Mathématiques Logarithmes et exponentielles Terminal e C Exercice 1

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1 Mathématiqus Logarithms t potills Trmial C Ercic Résoudr das IR ls équatios : l 4 ; l - ; l ; l + l 5 - Ercic Démotrr qu pour tout rél, o a : l ( + ) + l ( + - ) Ercic Résoudr das IR l'équatio l + l ( - ) l + l Ercic 4 Résoudr das IR ls équatios : l ( + ) t l + l( + ) Ercic 5 Résoudr das IR l'équatio l + l (4 - ) l ( - ) + l Ercic 6 + Résoudr das IR ls équatios l t l( + ) - + l( - ) Ercic 7 Pour chacu ds foctios suivats, idiqur das qul(s) itrvall(s) ll st dérivabl t calculr sa dérivé f() l ( - ); g() l t h() l( ) Ercic 8 Pour chacu ds foctios suivats, idiqur das qul(s) itrvall(s) ll st dérivabl t calculr sa dérivé f() + + l g() l ( + ) h() l ( - ) Ercic 9 Pour chacu ds foctios suivats, idiqur das qul(s) itrvall(s) ll st dérivabl t calculr sa dérivé l( + ) f() l - g( ) t h( ) l( + ) + Ercic Pour chacu ds foctios suivats, idiqur das qul(s) itrvall(s) ll st dérivabl t calculr sa dérivé f() l( + ) g() + (l ) h() l Ercic Résoudr das IR ls iéquatios suivats : l < ; l - t l( - ) + Ercic 5 Détrmir ls its suivats : ( - l ) l l > ² ² Ercic Résoudr das IR ls iéquatios suivats : l > l ( - ) ; l ( + + ) > t l - Ercic Détrmir ls its suivats : ( ) l - l ; t l + > > + - Ercic 4 Détrmir ls its suivats : l ( + + ² ) t l ( + + ² ) + Ercic 6 + l O cosidèr la foctio f défii sur ] ; + [ par f ( ) Fair l'étud t la rpréstatio graphiqu d f Ercic 7 O cosidèr la foctio f défii sur ] ; + [ par f() l - (l ) Fair l'étud t la rpréstatio graphiqu d f Etudir l sig d f() pour ];+ [ Ercic 8 mauribacidst Mahfoudh Mohamd Ammou Pag

2 Mathématiqus Logarithms t potills Trmial C + O cosidèr la foctio f défii par f ( ) l - Dor l'smbl d défiitio d f Étudir ls variatios d f t tracr sa rpréstatio graphiqu Ercic 9 + O cosidèr la foctio f défii sur ]- ; [ par f ( ) l - O; i, j Soit (C) sa rpréstatio graphiqu das u rpèr orthoormal ( ) Démotrr qu la courb (C) a pour ctr d symétri l poit O Ercic Soit f la foctio défii par f ( ) l( + ) Dor l'smbl d défiitio d f Étudir ls variatios d f Motrr qu la courb (C) rpréstativ d f a pour asymptot obliqu la droit d'équatio y Tracr (C) Ercic Écrir plus simplmt : ; ; ( + ) t + Ercic Soit f la foctio défii sur IR par f ( ) Démotrr qu f st u foctio costat sur IR Ercic Soit f la foctio défii sur IR par : f ( ) + Vérifir qu pour tout rél ls égalités suivats: f ( ) ; ( ) f ; f ( ) + + ; f ( ) + + t ( ) f Motrr qu f st dérivabl sur IR, vérifir qu : f ( ) ( + ) ( + ) Ercic 4 Résoudr das IR ls iéquatios suivats : + - > > + 5 < + Ercic 5 Détrmir ls its suivats : Ercic 6 Détrmir ls its suivats : - ( + ) Ercic 7 Soit (C) la courb d la foctio f défii sur IR par : f ( ) + + Démotrr qu (C) a du asymptots obliqus dot o dora u équatio Ercic 8 Résoudr das IR ls équatios suivats : mauribacidst Mahfoudh Mohamd Ammou Pag

3 Mathématiqus Logarithms t potills Trmial C Ercic 9 Justifir qu chacu ds foctios st dérivabl sur IR, calculr la dérivé t étudir l sig d ctt dérivé + f ( ) ( ) g( ) + + h( ) t( ) + Ercic Étudir ls variatios d la foctio f défii par f ( ) + Drssr so tablau d variatios Soit (C) la courb rpréstativ d f Dor l'équatio d la tagt T à (C) au poit d'absciss Tracr (C) t T Démotrr qu l'équatio f ( ) a u solutio uiqu α das IR Dor u valur approché d α Ercic (Bac C SC 9) O cosidèr la foctio umériqu défii par : rpréstativ das u rpèr orthoormé ( ) f ( ) où st u tir aturl soit C sa courb + O cosidèr la foctio f défii par ( ) f t soit C sa courb rpréstativ das u rpèr + orthoormé a) Drssr l tablau d variatio d f b) Motrr qu C admt du asymptots vrticals qu l o détrmira c) Motrr qu C admt u ctr d symétri puis costruir C a) Vérifir qu pour tout rél o a : f ( ) f ( ) déduir qu l o put costruir C a partir d C utilisat u trasformatio géométriqu simpl qu l o précisra b) Vérifir qu pour tout rél o a : f ( ) f ( ) déduir qu l o put costruir C a partir d C utilisat u duièm trasformatio géométriqu qu l o précisra c) E déduir la costructio C à partir d C O pos pour tout tir aturl : U f ( ) d a) Calculr U t U b) Prouvr qu pour tout tir aturl > o a : < U <, déduir U + 4 O pos pour tout tir aturl o ul : ( ) V E posat S V + V + + V a) Vérifir qu pour tout tir aturl o ul o a : U+ U V b) Prouvr qu pour tout tir aturl o ul o a : S U U + déduir S V Ercic (SN Bac C 9) O cosidèr la foctio f défii sur l itrvall ] ; + [ par : f ( ) l( ) Soit ( C) sa courb rpréstativ das u rpèr orthoormé (O; i, j) + d uité cm a) Calculr f '() t motrr qu la foctio f st strictmt croissat sur ] ; + [ b) Détrmir u équatio d la tagt T à la courb (C) au poit d absciss t étudir lur positio rlativ Itrprétr graphiqumt c) Drssr l tablau d variatio d f a) Démotrr qu f admt u foctio réciproqu qu l o otra g Soit (C ') courb rpréstativ das l rpèr précédt b) Motrr qu ls courbs (C) t (C ') s coupt trois poits dot u sul st d absciss strictmt égativ α Vérifir qu :,8 < α <,7 c) Costruir ls courbs (C) t (C ') + mauribacidst Mahfoudh Mohamd Ammou Pag

4 Mathématiqus Logarithms t potills Trmial C d a) Détrmir ls réls a, b, c t d tls qu pour tout rél d ] ; + [ : a + b + c b) E utilisat u itégratio par partis, calculr foctio d α, l air du domai pla ds poits M(;y) déité par ls courbs (C) t (C ') où α Ercic ((SC Bac C 9) + O cosidèr la foctio umériqu défii par : f ( ) + l t soit (C) sa courb rpréstativ das u rpèr orthoormé a) Vérifir qu l smbl d défiitio d f st IR b) Calculr f ( ), itrprétr ; c) Calculr f ( ) t f ( ), itrprétr + d) Vérifir qu (C) admt du asymptots D t D ' dot l u st obliqu Etudir la positio rlativ d (C) avc so asymptot obliqu D ( ) a) Calculr f '() puis vérifir qu f '( ) ϕ( ) où ϕ st u foctio strictmt positiv sur IR à détrmir b) Drssr l tablau d variatio d f c) Démotrr qu l équatio f ( ) admt trois solutios disticts α, β t γ dot o dora u cadrmt d amplitud 5 d) Costruir (C) L objctif d ctt qustio st calculr l air S du domai déité par la courb t ls droits d équatios rspctivs : y, t + a) Vérifir qu pour tout rél o a : b) Calculr A + d ( ) c) E posat + ta t pour tout t ; calculr + B d + ( ) d) Déduir l calcul d l air S primé uité d air Ercic 4 ((SN Bac C 9) A tout tir aturl IN o associ la foctio f défii sur IR par : f ( ) Soit C la courb rpréstativ d f das u rpèr orthoormé ( O; i, j) a) Etudir ls variatios d la foctio f tll qu ( ) f t rpréstr sa courb C b) Calculr l air du domai déité par C, l a ds abscisss t ls droits t a) Démotrr qu touts ls courbs C passt par du poits fis qu l o détrmira b) Etudir la positio rlativ ds courbs C t C + foctio d la parité d Pour tout tir aturl o ul ( IN ) o pos : mauribacidst Mahfoudh Mohamd Ammou Pag 4 I f ( ) d a) Vérifir qu : I b) E utilisat u itégratio par partis, démotrr qu pour tout IN o a : c) Démotrr qu pour tout IN o a : I E déduir I Pour tout tir aturl o ul ( IN ) o pos : J I! a) Démotrr qu pour tout IN o a : J+ J ( + )! b) E déduir qu pour tout IN o a : J !!!! I+ + ( + ) I

5 Mathématiqus Logarithms t potills Trmial C c) Calculr J E déduir !!!! Ercic5 : (Bac Blac 8) Soit f la foctio défii sur, par cos t f (t) O cosidèr la suit ( I ) + si ²t défii par I f (t)dt N I f (t)si t dt t pour tout Soit F la foctio défii sur, par si dt F() + t² a) Motrr qu F st dérivabl sur, t qu F () f() dt b) O admt qu E déduir qu : I puis calculr I + t² 4 4 a) Motrr qu ( I ) st décroissat b) Motrr qu pour tout N o a : I + I+ + c) Motrr qu, I ( + ) ( ) Calculr alors I t + + I Pour tout N o pos U t pour tout N o pos : f (t) S U t J dt k k si t (I ) a) Motrr qu t, o a f (t) cos t cos t si t cos t + + si t 5 si t + si ²t + si ²t b) E déduir qu J (l + I + I ), puis calculr J 5 f (t) si t c) Motrr qu pour tout N o a: J S dt si t I d) E déduir qu J S Calculr alors la it d (S ) Ercic 6 : (Bac Blac 8) l Soit f la foctio défii par f() t si, f (), t soit (C f ) sa courb rpréstativ das u ( + l )² rpèr orthoormé (O;i, j) a) Détrmir l domai d défiitio d f b) Etudir la cotiuité d f à droit d c) Etudir la dérivabilité d f à droit d Itrprétr graphiqumt l résultat a) Drssr l tablau ds variatios d f b) Dor l équatio d la tagt (T) à (C f ) so poit d absciss Tracr (T) t (C f ) Discutr graphiqumt, suivat ls valurs du paramètr rél m, l ombr d solutios d l équatio : m(l)² + (m-)l + m 4 Soit D l domai pla déité par ls droits d équatios : ; ; y t (C f ) E utilisat u itégratio par partis, calculr l air A(D), du domai D 5 Soit g la rstrictio d f sur l itrvall I ],] a) Motrr qu g st u bijctio d I sur u itrvall J à détrmir b) Tracr la courb ( C g ) sur l mêm graphiqu qu (C f ) 6 Détrmir ls abscisss ds poits d (C f )où la tagt pass par l origi O mauribacidst Mahfoudh Mohamd Ammou Pag 5