Divisions euclidienne. Zéro dans les divisions

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1 Table des matières 1La division euclidienne :...2 2La notion de multiple...2 3Divisibilité...2 4Critères de divisibilité...3 1Divisible par Divisible par Divisible par Divisible par Divisible par Divisible par Effectuer une division euclidienne :...4 Poser une division euclidienne...4 6Unités de temps...4 7Astuces :...5 1Diviser par Diviser par Diviser par 10 ; 100 ;...5 4Divisibilité par 7 :...5 5Divisibilité par 11 :...5 Divisions euclidienne Le signe : a été introduit en 1698 par l allemand Gottfried Willhelm Leibniz, un des plus grands génies qui aient existé. A la fois philosophe, théologien, mathématicien, physicien, historien, Leibniz cultive et perfectionne presque toutes les branches des connaissances humaines. Zéro dans les divisions 0 : nombre = 0 exemple : 0 : 542 = 0 Mais attention nombre : 0 = IMPOSSIBLE à CALCULER exemple : 542 : 0 = pas de résultats on ne divise pas par zéro! 6_08_divisions_euclidiennes.odt clicprof.free.fr 1/5

2 1 La division euclidienne : l égalité suivante traduit la division euclidienne de 60 par 7 : 60 = ( 7 * 8 ) + 4 dividende diviseur quotient reste Important : le reste est toujours plus petit que le diviseur (ici : 4 < 7 ). Remarque : le signe * correspond au signe.. de la multiplication 2 La notion de multiple 56 s écrit 7 x 8. On dit que 56 est un multiple de 7. Remarques : Comme 56 s écrit 8 x 7, on peut aussi dire que 56 est un multiple de 8. Les multiples de 7 s écrivent 7 x 0 ; 7 x 1 ; 7 x 2 ; 7 x 3 ; 7 x 4 ; 7 x 5 ;... (c est «la table de 7»). 3 Divisibilité On effectue la division euclidienne de 189 par = 7 * Le reste de la division euclidienne de 189 par 7 est égal à 0. Dans ce cas on dit que : 189 est un multiple de est divisible par 7 7 est un diviseur de 189 6_08_divisions_euclidiennes.odt clicprof.free.fr 2/5

3 4 Critères de divisibilité 1 Divisible par 2 Un nombre entier est divisible par 2 s'il est pair. Si son chiffre des unités est 0 ; 2 ; 4 ; 6 ou 8. Exemple : est divisible par 2. Remarque : Les nombres entiers qui ne sont pas divisibles par 2 sont appelés nombres impairs. 2 Divisible par 5 Un nombre entier est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5. Exemple : 390 est divisible par 5. 3 Divisible par 10 Un nombre entier est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0. Exemple : 1350 est divisible par Divisible par 4 Un nombre entier est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4. Exemple : est divisible par 4 car 28 est divisible par 4. Remarque : Un entier divisible par 4 est divisible par 2. 5 Divisible par 3 Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3. Exemple : est divisible par 3, car = 12 et 12 est divisible par 3. 6 Divisible par 9 Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9. Exemple : Ainsi, est divisible par 9, car = 18 et 18 est divisible par 9. Remarque : Un entier divisible par 9 est divisible par 3. 6_08_divisions_euclidiennes.odt clicprof.free.fr 3/5

4 5 Effectuer une division euclidienne : Effectuer la division euclidienne d un nombre entier par un entier (différent de 0), c est trouver deux nombres appelés «reste» et «diviseur» tels que : dividende = (diviseur x quotient euclidien) + reste où le reste est plus petit que le diviseur. Poser une division euclidienne Le dividende Le reste Le diviseur Le quotient Le reste est toujours inférieur au diviseur. Légende : x Dans 73, combien de fois 34? 2 fois! x 2 x 34 = 68 x = 5 (inférieur au diviseur) On abaisse le 1 x Dans 51, combien de fois 34? 1 fois! x 1 x 34 = 34 x = 17 (inférieur au diviseur) On arrête, il n y a plus rien à abaisser. 6 Unités de temps 731 = 34 * dividende diviseur quotient reste 1 jour = 24 h 1 heure = 60 min = s 1 minute = 60 s 6_08_divisions_euclidiennes.odt clicprof.free.fr 4/5

5 7 Astuces : 1 Diviser par 4 C'est diviser par 2 puis diviser : 4 84 : 2 = : 2 = 12 2 Diviser par 5 C'est multiplier par 2 puis diviser par : * 2 = : 10 = 32 3 Diviser par 10 ; 100 ; Lorsqu'on divise un nombre par 10, il «réduit» de 1 rangs. Lorsqu'on divise un nombre par 100, il «réduit» de 2 rangs. Exemples : 312 : 1000 = 0, : 10 = 21 6,3 : 100 = 0,063 4 Divisibilité par 7 : Exemple : 3192 est-il divisible par 7? On soustrait par le double de l'unité - 4 (double de 2) (double de 5) est divisible par 7 donc 3192 aussi. 5 Divisibilité par 11 : Exemple : est-il divisible par 11? On soustrait par l'unité - 2 (2) (3) (6) est divisible par 11 donc 6195 aussi. 6_08_divisions_euclidiennes.odt clicprof.free.fr 5/5