CHAPITRE VII : RECURRENCES LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS

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1 CHAPITRE VII : RECURRENCES LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS RLACC EXEMPLE I 285 Données: K t+1 = (1 + i) K t, i et éventuellement K 0. On cherche: K t pour toute valeur de t.» t (le "temps") varie de manière discrète (jours ou années ou..)» K 0 est le capital disponible au moment initial (aujourd'hui?)» i est le taux d'intérêt correspondant à une unité de temps» décrit l'évolution du capital lorsque les intérêts sont systématiquement placés après chaque période» 1+i est constant» la référence au passé se fait sur une et une seule unité de temps» on recherche une suite K 0, K 1,..., K n,... et/ou une fonction K(t) calculant les K t» t IN

2 RLACC EXEMPLE II 286

3 RLACC D'ORDRE Une RLACC d'ordre 1 est une équation Y t+1 = a Y t + b t où a 0 est donné, où (b t ) est une suite donnée, où t IN, et où on recherche la suite ou la fonction Y t.» RLACC d'ordre supérieur» Systèmes de RLACC et modèles» Notations : y t y(t) (y t )

4 RLACC D'ORDRE 1 - EXITENCE ET UNICITE DE SOLUTIONS 288 Une RLACC d'ordre 1 possède une et une seule solution de valeur initiale donnée. Soit Y t+1 = a Y t + b t la RLACC et Y t une solution de valeur initiale Y 0. Il y a un seul Y 0 possible. Puisque Y t est solution: Y 1 = a Y 0 + b 0 donc un seul Y 1 est possible. ETC! Mais aussi, pour le Y 0 donné, on peut calculer un Y 1 tel que l'équation est vérifiée, puis un Y 2, ETC!» Il est facile de construire la suite solution.» Mais la fonction?

5 RLACC : SOLUTION GENERALE - SOLUTION PARTICULIERE 289 La solution générale d'une RLACC est l'ensemble de toutes ses solutions (pour toutes les valeurs initiales) chacune étant une solution particulière.» On recherche la solution générale» Que l'on particulisera ensuite

6 RLACC HOMOGENE ET NON HOMOGENE 290 La RLACC Y t+1 = a Y t + b t est homogène ssi b t = 0 t IN et non homogène sinon. La RLACC Y t+1 = a Y t est appelée RLACC homogène associée à la RLACC Y t+1 = a Y t + b t.» Les solutions de ces deux RLACC ne sont pas les mêmes (cf. sytèmes linéaires...) mais le lien est similaire

7 NATURE LINEAIRE DU PROBLEME 291 Soit Y t une solution particulière de la RLACC non homogène Y t+1 = a Y t + b t. Alors Z t en est aussi une solution ssi Z t - Y t est solution de la RLACC homogène associée. Si Y t est solution: Y t+1 = a Y t + b t t. Z t est solution ssi Z t+1 = a Z t + b t càd ssi Z t+1 - Y t+1 = a Z t - a Y t +b t -b t càd ssi Z t+1 - Y t+1 = a (Z t - Y t ).» Pour connaître tous les Z t solutions (la solution générale) de l'équation non homogène il suffit de connaître une solution Y t (particulière) et toutes les solutions (la générale) de l'équation homogène associée et de les ajouter.

8 SGENH = SPENH + SGEH 292 La solution génerale d'une RLACC non homogène d'ordre 1 s'obtient en ajoutant à une solution particulière quelconque, la solution générale de la RLACC homogène associée. Cf. remarque précédente.» Trouver une solution particulière (peu importe comment)» Trouver systématiquement la solution générale dans le cas des RLACC homogènes uniquement.

9 RLACC HOMOGENES D'ORDRE 1 - SOLUTION GENERALE 293 La solution générale de la RLACC homogène d'ordre 1: Y t+1 = a Y t (a 0) est donnée par Y t = a t c c R et t IN. Si Y 0 = c alors Y 1 = a c et Y 2 = a Y 1 = a 2 c et... Y t = a t c. Exemple: K t+1 = (1+i) K t. Alors K t = (1+i) t c où c est ici K 0.

10 RLACC HOMOGENES D'ORDRE 1 EXEMPLE 294 Soit y = 2y + 3t (équation non homogène). t+1 t L'équation homogène associée est y = 2y. t+1 t La SGEH est y = C.2 C. t t SGENH = SGEH + SPENH t SGENH = C.2 + SPENH C SPENH?

11 RLACC NON HOMOGENES D'ORDRE 1 - SOLUTIONS PARTICULIERES 295» Il s'agit de "recettes"» Essayer une constante» Pour une RLACC de la forme Y t+1 = a Y t + p n (t) b t où a 0, b a et p n (t) est un polynôme de degré n en t: essayer une solution du type Y t = q n (t) b t ( càd essayer de trouver les coefficients de q pour que..)» Pour une RLACC de la forme Y t+1 = a Y t + p n (t) a t où a 0, et p n (t) est un polynôme de degré n en t : essayer une solution du type Y t = t q n (t) a t ( càd essayer de trouver les coefficients de q pour que..)» Il y a des collections de recettes...

12 RLACC D'ORDRE 1 EXEMPLE I 296 Soit t t+ 1 = t +. y 2y 3 Equation homogène associée: yt+ 1 = 2yt. SGEH : t C.2 C. Essayer comme SPENH: y = K.3. Alors remplaçant dans l équation non homogène: t t t 1 yt+ 1 = 2K.3 + et en t+ 1 t t K.3 = 2 K d où + = et ( ) t 1 t t K.3 2 K t K.3 2 K 1.3 = 0 donc K=1, ce qui donne une SPENH: t t y = 3. On a enfin: SGENH = SGEH + SPENH: t 1 t yt = C C. 2

13 RLACC D'ORDRE 1 EXEMPLE II 297 Soit Y t+1 = Y t +1. Ici a = 1 ( 0) et b t = 1 (=1 t ). Equation homogène associée: Z t+1 = 1 Z t et SGEH: Z t = C1 t = C. SPENH: essayer Y t = t k 1 t = k t. Alors Y t+1 = k (t+1) et en remplaçant: k (t+1) = 1 k t + 1 fonctionne avec k = 1. On a une SPENH: Y t = t donc la SGENH: Y t = t + C C IR. Dans ce cas-ci Y 0 = C : on écrit plutôt Y t = t + Y 0.

14 RLACC - EQUILIBRE 298 Une RLACC possède un équilibre ssi elle a UNE solution (particulière) constante (qui s appelle alors «l équilibre»). 1 Exemple: la RLACC yt+ 1 = yt + 6 possède-t-elle un équilibre? 2 Ou encore: a-t-elle une solution constante? Si yt = K alors yt+ 1 = K et en remplaçant dans l équation: 1 K = K + 6 d où K = Il y a un équilibre yt = 12 t.

15 RLACC - STABILITE D'UN EQUILIBRE I 299 Un équilibre est stable ssi toute solution tend vers la solution d'équilibre lorsque t tend vers l'infini. Exemple: Y t+1 = 1/2 Y t + 6 a un équilibre c = 12. La SGEH est Z t = (1/2) t Z 0. La SGENH est donc Y t = 12 + Z 0 (1/2) t Z 0 IR. Effectivement: lim t + Y t = 12. Remarque: 1 y0 = 12+ Z0 et yt = 12+ ( y0 12) t 2 où figurent à la fois l'équilibre et la valeur initiale y. t 0

16 RLACC - STABILITE D'UN EQUILIBRE II 300

17 RLACC - STABILITE D'UNE RLACC I 301 Une RLACC est stable ssi la différence de deux solutions particulières quelconques tend vers 0 si t tend vers l'infini. L'éventuel équlibre d'une RLACC stable est stable. Une RLACC est stable ssi la SGEH a une limite nulle quand t tend vers l'infini. Car la différence de deux solutions particulières est solution de l'équation homogène associée. Exemple: Y t+1 = 1/2 Y t + 6 a un équilibre c = 12. La SGEH est Z t = (1/2) t Z 0 qui a la limite nulle attendue quel que soit Z 0.» Pour une RLACC stable: des solutions de valeurs initiales proches restent proches. Utile si la valeur initiale n'est connue qu'approximativement.

18 a a STABILITE DES RLACC D'ORDRE La RLACC d'ordre 1 Y t+1 = a Y t + b t (a 0) est stable ssi < 1. L équation homogène associée est yt+ 1 = ayt de solution générale y t t = K.a et t t lim K.a = 0 a < 1.

19 RLACC D'ORDRE SUPERIEUR A UN 303 Y t+n + a 1 Y t+n-1 +a 2 Y t+n a n Y t = b t (a n 0) est une RLACC d'ordre n.» Remarquer que si Y 0, Y 1,..., Y n-1 sont connus, on peut calculer Y n d'une et d'une seule manière pour que ces n+1 nombres vérifient l'équation. Il en sera de même successivement pour Y n+1, Y n+2,.... Effectivement, écrire l'équation y + a y + a y a y = b t+n 1 t+ n 1 2 t+ n 2 n t+ n n t y + a y + a y a y = b y + a y + a y a y = b y + a y + a y a y = b c'est écrire M y + a y + a y a y = b M 0+n 1 0+ n n 2 n n 1 1+ n n 2 n n 1 2+ n n 2 n n 1 1+ n n 2 n

20 EXISTENCE ET UNICITE DES SOLUTIONS 304 Une RLACC d'ordre n possède une et une seule solution de valeurs données y 0,y 1,..,yn 1 Par la remarque précédente.

21 RLACC NON HOMOGENE ET RLACC HOMOGENE ASSOCIEE 305 La RLACC d'ordre n : Y t+n + a 1 Y t+n-1 +a 2 Y t+n a n Y t = b t (a n 0) est non homogène si b t 0 pour au moins une valeur de t et homogène sinon. De plus Y t+n + a 1 Y t+n-1 +a 2 Y t+n a n Y t = 0 (a n 0) est la RLACC homogène associée à la RLACC ci-dessus.

22 NATURE LINEAIRE DU PROBLEME 306 Soit Y t une solution particulière d'une RLACC non homogène. Alors Z t en est aussi une solution ssi Z t - Y t est solution de la RLACC homogène associée. Démonstration analogue à l'ordre 1.

23 SGENH = SPENH + SGEH 307 La solution génerale d'une RLACC non homogène s'obtient en ajoutant à une solution particulière quelconque, la solution générale de la RLACC homogène associée. Cf. remarque précédente.» Trouver une solution particulière (peu importe comment)» Trouver systématiquement la solution générale dans le cas des RLACC homogènes uniquement.

24 RLACC NON HOMOGENES - SOLUTIONS PARTICULIERES 308» Il s'agit de "recettes"» Essayer une constante (équilibre!)» Difficile

25 RLACC EQUILIBRE ET STABILITE D'UN EQUILIBRE 309 Une RLACC possède un équilibre ssi elle a une solution (particulière) constante. Un équilibre est stable ssi toute solution tend vers la solution d'équilibre lorsque t tend vers l'infini.

26 RLACC - STABILITE D'UNE RLACC 310 Une RLACC est stable ssi la différence de deux solutions particulières quelconques tend vers 0 si t tend vers l'infini. L'éventuel équlibre d'une RLACC stable est stable. Une RLACC est stable ssi la SGEH a une limite nulle quand t tend vers l'infini.

27 RLACC D'ORDRE 2 - SGEH - ASPECT VECTORIEL 311» Soit Y t+2 + a Y t+1 + b Y t = 0 une RLACC homogène d'ordre 2 (b 0). Si X t et Z t en sont deux solutions, λ X t + μ Z t en est une solution aussi quels que soient λ et μ IR (remplacer!). Par conséquent: Les solutions d'une RLACC homogène forment un sous-vectoriel du vectoriel des fonctions.» On en recherchera évidemment une base» On peut montrer que le vectoriel en question est de dimension 2» Pour une RLACC d'ordre n : rechercher n solutions suffisamment différentes (contrainte de l'indépendance linéaire : suivre une recette qui la garantit)» La SGEH sera l'ensemble des combinaisons linéaires de celles-ci.

28 RLACC D'ORDRE 2 - SGEH - EQUATION CARACTERISTIQUE 312» Soit Y t+2 + a Y t+1 + b Y t = 0 une RLACC homogène d'ordre 2 (b 0). Alors x t en est une solution non nulle (LI!) ssi x t+2 + a x t+1 + b x t = 0 càd ssi x t ( x 2 + a x + b) = 0 càd ssi x 2 + ax + b = 0. Cette équation est l'équation caractéristique de la RLACC.» Elle aura deux solutions réelles distinctes, une racine réelle double ou deux racines complexes conjuguées.

29 RLACC D'ORDRE 2 - SGEH 313 Si l'équation caractéristique possède deux racines réelles distinctes x 1 et x 2 : la SGEH est c 1 x 1 t + c 2 x 2 t c 1,c 2 IR. Si l'équation caractéristique possède une racine réelle double x: la SGEH est c 1 x t + c 2 t x t c 1,c 2 IR. Si l'équation caractéristique possède deux racines complexes conjuguées ρ (cos θ + i sin θ) et ρ (cos θ - i sin θ) : la SGEH est c 1 ρ t cos tθ + c 2 ρ t sin tθ c 1, c 2 IR. Remplacer pour vérifier qu'il s'agit bien de solutions et vérifier ensuite l' indépendance linéaire

30 x x RLACC D'ORDRE 2 - STABILITE 314» Selon le cas: la SGEH tend vers 0 quand t tend vers l'infini ssi x 1 < 1 < 1 et x 2 < 1 ou < 1 ou ρ < 1.» Pour un nombre réel: son module vaut sa valeur absolue. Une RLACC d'ordre 2 est stable ssi les solutions de son équation caractéristique ont un module < 1.