio logritme épérie est l foctio f : l. ) Domie de défiitio D l = O peut oter l 3 ) Cotiuité et dérivbilité dérivée «à vleurs ds» (ss tlo) «pour imge» (vec tlo) L foctio l est cotiue sur c est-à-dire que pour tout réel > 0 liml l. Cette propriété se trduit isi grpiquemet : l courbe de l foctio l pourr être trcée ss lever le cryo. L otio de cotiuité ser trvillée ds u cpitre ultérieur. Pr défiitio, l foctio f est dérivble sur et f ' 6 ) Limite e lim l Démostrtio (ROC) O effectue u cgemet de vrible. O pose l l X prop. l l X lim X X X ( 0 + ) (X +) l X (d près le 5 )) D où lim l 0 Coséquece grpique : L courbe C l dmet l droite d équtio = 0 pour symptote verticle. 7 ) Tbleu de vleurs (vec l clcultrice) 0, 0, l (vleurs rrodies u diième) 8 ) Représettio grpique,3 0,7 0 0,7,,4,6 4 ) Tbleu de vritio Sige de 0 + Vritio de l foctio f f ' + 5 ) Limite e + (dmise ss démostrtio) lim l + 7 8

5 4 ) Tgete prticulière u poit d bscisse e O j i e C l : y l L équtio réduite de l tgete u poit d bscisse e s écrit : y l ' e e l e y e e y e y e Cette tgete psse doc pr l origie du repère. D où le trcé de l tgete (o joit l origie du repère u poit d bscisse e). 5 ) Puissces de e 9 ) Tgete prticulière u poit d bscisse l ' L tgete u poit d bscisse pour coefficiet directeur. IV. Nombre de Néper ) Défiitio Nous dmettos provisoiremet qu il eiste u uique réel strictemet positif e tel que l e. Ce ombre est ppelé ombre de Néper. A quoi ç sert? Ce ombre v beucoup ous servir cette ée. ) Nture Nous dmettros ss démostrtio que e est u ombre irrtioel. 3 ) Utilistio de l clcultrice TI 83 plus l e l e l e l e V. Coséqueces du ses de vritio ) Compriso de deu logritmes épéries et b sot deu réels strictemet positifs l l b b l l b b l l b b 0 b + l ) Sige d u logritme épérie l l l b de (e) ENTER ou de LN ENTER. e,78... l 0 l 0 l 0 9 0

6 3 ) Eemples d équtios et d iéqutios logritmiques 4 ) Eemples de résolutios d iéqutios vec des puissces Eemple : Résoudre ds l équtio : l 3 0 () Détermios les etiers turels tels que 0,9 (). Coditios d eistece : O doit voir 3 0 soit < 3. O résout ds l itervlle ; 3. Résolutio : () l 3 3 ; 3 Doc S l Métode : O «pred» le logritme épérie des deu membres. O l impressio que l o compleifie mis e fit o simplifie le problème (comme souvet e mts, o compleifie pour simplifier). () l 0,9 l l 0,9 l : l (0,9) Eemple : Résoudre ds l équtio : l () Coditios d eistece : O doit voir > 0. O résout ds l itervlle 0 ;. Résolutio : l l 0,9 SGN l (0,9) 0 0,9 doc l 0,9 0 () l l e e Tous les ombres strictemet supérieurs à e sot ds le domie de résolutio. l Avec l clcultrice, o trouve 6, l 0,9 Or. Les etiers turels cercés sot supérieurs ou égu à 7. Doc S e ;. VI. Comprisos des foctios logritme épérie et rcie crrée Eemple 3 : Etudier le sige de l suivt les vleurs de (vec 0 ) ) Hypotèse Métode : o résout deu iéqutios et ue équtio. l 0 () l 0 () l 0 (3) () l l l e e () l l l e e (3) l l l e e f : l D f = ) Dérivbilité et dérivée f l Coclusio : tbleu de siges 0 e + Sige de l + 0 f est dérivble sur. f ' f ' f '

7 3 ) Tbleu de vritio SGN de + 0 SGN de SGN f ' + 0 f 4 Vritio de l foctio f 4 ) Clcul du mimum globl f (4) f 4 l 4 4 l l l 5 ) Sige de f et coséquece file e l l e l l 0 Doc f 4 0 d où f 0 Pr coséquet, l 0 l 4 L foctio logritme épérie est mjorée pr l foctio logritme épérie. VII. Limites de référece ) ère limite de référece (croissce comprée) l lim 0 l est défiie sur ]0 ; +[ doc l limite de l lorsque + est evisgeble. O recotre ue FI du type, o v utiliser ue métode pr ecdremet. 0 l (vu ds le VI. 5 )) l 0 l 0 (ecdremet de l ) u (miort) et v (mjort). O pose 0 : ( 0 ) lim u 0 doc d près le téorème des gedrmes pour les foctios lim v 0 ) e limite de référece 0 lim l 0 l lim 0. l est défiie sur ]0 ; +[ doc l limite de l lorsque 0 + est evisgeble. O recotre ue FI du type «0». O v utiliser ue métode pr cgemet de vrible. O pose X X ( 0 + ) (X +) j O i 3 4

8 Réécriture : l l X X l X X l X X l X lim 0 X X D où lim l ) 3 e limite de référece l lim 0 l est défiie sur ; 0 0 ;, doc est défiie u voisige de 0 (suf e 0) doc l limite de l lorsque 0 est evisgeble. lim l 0 0 O recotre ue FI du type «0 lim 0 0». O procède pr ue métode pr tu de vritio. O cosidère l foctio f : l. O effectue ue réécriture. f l Or l 0 O l itroduit de force pour fire pprître u tu de vritio. l f f Or comme l foctio f est dérivble sur ] 0 ; +[, pr défiitio du ombre dérivé de f e, o : f f lim f ' 0 Or 0 ; f ' doc f ' l Coclusio : lim 0 VIII. Foctios logritmes de bse quelcoque ) Défiitio est u réel strictemet positif tel que. O ppelle foctio logritme de bse l foctio log : l l. l log l ) Cs prticuliers e l e l loge l l e L foctio logritme de bse e est l foctio logritme épérie. 0 l log0 l0 log0 est oté log. (logritme déciml de ) l log l0 Touce de l clcultrice : LOG. E cimie, ph log H3O log 0 log 0 E effet, l0 log0 l0 l0 l0 log 0 l0 l0 5 6

9 3 ) Propriétés lgébriques et y sot deu réels strictemet positifs. log y log log y log log log log log y log log log log Eemple de démostrtio y l y l l y l l y log y log log y l l l l N.B. : O peut remplcer pr importe quel ombre strictemet positif différet de. 4 ) Eercice Résoudre l équtio log 3 (). Coditios d eistece : O doit voir 0. O résout ds l itervlle 0 ;. Résolutio : () l 3 l l 3l 3 l l l l8 8 Doc S 8 IX. Foctios ssociées à l foctio logritme épérie ) er résultt et b sot deu réels tels que 0. f l b f eiste si et seulemet si b 0 ) ( L foctio f est dérivble sur so itervlle de défiitio et D f f ' b. l b ' b Justifictio f g b f ' g ' b O pplique l formule vec g l. ) e résultt (géérlise le ), dmis provisoiremet ss démostrtio) u est ue foctio défiie et dérivble sur u itervlle I telle que I u 0. L foctio f : l u O retiet : l u u ' '. u est défiie et dérivble sur I et I u ' f ' u. u ' Le quotiet est ppelé l «dérivée logritmique de u» (vieu om, que l o utilisit beucoup utrefois e u scieces pysiques vec les clculs d erreurs e prticulier). Ne ps oublier que u désige ue foctio ds cette formule. Eemple : f : l 3 f ' 3 7 8