CHAPITRE 19 Dérivation des fonctions d une variable réelle

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1 CHAPITRE 19 Dérivation des fonctions d une variable réelle Sommaire 19.1 Nombre dérivé et fonction dérivée Définitions Continuité et dérivabilité Calcul des dérivées Opérations élémentaires Dérivées des fonctions usuelles Fonctions C k Définition Opérations et dérivées n ièmes Dérivées d un produit Composée de fonctions C k Variation des fonctions Monotonie Extrema locaux Accroissements finis Téorème de Rolle Egalité des accroissements finis Application : prolongement d une application de classe C Fonctions de classe C 1 par morceaux Objectifs : Connaître la définition du nombre dérivé, de la dérivabilité en un point et sur un intervalle. Connaître la définition de la tangente en un point au grape d une fonction, savoir déterminer une équation cartésienne d une tangente. Connaître la définition de dérivée à droite et à gauce et la caractérisation de la dérivabilité en un point à partir de la dérivabilité à gauce et à droite. Connaître la définition de fonction dérivée et les dérivées des fonctions usuelles. Connaître les opérations sur les fonctions dérivables. Connaître la dérivée d une application réciproque. Connaître le lien entre nullité du nombre dérivé et extremum local. Connaître le téorème et l inégalité des accroissements finis. Connaître le lien entre sens de variation d une fonction et signe de la fonction dérivée. Connaître la définition de dérivée k ième d une fonction, la définition de fonction de classe C k. Connaître les opérations sur les fonctions k fois dérivables en particulier la formule de Leibniz. Dans tout ce capitre K désigne le corps R ou C, I est un intervalle de R, non vide et non réduit à un point. On désignera par f une fonction de I dans K et a un point de I.

2 Page 2/17 Capitre 19: Dérivation des fonctions d une variable réelle 19.1 Nombre dérivé et fonction dérivée Définitions Nombre dérivé et fonction dérivée Définition 1 On appelle nombre dérivé de f en a, la limite, si celle-ci existe du taux d accroissement f(a + ) f(a) quand tend vers 0, 0. On note alors ce nombre f (a) et on dit que f est dérivable au point a I. Définition 2 Si f est dérivable en tout point d un intervalle I de R, alors on définit la fonction f sur I par f : x f (x) qu on appelle fonction dérivée de f sur I. Définition 3 Si f est dérivable en a, on appelle tangente au point A de coordonnées (a, f (a)) la droite passant par A et de pente f (a). Notation 1 On note également df dx la fonction f. Interprétations grapique et cinématique On peut donner l équation cartésienne de la tangente à la courbe d équation y = f(x) au point a, si f est dérivable au point a. En effet, cette tangente a pour équation y = f(a) + f (a)(x a) f(a) 0 a Considérons un mobile M qui parcourt une certaine trajectoire, à caque instant t, il se trouve à un endroit précis de la trajectoire. La distance d parcourue par le mobile M depuis l instant de initial (noté t 0 ) est fonction du temps t, on a donc d = f(t) où f est une fonction. La vitesse moyenne donne juste une indication globale sur l allure du mobile entre t 0 et t 1 mais on ne peut S. Rénier Lycée François Arago ATS

3 Capitre 19: Dérivation des fonctions d une variable réelle Page 3/17 pas affirmer que la vitesse a toujours été la même entre t 0 et t 1. On ne connait pas la vitesse instantanée à l instant t 0, cette vitesse peut très bien être inférieure, supérieure ou égale à la vitesse moyenne. Pour approcer cette vitesse instantanée, on va coisir un instant t le plus proce possible de t 0. Ainsi v instantanée (t 0 ) = lim t t0 f(t) f(t 0 ) t t 0 = f (t 0 ). Exemples Exemple 1 La dérivée de f : x x 2 est 2x. En effet, x R, f(x + ) f(x) = (x + )2 x 2 = 2x + 2 = 2x x Exemple 2 En utilisant la définition, retrouver les dérivées des fonctions suivantes : 1. f(x) = e x. 2. f(x) = ln x. 3. f(x) = sin x. Dérivées à gauce et à droite Définition 4 f(x + ) f(x) On dit que f est dérivable à droite en x si lim 0 >0 f d(x) ce nombre dérivé. Analoguement, on dit que f est dérivable à gauce en x si lim 0 <0 note alors f g(x) ce nombre dérivé. existe et est finie. On note alors f(x + ) f(x) existe et est finie. On Proposition 1 Une fonction f est dérivable en x si et seulement si elle est dérivable à droite et à gauce en x et que ces dérivées sont égales. Exemple 3 Calculer le nombre dérivé à droite et à gauce, en 0 de la fonction valeur absolue. Cette fonction est-elle dérivable en 0?

4 Page 4/17 Capitre 19: Dérivation des fonctions d une variable réelle Continuité et dérivabilité Proposition 2 Si la fonction f est dérivable en a alors elle est continue en a. f(a + ) f(a) Preuve : Si la fonction est dérivable en a alors la limite de existe et est finie. Ceci implique que le numérateur tend vers 0 car sinon cette fonction prendrait des valeurs infiniment grandes. D où lim f(a + ) f(a) = 0 et donc f est continue en a. 0 Remarque 1 La réciproque de cette proposition est fausse. Exemple 4 Montrer que les fonctions suivantes sont continues mais pas dérivables en 0. { R R 1. f : x x { R+ R 2. f : 3. f : x x R R x x sin 1 x si x Nous avons vu que l existence de la dérivée en un point permettait de trouver une tangente. Cette condition est suffisante mais pas nécessaire. Proposition 3 Soit une fonction f : I R et soit a I. Si f(a + ) f(a) lim = ± 0 0 alors la fonction f n est pas dérivable en a mais la courbe représentative de f admet une tangente verticale en a. S. Rénier Lycée François Arago ATS

5 Capitre 19: Dérivation des fonctions d une variable réelle Page 5/17 Exemple 5 Les courbes représentatives des fonctions suivantes admettent-elles une tangente en 0? { R R 1. f : x x { R+ R 2. f : 3. f : x x R R x x sin 1 x si x Calcul des dérivées Opérations élémentaires Proposition 4 Soient f et g deux fonctions définies sur I et dérivables en un point a I, α R et β R. On a αf + βg est dérivable en a et (αf + βg) (a) = αf (a) + βg (a). fg est dérivable en a et (fg) (a) = f (a)g(a) + f(a)g (a). Si g(a) 0, le quotient f ( ) f g est dérivable en a et (a) = g(a)f (a) f(a)g (a) g (g(a)) 2. En particulier si g(a) 0, le quotient 1 ( ) 1 g est dérivable en a et (a) = g (a) g (g(a)) 2. Preuve : On évalue la limite quand 0 de : αf(a + ) + βg(a + ) αf(a) βg(a) f(a + ) f(a) g(a + ) g(a) = α + β. f(a + )g(a + ) f(a)g(a) dont la limite est f(a)g (a) + g(a)f (a). et la limite est = = f(a + )g(a + ) f(a + )g(a) + f(a + )g(a) f(a)g(a) g(a + ) g(a) f(a + ) f(a) = f(a + ) + g(a) f(a+) g(a+) f(a) g(a) = 1 f(a + )g(a) g(a + )f(a) g(a + )g(a) 1 f(a + )g(a) f(a)g(a) + f(a)g(a) g(a + )f(a) g(a + )g(a) = ( ) 1 f(a + ) f(a) g(a + ) g(a) g(a) f(a) g(a + )g(a) 1 (g(a)) 2 ( f (a)g(a) g(a)f (a) ).

6 Page 6/17 Capitre 19: Dérivation des fonctions d une variable réelle Proposition 5 Si f définie sur I est à valeurs ( complexes et dérivable en a I alors f est dérivable en a et f) (a) = f (a). Re (f) et Im (f) sont dérivables en a et on a (Re (f)) (a) = Re (f )(a) et (Im (f)) (a) = Im (f )(a). Proposition 6 Soient f et g deux fonctions définies respectivement sur des intervalles de R I et J telles que f(i) J. Si f est dérivable en a I et g est dérivable en f(a) alors g f est dérivable en a et (g f) (a) = f (a)g (f(a)). Exemple 6 Exprimer les dérivées des fonctions suivantes. ( ( 1 1. x R, sin x)) ( ). 2. x ]1; + [, ln x ( 3. x R, e x2). Dérivée d une fonction réciproque Rappel 1 Soit f : I J une bijection. L application réciproque de f (notée f 1 ) est l application de J dans I qui à tout élément y de J associe son unique antécédent x de I par la fonction f. C est à dire : x I, y J, x = f 1 (y) y = f(x). Rappel 2 Grapiquement, si f admet une fonction réciproque f 1 alors le grape de la fonction f 1 est symétrique à celui de f par rapport à la première bissectrice (droite d équation y = x). S. Rénier Lycée François Arago ATS

7 Capitre 19: Dérivation des fonctions d une variable réelle Page 7/17 x (y, x) y (x, y) O y x C f 1 C f Figure 19.1 Une courbe d une fonction et la courbe de la fonction réciproque Téorème 1 Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I et dérivable en a I. On pose b = f(a). (i) Si f (a) = 0 alors f 1 n est pas dérivable en b. (ii) Si f (a) 0 alors f 1 est dérivable en b et (f 1 ) (f(a)) = 1 f (a) soit (f 1 ) (b) = 1 f (f 1 (b)). ( ) Preuve : f f 1 (b) = b, donc en dérivant (f 1 ) (b)f f 1 (b) = 1, ainsi (f 1 ) (b) = Exemple 7 On considère la fonction f : ] π 2 ; π [ 2 x tan x ] f est continue et strictement monotone sur π 2 ; π [. De plus, x 2 Donc f est bijective et sa fonction réciproque (arctan) a pour dérivée : y R(arctan y) = R 1 f (arctan y) = tan 2 arctan y = y 2. 1 f (f 1 (b)). ] π 2 ; π [, f (x) = 1 + tan 2 x > 0. 2 Exemple 8 Soit n N. Calculer la dérivée de f : { R + R + x x 1 n en utilisant la dérivée de x x n.

8 Page 8/17 Capitre 19: Dérivation des fonctions d une variable réelle O C f 1 C f Figure 19.2 Les tangentes à une courbe et à la courbe de la fonction réciproque Dérivées des fonctions usuelles Fonction Domaine de dérivabilité Dérivée x α avec α R à discuter selon les valeurs de α αx α 1 x n avec n N R nx n 1 x n = 1 x n avec n N R nx n 1 = n x n+1 x p q avec p N, q N R si q est impair, premiers entre eux et p q 1 R p + si q est pair q x p q 1 x p q avec p N, q Z R si q est impair, premiers entre eux et p q < 1 p R + si q est pair q x p q 1 ln x R 1 + e x R e x sin x R cos x cos x R sin x tan x R \ { π 2 + kπ, k Z} 1 cos 2 x = 1 + tan2 x 1 arcsin x ] 1; 1[ 1 x 2 1 arccos x ] 1; 1[ 1 x 2 1 arctan x R 1 + x 2 sin x R cos x cos x R sin x tan x R 1 cos 2 x = 1 tan2 x S. Rénier Lycée François Arago ATS

9 Capitre 19: Dérivation des fonctions d une variable réelle Page 9/ Fonctions C k Définition Définition 5 Soit n N, on définit la dérivée n ième de f par récurrence. C est la dérivée de la dérivée n 1 ième. On dit alors qu une fonction f est n fois dérivable si sa dérivée n ième existe. On dit que f est indéfiniment dérivable (ou infiniment dérivable) si pour tout n sa dérivée n ième existe. Notation 2 f est la dérivée seconde. On note f (n) la dérivée n ième de f. La notation dn f dx n est aussi possible pour la dérivée nième. Remarque 2 On convient que f (0) est la fonction f elle-même. Remarque 3 Il est tout à fait possible que les domaines de définition des dérivées successives soient distincts. Définition 6 On dit que f : I K est de classe C k si et seulement si f est k fois dérivable sur I et si f (k) est continue sur I. On note alors C k (I,K) l ensemble des fonctions de classe C k sur I à valeurs dans K. Définition 7 Si f est indéfiniment dérivable, on dit qu elle est de classe C et on note C (I,K) l ensemble des fonctions de classe C sur I à valeurs dans K. Remarque 4 L ensemble C 0 (I,K) est l ensemble des fonctions continues sur I à valeurs dans K. Remarque 5 Une fonction n fois dérivable sur I n est pas forcément de classe C n. Exemple 9 R R Prolonger par continuité en 0 la fonction f : x x 2 sin 1 x Montrer que f existe sur R mais que f C 1 (R,R). On note cette fonction également f.

10 Page 10/17 Capitre 19: Dérivation des fonctions d une variable réelle Opérations et dérivées n ièmes Proposition 7 Soient n N, λ K, f et g deux fonctions n fois dérivables sur I. Alors f + g est n fois dérivable sur I et (f + g) (n) = f (n) + g (n). λf est n fois dérivable sur I et (λf) (n) = λf (n). Preuve : Par récurrence sur n. Proposition 8 Muni de l addition et de la multiplication externe, C k (I,K) (pour k N { }) est un K-espace vectoriel. Preuve : C est un sous espace de K I, non vide (car la fonction nulle est indéfiniment dérivable) et stable par combinaison linéaire, puisque (λf + g) (n) = λf (n) + g (n) Dérivées d un produit La formule suivante est appelée Formule de Leibniz, elle est à connaître. Téorème 2 Soit n N. Soient f et g deux fonctions n fois dérivables sur I. Le produit fg est n fois dérivable sur I et on a : ( ) n n (fg) (n) = f (k) g (n k) k k=0 Preuve : En exercice! (Utiliser une récurrence sur n). Exemple 10 Déterminer la dérivée n ième des fonctions { R R f 1 : x (x 3 + x 2 + 1)e x et f 2 : ] 1, 1[ R x 2x + 3 (x 1) 2 Proposition 9 Soit n N. Soient f et g deux fonctions n fois dérivables sur I, avec g ne s annulant pas. Le quotient f est n fois dérivable sur I. g S. Rénier Lycée François Arago ATS

11 Capitre 19: Dérivation des fonctions d une variable réelle Page 11/17 Proposition 10 Soit n N. Soient f et g deux fonctions de classe C k sur I. Le produit fg est de classe C k sur I. Si g ne s annule pas sur I, le quotient f g est de classe Ck sur I Composée de fonctions C k Ce téorème est admis. Téorème 3 Soient I et J deux intervalles de R, k N {+ }, f C k (I,K), et g C k (J,K) telles que g(j) I alors f g C k (J,K) Variation des fonctions Dans ce paragrape, I désigne l intervalle I privé de ses extrémités Monotonie Proposition 11 Soit f : I R continue sur I et dérivable sur I, alors f est constante sur I si et seulement si f = 0 sur I. f est croissante sur I si et seulement si f 0 sur I. f est décroissante sur I si et seulement si f 0 sur I. Si f 0 sur I et ne s annule qu en un nombre fini de points, alors f est strictement croissante sur I. Si f 0 sur I et ne s annule qu en un nombre fini de points, alors f est strictement décroissante sur I. En particulier on a : Si f > 0 sur I alors f est strictement croissante sur I. Si f < 0 sur I alors f est strictement décroissante sur I. Remarque 6 L ypotèse de travail sur un intervalle est rigoureusement indispensable. En effet, la fonction définie sur R x 1 possède une dérivée strictement négative, et pourtant elle n est absolument pas x décroissante.

12 Page 12/17 Capitre 19: Dérivation des fonctions d une variable réelle Extrema locaux Téorème 4 Soit f une fonction définie sur I à valeurs dans K et a I telle que f admet un extremum local en a. Si f (a) existe, alors f (a) = 0. Preuve : Supposons que f(a) soit un maximum pour f, on a donc pour un voisinage V a de a, x V a, f(x) f(a) f(x) f(a) ainsi est positif pour x < a et négatif pour x > a. La limite quand x tend vers a x a de ce quotient est f (a). Elle est positive à gauce et négative à droite, celle-ci est forcément nulle. La démarce est analogue quand f(a) est un minimum. Remarque 7 Grapiquement, cela signifie qu en un minimum ou maximum local, la courbe de f admet une tangente orizontale. Figure 19.3 Tangentes orizontales en extrema locaux Remarque 8 La réciproque est fausse. On peut par exemple étudier la fonction x x 3. Remarque 9 Le résultat est FAUX { si a est une extrémité de I. [0, 1] R Par exemple, f : x (x 3 + x 2 + 1)e x admet deux extrema sans que sa dérivée ne s annule. Remarque 10 En fait, si la dérivée s annule et cange de signe en un point, nous avons un extremum local. S. Rénier Lycée François Arago ATS

13 Capitre 19: Dérivation des fonctions d une variable réelle Page 13/17 Remarque 11 Une application peut admettre un extremum local en un point, sans être dérivable en ce point. R R f : x x sin 2 1 x si x 0 est continue en 0, n est pas dérivable en 0, et admet un minimum 0 0 local en Accroissements finis Téorème de Rolle Le téorème de Rolle, admis, est à connaître. Téorème 5 Soient deux réels a et b tels que a < b, f : [a, b] R continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[ et telle que f(a) = f(b). Alors il existe c ]a, b[ tel que f (c) = 0. Remarque 12 Grapiquement, le téorème de Rolle affirme qu il existe un point de la courbe représentative de f d abscisse dans ]a, b[ où la tangente est orizontale. Le téorème assure l existence mais en aucun cas l unicité. Ce téorème n a de sens que pour les fonctions à valeurs réelles. Le téorème de Rolle peut s interpréter de manière cinématique. Figure 19.4 Illustration grapique du téorème de Rolle

14 Page 14/17 Capitre 19: Dérivation des fonctions d une variable réelle Remarque 13 On suppose que f(t) désigne l abscisse d un point mobile sur un axe en fonction du temps t. L ypotèse f(a) = f(b) signifie que le point mobile par d un point donné au temps t = a et revient à ce point au temps t = b. Le téorème de Rolle nous dit que la vitesse de ce point mobile s annule à un instant t = c compris entre t = a et t = b (il fait demi-tour pour revenir à son point de départ) Egalité des accroissements finis L égalité des accroissements finis est bien sûr à connaître, mais la preuve n est pas à savoir. Ce téorème est facile à démontrer dès lors qu on connaît le téorème de Rolle. Téorème 6 Soient deux réels a et b tels que a < b et soit f : [a, b] R, continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. Alors il existe c ]a, b[ tel que Preuve : On pose g(t) = f(t) Rolle et cela nous donne le téorème. Remarque 14 f(b) f(a) = f (c)(b a). f(b) f(a) t pour tout t [a, b], on peut lui appliquer le téorème de b a Grapiquement, le téorème des accroissements finis affirme qu il existe un point de la courbe représentative de f d abscisse dans ]a, b[ où la tangente est parallèle à la droite (AB) avec A(a, f(a)) et B(b, f(b)). Le téorème assure l existence mais en aucun cas l unicité. Ce téorème n a de sens que pour les fonctions à valeurs réelles. B A Figure 19.5 Illustration grapique de l égalité des accroissements finis Du téorème on peut déduire l Inégalité des accroissements finis. Corollaire 1 Soient deux réels a et b tels que a < b et soit f : [a, b] R, continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. On suppose que f est bornée sur ]a, b[ (M est la borne supérieure, m la borne inférieure). Alors on a : m(b a) f(b) f(a) M(b a). On peut de nouveau interpréter cette inégalité cinématiquement. S. Rénier Lycée François Arago ATS

15 Capitre 19: Dérivation des fonctions d une variable réelle Page 15/17 Remarque 15 L inégalité des accroissements finis nous dit qu un point mobile dont la vitesse instantanée est toujours comprise entre v min et v max entre deux instants t 0 et t 1 parcourt entre ces deux instants une distance comprise entre v min (t 1 t 0 ) et v max (t 1 t 0 ). Exemple 11 Montrer les inégalités suivantes. x R, sin x x et x 0, 0 ln(1 + x) x. Remarque 16 L inégalité des accroissements finis peut être très utile dans l étude de suites définies par une relation de récurrence du type u n+1 = f(u n ), comme par exemple la suite (u n ) définie par u 0 = 1 et n N, u n+1 = u n Application : prolongement d une application de classe C 1 Proposition 12 Soient a et b deux réels tels que a < b, f : [a, b] R continue sur [a, b] et de classe C 1 sur ]a, b]. Si f admet une limite finie l en a alors f est de classe C 1 sur [a, b] et f (a) = l. Preuve : Soit x ]a, b], on applique l égalité des accroissement finis sur [a, x] alors il existe un c x ]a, x[ (qui dépend de x) tel que f(x) f(a) = f (c x )(x a) soit f (c x ) = f(x) f(a) x a Lorsqu on fait tendre x vers a le membre de droite tend (par définition) vers f (a) = l. D autre part, on a dans ce cas c x qui tend également vers a. Par composition des limites on a finalement lim f (x) = l = f (a) x a ce qui prouve la continuité de f en a et permet de conclure. Proposition 13 Soient a et b deux réels tels que a < b, f : [a, b] R continue sur [a, b] et de classe C 1 sur ]a, b]. Si f admet une limite infinie en a, alors f n est pas dérivable en a mais le grape de f présente une demi tangente verticale au point de coordonnées (a, f(a)).

16 Page 16/17 Capitre 19: Dérivation des fonctions d une variable réelle 19.6 Fonctions de classe C 1 par morceaux Définition 8 Soient a et b deux réels tels que a < b et f : [a, b] K. On dit que f est de classe C 1 par morceaux sur [a, b] si et seulement s il existe n N et une subdivision a = a 0 < a 1 <... < a n = b de [a, b] tels que i {0,..., n 1} la restriction de f à ]a i, a i+1 [ admette un prolongement à l intervalle [a i, a i+1 ] qui soit de classe C 1 sur [a i, a i+1 ]. Notation 3 On note C 1 m([a, b],k) l ensemble des fonctions de classe C 1 par morceaux sur [a, b]. Exemple 12 Les fonctions en escalier sont de classes C 1 par morceaux. Proposition 14 La somme, le produit de fonctions de classe C 1 par morceaux sur [a, b] sont de classe C 1 par morceaux sur [a, b]. Définition 9 Par extension, une fonction f définie sur R et T-périodique est C 1 par morceaux si sa restriction à un intervalle de la forme [a, a + T] est C 1 par morceaux. S. Rénier Lycée François Arago ATS

17 Capitre 19: Dérivation des fonctions d une variable réelle Page 17/17 Autoévaluation Objectifs principaux Compétences indispensables à acquérir sur ce capitre. Objectif Connaître la définition du nombre dérivé Connaître l interprétation du nombre dérivé Savoir que la dérivabilité entraîne la continuité Connaître les dérivées usuelles Savoir dériver une fonction donnée Etudier les variations à partir de la dérivée Retrouver les extrema d une fonction Evaluation Objectifs secondaires D autres points à connaître lorsque les bases sont acquises. Objectif Connaître la formule de la dérivée d une fonction réciproque Connaître la définition de fonction C k et C Connaître la formule de Leibniz Connaître et comprendre le téorème de Rolle Connaître et comprendre le téorème des accroissements finis Evaluation Perfectionnement Pour maîtriser complétement le capitre. Objectif Savoir prolonger une fonction C 1. Connaître la définition de fonction C 1 par morceaux Connaître la définition de fonction périodique C 1 par morceaux Evaluation