DÉRIVATION CHAPITRE 8. 1 Dérivée d une fonction. 1.1 Dérivabilité

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1 CHAPITRE 8 DÉRIVATION Dans tout ce chapitre, sauf mention contraire, D, E, F désigneront des parties de R et I, J des intervalles de R On supposera donné, quand nécessaire, un repère du plan et l on notera C f la courbe d une fonction f dans ce repère Dérivée d une fonction Dérivabilité a Définition 8 Nombre dérivé en un point Soient f : I R et a, b deux éléments distincts de I On appelle corde de f entre a et b la droite passant par les points A(a, f (a)) et B(b, f (b)) de C f f (b) f (a) On appelle taux d accroissement de f entre a et b le réel b a, égal au coefficient directeur de la corde de C f entre a et b B 5 4 f (b) f (a)=375 3 A b a=5 Taux d accroissement entre 05 et : f () f (05) 05 = = Figure 8 Corde et taux d accroissement Lycée du Parc 85

2 Définition 8 Nombre dérivée en un point Soient f : D R et a D f est dite dérivable en a si f (x) f (a) x a l R, autrement dit si son taux d accroissement entre a et x x a admet une limite finie quand x tend vers a Dans ce cas, cette limite est appelée nombre dérivé de f en a et l on note f (a) = lim x a f (x) f (a) x a Une fonction peut donc être définie en a sans être dérivable en a pour deux raisons : soit parce que le taux d accroissement n a pas de limite, soit parce qu il a une limite infinie En effectuant le changement de variable x = a + h, le taux d accroissement entre a et x s écrit f (x) f (a) f (x+h) f (x) l on peut donc remplacer l étude de x a quand x a par celle de h quand h 0 Définition 83 Soit f : D R f est dite dérivable si elle est dérivable en a pour tout a D Dans ce cas, on appelle fonction dérivée de f, et l on note f, la fonction f : D R x f (x) f (x+h) f (x) h et Théorème 84 Soient f : D R et a D Si f est dérivable en a, alors f est continue en a Remarque La réciproque est fausse, comme le montre l exemple 8 Exemple 8 Soit f : R + R x x, et soit a R + Si a > 0 on a, pour tout x R + \ {a}, f (x) f (a) x a = x a x a = ( x a)( x+ a) (x a)( x+ a) = x a (x a)( x+ a) = x+ a Exercice 8 Or x + a a 0 car a 0, et donc x a a 0 et f (a) = pour a 0 a Si a = 0 on étudie de même, pour x > 0, f (x) f (0) x 0 = f (x) f (a) x a x x x a R Ainsi, f est dérivable en tout a = x Mais la limite de ce quotient quand x tend vers 0 est +, et x x n est donc pas dérivable en 0 Finalement, la fonction racine, qui est continue sur R + (et donc en particulier en 0), est dérivable en tout point de R + mais pas en 0 Soit f : R R x x Montrer que f est dérivable et déterminer l expression de f (x) pour x R (à partir de la définition, bien sûr) Lycée du Parc 85

3 Définition 85 Dérivée à gauche, à droite Soient f : D R et a D f (x) f (a) Si Si x a f (x) f (a) x a x a + l R, on dit que f est dérivable à droite en a, et l on note f d f (x) f (a) (a) = lim x a + x a l R, on dit que f est dérivable à gauche en a, et l on note f x a g(a) = lim x a f (x) f (a) x a Proposition 86 Soient f : D R et a D f est dérivable en a ssi elle admet des dérivées à gauche et à droite en a et que ces dérivées sont égales Remarque On peut définir la dérivabilité à gauche et à droite en a de manière plus concise : f est dérivable à gauche (respectivement à droite) en a ssi f D ],a] (resp f D [a,+ [ ) est dérivable en a Exercice 83 Soit f : R R x x Montrer que f est dérivable à gauche et à droite en 0 mais qu elle n est pas dérivable en 0 Proposition 87 Soient f : D R et a R Si f est dérivable en a et si f (a) 0, alors f (x) f (a) x a f (a)(x a) En admettant les résultats sur les dérivées des fonctions usuelles, cette propriété permet de retrouver les équivalents usuels On peut effectuer le changement de variable x = a + h, on obtient alors f (x + h) f (x) h f (x) h 0 Attention à l hypothèse f (a) 0 Sinon, on obtient par exemple cos x cos 0 cos (0)(x 0), c est-à-dire x 0 cos x 0, ce qui est clairement faux x 0 Exemple 84 La fonction sin est dérivable en 0 et sin (0) = cos 0 = On en déduit sin x sin 0 x 0 (x 0), c est-à-dire sin x x 0 x = On en déduit ln x ln (x ), c est- x La fonction ln est dérivable en et ln () = à-dire ln x ln( + h) h 0 h x En effectuant le changement de variable x = + h, cet équivalent devient x Proposition 88 Soient f : D R et a D f est dérivable en a ssi il existe c R tel que Dans ce cas, on a f (a) = c f (x) = f (a) + c(x a) + o x a (x a) Lycée du Parc 85 3

4 Chapitre 8 Dérivation On dit que f admet un développement limité à l ordre en a Cette notion sera largement approfondie au chapitre suivant Une nouvelle fois, on peut effectuer le changement de variable x = a + h pour obtenir, si f est dérivable en a, f (a + h) = f (a) + h f (a) + o h 0 (h) b Définition 89 Tangente Soient f : D R, a D et A(a, f (a)) Si f est dérivable en a, on appelle tangente en A à C f la droite passant par A et de coefficient directeur f (a) Si f (x) f (a) x a x a ± et f (x) f (a) x a ordonnées et passant par A Dans les autres cas, C f n admet pas de tangente en A x a + ±, on appelle tangente en A à C f la droite parallèle à l axe des On parle aussi de tangente à C f au point d abscisse a ou même simplement de tangente en a Dans le deuxième cas, les limites à gauche et à droite peuvent être différentes, tant qu elles sont toutes les deux infinies Parmi toutes les droites passant par A, la tangente est celle qui «colle le mieux» à C f autour de A (si une telle droite existe) Géométriquement, la tangente correspond à la position limite, si elle existe, de la corde reliant A(a; f (a)) et M(x; f (x)) quand x tend vers a M 5 4 M 3 M Tangente a en A 3 A M 4 a x 4 x x x Figure 8 Position limite des cordes Proposition 80 Soient f : D R et a D f est dérivable en a ssi elle admet une tangente non verticale T a au point d abscisse a et, dans ce cas, on a : T a : y = f (a)(x a) + f (a) Lycée du Parc 85 4

5 Chapitre 8 Dérivation C f A A a f (a)>0 f (a)<0 a Figure 83 Tangentes obliques B B C f a b A A Figure 84 Tangentes horizontales, f (a) = f (b) = 0 a A a Figure 85 Tangentes verticales, f n est pas dérivable en a C f A a Les dérivées à gauche et à droite en a existent et sont différentes La fonction n est pas dérivable en a et il n y a pas de tangente en A Figure 86 Point anguleux Lycée du Parc 85 5

6 Définition 8 Soit f : I R dérivable f est dite convexe si, pour tout a I, C f est au-dessus de sa tangente en a, ie si : a I x I, f (x) f (a)(x a) + f (a) f est dite concave si, pour tout a I, C f est en-dessous de sa tangente en a, ie si : a I x I, f (x) f (a)(x a) + f (a) Proposition 8 Soit f : I R dérivable f est convexe ssi f est croissante f est concave ssi f est décroissante f est concave ssi f est convexe Figure 87 Fonction convexe (à gauche), fonction concave (à droite) Exercice 85 Montrer que ln est concave, et en déduire que x R +, ln x x c Fonctions à valeurs vectorielles Définition 83 Dérivée d une fonction à valeurs dans R n Soient n N, f,, f n : D R, a D et f : D R n x ( f (x), f (x),, f n (x)) La fonction f est dite dérivable en a ssi toutes les fonctions f,, f n le sont Dans ce cas, on pose f (a) = ( f (a),, f n(a)) Exercice 86 On considère un point du plan repéré par ses coordonnées cartésiennes x(t) = cos(θ 0 )v 0 t L équation horaire de son mouvement est donnée pour t 0 par y(t) = sin(θ 0 )v 0 t gt où θ 0, v 0 et g sont trois constantes réelles Déterminer les vecteurs vitesse et accélération du point Lycée du Parc 85 6

7 Définition 84 Dérivée d une fonction à valeurs complexes Soient f : D C et a D La fonction f est dite dérivable en a si les deux fonctions f : D R x R( f (x)) et f : D R x I( f (x)) le sont Dans ce cas, on pose f (a) = f (a) + i f (a) Proposition 85 Soit z 0 C La fonction f : R C x e z 0x est dérivable et x R, f (x) = z 0 e z 0x Exemple 87 Soit f : R C θ e iθ f est dérivable et x R, f (x) = ie ix = e i(x+ π ) = f ( x + π ) Dérivabilité sur un intervalle Définition 86 Soient f : D R et I D (on rappelle que I désigne un intervalle) f est dite dérivable sur I si f D I est dérivable Proposition 87 Soient f : D R et I un intervalle de bornes a et b, a < b tel que I D Si I =]a, b[, f est dérivable sur I ssi elle est dérivable en tout x de I Si I =]a, b], f est dérivable sur I ssi elle est dérivable en tout x de ]a, b[ et dérivable à gauche en b Si I = [a, b[, f est dérivable sur I ssi elle est dérivable en tout x de ]a, b[ et dérivable à droite en a Si I = [a, b], f est dérivable sur I ssi elle est dérivable en tout x de ]a, b[, dérivable à droite en a et dérivable à gauche en b On retiendra surtout qu il faut se méfier des bornes fermées des intervalles On peut toujours revenir à la définition par le taux d accroissement au lieu de considérer les dérivées à gauche ou à droite (et c est parfois plus simple à comprendre) Exercice 88 e x si x Soient a, b R et f : R R x ax + b si x > Pour quelles valeurs de a et b la fonction f est-elle dérivable sur R? On admet ici les résultats sur la dérivabilité des fonctions usuelles Lycée du Parc 85 7

8 3 Dérivées des fonctions usuelles 4 Calcul de dérivée Proposition 88 f f x c, c R x 0 x x n, n Z x nx n pour x 0 si n < 0 exp exp ln x x pour x > 0 sin cos cos sin tan = + tan pour x π cos [π] x x x non dérivable en 0 x si x < 0 x x x non dérivable en 0 si x > 0 x x a, a R x ax a pour x > 0 Soient f, g : D R, E R tel que f (D) E, ϕ : E R, a D et λ, µ R Si f et g sont dérivables en a, alors λ f + µg est dérivable en a et (λ f + µg) (a) = λ f (a) + µg (a) Si f et g sont dérivables en a, alors f g est dérivable en a et ( f g) (a) = f (a)g(a) + f (a)g (a) Si f est dérivable en a et ϕ dérivable en f (a), alors ϕ f est dérivable en a et (ϕ f ) (a) = f (a) ϕ ( f (a)) Remarque Le premier point traduit le fait que la dérivée est linéaire Proposition 89 Si f, g : D R sont dérivables, alors λ f + µg est dérivable et (λ f + µg) = λ f + µg Si f, g : D R sont dérivables, alors f g est dérivables et ( f g) = f g + f g Si f : D E et ϕ : E R sont dérivables, alors ϕ f est dérivable et (ϕ f ) = f (ϕ f ) En prenant pour ϕ la fonction inverse, on obtient la formule permettant de dériver f : Lycée du Parc 85 8

9 Proposition 80 Si f est dérivable sur I et ne s annule pas sur I, alors f est dérivable sur I et ( ) = f f f En combinant cette formule avec celle donnant la dérivée d un produit, on obtient la dérivée d un quotient : Proposition 8 Soient f, g : D R Si f et g sont dérivables sur I D et que g ne s annule pas sur I, alors f g sur I et ( ) f = f g f g g g est dérivable Exemple 89 On considère la fonction f : [, ] R x (x ) x et l on souhaite étudier sa dérivabilité x x est dérivable sur ], [ à valeurs dans R + et X X est dérivable sur R +, donc (composée) x x est dérivable sur ], [ x x est dérivable sur R et donc sur ], [ et x (x ) x est donc dérivable sur ], [ (produit) Pour x ], [, on a f (x) = x + (x )( x) = ( x)(x+) x x Les théorèmes généraux ne disent rien sur la dérivabilité de f en et en : il faut revenir à l étude du taux d accroissement a On trouve alors que f n est pas dérivable en (le taux d accroissement a une limite infinie) mais qu elle est dérivable en (et que f () = 0) a ou utiliser le théorème 835 sur la limite de la dérivée Figure 88 Courbe y = (x ) x Lycée du Parc 85 9

10 Exercice 80 Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes et étudier leur dérivabilité On demande ici des justifications précises f : x e sin x f : x x 3 3 f 3 : x ln( + x ) On peut souvent alléger la rédaction en utilisant la propriété suivante : Proposition 8 Toute fonction obtenue comme somme, produit et composée de fonctions dérivables est dérivable Attention, on ne peut plus utiliser cette propriété dès qu il y a des racines ou des valeurs absolues dans l expression de f En effet, les fonctions racine carrée et valeur absolue ne sont pas dérivables (puisqu elles sont définies en 0 sans y être dérivables) D un point de vue plus «comptable», si l on vous pose une question du type «justifier que la fonction f est dérivable», on attend en règle générale une réponse détaillée Dérivées successives Dérivée d ordre n d une fonction Définition 83 Dérivées successives d une fonction Soit f : D R On définit par récurrence les dérivées successives de f par : f (0) = f Pour n N, si f (n) est dérivable, alors f (n+) = ( f (n)) Remarque On a donc, si ces dérivées existent, f () = f et f () = ( f ) (que l on note usuellement f ) Définition 84 Fonctions D n, fonctions C n Soient D R On définit D 0 (D) = { f : D R} C 0 (D) = C(D) = { f : D R, f est continue} Pour n N, D n+ (D) = { f D n (D), f (n) est dérivable sur D} Pour n N, C n (D) = { f D n (R), f (n) C(D)} C (D) = C n (D) n N C 0 (D), usuellement noté C(D), est l ensemble des fonctions continues sur D D (D), usuellement noté D(D), est l ensemble des fonctions dérivables sur D Une fonction appartenant à D n (D) est dite de classe D n sur D (ou n fois dérivable sur D) Une fonction appartenant à C n (D) (respectivement à C ) est dite de classe C n (resp de classe C ) sur D Une fonction est de classe C n ssi elle est n fois dérivable et que sa dérivée n-ième est continue Une fonction est de classe C ssi sa dérivée n-ième existe pour tout n N Lycée du Parc 85 0

11 Proposition 85 On a les inclusions suivantes : D 0 (D) C 0 (D) D (D) C (D) D n (D) C n (D) C (D) Exercice 8 Soit f : R R x x Montrer que f est C et déterminer l expression de f (n) pour n N Proposition 86 Les fonctions polynômes, la fonction inverse, les fonctions exp, ln, sin, cos et tan sont C sur leur domaine de définition respectif La fonction racine carrée est C sur R + Théorème 87 Soient D, E R, λ R et n N Si f D n (D), alors λ f D n (D) et (λ f ) (n) = λ f (n) Si f, g D n (D), alors f + g D n (R) et ( f + g) (n) = f (n) + g (n) Si f, g D n (D), alors f g D n (R) et ( f g) (n) = n k=0 ( ) n f (k) g (n k) k Si f D n (D) et que ϕ D n (E) avec f (D) E, alors ϕ f D n (D) On a les mêmes propriétés en remplaçant D n (D) par C n (D) ou par C (D) Formule de Leibniz Exercice 8 Montrer que f : R R x sin ( x + e x) est C sur R Montrer que g : R R x x e x est C sur R et déterminer l expression de g (n) pour n N 3 Théorèmes fondamentaux 3 Dérivée et sens de variation Théorème 88 Soit f : I R dérivable (I est un intervalle) f est croissante sur I ssi f 0 sur I f est décroissante sur I ssi f 0 sur I f est constante sur I ssi f = 0 sur I Si f est strictement positive sur I sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s annule, alors f est strictement croissante sur I Si f est strictement négative sur I sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s annule, alors f est strictement décroissante sur I Lycée du Parc 85

12 Attention à n utiliser cette propriété que sur un intervalle Si l on prend f : R R x x, on a f dérivable et x R, f (x) < 0, et pourtant f n est pas décroissante sur R En revanche f est bien décroissante sur chacun des intervalles ], 0[ et ]0, + [ Les deux derniers points ne sont pas des équivalences On a en fait la condition nécessaire et suffisante suivante (hors-programme) : f est strictement croissante ssi f 0 et f n est identiquement nulle sur aucun intervalle non réduit à un point Définition 89 Soient f : D R et a D On dit que f admet un maximum local en a s il existe un voisinage V de a tel que x D V f (x) f (a) f admet un minimum local en a s il existe un voisinage V de a tel que x D V f (x) f (a) f admet un extremum local en a si elle y admet un minimum local ou un maximum local Autrement dit, f admet un maximum local en a si l on a f (x) f (a) pour x suffisamment proche de a Un maximum global est forcément un maximum local, mais la réciproque est fausse 4 3 La fonction f : R R x x 3 4x + 3x + représentée ci-contre admet trois extrema locaux : deux minima locaux en x = et en x = 3 ; un maximum local en x 3 = Le minimum local en x est également un minimum global ; f n admet pas de maximum global x x 3 Figure 89 Extrema d une fonction Proposition 830 Soient a, b R, f : ]a, b[ R dérivable et x 0 ]a, b[ Si f admet un extremum local en x 0, alors f (x 0 ) = 0 Si f s annule en changeant de signe en x 0, alors f admet un extremum local en x 0 Le changement de signe de f est obligatoire La fonction x x 3, définie sur R, a une dérivée nulle en 0 et elle n y a pourtant pas d extremum local (elle est strictement croissante sur R ) Attention également à n appliquer ce théorème que sur un intervalle ouvert La fonction f : R + R x x + 3 a un minimum global (et donc local) en 0, et pourtant f (0) = Lycée du Parc 85

13 Exercice 83 Soit k R et f : R R x ( k)x + ( + k)x 3 Déterminer les valeurs de k pour lesquelles f admet un extremum local en 0 f peut-elle avoir un extremum global en 0? 3 Accroissements finis Théorème 83 Théorème de Rolle Soient a, b R, a < b et f : [a, b] R Si f est continue sur [a, b] f est dérivable sur ]a, b[ f (a) = f (b) alors c ]a, b[, f (c) = 0 Il faut toujours citer précisément les hypothèses de ce théorème quand on l utilise c n a bien sûr aucune raison d être unique f (a)= f (b) a c c b Figure 80 Illustration du théorème de Rolle Exercice 84 Soit P un polynôme de degré n qui a n racines réelles simples Montrer que toutes les racines de P sont simples Théorème 83 Égalité des accroissements finis Soient a, b R, a < b et f : [a, b] R Si f est continue sur [a, b] f est dérivable sur ]a, b[ alors c ]a, b[, f (b) f (a) b a = f (c) Lycée du Parc 85 3

14 Remarque Géométriquement, l égalité des accroissements finis affirme qu il existe (au moins) une tangente à C f en un point de ]a, b[ qui soit parallèle à la corde entre a et b Exercice 85 Soit f dérivable sur R telle que f + 0 Montrer que f (x) f( x) x 0 x + On a deux corollaires immédiats mais extrêmement utiles de ce théorème : Théorème 833 Inégalité des accroissements finis Soient a, b, m, M R, a < b et f : [a, b] R On suppose que f est continue sur [a, b], dérivable sur ]a; b[ Si x ]a, b[, f (x) m, alors f (b) f (a) m(b a) Si x ]a, b[, f (x) M, alors f (b) f (a) M(b a) Remarque Intuitivement, ce n est pas franchement surprenant : si vous avez roulé de 4 heures (a) à 6 h 30 (b) et que votre compteur ( f (x)) n a jamais dépassé les 00 km/h (M), alors vous avez parcouru au plus 00(6-4,5)=50 kilomètres ( f (b) f (a) M(b a)) Théorème 834 Inégalité des accroissements finis, bis Soient I un intervalle de R, f : I R dérivable et M R Si f M, alors x, y I, f (y) f (x) M y x Exercice 86 Exercice 87 Montrer que x > 0, x+ ln(x + ) ln x x Soient f : R + R + x + x et a R + Montrer que x 0, f (x) x En déduire que la suite définie par u 0 = a et n N, u n+ = f (u n ) converge vers une limite que l on déterminera 33 Prolongements Théorème 835 Limite de la dérivée Soient I un intervalle non réduit à un point, f : I R et a I On suppose que f est continue sur I et dérivable en tout point de I \ {a} Si f (x) x a l R, alors f est dérivable en a et f (a) = l Si f (x) x a ±, alors f n est pas dérivable en a et C f a une tangente verticale en a Lycée du Parc 85 4

15 L intérêt de ce théorème est d éviter l étude du taux d accroissement (cf exemple 88) En particulier, si f est continue sur I, de classe C sur I \ a et que f (x) l R, alors f est de classe C sur I Attention, f peut être dérivable sans que sa dérivée soit continue (ie D mais pas C ) et f (a) peut donc exister alors que f (x) n a pas de limite quand x a, x a (cf exercice 89) Exemple 88 Soit f : [0, ] R x x x x x x et x x x sont dérivables sur [0, ] (fonctions polynômes), x x est dérivable sur ]0, + [, donc f est dérivable en tout point x de [0, ] tel que x x > 0, ie en tout x de ]0, [, et on a alors f (x) = x x + x x x x = x x + x x = x( x) x(3 4x) x x } {{ } car x>0 et x>0 = x a x(3 4x) x En 0 On a x(3 4x) 0 et x, donc f (x) 0 Par conséquent, f est dérivable en 0 x 0 x 0 x 0 et f (0) = 0 De plus, f est C sur [0; [ En On a x(3 4x) < 0 et x 0 +, donc f (x) f n est donc pas dérivable x x x en, elle admet un tangente verticale au point d abscisse Exercice 89 x sin ( ) x si x 0 Soit f : R R x 0 si x = 0 Montrer que f est dérivable mais que f n est pas continue en 0 (donc en particulier que f D (R) mais f C (R)) 34 Dérivée de la réciproque 34a Théorème 836 Dérivabilité de f Soit f : I R continue et strictement monotone f réalise une bijection de I dans f (I) et sa bijection réciproque f est continue, de même monotonie que f Pour y 0 f (I), si f est dérivable en f (y 0 ) et que f ( f (y 0 )) 0, alors f est dérivable en y 0 et ( f ) (y 0 ) = f ( f (y 0 )) Le premier point est une reformulation du théorème de la bijection monotone Dans le deuxième point, la condition donnée est suffisante, mais pas nécessaire Si C f admet une tangente verticale en f (y 0 ), alors f est dérivable en y 0 et ( f ) (y 0 ) = 0 On se référera à la figure 8 La forme de ( f ) (y) peut facilement être retrouvée en écrivant que y f (I), f ( f (y)) = y et en dérivant Ce n est par contre pas une preuve du théorème puisqu on ne démontre pas que f est dérivable Lycée du Parc 85 5

16 T a y= x y= f (x) T b T c T c T b y= f (x) T a Figure 8 Dérivée de la réciproque On rappelle que les courbes de f et de f sont symétriques par rapport à la droite d équation y = x ; il en est donc de même de leurs tangentes Sur le graphique, on observe ainsi que la tangente T a au point d abscisse 9 de C f est symétrique de celle T a au point d abscisse 0 de C f (car f (0) = 9 ) De même, T b, tangente verticale à C f, correspond à une tangente horizontale T b à C f, et T c à T c Théorème 837 Soit f : I R dérivable Si x I, f (x) > 0 (respectivement f (x) < 0), alors f réalise une bijection strictement croissante (resp décroissante) de I vers f (I) et sa dérivée réciproque est dérivable, de dérivée : ( f ) = f f Remarque Si on suppose de plus que f est de classe C n (respectivement de classe C ), alors f est de classe C n (resp de classe C ) 34b Définition 838 Application aux fonctions trigonométriques réciproques La fonction sin : est continue sur [ π, π ] ; est strictement croissante sur [ π, π ] ; vérifie sin ( π ) = et sin ( π ) = Elle réalise donc une bijection de [ π, π ] sur [, ] Sa bijection réciproque, notée arcsin, est continue et strictement croissante de [, ] sur [ π, π ] Lycée du Parc 85 6

17 Remarque Si x [, ], il y a une infinité de réels dont le sinus vaut x Parmi tout ces réels, un seul appartient à [ π, π ] : c est arcsin(x), par définition Proposition 839 x [, ], sin(arcsin(x)) = x θ [ π, π ], arcsin(sin(θ)) = θ arcsin est impaire x [, ], cos(arcsin(x)) = x Remarque Si l on veut calculer arcsin(sin θ) avec θ R, il faut d abord se ramener dans [ π, π ] Exercice 80 Calculer arcsin( ), arcsin(0), arcsin(), arcsin Calculer arcsin(sin( 5π)) et arcsin ( sin ( )) 3π 5 ( ) 3, arcsin ( ) et arcsin ( ) Théorème 840 arcsin est dérivable sur ], [ et x ], [, arcsin (x) = x arcsin n est pas dérivable en et en, sa courbe y admet des tangentes verticales π + y=arcsin x y= x + y=sin x π π π Figure 8 Courbe de arcsin Lycée du Parc 85 7

18 Définition 84 La fonction cos : est continue sur [0, π] ; est strictement décroissante sur [0, π] ; vérifie cos 0 = et cos π = Elle réalise donc une bijection de [0, π] sur [, ] Sa bijection réciproque, notée arccos, est continue et strictement décroissante de [, ] sur [0, π] Remarque Si x [, ], il y a une infinité de réels dont le cosinus vaut x Parmi tous ces réels, un seul appartient à [0, π] : c est par définition arccos x Proposition 84 x [, ], cos(arccos(x)) = x θ [0, π], arccos(cos θ) = θ x [, ], sin(arccos(x)) = x Exercice 8 ( ) Calculer arccos( ), arccos(0), arccos(), arccos 3, arccos ( ) ( et arccos ) Calculer arccos(cos( 5π)), arccos ( cos ( )) ( ( )) 3π 5 et arccos sin π 7 π y= x y=arccos x π π + π + y=cos x Figure 83 Courbe de arccos Lycée du Parc 85 8

19 Théorème 843 arccos est dérivable sur ], [ et x ], [, arccos (x) = x arccos n est pas dérivable en et en, sa courbe y admet des tangentes verticales Exercice 8 Montrer que x [, ], arcsin x + arccos x = π Définition 844 La fonction tan : est continue sur ] π, π [ ; est strictement croissante sur ] π, [ π ; vérifie tan x et tan x + x π + x π Elle réalise donc une bijection de ] π, [ π sur R Sa bijection réciproque, notée arctan, est continue et strictement croissante de R sur ] π, [ π De plus, on a arctan x π π x et arctan x x + Remarque Si x R, il y a une infinité de réels dont la tangente vaut x Parmi tous ces réels, un seul appartient à ] π, π [ : c est par définition arctan x Proposition 845 x R, tan(arctan x) = x θ ] π, [ π, arctan(tan θ) = θ arctan est impaire x R, cos(arctan x) = et sin(arctan x) = x +x +x Exercice 83 Calculer arctan ( tan 9π 5 ) Théorème 846 La fonction arctan est dérivable sur R et x R, arctan (x) = + x Lycée du Parc 85 9

20 π + y=arctan x + π π + + π y=tan x Figure 84 Courbe de arctan 4 Formules de Taylor Théorème 847 Égalité de Taylor-Lagrange Soient I un intervalle non réduit à un point, f de classe C n+ sur I et a, b I, a b Il existe alors c ]a, b[ (ou ]b, a[ si b < a) tel que : f (b) = n (b a) k f (k) (a) + k! k=0 (b a)n+ (n + )! f (n+) (c) En prenant n = 0, on retrouve l égalité des accroissements finis En posant b = a + h, la formule dit alors qu il existe c entre a et a + h tel que : Exercice 84 f (a + h) = n k=0 h k k! f (k) (a) + hn+ (n + )! f (n+) (c) Lycée du Parc 85 0

21 Pour x 0, on considère la suite (u n (x)) n définie par u n (x) = n Montrer que x ]0, ], u n (x) n + ln( + x) k= ( ) k k x k Théorème 848 Inégalité de Taylor-Lagrange Soient a, b R tels que a < b, f de classe C n+ sur [a, b] et m, M R Si x [a, b], f (n+) (x) m, alors f (b) Si x [a, b], f (n+) (x) M, alors f (b) n (b a) k k=0 k! n (b a) k Si x [a, b], f (n+) (x) M, alors n f (b) (b a) k f (k) (a) k! k=0 k=0 k! f (k) (b a)n+ (a) m (n + )! f (k) (b a)n+ (a) M (n + )! M b a n+ (n + )! Si l on a b < a, ces inégalités restent valables en remplaçant [a, b] par [b, a] Ces inégalités sont des corollaires immédiats de l égalité de Taylor-Lagrange Cela tombe bien, car, comme elles ne figurent pas au programme, il est souvent demandé de les re-démontrer à partir de l égalité de Taylor-Lagrange (qui, elle, est au programme) Comme f est de classe C n+ sur [a, b], f (n+) est continue sur le segment [a, b] et donc bornée Ainsi, il est toujours possible de trouver des réels m et M satisfaisant les hypothèses Exemple 85 Soit x R Montrer que n k=0 x k k! n + e x Lycée du Parc 85

22 Travaux dirigés Exercice 86 Soient I un intervalle centré en 0 et f : I R dérivable On suppose que f est paire Que peut-on dire sur f? Exercice 87 Même question si l on suppose f impaire x f (a) a f (x) Soient a R et f dérivable en a Montrer que lim x a x a existe, et déterminer sa valeur Exercice 88 x + x Soit f : R R x Montrer que f est bijective de R sur un intervalle J à déterminer Exercice 89 Déterminer l expression de f (y) en fonction de y J 3 Montrer que f est dérivable en 0 et étudier la position de la courbe de f par rapport à sa tangente en 0 Soient I un intervalle de R non réduit à un point, f : I R dérivable et a, b I, a < b On suppose que f est croissante sur I (ie que f est «convexe») Montrer que tout x de ]a, b[, Interpréter graphiquement ce résultat Exercice 830 f (x) f (a) x a f (b) f (a) b a En déduire que, pour tout t [0, ], f (ta+( t)b)) t f (a)+( t) f (b) Interpréter graphiquement ce résultat On considère la fonction f définie sur R par e x si x < 0 x 0 si x 0 Exercice 83 Montrer que f est dérivable sur R Étudier l existence de f (0) 3 On souhaite montrer que f est de classe C sur R a Montrer que f est de classe C sur R et sur R + b Montrer que n N, x < 0, f (n) (x) = P n(x) e x n x, où P n est une fonction polynôme c Conclure Soit f : R + R continue sur R et dérivable sur R + On suppose que f (0) = 0 et que f est croissante sur R + (ie f est convexe sur R +) Montrer que x > 0, f (x) Exercice 83 f (x) x En déduire que g : R + R x f (x) x est croissante Comment ce résultat peut-il s interpréter graphiquement? Lycée du Parc 85

23 Soient n et f D n (R) tel que f s annule au moins n fois Montrer que f (n ) s annule au moins une fois Exercice 833 On considère une fonction f : [0, ] R dérivable telle que f (0) = f (0) = f () = 0 Montrer qu il existe c ]0, [ tel que la tangente en c à C f passe par l origine On pourra considérer l application g : x f (x) x Exercice 834 On considère une fonction f D (R) telle que f et f Montrer que f Exercice 835 Soit f C ([0, ]) telle que f (0) = 0 On suppose qu il existe a [0, ] tel que f (a) f (a) < 0 Montrer qu il existe b ]0, [ tel que f (b) = 0 Exercice 836 Montrer que x R, arctan(x) + arctan ( x) = si x > 0 π si x < 0 π Exercice 837 On considère la fonction f : x arctan Exercice 838 ( x x Déterminer le domaine maximal de définition de f, et montrer que f est continue ) Étudier la dérivabilité de f et déterminer l expression de f (x) pour les réels x en lesquels f est dérivable 3 Déterminer une expression plus simple de f (x) en fonction de x Soit f : R R x ex e x Montrer que f est de classe C sur R, bijective, et que f est de classe C sur R Déterminer, pour x R, une relation entre f (x) et f (x) 3 En déduire l expression de ( f ) (x) en fonction de x R 4 Déterminer l expression de f (x) en fonction de x R et retrouver ainsi le résultat de la question précédente Exercice 839 Déterminer la limite quand n + de n k= ( ) k sin n Lycée du Parc 85 3

24 Exercice 840 Études On considère la fonction f : R R x +x Montrer que f est de classe C sur R On définit la suite de polynômes (P n ) n N par : P 0 = n N, P n+ = (X + )P n (n + )XP n Pour n N, déterminer le degré de P n et montrer que son coefficient dominant est ( ) n (n + )! 3 Montrer que pour n N, on a : x R, f (n) (x) = P n (x) ( x + ) n+ 4 En dérivant fois la relation (x + ) f (x) =, obtenir une relation entre P n, P n+ et P n+ 5 Soient a R et g continue sur [a, + [ et dérivable sur ]a, + [ vérifiant g(x) g(a) x + Soit également h la fonction définie sur [0, ] par : h(u) = g ( a + u ) si u ]0, ] h(0) = g(a) a Montrer que h est continue sur [0, ] et dérivable sur ]0, [ b Pour x a, exprimer g(x) à l aide de h c Montrer qu il existe d ]0, [ tel que h (d) = 0 d En déduire qu il existe c ]a, + [ tel que g (c) = 0 On montrerait de même, et l on admettra dans la suie, que si g est une fonction continue sur ], a] et dérivable sur ], a[ vérifiant g(x) x g(a), alors il existe c ], a[ tel que g (c) = 0 6 a Soit n N Déterminer les limites de f (n) (x) quand x + et quand x b Montrer par récurrence, en utilisant la question 5, que f (n) s annule au moins n fois sur R c Montrer qu en fait f (n) s annule exactement n fois sur R 7 a Soit g une fonction paire dérivable Déterminer la parité de g b En déduire la parité de f (n) pour n N c Que peut-on dire sur la disposition des racines des polynômes P n? Lycée du Parc 85 4

25 Exercice 84 Soient a < b et f : [a, b] R une fonction continue On rappelle que : un point fixe de f est une solution de l équation f (x) = x ; un intervalle I est dit stable par f si f (I) I, c est-à-dire si x I, f (x) I Partie On suppose dans cette partie que [a, b] est stable par f Montrer que f admet au moins un point fixe sur [a, b] On pourra considérer g : x f (x) x On suppose dans cette question que f est dérivable sur [a, b] et qu il existe M [0, [ tel que x [a, b], f (x) M On considère un réel x 0 [a, b] et l on définit une suite u par u 0 = x 0 et n N, u n+ = f (u n ) a Montrer que f admet un unique point fixe α On pourra procéder par l absurde b Montrer que la suite u est bien définie et que c En déduire que u converge vers α n N, u n α M n x 0 α Partie On suppose dans cette partie que f est C sur [a, b] et qu il existe un α ]a, b[ tel que f (α) = α et f (α) = 0 Montrer qu il existe M R + tel que x [a, b], f (x) M On souhaite montrer qu il existe un intervalle I [a, b] non réduit à un point stable par f a Montrer que si M = 0, on peut prendre I = [a, b] b On suppose désormais M > 0 et l on pose J = [ α M, α + M ] [a, b] i Montrer que x J, f (x) ii En déduire que I = J [α m, α + m], où m = min(α a, b α), convient 3 a Montrer que x I, f (x) α M x α b On considère un réel x 0 I et la suite u définie par u 0 = x 0 et n N, u n+ = f (u n ) Montrer que u est bien définie et que n N, u n α ( ) M n x0 α n Partie 3 On considère la fonction f : [, ] R x Dresser le tableau de variation de f ( x + x) et la suite u définie par u 0 = et n N, u n+ = f (u n ) À l aide des résultats de la partie, montrer que u est bien définie et tend vers 3 Á l aide des résultats de la partie, montrer n N, u n ( ) n 4 On souhaite obtenir une valeur approchée de avec 00 chiffres significatifs Déterminer la valeur minimale de n pour laquelle on peut affirmer que u n convient On donne 3,3 et l on rappelle que les puissances de se calculent facilement ln 0 ln Lycée du Parc 85 5

26 Exercice 84 Exercices supplémentaires Pour n N, on définit f n : R + R x x n ln x Déterminer f (n+) n (x) pour n N et x R + Exercice 843 Soient a, b R et f : R + R x si x [0, ] x ax + bx + si x > Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur a et b pour que f soit dérivable sur R + Exercice 844 Soit f : R R de classe D vérifiant Montrer que f est constante Exercice 845 x, y R, f (x) f (y) = (x y) f ( x + y Soit f une fonction dérivable sur R telle que x R, f (x) Déterminer le nombre de solutions de l équation f (x) = x, d inconnue x R ) Exercice 846 Soit f : R R vérifiant Montrer que f est constante x, y R, f (x) f (y) x y Exercice 847 Soient a, b R, a < b et f C ([a, b]) Montrer qu il existe c, c [a, b] tels que Exercice 848 f (a) + f (b) En déduire qu il existe c [a, b] tel que ( ) a + b = f + f (a) + f (b) (b a) 6 ( ) a + b = f + Soit f : [0, ] R de classe C telle que t [0, ], f (t) 0 f (0 = f () = 0 ( f (c ) + f (c ) ) (b a) 8 f (c) Lycée du Parc 85 6

27 Montrer que t [0, ], f (t) 0 Exercice 849 Soit f C (R) bornée et atteignant ses bornes Montrer que x R, f (x + ) = f (x) + f (x) Exercice 850 Soit P R n [X] tel que x R, P(x) 0 On pose Q = P + P + + P (n) Montrer que x R, Q(x) 0 Exercice 85 Pour n N, on définit f n : R + R x x n e x Calculer f (n) n (x) pour n N et x R + Exercice 85 Montrer que pour u > 0 et v R, on a uv u ln u + e v Exercice 853 Soit f D (R) On suppose qu il existe α > 0 tel que x R, f (x) α Montrer que f réalise une bijection de R sur R On notera g = f Montrer que g est dérivable et donner sa dérivée 3 On pose h : R R x xg(x) f (g(x)) Montrer que h est deux fois dérivable et que h = g Lycée du Parc 85 7