T ES A-B Devoir n 4 mardi 7 décembre 2016

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1 T ES A-B Devoir n 4 mardi 7 décembre 2016 Exercice 1 : (7 points) Pour chaque question, dire si la proposition est vraie ou fausse, en justifiant soigneusement la réponse. 1. Proposition 1 : L ensemble des solutions de l équation est 2. On considère une fonction définie et dérivable sur l intervalle [0 ; 13] et on donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction, fonction dérivée de la fonction sur l intervalle [0 ; 13] Proposition 2 : La fonction est strictement décroissante sur l intervalle [0 ; 4] 3. La suite (u n ) est définie par : u0 140 et, pour tout naturel n, u n u n 25. Proposition : pour tout n, u n 25 n 4. La suite (v n ) est une suite géométrique de premier terme v 1 = 300 et de raison q = 0.8. Proposition : v1 v2... v arrondi à l unité. 5. Soient les suites (w n ) et (t n ) définies par : w0 10 et tn wn 1 wn 1 3wn 2 Proposition : (t n ) est une suite géométrique 6. f est la fonction définie sur R par ( ) x x f x xe e 20 Proposition : f est strictement croissante sur [0 ; + [ Exercice 2 : (8 points) Une entreprise fabrique des poulies utilisées dans l industrie automobile. On suppose que toute la production est vendue. L entreprise peut fabriquer entre 0 et 3600 poulies par semaine. On note le nombre de milliers de poulies fabriquées et vendues en une semaine ( varie donc dans l intervalle [0 ; 3,6]). Le bénéfice hebdomadaire est noté, il est exprimé en milliers d euros. L objet de cet exercice est d étudier cette fonction B. Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

2 A étude graphique On a représenté ci-dessous la fonction B dans un repère du plan. Chaque résultat sera donné à 100 poulies près ou à 100 euros près suivant les cas. Faire apparaitre les traits justificatifs sur le graphique. 1. Déterminer dans quel intervalle peut varier le nombre de poulies pour que le bénéfice soit supérieur ou égal à Quel est le bénéfice maximum envisageable pour l entreprise? Pour quel nombre N de poulies fabriquées et vendues semble-t-il réalisé? B étude théorique Le bénéfice hebdomadaire noté, exprimé en milliers d euros, vaut : 1. a. On note la fonction dérivée de la fonction. Montrer que, pour tout réel de l intervalle [0 ; 3,6], on a b. Déterminer le signe de la fonction dérivée sur l intervalle [0 ; 3,6]. c. Dresser le tableau de variation de la fonction sur [0 ; 3,6]. Arrondir à si nécessaire. 2. a. Justifier que l équation sur l intervalle [0 ; 3,6]. b. A l aide de la calculatrice, déterminer un encadrement de chacune de ces solutions à 0,01 près. c. En déduire, à la dizaine près, le nombre de poulies à produire pour que le bénéfice soit supérieur ou égal à Exercice 3 : (5 points) On considère la fonction f définie pour tout réel x de l intervalle [1,5 ; 6] par : On note f sa fonction dérivée. 1. Justifier que l équation f(x)=1 admet une unique solution sur l intervalle [4 ;5] 2. Donner une valeur approchée de au dixième.

3 Corrigé Exercice 1 : 7 points Pour chaque question, dire si la proposition est vraie ou fausse, en justifiant soigneusement la réponse. 1. Proposition 1 : L ensemble des solutions de l équation est 2. On considère une fonction définie et dérivable sur l intervalle [0 ; 13] et on donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction, fonction dérivée de la fonction sur l intervalle [0 ; 13] Proposition 2 : La fonction est strictement décroissante sur l intervalle [0 ; 4] est positive sur [0 ;4] et négative sur [4 ;13] donc est croissante sur [0 :4] et décroissante sur [4 ;13]. FAUX 3. La suite (u n ) est définie par : u0 140 et, pour tout naturel n, u n u n 25. Proposition : pour tout n, u n 25 n FAUX 4. La suite (v n ) est une suite géométrique de premier terme v 1 = 300 et de raison q = 0.8. Proposition : v1 v2... v arrondi à l unité. 5. Soient les suites (w n ) et (t n ) définies par : w0 10 et tn wn 1 wn 1 3wn 2 Proposition : (t n ) est une suite géométrique Donc est une suite géométrique (de raison 3)

4 6. f est la fonction définie sur R par ( ) x x f x xe e 20 Proposition : f est strictement croissante sur [0 ; + [ x Signe de x 0 + Signe de + Signe de 0 + Variation de f 19 Exercice 2 : 8 points Une entreprise fabrique des poulies utilisées dans l industrie automobile. On suppose que toute la production est vendue. L entreprise peut fabriquer entre 0 et 3600 poulies par semaine. On note le nombre de milliers de poulies fabriquées et vendues en une semaine ( varie donc dans l intervalle [0 ; 3,6]). Le bénéfice hebdomadaire est noté, il est exprimé en milliers d euros. L objet de cet exercice est d étudier cette fonction B. Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment. A étude graphique On a représenté ci-dessous la fonction B dans un repère du plan. Chaque résultat sera donné à 100 poulies près ou à 100 euros près suivant les cas. Faire apparaitre les traits justificatifs sur le graphique. 1. Déterminer dans quel intervalle peut varier le nombre de poulies pour que le bénéfice soit supérieur ou égal à B(x) 13 : S [2, 46; 3, 4]. 2. Quel est le bénéfice maximum envisageable pour l entreprise? Pour quel nombre N de poulies fabriquées et vendues semble-t-il réalisé? Cherchons graphiquement le maximum de B et pour quel(s) valeur(s) ce maximum est atteint : le maximum de B est environ 15, 1 et il est atteint pour x 3. Par conséquent, le bénéfice maximum envisageable est d environ euros pour environ poulies fabriquées et vendues. 0.5 pt

5 B étude théorique Le bénéfice hebdomadaire noté, exprimé en milliers d euros, vaut : 1. a. On note la fonction dérivée de la fonction. Montrer que, pour tout réel de l intervalle [0 ; 3,6], on a B est dérivable sur I, et B est de la forme 5 + u v avec u(x) = 4 x v(x) = v (x) =. D où, pour tout x I : B (x) = 0 + u (x)v(x) + v (x)u(x) = 1 + (4 x) = ( x) = (3 x) u (x) = 1 et b. Déterminer le signe de la fonction dérivée sur l intervalle [0 ; 3,6]. Pour tout x réel et a fortiori pour tout x I, > 0, ainsi le signe de B sur I est le même que le signe de l expression affine 3 x sur I. 3 x s annule en 3 ( I). De plus le coefficient directeur de 3 x est 1 donc négatif, ainsi 3 x est strictement positif sur [0 ; 3] et strictement négatif sur [3 ; 3; 6]. On obtient le tableau de signe de B : c. Dresser le tableau de variation de la fonction sur [0 ; 3,6]. Arrondir à si nécessaire. 2. a. Justifier que l équation sur l intervalle [0 ; 3,6]. b. A l aide de la calculatrice, déterminer un encadrement de chacune de ces solutions à 0,01 près. c. En déduire, à la dizaine près, le nombre de poulies à produire pour que le bénéfice soit supérieur ou égal à Il faut donc produire entre 2460 et 3400 poulies 0.5 pt

6 Exercice 3 : On considère la fonction f définie pour tout réel x de l intervalle [1,5 ; 6] par : On note f sa fonction dérivée. 1. Justifier que l équation f(x)=1 admet une unique solution sur l intervalle [4 ;5] f(x) est une fonction du type On a donc 5 points 4.5 pts : Dérivée : 1.5 Signe de f :1 Variation de f :1 TVI : 1 x Signe de -25x Signe de + + Signe de + + Signe de Variation de f D où le tableau de variation sur l intervalle [4 ; 5] x Variation de f 0.63 D après le tableau de variation ci-dessus et le TVI, l équation solution sur [1.5 ; 6] 2. Donner une valeur approchée de au dixième. On trouve admet une unique 0.5 pt