VECTEURS REPÈRES CARTÉSIENS

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1 VECTEURS REPÈRES CRTÉSIENS I Vecters d plan Exercice 0 Placer le point tel qe = Placer le point C tel qe C = + v Placer les points D et E tels qe D = + v et CE = - v Jstifier qe CD est n parallélogramme. Exprimer en fonction des vecters et v les vecters C ; E ; C ; E ; ED Placer les points F, G et H tels qe CF = v - G = H = - v + v + Exercice 0 Écrire en tilisant les vecters et v chacn des vecters = = = 4 = 4 v 7 5 = 6 = = Propriétés (rappels) Por tos points, et C on a : CD est n parallélogramme I est milie de [] = 0 ; = DC I = I I = Si G est le centre de gravité d'n triangle C, on a = - ; + C = C (relation de Chasles) G = I, I étant le milie de [C]. ère S Vecters Repères cartésiens page / 5

2 Exercice 0 ( voir animation ) ) Soit C n triangle et soient I et J les miliex respectifs des segments [] et [C]. Jstifier, en tilisant des égalités de vecters, qe IJ = ) Soit CD n qadrilatère et I, J, K, L les miliex respectifs des segments [],[C], [CD],[D]. En tilisant des égalités de vecters démontrer qe IJKL est n parallélogramme. Remarqes Les résltats de la première qestion de l'exercice 0 permettent d'affirmer qe : Si I est milie de [] et J milie de [C], alors IJ = C et la droite (IJ) est donc parallèle à (C). Dans n triangle C, la droite parallèle à (C) passant par I milie de [] cope [C] en son milie. Exercice 04 Soit C n triangle et I le milie de [C]. Placer les points D et E définis par : D = C + E = -. et Exprimer ID et IE en fonction des dex vecters C et. En dédire qe I est le milie de [DE]. Définition Dex vecters non nls d plan, et v, sont colinéaires lorsq'il existe n réel λ tel qe v = λ. Le vecter nl est colinéaire à tos les vecters. Remarqes Dex vecters colinéaires non nls ont la même direction. Si v = λ avec λ > 0 alors et v sont de même sens. Si v = λ avec λ < 0 alors et v sont de sens contraire. λ < 0 v = λ λ > 0 v = λ Trois points, et C sont alignés si et selement si les vecters et C sont colinéaires. Exercice 05 ) Soit C n triangle. On considère les points K et L définis par K = et L = Démontrer qe les vecters KL et C sont colinéaires. ) Même qestion si K et L sont définis par K = k et L = k C avec k IR. C II Repère cartésien d plan Propriété (admise) Dans le plan, on se donne n point O et dex vecters i et j non colinéaires. Le triplet (O ; i, j ) constite n repère d plan. (Ce repère n'est pas nécessairement orthonormé) Por tot point M d plan il existe n niqe cople de réels (x ; y) tel qe OM = x i + y j Por tot vecter d plan il existe n niqe cople de réels (x ; y) tel qe = x i + y j (x ; y) est le cople des coordonnées d point M et d vecter dans le repère (O ; i, j ). O j i y x M ère S Vecters Repères cartésiens page / 5

3 Remarqes x est appelée abscisse, y est appelé ordonnée. Dex points sont confonds si et selement si ils ont le même cople de coordonnées. Dex vecters sont égax si et selement si ils ont le même cople de coordonnées. Si i et j forment n angle droit, on dit qe i et j sont orthogonax et qe le repère est orthogonal. Si i et j forment n angle droit et ont por norme (longer), on dit qe le repère est orthonormé. Propriétés (voir démonstration 0) Soient et dex points de coordonnées respectives (x ; y ) et (x ; y ) dans le repère (O ; i, j ). Le vecter a por coordonnées (x - x ; y - y ) Le milie I de [] a por coordonnées Si le repère (O ; i, j ) est orthonormé, on a : = (x - x ) + (y - y ) x + x ; y + y y y j O i x x La distance correspond à la norme (longer) d vecter on la note assi. Dans le repère (O ; i, j ) soient (x ; y) et v (x' ; y') dex vecters et soit λ n réel. + v a por coordonnées (x + x' ; y + y') λ a por coordonnées (λx ; λy) Si le repère (O ; i, j ) est orthonormé, la norme (longer) d vecter est = x + y. Remarqe Por tos vecters et v et por tos réels λ et λ', on pet démontrer en tilisant les coordonnées qe : λ( + v ) = λ + λ v (λ + λ') = λ + λ' λ(λ' ) = (λλ') λ = 0 λ = 0 o = 0 I Exercice 06 Le plan est rapporté à n repère (O ; i, j ). On considère les points (- ; 5) ; (- ; ) ; C( ; ). ) Faire n dessin por illstrer les différentes qestions. Calcler les coordonnées de milie I de [C]. ) Calcler les coordonnées d point D tel qe CD soit n parallélogramme. ) Calcler les coordonnées d point M tel qe M + CM =. Qe pet-on dire d point M? Exercice 07 Dans n triangle C, soit K le milie de [C] ; L et M les points définis par : KL = et KM = K. ) Faire n dessin. Exprimer CM en fonction des vecters C et K. ) Démontrer qe CK = - C + K et qe = - C + K. En dédire CL en fonction de ) Jstifier qe M est milie de [LC]. C et K. Propriétés (voir démonstration 0) Soient et v dex vecters de coordonnées respectives (x ; y) et (x' ; y') dans le repère (O ; i, j ). et v sont colinéaires si et selement si lers coordonnées sont proportionnelles, c'est-à-dire si et selement si xy' - yx' = 0. Exercice 08 Le plan est rapporté à n repère (O ; i, j ). On considère les vecters : (- ; ) ; v ( ; + ) ; ( + ; + ) ; s ( ; 6) ) Étdier la colinéarité de et v ; la colinéarité de v et et la colinéarité de v et s. ) Montrer qe l'on pet exprimer le vecter s sos la forme s = a + b v avec a et b réels. ère S Vecters Repères cartésiens page / 5

4 Exercice 09 Le plan est rapporté à n repère (O ; i, j ). On considère les points (- ; 5) ; (- ; ) ; C( ; ). ) Soit R le point de coordonnées (07 ;-50). Montrer qe les vecters C et R sont colinéaires. Qe pet-on en dédire por les points, C et R? ) Soit H le point de coordonnées (- ; a), où a est n nombre réel. Déterminer a por qe les vecters OH et soient colinéaires. Exercice 0 On considère n parallélogramme CD. Soit I le milie de [C] et J le milie de [CD]. Soit H défini par H = et K défini par K = D. Faire n dessin. Exprimer les vecters HI et KJ en fonction de et D. Les droites (HI) et (KJ) sont-elles parallèles? Exercice On considère n triangle C. Soient E, F et H les points définis par EC = C 5 ) Placer les points sr n dessin. ) Jstifier qe EF = 4 ) Exprimer le vecter - 5 C EH en fonction des vecters et En dédire qe les points E, F et H sont alignés. ; F = ; CH = - 9 C. 4 7 III Éqation cartésienne d'ne droite Les droites () et (CD) sont parallèles si et selement si les vecters et CD sont colinéaires. Définition On appelle vecter directer d'ne droite d tot vecter, et étant dex points distincts de d. D C Propriété Dex droites sont parallèles si et selement si n vecter directer de l'ne est colinéaire à n vecter directer de l'atre. Exercice Dans le plan rapporté à n repère (O ; i, j ), on considère les points ( ; -) ; ( ; 4) ; C(0 ; ) et le vecter v ( ; -). Jstifier qe la droite () est parallèle à la droite d passant par C et de vecter directer v. Dans le plan rapporté à n repère (O ; i, j ), on considère ne droite d. soit d a ne éqation de la forme x = c avec c IR. (dans ce cas d est parallèle à l'axe Oy) soit d a ne éqation de la forme y = mx + p avec m IR et p IR. (dans ce cas d n'est pas parallèle à l'axe Oy) m est le coefficient directer, p est l'ordonnée à l'origine. Ces éqations sont appelées éqations rédites. ère S Vecters Repères cartésiens page 4 / 5

5 Exercice Le plan est rapporté à n repère (O ; i, j ). On considère les points (- ; 5) ; (- ; ) et M n point de coordonnées (x ; y). ) Donner les coordonnées des vecters M ; M et. ) Donner ne condition portant sr des vecters por qe M soit sr la droite (). ) En dédire qe tot point M de la droite () a des coordonnées (x ; y) vérifiant l'éqation 4x + y + 7 = 0 4 ) En dédire l'éqation rédite de la droite (). Propriété (voir démonstration 0) Le plan est rapporté à n repère (O ; i, j ). On considère ne droite d. d a ne éqation de la forme ax + by + c = 0 ; a, b, c étant trois réels tels qe (a ; b) (0 ; 0). Cette éqation est appelée éqation cartésienne de d. Exercice 4 Le plan est rapporté à n repère (O ; i, j ). ) On considère les points (- ; 7) et ( ; 5). Déterminer, en tilisant la colinéarité de vecters, ne éqation cartésienne de la droite (). ) On considère le point C( ; -) et le vecter ( ; -5). Déterminer, en tilisant la colinéarité de vecters, ne éqation cartésienne de la droite d passant par C et de vecter directer. ) Démontrer qe les droites () et d sont sécantes et donner les coordonnées de ler point d'intersection. Propriété (voir démonstration 04) Tote éqation de la forme ax + by + c = 0 ; a, b, c étant trois réels tels qe (a ; b) (0 ; 0) est l'éqation d'ne droite d. d a por vecter directer le vecter v de coordonnées (-b ; a). Si b 0, d a ne éqation de la forme y = mx + p et son coefficient directer m est égal à - a b. Si b = 0, d a ne éqation de la forme x = k, d est ne droite parallèle à l'axe Oy. Soient (x ; y ) et (x ; y ) dex points n'ayant pas la même abscisse, c'est-à-dire tels qe x x. La droite () a por coefficient directer m = y - y x - x. Remarqe Si d a por vecter directer (α ; β); avec α 0, alors d a por coefficient directer β α. Si d a por coefficient directer m, alors d a por vecter directer ( ; m) (o tot vecter non nl colinéaire à ce vecter). Exercice 5 On considère les droites d ; d ; d d'éqations respectives x + y - = 0 ; x - 5y = 4 ; x + = 0. Donner por chacne de ces droites n vecter directer et éventellement le coefficient directer. Soient ( ; 7) et (0 ; ). La droite () est-elle parallèle à l'ne des droites d ; d ; d? Exercice 6 Le plan est rapporté à n repère orthonormé (O ; i, j ). On considère les points ( ; ) ; ( ; ) ; C( ; -) ; D(-4 ; ). On porra faire n dessin. ) Montrer qe les droites () et (CD) sont parallèles. ) Montrer qe O appartient à la droite (CD). ) Soit M de coordonnées (x ; y). Déterminer les distances M et CM en fonction de x et y. En dédire l'éqation de la droite δ, médiatrice de [C]. Montrer qe δ est la droite (O). ère S Vecters Repères cartésiens page 5 / 5