Epreuve de Mathématiques - Durée : 4 heures.

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1 Lycée Saint-Exupéry BAC BLANC - Février 04 - Terminales S Epreuve de Mathématiques - Durée : 4 heures. Le sujet est composé de exercices communs à tous les candidats, d un exercice réservé aux candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité, et d un exercice réservé aux candidats ayant suivi l enseignement de spécialité. Les exercices sont indépendants les uns des autres. Le candidat doit traiter les 4 exercices qui le concernent. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies. L usage de la calculatrice est autorisé. Le sujet est à rendre avec la copie. Exercice ( 4 points) Commun à tous les élèves. Les parties A et B sont indépendantes Partie A : et sont deux évènements indépendants sur un univers fini. Démontrer que et sont indépendants. Partie B : Un employé se rend à son travail en bus. S il est à l heure, il prend le bus de ramassage gratuit mis à disposition par l entreprise, s il est en retard, il prend le bus de la ville, il lui en coûte,50. Si l employé est à l heure un jour donné, la probabilité qu il soit en retard le lendemain est. S il est en retard un jour donné, la probabilité qu il soit en retard le lendemain est. Pour tout entier naturel non nul, on appelle l événement : «l employé est en retard le jour». On note la probabilité de et celle de. On suppose que 0.. Détermination d une relation de récurrence. a. Donner les probabilités conditionnelles : et. b. Déterminer en fonction de puis en fonction de. (Construire un arbre pondéré) c. Exprimer en fonction de et. d. En déduire que.. Etude de la suite. Pour tout entier naturel non nul, on pose. a. Démontrer que la suite est une suite géométrique de raison. b. Exprimer puis en fonction de. c. Justifier que la suite est convergente et calculer sa limite. Exercice (5 points) Uniquement pour les élèves ne suivant pas la spécialité maths. Les questions et peuvent être abordées de façon indépendante.. a. Résoudre dans l équation ² 0. Donner les solutions sous forme algébrique puis exponentielle. b. En déduire, grâce au changement de variable, les solutions dans de l équation : 0. Les donner sous forme algébrique.. Le plan est muni d un repère orthonormé direct ; ; d unité graphique cm. On considère les points A, B et C d affixes respectives, et. a. Déterminer les formes algébriques de et ainsi que celle de I milieu de [AC]. b. Faire une figure, y-placer les points A, B, C et I. c. Soit l ensemble de points M d affixe tels que. Déterminer la nature de. Puis, montrer que le point D d affixe appartient à. Que peut-on en déduire à propos du triangle ACD? d. Soit l ensemble de points M d affixe tels que. Déterminer la nature de. Puis, montrer que les points A, C et D appartiennent à. En déduire la nature du triangle ACD.

2 Exercice (5 points) Uniquement pour les élèves suivant la spécialité maths. Cet exercice est à traiter sur une feuille à part. Vu qu'il contient une annexe, vous devez détacher les deux feuilles de votre énoncé, rendre la première (donc celle-ci) avec votre exercice de spécialité, et la deuxième (donc l'autre) avec vos exercices du tronc commun. Le plan est muni d un repère orthonormal. Soient et deux entiers naturels non nuls ; on appelle "réseau" associé aux entiers et l ensemble des points du plan dont les coordonnées ; sont des entiers vérifiant les conditions 0 et 0. On note, ce réseau. Les parties A, B et C sont indépendantes. A Représentation graphique de quelques ensembles. Dans cette question, les réponses sont attendues sans explication, sous forme d un graphique dûment complété sur l annexe mise en bas de cette page et à rendre avec la copie. Représenter graphiquement les points ; du réseau, vérifiant :. mod et mod, sur le graphique de l annexe ;. mod, sur le graphique de l annexe ;. mod, sur le graphique de l annexe. (Faites clairement ressortir les points du réseau que vous considérez comme solution.) B Résolution d une équation. On considère l équation : 7 4, où les inconnues et sont des entiers relatifs.. Déterminer un couple d entier relatifs ; solution de l équation.. Déterminer l ensemble des couples d entiers relatifs solutions de l équation.. Démontrer que l équation admet une unique solution ; pour laquelle le point ; correspondant appartient au réseau,. C Une propriété des points situés sur la diagonale du réseau. Si et sont deux entiers naturels non nuls, on considère la diagonale du réseau, avec 0; 0 et ;.. Démontrer que les points du segment sont caractérisés par les conditions : 0 ; 0 ;.. Démonter que si et sont premiers entre eux, alors les points et sont les seuls points du segment appartenant au réseau,.. Démonter que si et e sont pas premiers entre eux, alors le segment contient au moins un autre point du réseau,. (On pourra considérer le pgcd des nombres et, et poser et.) Annexe, à rendre avec votre exercice de spécialité. y 8 y 8 y x x x Graphique Graphique Graphique Nom, prénom, classe :

3 Exercice (7 points) Commun à tous les élèves. On s intéresse aux fonctions f dérivables sur [0; + [ vérifiant les conditions : () : pour tout réel x appartenant à [0; + [, f 0 (x) = 4 (f(x)) () : f (0) = 0 On admet qu il existe une unique fonction f vérifiant simultanément () et (). Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante. L annexe sera complétée et remise avec la copie à la fin de l épreuve. Partie A. Étude d une suite Afin d obtenir une approximation de la courbe représentative de la fonction f, on construit une suite de points notés (M n ), d abscisse x n et d ordonnée y n telles que : x 0 = 0 et pour tout entier naturel n, x n+ = x n + 0, y 0 = 0 et pour tout entier naturel n, y n+ = - 0, y n + y n + 0,8. a. Les coordonnées des premiers points sont consignées dans le tableau suivant : n x n 0 0, 0,4 y n 0 0,800 0,47 0 Compléter ce tableau. On donnera les résultats à 0-4 près. b. Placer, sur le graphique donné en annexe, les points M n pour n entier naturel inférieur ou égal à 7. c. D après ce graphique, que peut-on conjecturer sur le sens de variation de la suite (y n ) et sur sa convergence?. a. Pour x réel, on pose p(x) = -0, x + x+ 0,8. Etudier les variations de p sur [ 0;] et montrer que si x [0 ; ] alors p(x) [0; ]. b. Montrer que pour tout entier naturel n, 0 y n y n+. c. La suite (y n ) est-elle convergente? Partie B. Étude d une fonction Soit g la fonction définie sur [0 ; + [ par g(x) = e e 4x 4x et (C + g ) sa courbe représentative.. Montrer que g'(x) = 6 puis que la fonction g vérifie les conditions () et (). ( + ) ².a. Montrer que (C g ) admet une asymptote dont on donnera une équation. b. Étudier les variations de g sur [0 ; + [. c. Montrer que l'équation g(x) = admet une unique solution sur [ 0 ; +õ [. Déterminer l abscisse α du point d intersection de et de la tangente à (C g ) à l origine. Tracer, dans le repère de l annexe, la courbe (C g ) et les éléments mis en évidence dans les questions précédentes de cette partie B. Exercice 4 (4 points) Commun à tous les élèves. Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n est demandée. Une réponse exacte rapporte point ; une réponse inexacte enlève 0,5 points ; l absence de réponse est comptée 0 points. Si le total est négatif, la note de l exercice est ramenée à 0.. Les solutions dans [ 0 ; ] de l'inéquation : cos ( 4x+ π 4 ) - π 5π a) x 8 ; π 4 8 ; π 4 b) x π 8 ; π 4 c) x 0; π π 8 ; 7π 8. On considère l algorithme ci-contre : En saisissant n =, à la sortie de cet algorithme : a) S vaut 0. b) u vaut. c) S vaut. sont les réels x tels que : Initialisation : S prend la valeur, i prend la valeur 0, u prend la valeur Saisir n Traitement : Tant que i<n, u prend la valeur u+ i S prend la valeur S+u, i prend la valeur i+, Fin tant que Sortie : Afficher S et u

4 . Soit une fonction telle que pour x : x+ x On a alors a) lim f(x) = - x - b) lim f(x) = x - c) lim x + f(x) = +e x. 4. On considère la pyramide régulière à base carrée ABCDS de côté 5 cm ; c'est-à-dire que les quatre triangles SCD, SAD, SBA et SBC sont équilatéraux et ABCD un carré de côté 5. Les points I et J sont sur [ SC] et [ SD] tels que SJ =,75 et Le point K appartient à la face (SBC) tel que les droites (IK) et (BC) ne sont pas parallèles. On appelle l intersection des plans (IJK) et (BDC) a) et (IJ) sont non coplanaires b) Le point d'intersection de (IK) et (BC) appartient à c) Le point d'intersection de (IK) et (BA) appartient à Annexe Nom, prénom, classe : 4

5 Lycée Saint-Exupéry BAC BLANC - Février 04 - Terminales S Correction Exercice ( 4 points) Commun à tous les élèves (0,5 + 0,75 + 0,75) + (0,5 + (0,5+ 0,5) + (0,5 + 0,5)) Partie A : Cf. cahier de cours! Partie B :. Détermination d une relation de récurrence. a. Donner les probabilités conditionnelles : et. et b. Déterminer en fonction de puis en fonction de. (Construire un arbre pondéré) L expérience est décrite par l arbre ci-dessous où est un entier naturel. Ainsi :.. c. Exprimer en fonction de et.. d. En déduire que Comme les événements et sont complémentaires alors Ainsi,.. Etude de la suite. Pour tout entier naturel non nul, on pose a. Démontrer que la suite est une suite géométrique de raison. Pour tout entier non nul, or d après la question.d,. Donc,. Donc, la suite est une suite géométrique de raison b. Exprimer puis en fonction de. Comme est une suite géométrique de raison alors pour tout entier naturel non nul, on a :.. or 0 Donc, pour tout entier naturel non nul, on a :. Pour tout entier naturel non nul, on a : donc c. Justifier que la suite est convergente et calculer sa limite. Comme alors lim 0. Donc, lim. La suite est convergente vers. Interprétation, la probabilité que la personne arrive en retard le è jour lorsque tend vers + est. 5

6 Exercice (5 points) Uniquement pour les élèves ne suivant pas la spécialité maths. ( + ) + (0,5 + 0,5 + (0,75 + 0,5) + (0,75 + 0,5). a. 4 solutions complexes conjuguées et. cos Donc,. donc ou or sin Donc, une notation exponentielle de est donc une notation exponentielle de est b. Dans Ê, 0 ² 0 d après la question.a. les solutions de l équation ² 0 sont et. Résolvons donc : et Donc S = ;. Le plan est muni d un repère orthonormé direct ; ; d unité graphique cm. On considère les points A, B et C d affixes respectives, et. a. ; et b. OK c. M() M() appartient à la médiatrice de [AC]. Donc, est la médiatrice de [AC]. 5 et 5 Donc, D DA = DC Ainsi, le triangle ACD est isocèle en D. d. M() rayon. Donc, est le cercle de centre I et de rayon. M() appartient au cercle de centre I et de donc A donc C donc D Les points A, C et D appartiennent au cercle de centre I et de rayon. Or I est le milieu de [AC]. Donc, [AC] est un diamètre de ce cercle. Comme D appartient à un cercle de diamètre [AC] alors le triangle ACD est rectangle en D. En conclusion : Le triangle ACD est rectangle et isocèle en D. Exercice (7 points :A: (0,5 ) ;0,5;0,5;(0,5+0,5);(I:0;5, H :0,5 ; C :0,5);0,5;B: 0,5+0,5) ; 0,5;0,5;( 0,5+0,5);(0,5+0,5);(0,5+0,5) ) Commun à tous les élèves. Partie A. a. n x n 0 0, 0,4 0,6 0,8, y n 0 0,800 0,47 0,886,965,99,9984 b. c. on peut conjecturer que la suite (y n ) est croissante pour n 0 et qu'elle converge vers. a. Pour x réel, on pose p(x) = -0, x + x+ 0,8. p est définie et dérivable sur Ë donc sur [ 0; ] et p'(x) = -0,4x+. De plus -0,4x+ 0 0,4x - x,5. On obtient donc : x 0 signe de p + p 0,8 Il est alors clair que si x [ 0;], p(x) [0,8;] Donc p(x) [ 0; ] 6

7 b. On Pose Pn : " 0ÂynÂyn+Â", pour n É y0= 0 et y=0,8 - Vérifions que la propriété est vraie au rang 0 : 0Â0Â0,8 donc P0 est vraie - Supposons qu'il existe un entier p tel que la propriété soit vraie au rang p c'est-à-dire que : 0ÂypÂyp+ Démontrons qu'alors la propriété est encore vraie au rang suivant p + - Or 0ÂypÂyp+Âdonc p(0)âp(yp)âp(yp+)âp() car p est croissante sur [ 0; ] Donc 0Âyp+Âyp+Â.Donc la propriété est vraie au rang p + Donc la propriété est vraie pour tout entier n 0 et donc la suite y est croissante et bornée c) la suite y converge car elle est croissante et majorée par Partie B. Étude d une fonction Soit g la fonction définie sur [0 ; + [ par g(x) = g(0) = 0 e e 4x 4x + et (C g ) sa courbe représentative. De plus g est de la forme u v avec u(x) = e4x - : u est définie, dérivable sur Ë et u'(x) = 4 De même, v(x) = + : v est définie, dérivable sur Ëet v'(x) = 4. de plus pour x Ë, v(x) 0 Donc g est définie et dérivable sur Ë et g' = (u'v uv') v² ( ) Donc pour x Ë : g'(x) = 4 e4x ( +) 4 ( ) ( + ) ² D'autre part : 4 (g(x))² = 4- ( e4x ) + 4( ) = ( + ) ² conditions. a. g(x) = = + + = 6 e4x + ² 4( ) ² = 6 ( + ) ² ( + ) ² = g'(x) donc g satisfait bien aux deux = 0 Or lim 4x = + õ et x + X + lim ex = + õ donc par composition lim x + e4x = + õ donc lim x + et donc par somme, produit puis quotient lim x + g(x) =. Donc (C g) admet une asymptote horizontale d'équation y = b. g'(x) = 6 ( donc il est clair que pour x [ 0 ; +õ [, g'(x) >0 et donc que g est strictement croissante sur [ 0; +õ [ + ) ² c. sur [ 0; +õ [ : g est continue ( car dérivable), strictement croissante. De plus g(0)=0 et lim g(x) = ;, comme [ 0; [, le x + théorème de la bijection nous dit que l'équation g(x)= admet une unique solution sur [ 0 ; +õ [. la tangente en 0 à (C g ) a pour équation y = g'(0)(x 0)+g(0) ce qui donne y=4x est lors solution de l'équation 4x= donc = Exercice 4 (4 points) Commun à tous les élèves.. Dans Ë et avec k Î : (I ) :cos 4x+ π 4 - cos 4x+ π 4 cos( π 4 ) π 4 +kπ Â4x+ π 4  5π 4 +kπ Donc (I) π +kπ  4x  +kπ π 8 + kπ  x  π 4 + kπ Pour k =0, on trouve π 8  x  π 5π et pour k = : 4 8 Âx π 4 et ce sont les seules solutions dans [ 0; Donc Réponse a) x π 8 ; π 5π 4 8 ; π 4. Donc réponse c) S vaut. N U 6 S 4 0 i 0 7

8 x+. lim x - x = lim x - x x + x + x = lim x - x x x+ donc par quotient lim x - x = De plus, lim Donc d après le théorème des gendarmes lim x - Remarque : on montre de même que la limite de f en + õ x+ lim x + x Or lim x - x =0 et lim x - x = 0 x - ex = 0 donc par somme lim x - +ex =. f(x) = : Réponse b) = mais lim x + +ex = +õ ce qui ne permet pas de conclure quant à 4. Dans le triangle SDC : les points S, J et D et S, I et C sont alignés dans cet ordre et d une part 0,75. Donc,. Donc d après la réciproque du théorème de Thalès (IJ) est parallèle à (DC) 0,75, d autre part Or ( IJK) contient (IJ) et (BCD) contient (DC) : ces deux plans étant sécants en la droite, le théorème du toit nous dit que donc est parallèle à (IJ) : donc et (IJ) sont coplanaires (IK) et (BC) sont coplanaires dans le plan (SCB), elles sont non parallèles et donc elles sont sécantes en un point R. Or R (IK) donc R (IJK) et R (BC) donc R (DCB) donc R est un point commun aux deux plans : R appartient donc à leur droite d'intersection : Réponse b) Remarques : (IK) et (BA) ne sont pas coplanaires donc elles n'ont pas de point d'intersection y M M 4 M 5 M 6 M M M 0 0 x 8