CORRECTION DU BAC 2007

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1 CORRECTION DU BAC 007 Trmial S Liba Exrcic ) a) l x = 0 x = ; l x > 0 x > ; l x < 0 x < (la foctio l 0 ; + ) état strictmt croissat sur ] [ l x = 0 lx = x = ; l x < 0 lx > x > ; l x 0 lx x 0 ; + ) > < < (la foctio l état strictmt croissat sur ] [ O déduit l tablau d sigs suivat : x 0 + sig d l x sig d l x sig d l x l x ( )( ) b) Pour étudir la positio rlativs ds courbs C t C sur ] 0 ; + [, il suffit d étudir l sig d f ( x) g ( x) sur ct itrvall Or f ( x) g ( x) l x ( l x) ( l x)( l x) = = ; alors o déduit, d après la qustio précédt qu : ; sur ] 0 [ ] ; + [, la courb C st dssous d C ; ;, la courb C st au dssus d C ; sur ] [ si x = t x =, ls courbs C t C s coupt ) a) La foctio l st dérivabl sur ] 0 ; + [ t la foctio x x alors la foctio g st dérivabl sur ] 0 ; + [ tat qu composé d dux foctios dérivabls Doc, la foctio h st dérivabl sur ] [ dérivabls sur ] 0 ; + [ Soit x u rél strictmt positif, ( ) ( ) st dérivabl sur R, 0 ; + tat qu somm d dux foctios l l x h x = x = x x x h x Comm x st strictmt positif, alors l sig d ( ) dépd d clui d ( l x) Or l x = 0 l x = x = = ; l x > 0 l x < x < ; l x < 0 l x > x > (la foctio l état strictmt croissat sur ] 0 ; + [ ) - - C Laié

2 Par coséqut, la foctio h st croissat sur 0 ; t st décroissat sur ; + b) Ls poits M t N ot pour coordoés rspctivs ( ; ( )) t ( ; ( )) x f x x g x O déduit qu : MN = ( g ( x) f ( x) ) = g ( x) f ( x) Or sur [ ; ], f ( x) g ( x) la qustio ) D où : MN = f ( x) g ( x) = h ( x) Or, d après la qustio précédt, la foctio h admt u maximum pour d après x = Par coséqut, sur l itrvall [ ; ], la valur maximal d MN st obtu pour x = c) L itrvall d étud st ] 0 ; + [ Posos X = l x ; l équatio ( l x) l x = équivaut à X Calculos l discrimiat : ( ) ( ) Comm > 0, alors l équatio X = t X = + Si X, alors l( x ) = 4 = X X = 0 X = 0 admt dux solutios = = ; d où x = Si X, alors l( x ) + = + = + ; d où x = Par coséqut, l équatio ( x ) + x = l l x = admt dux solutios x = t d) D après la qustio ) b), MN = ( g ( x) f ( x) ) = g ( x) f ( x) Or sur ] 0 ; [ ] ; [ f ( x) < g ( x) Doc, sur ] 0 ; [ ] ; + [, MN = ( f ( x) g ( x) ) = h ( x) = l x + ( l x) O déduit qu : MN = équivaut à ( x) Par coséqut, sur ] [ ] [ l l x =, c st-à-dir à d après la qustio précédt ; 0 ; +, il xist dux réls pour lsquls la distac MN st égal à ) a) Calculos Posos ( ) ( x) lx dx u x = l x Alors v = u ( x) = x v ( x) = x a = t Ls foctios u v, uv t ( uv ) sot cotius t dérivabls sur [ ] d l itégratio par partis : l x dx = [ x l x] x dx = l [ x] = + x = x = ou à + +, x = b = (a < b) + ;, d après la méthod - - C Laié

3 b) La foctio st dérivabl sur ] 0 ; + [ tat qu produit t somm d foctios dérivabls sur ] 0 ; + [ Soit x u rél strictmt positif ( x) = ( l x) l x + + x ( l x) = ( l x) l x l x x x + + Par coséqut, ( x ) = ( l x ) = g ( x ) Par suit, la foctio st u primitiv d g sur ] 0 ; + [ = = pour tout rél x strictmt positif + c) Comm C st au dssus d C sur ] ; [, alors = ( ( ) ( )) A f x g x dx Or ( f ( x) g ( x) ) dx = f ( x) dx g ( x) dx = ( x) = ( ) + ( ) = l l+ = t = l l + = Doc, A = + = ua D plus, ( ) ( ) ( ) ( ) Exrcic (cadidats ayat pas suivi l sigmt d spécialité) ) D après l éocé, la droit (d) a pour vctur dirctur u ; 0 ; u t j 0 ; ; 0 sot pas O rmarqu qu ls coordoés ds vcturs ( ) proportiolls ; d où cs vcturs sot pas coliéairs Par suit, la droit (d) st pas parallèl à l ax ( O ; j ) La propositio st doc fauss ) Comm P st orthogoal à (d), alors u ; 0 ; st u vctur ormal à P Alors P a pour équatio x z + d = 0 Or A d coordoés ( ; ; ) appartit à P, d où : + d = 0, c st-à-dir d = + = Doc P a pour équatio x z + = 0, ou cor x + z = 0 La propositio st doc vrai t ) Comm C st l poit d absciss, alors =, c st-à-dir t = ; d où C a pour coordoés ( ; ; ) O a : ABi AC = AB AC cos( BAC ), soit cos( ABiAC BAC) = AB AC Or AB t AC ot pour coordoés rspctivs ( ; ; ) t ( ; ; ) ; alors ABi AC = + + =, ( ) AB = + + = 6 t ( ) ( ) ( ) AC = + + = 6 O déduit qu : ( π cos BAC) = = = cos C Laié

4 Par coséqut, la msur d l agl géométriqu BAC st π radias La propositio st doc fauss 4) Comm st l baryctr ds poits podérés ( A, ), ( B, ) t ( C, ) pour coordoés x y x x + x + x = + + y + y + y = + + y + y + y = + + A B C A B C A B C, c st-à-dir x y x = = 0 = = 0 = = O déduit qu l miliu du sgmt [ A ] a pour coordoés Or l miliu du sgmt [ BC ] a pour coordoés Doc [ A ] t [ ] BC ot l mêm miliu La propositio 4 st doc vrai ; ; ; ; ) L rayo d la sphèr d ctr C t passat par B st BC = 8 xc + zc 0 0 Calculos la distac du poit C au pla P : = = = Or st strictmt ifériur à 8, doc la sphèr coup l pla P La propositio st doc vrai Exrcic (cadidats ayat suivi l sigmt d spécialité), alors a ) La similitud dirct d ctr A d affix + i, d agl π t d rapport a pour i écritur complx z + i z i = +, soit 4 z = i z + i i iz i i iz + + = = + La propositio st doc vrai ) Soit P l pla d équatio z = z = M ( x ; y ; z) S P équivaut à z = x + x + y + z = équivaut à x + x + y + = z = équivaut à ( ) x + + y + = z = équivaut à ( ) x + + y = π Doc la sctio d la surfac S t du pla P st l crcl d ctr ( ; 0 ; ) t d rayo La propositio st doc fauss C Laié

5 ) 70 6 = ; alors ( ) ( ) = = = Or 7 st u ombr prmir qui divis pas 7 Frmat, ( ) [ 7] O déduit qu ( ) 0 [ 7] Par coséqut, ( ) 70 7, alors, d après l ptit théorèm d 7 = st divisibl par 7 La propositio st doc vrai Ptit théorèm d Frmat : Soit u tir p Si p st u ombr prmir divisat pas, alors [ p] 4) Chrchos l PCD d 4 + t + : PCD 4 +, + 4 = PCD 4 + 4, + 4 ( ) ( ) = PCD( 4 + 4, + 4) = PCD(, + 4) = PCD( + 4, ) = PCD( + 4 ( ), ) = PCD( 7, ) Or st cogru à modulo 7, alors st cogru à 0 modulo 7 PCD 7, = 7 O déduit qu ( ) La propositio 4 st doc vrai ) Si il xist dux tirs rlatifs u t v tls qu au + bv =, alors st u multipl du PCD d a t b PCD a, b st égal à ou à Par coséqut, ( ) La propositio st doc fauss Exrcic ) Si l tirag a liu das l ur U à l étap, c st qu l o a tiré u boul blach à l étap Or il y a 7 bouls blachs parmi ls 0 d l ur U 7 Par coséqut, p = 0 ) Soit B l évémt : «la boul tiré à l étap st blach» 8 7 Si =, o a : 0,8p + 0,0 = 0,8 = = = p 00 0 Si : o put costruir l arbr podéré suivat (voir pag suivat) B t B formt u partitio d l uivrs ds tirags à l étap ; d après la formul ds probabilités totals, o obtit : p ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + p A + p B pb B p B p B B p B 7 Or p ( B ) = p ( A ) = p t p ( B ) = p, pb ( B ) p = = = + = t ( B ) B 0 = D où : p+ = ( ) 0,8 0,0 0 p + p p p 0 = = + Par coséqut, pour tout tir aturl o ul, p+ = 0,8p + 0,0 - - C Laié

6 B B = 0,8 + 0,0 = 0,8 0,8 + 0,0 = 0,7 Doc p = 0,7 ) p p 4) a) Soit () la propositio : «pour tout d N *, p > 0,» Comm p =, alors o a () qui st vrai Motros qu pour tout, o a : () ( + ) Soit Supposos qu () st vrai Alors : p > 0, D où 0,8p + 0,0 0,8 0, + 0,0 car la foctio x 0,8x + 0,0 st strictmt 0, ; +, c st-à-dir p + > 0, croissat sur ] [ O déduit qu ( + ) st vrai O a alors prouvé : () t pour tout supériur ou égal à, () ( + ) Du pricip d raisomt par récurrc, o déduit : pour tout supériur ou égal à, () st vrai C st-à-dir : pour tout d N *, p > 0, b) p p p p p ( p ) + = 0,8 + 0,0 = 0, + 0,0 = 0, 0,, pour tout tir aturl o ul Or, d après la qustio précédt, pour tout tir aturl o ul, p > 0,, c st-à-dir p 0, > 0 Doc, p p < 0, pour tout tir aturl o ul + Par coséqut, la suit ( ) p st décroissat c) Comm la suit ( p ) st décroissat t mioré par 0,, alors ll st covrgt vrs u rél qu l o otra l d) Comm p = 0,8p + 0,0, par passag aux limits, o obtit : + + lim p = 0,8 lim p + 0,0, c st-à-dir l = 0,8l + 0, C Laié

7 D où : 0,0 = = 0, 0, l Par coséqut, la suit ( ) p covrg vrs 0, Exrcic 4 iα z r ) z = ( z ) = ( r ) car z r z r i = Par coséqut, z = ( r ) ) Comm a =, alors a = t arg( a) = 0 ; d où, d après la qustio précédt, 0 a = ( ) = Par coséqut, l affix a du poit A, imag par f du poit A d affix, st ) a) + i = + =, alors Doc, b = i π 6 b) D après la qustio ), b ( ) α π π b = + i = cos + i si 6 6 π i 6 = = 0 Par coséqut, l affix b du poit B, imag par f du poit B, st 0 4) Voir la figur à la fi d l xrcic ) a) Soit M u poit, d affix z, du pla privé du poit O z 0 f ( M ) = O équivaut à z, c st-à-dir à z = ( z ) = 0 z Doc, l smbl E ds poits M du pla privé d O dot l imag par f st O st l crcl d ctr O t d rayo b) Voir pag suivat 6) a) Soit M u poit, d affix z, du pla privé du poit O z 0 z 0 f ( M ) = M équivaut à z, c st-à-dir à ( z ) = z z 0 z, soit z = z z z = z z z 0 Doc, f ( M ) = M équivaut à z = Par coséqut, l smbl ds poits M du pla privé d O dot l imag par f st M st l crcl C 7) Soit M u poit du pla distict d O, d affix z, appartat pas au crcl C a) I a pour affix iα ( r ) iα z + z r + = = iα iα D où OI = zi = = O déduit qu I appartit au crcl C z iα r I, = arg = arg = arg = 0 iα car r st u rél strictmt positif z OI Par coséqut, ls vcturs O I t OM sot coliéairs t d mêm ss OM OM b) ( O OM ) ( r ) I appartit alors à la dmi-droit [ ) C Laié

8 c) Costruisos d abord l poit I : d après ls qustios 7) a) t 7) b), l poit I st l poit d itrsctio du crcl C t d la dmi-droit [ OM ) Comm I st l miliu d [ MM ], alors o costruit l symétriqu d M par rapport à I pour obtir l poit M y E M B C v I - A' - B' O0 u A x M' C Laié