δ(q, x) = (q, y, d) x = y = B d =

Transcription

1 ÆÓØ Ù ÓÙÖ ÐÙÐ Ð Ø Ø ÄÓ ÕÙ ÔÖ Ñ Ö Ô ÖØ ¾¼¼ ¹ ¾¼¼ Àº ÓÑÓÒ¹ÄÙÒ ¼ ¹¼ µ Ⱥ¹ º Ê ÝÒ Ö ¼ ¹¼ µ Ⱥ Ë ÒÓ Ð Ò ¼ ¹¼ µ º¹Êº Ë ÒÓØ ¼ ¹¼ µ ˺ À ¼ ¹¼ µ º Ë Ö Ò ÐÓ ¼ ¹¼ µ

2 Ì Ð Ñ Ø Ö ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ¾ ¾ Å Ò ÌÙÖ Ò Ø Ö ÙÖ Ú Ø ¾º½ Å Ò ÌÙÖ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ö Ú Ñ Ò ÌÙÖ Ò LWHILEµ º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÓÒØ ÓÒ ÐÙÐ Ð Ð Ò Ð ÓÑÔÐ Ü Ø ÐÙÐ º º º º º º º º º º º ¾º ÕÙ Ú Ð Ò ØÝÔ Ñ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º Å Ò ÌÙÖ Ò ÙÒ Ú Ö ÐÐ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ð³ ÖÖ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ Ê ÙØ ÓÒ ÕÙ ÐÕÙ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ð ½¾ º½ Ê ÙØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º¾ Ì ÓÖ Ñ Ê º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÈÖÓ Ð Ñ Ô Ú º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÈÖÓ Ð Ñ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÈÓ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÓÒØ ÓÒ Ö ÙÖ Ú ½ º½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ ÓÒØ ÓÒ Ö ÙÖ Ú ÔÖ Ñ Ø Ú º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾º½ Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ ÓÒØ ÓÒÒ ÐÐ Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ ÑÔ Ö Ø Ú LFORµ ½ º¾º¾ À Ö Ö ÖÞ ÓÖÞÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ º¾º Ä ÓÒØ ÓÒ ³ ÖÑ ÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÓÒØ ÓÒ Ö ÙÖ Ú Ô ÖØ ÐÐ ØÓØ Ð µ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Ð ÖÓÒØ Ö Ð Ð Ø ¾ º½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ ÙØÓÑ Ø ÙÒ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÙØÓÑ Ø ÙÒ Ð Ú Ô ÖØ ½ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ ¾ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ Ú ÖÓÒÓÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½

3 Ô ØÖ ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÇÒ ÓÒ Ö ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ P(d) ÕÙ Ô Ò ³ÙÒ ÓÒÒ d Ô Ö Ü ÑÔРع ÕÙ Ð ÒÓÑ Ö d Ø ÔÖ Ñ Ö Ø¹ ÕÙ Ð Ö Ô d Ø ÔÐ Ò Ö Ø¹ ÕÙ Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ d Ò Ø ØÓÙ ÓÙÖ Ô Ö ³ ÖÖ Ø Ö ÕÙ Ð ÕÙ Ó Ø Ð ÒÓÑ Ö n ÕÙ³ÓÒ ÐÙ ÓÙÑ Ø Ò ÒÔÙØ Øºµº ³ÙÒ ÔÓ ÒØ ÚÙ Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ö ÓÙ Ö P(d) ÙÔÔÓ ³ÙÒ Ô ÖØ ÙÒ ÑÓ Ð ÐÙÐ M Ø ³ ÙØÖ Ô ÖØ ÙÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò ÑÓ Ð ÓÒØ Ð³ ÒÔÙØ Ø d Ø ÕÙ ³ ÖÖ Ø Ò Ö ÔÓÒ ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒº Ä ÔÖÓ Ð Ñ Ô ÙØ ØÖ Ö ÓÐÙ ÓÒ Ø ÕÙ³ Ð Ø Ð µ гÓÒ Ô ÙØ ØÖÓÙÚ Ö ÙÒ ÑÓ Ð ÐÙÐ Ø ÙÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ ÕÙ Ö ÔÓÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÓÒÒ dµº Ä Ø ÙÖ Ø ÔÙÐ ÕÙ ØØ ÕÙ Ø ÓÒ Ð Ø Ø Ò Ô Ò ÒØ Ù ÑÓ Ð ÐÙÐ Ø Ù ÕÙ³ Ö ÑÑ ÒØ ÙÙÒ ÑÓ Ð ÐÙÐ Ò³ Ø Ú ÒÙ ÒÚ Ð Ö ØØ Ø º ÙÖ ÒØ Ð ÓÙÖ ÒÓÙ Ö ÒÓÒØÖ ÖÓÒ ÔÐÙ ÙÖ ÑÓ Ð ÐÙÐ Ø ÑÓÒØÖ ÖÓÒØ ÕÙ³ Ð ÓÒØ ÕÙ Ú Ð ÒØ ÑÙÐ Ð Ð ÙÒ Ô Ö Ð ÙØÖ Ò ÙÒ Ò ÕÙ Ö ÔÖ µº Ò Ð ÒÓØ ÓÒ Ð Ø Ö Ò ÔÓÙÖ ÙÒ ÑÓ Ð ÐÙÐ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ð Ñ Ò ÌÙÖ Ò µ Ñ ÐÐ ÙÒ ÔÓÖØ ÙÒ Ú Ö ÐÐ º ÍÒ ÙØÖ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ø Ð Ñ ÙÖ Ð ÙÐØ ³ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ P ÐÓÖ ÕÙ³ Ð Ø Ð º Ä ÓÑÔÐ Ü Ø Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ñ ÙÖ Ò Ø ÖÑ Ö ÓÙÖ ÙØ Ð Ô Ö ÙÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö ÓÐÚ ÒØ P ÒÓÑ Ö ³ Ø Ô ÐÙÐ ÓÑÔÐ Ü Ø Ò Ø ÑÔ µ Ô ØÓ Ò Ö ÓÑÔÐ Ü Ø Ò Ô µ Ø ÐÐ Ù ÔÖÓ Ö ÑÑ ººº ÔÓ ÒØ ÚÙ Ð ÑÓ Ð ÐÙÐ Ò ÓÒØ Ô ÕÙ Ú Ð ÒØ º ÇÒ Ñ Ö Ø Ò Ö Ð ÓÑÔÐ Ü Ø ÒØÖ Ò ÕÙ ³ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ø ÑÔ Ô Ö Ü ÑÔÐ µ Ò ÙÒ ÑÓ Ð M ÓÑÑ Ð Ñ Ò ÑÙÑ Ø ÑÔ ³ Ü ÙØ ÓÒ ÔÓÙÖ ØÓÙ Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö ÓÐÚ ÒØ Mº Å Ð Ø ÑÔ ÐÙÐ ³ÙÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ ÕÙ Ö ÓÙØ P Ô Ò Ð Ú Ð ÙÖ Ð ÓÒÒ dº ÁÐ ÙØ ÓÒ ÓÑÔ Ö Ö ÓÒØ ÓÒ Ñ Ð³ÓÖ Ö ÒÓÒ ÕÙ Ò Ô Ö f g def d.f(d) g(d) Ò³ Ø Ò ØÓØ Ð Ò Ò ÓÒ º ¾

4 Ô ØÖ ¾ Å Ò ÌÙÖ Ò Ø Ö ÙÖ Ú Ø ÆÓØ Ø ÓÒ ÍÒ ÑÓØ ÙÖ Ð³ ÐÔ Ø Σ Ø ÙÒ Ù Ø Ú ÒØÙ ÐÐ Ñ ÒØ Ú µ ³ Ð Ñ ÒØ Σº Ë Ù ÔÖ ÓÒ ÓÒØÖ Ö ÓÒ Ò ÓÒ Ö ÕÙ ÑÓØ Ò º Ë A, B Σ ÓÒØ Ò Ñ Ð ÑÓØ ÙÖ Ð³ ÐÔ Ø Σ A + B Ø Ð³ Ò Ñ Ð A B a Ó a Σµ Ø Ð³ Ò Ñ Ð Ö Ù Ø Ù ÑÓØ a ǫ Ø Ð ÑÓØ Ú A B Ø Ð³ Ò Ñ Ð {w 1 w 2 w 1 A, w 2 B} A Ø Ð³ Ò Ñ Ð ÑÓØ w Ø Ð ÕÙ³ Ð Ü Ø ÙÒ ÒØ Ö k N Ø k ÑÓØ w 1,...,w k A Ø Ð ÕÙ w = w 1 w k k = 0 Ø ÔÓ Ð µº ¾º½ Å Ò ÌÙÖ Ò ÁÐ Ü Ø ØÖ ÒÓÑ Ö ÙÜ ÑÓ Ð ÐÙÐ Ö ÔÖ ÒØ ÒØ ÔÐÙ ÓÙ ÑÓ Ò Ò Ö Ø ØÙÖ Ñ Ø Ö ÐÐ ÖÙ Ø ÓÙ Ð Ò º Ä Ñ Ò ÌÙÖ Ò ÓÒ Ø ØÙ ÒØ Ò ÒÑÓ Ò Ð ÑÓ Ð Ö Ö Ò ÒÓÒØÓÙÖÒ Ð ÔÓÙÖ Ö ÓÒ ØÓÖ ÕÙ º ÁÐ ³ Ø ³ÙÒ ÑÓ Ð ØÖ Ò Ú Ù Ò Ð ÕÙ Ð ÓÒ Ò ÔÓ ÕÙ ³ÙÒ ØÖÙØÙÖ ÓÒÒ Ð ÑÓØ µ Ø ³ÙÒ ÙÐ Ò ØÖÙØ ÓÒ ÇÌǵ Ò ÓÖ Ð ØÙÖ Ø Ö ØÙÖ º ÁÐ Ü Ø ÔÐÙ ÙÖ Ú Ö ÒØ Ñ Ò ÌÙÖ Ò º ÐÐ ÓÒØ ØÓÙØ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ò ÓÖ Ú Ð Ø ÙÖ µ Ù ÔÓ ÒØ Ú٠г ÜÔÖ Ú Ø º Å ÐÐ Ò ÓÒØ Ô ÕÙ Ú Ð ÒØ Ù ÔÓ ÒØ ÚÙ Ð ÓÑÔÐ Ü Ø º Ä Ò Ø ÓÒ ¾º½º½ ÕÙ Ù Ø Ö ÑÓ ÔÐÙ Ø Ö ÕÙ Ò ÓÒ Ò Ö Ð Ð ÓÑÔÐ Ü Ø º Ò Ø ÓÒ ¾º½º½ ÍÒ Ñ Ò ÌÙÖ Ò Å̵ Ø ÙÒ ØÙÔÐ (Q, q 0, Σ, δ, {B, $}, q B ) Ó Q Ø ÙÒ Ò Ñ Ð Ò ³ Ø Ø q 0 Q Ø Ð³ Ø Ø Ò Ø Ð Σ Ø ÙÒ ÐÔ Ø Ò B, $ Σ ÓÒØ ÙÜ ÝÑ ÓÐ Ô ÙÜ Ø ÒØ B Ð Ò $ Ñ ÖÕÙ ÙÖ ÙØ µ Q B Ø ÙÒ ÓÙ ¹ Ò Ñ Ð ³ Ø Ø ÕÙ ÙØÓÖ Ð³ Ö ØÙÖ Ð Ò δ : Q Σ ( Q { ÔØ, Ö Ø} ) Σ {,, } Ø ÙÒ ÓÒØ ÓÒ ØÖ Ò Ø ÓÒ Ú Ö ÒØ Ð ÓÒØÖ ÒØ Ù Ú ÒØ ½º ÈÓÙÖ ØÓÙØ q Q Ð Ü Ø q Q Ø Ð ÕÙ δ(q, $) = (q, $, ) ¾º ÈÓÙÖ ØÓÙØ q, q Q x Σ d {,, } δ(q, x) = (q, $, d) x = $ d = º ÈÓÙÖ ØÓÙØ x $ Ð Ü Ø q Ø Ð ÕÙ δ(q B, x) = (q, B, ) º ÈÓÙÖ ØÓÙØ q, q Q, x Σ d {,, } δ(q, x) = (q, B, d) q Q B d = º ÈÓÙÖ ØÓÙØ q Q, q Q B, x, y Σ d {,, } δ(q, x) = (q, y, d) x = y = B d =

5 º ÈÓÙÖ ØÓÙØ q, q Q, x Σ δ(q, B) = (q, x, ) x B ÉÙ ÐÕÙ Ö Ñ ÖÕÙ Ø ÒÓØ Ø ÓÒ Ò ÚÖ ½º ÇÒ ÒÓØ Ö Ù ÔØ Ö Ôº Ö Øµ q Y Ö Ôº q N µº ÇÒ ÒÓØ Ö Ù q 0 q I º ¾º δ Ø ÙÒ ÓÒØ ÓÒ Ø Ô ÓÖ Ñ ÒØ ÙÒ ÔÔÐ Ø ÓÒº ËÓÒ ÓÑ Ò Ò Ø ÓÒ Ô ÙØ Ò³ ØÖ ÕÙ³ÙÒ ÓÙ ¹ Ò Ñ Ð ØÖ Ø Q Σº Ò Ð Ù Ø ÓÒ Ö ÓÑÑ δ Ø Ø ÙÒ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò ÓÑÔÐ Ø ÒØ Ð Ò Ø ÓÒ δ Ô Ö δ(q, a) def = (Ö Ø, a, ) ÙÖ Ð ÓÙÔÐ (q, a) Ó ÐÐ Ø Ò Ò º º Ä Ö ØÖ Ø ÓÒ ÙÖ δ ÑÔÐ ÕÙ ÒØ ÕÙ³ÓÒ Ò ÔÐ Ñ Ù Ù Ñ ÖÕÙ ÙÖ ÙØ Ø ÕÙ³ÓÒ Ò Ô ÙØ Ô Ð³ Öº ÐÐ ÑÔÐ ÕÙ ÒØ Ù ÕÙ Ð ÓÒØ ÒÙ Ð Ò ØÓÙ ÓÙÖ Ð ÓÖÑ ³ÙÒ Ù Ú Ð ØØÖ Σ \ {B, $} Ø Ø ÖÑ Ò Ô Ö Ð Ò º º ØØ Ò Ø ÓÒ ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÜ Ñ Ò ÙÒ ÙÐ ÖÙ Ò ÔÔ Ð ÒÓÖ Ò Ð Ñ Ò ÔÐÙ ÙÖ ÖÙ Ò ÖÓÒØ ÓÖ ¹ ÓÙ º º ÁÐ Ò³Ý Ô ³ Ø Ø Ò Ð Ò ØØ Ò Ø ÓÒº ÇÒ ÔÓÙÖÖ Ø Ù ÓÒ Ö Ö ÔØ ÓÑÑ ÙÒ ÕÙ Ø Ø Ò Ð Ð Ò³Ý Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ ÔÙ ÙÒ Ø Ø Ò Ðº º ØØ Ò Ø ÓÒ ÙØÓÖ Ò Ô Ö ÑÓÙÚ Ñ ÒØ º¹¹ º ÕÙ³ ÐÐ ÙØÓÖ δ(q, a) = (...,..., ) ÕÙ Ò³ Ø Ô ØÓÙ ÓÙÖ Ô ÖÑ Ô Ö ³ ÙØÖ ÙØ ÙÖ º º ÇÒ ØÖÓÙÚ Ô Ö Ó Ò Ø ÓÒ Ó ÙÖ ÒØ ÙÜ ÐÔ Ø ÙÒ ÐÔ Ø ØÖ Ú Ð Ø ÙÒ ÐÔ Ø ³ ÒØÖ º ÈÓÙÖ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÕÙ ÒÓÙ ÓÖ ÓÒ ØØ Ø ÒØ ÓÒ Ò³ Ø Ô Ô ÖØ Ò ÒØ º º ÆÓ Ñ Ò ÓÒØ Ø ÖÑ Ò Ø δ Ø ÙÒ ÓÒØ ÓÒ Ø ÒÓÒ ÙÒ Ö Ð Ø ÓÒº ÈÓÙÖ Ð³ ÙÖ Ð ÒÓ٠٠غ Ä Ñ Ò ÒÓÒ¹ Ø ÖÑ Ò Ø ÖÓÒØ ÒØÖÓ Ù Ø ÕÙ Ò Ð Ö Ò Ö º Ä Ò Ø ÓÒ Ù Ú ÒØ ÓÒÒ Ð Ñ ÒØ ÕÙ ³ÙÒ ÐÙÐ Ð Ñ Ò ÌÙÖ Ò Ó Ð Ò Ø ÚÙ ÓÑÑ ÙÜ ÑÓØ Ò ÓÒØ Ð ÓÒ Ø Ò Ø ÓÒ Ø Ð ÓÒØ ÒÙ Ò Ø Ð Ò ÓÑÔÐ Ø Ú ÒØÙ ÐÐ Ñ ÒØ Ô Ö ÙÒ ÓÙ ÔÐÙ ÙÖ Ð Ò º Ä ÓÒ ÑÓØ Ø ÒÓÒ Ú Ø Ð Ø Ø Ð ØÙÖ ÔÓ ÒØ ÙÖ ÔÖ Ñ Ö Ð ØØÖ º Ä ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ø ÐÓÖ ÙÒ ØÖ ÔÐ Ø ÓÑÔÓ ÙÜ ÑÓØ Ø ³ÙÒ Ø Øº Ò Ø ÓÒ ¾º½º¾ ½º ÍÒ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ð Ñ Ò M = (Q, q 0, Σ, δ, {B, $}) Ø ÙÒ ØÖ ÔÐ Ø γ = (w, q, w ) Ó w, w Σ, q Q { ÔØ, Ö Ø} Ø w ǫº ¾º Ø ÒØ ÓÒÒ w 0 Σ Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò Ø Ð ÙÖ Ð³ ÒØÖ ÓÙ Ð ÓÒÒ µ w 0 Ø (ǫ, q 0, $w 0 )º º Ä ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò Ð ÓÒØ ÐÐ Ð ÓÖÑ (w, q, w ) Ø ÐÐ ÕÙ q { ÔØ, Ö Ø}º º M Ô ÙØ Ö ÙÒ ÑÓÙÚ Ñ ÒØ (w, q, aw ) Ú Ö (w 1, q 1, w 1) Õ٠гÓÒ ÒÓØ (w, q, aw ) (w 1, q 1, w 1) ÓÒ Ø Ò Ð³ÙÒ Ù Ú ÒØ w 1 = wb, w 1 = w B δ(q, a) = (q 1, b, ) w 1 = w, w 1 = bw δ(q, a) = (q 1, b, ) w = w 1 c w 1 = cbw δ(q, a) = (q 1, b, )º Ä ÑÓÙÚ Ñ ÒØ Ù Ø ÖÓ Ø ÓÒØ Ö ÔÖ ÒØ Ò Ð ÙÖ ¾º½º Ò Ø ÓÒ ¾º½º ÍÒ ÐÙÐ ³ÙÒ Ñ Ò M ÙÖ ÙÒ ÑÓØ w Ø ÙÒ Ù Ø ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ γ 0, γ i,..., γ n,... Ø ÐÐ ÕÙ γ 0 = (ǫ, q 0, $w) Ø i > 0. γ i 1 γ i º ÔÐÙ ØØ Ù Ø Ò Ô ÙØ ØÖ Ò ÕÙ ÐÐ ³ Ú ÙÖ ÙÒ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò Ð º Ü ÑÔÐ ¾º½º½ ËÓ Ø M Ð Ñ Ò ÓÒØ Ð ÓÒØ ÓÒ ØÖ Ò Ø ÓÒ Ø ÓÒÒ Ô Ö Ð Ø Ð $ 0 1 B q 0 q 0, $, q 0, 0, q 1, 0, ÔØ, 0, q 1 q 0, 1, q 1, 1, ÔØ, 1, ÇÒ ÖÓÙÐ Ö ÙÒ ÐÙÐ Ð Ñ Ò ÙÖ Ð ÑÓØ ³ ÒØÖ 0110º Ò Ø ÓÒ ¾º½º ÍÒ Ñ Ò ÌÙÖ Ò k ÖÙ Ò Ø ÙÒ ØÙÔÐ (Q, q 0, Σ, δ, {B, $}) Ó

6 ÅÓÙÚ Ñ ÒØ ÖÓ Ø w w w 1 w 1 a q b q ÅÓÙÚ Ñ ÒØ Ù w w w 1 w 1 c a c b q q º ¾º½ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ø ÑÓÙÚ Ñ ÒØ ³ÙÒ Ñ Ò ÌÙÖ Ò Q Ø ÙÒ Ò Ñ Ð Ò ³ Ø Ø q 0 Q Ø Ð³ Ø Ø Ò Ø Ð Σ Ø ÙÒ Ò Ñ Ð Ò ÝÑ ÓÐ B, $ Σ ÈÓÙÖ ØÓÙØ i k Q B,i Ø ÙÒ ÓÙ ¹ Ò Ñ Ð ³ Ø Ø ÕÙ Ô ÖÑ Ø Ð³ Ö ØÙÖ B ÙÖ Ð ÖÙ Ò i δ Ø ÙÒ ÔÔÐ Ø ÓÒ Q Σ k Ò (Q { ÔØ, Ö Ø}) (Σ {,, }) k Ú Ö ÒØ ÓÒØÖ ÒØ Ñ Ð Ö ÐÐ ³ÙÒ Ñ Ò ÙÒ ÖÙ Òº Ä Ò Ø ÓÒ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ³ Ø Ò k ÖÙ Ò Ð Ù Ø ÓÒ Ö Ö ØØ Ó Ð k ÓÒØ ÒÙ ÖÙ Ò Ø Ð k ÔÓ Ø ÓÒ Ø Ø Ð ØÙÖ º Ä ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò Ø Ð Ò ÓÒØ ÒØ ÝÑ ÓÐ ÒÓÒ Ð Ò ÓÙ ÕÙ ÙÖ Ð ÔÖ Ñ Ö ÖÙ Òº Ä Ò Ø ÓÒ ÑÓØ ÔØ Ö Ø Øº ³ Ø Ò º ÈÓÙÖ Ð ÐÙÐ ÓÒØ ÓÒ ÓÒ Ø Ò Ù ÙÒ ÖÙ Ò ³ ÒØÖ ÓÒØ Ò ÒØ Ð ÓÒÒ Ø ÙÒ ÖÙ Ò ÓÖØ ÓÒØ Ò ÒØ Ð Ö ÙÐØ Øº Ü ÑÔÐ ¾º½º¾ ÆÓÙ ÓÒÒÓÒ ÓÙ Ð ÓÖÑ ³ÙÒ Ø Ð Ð ÓÒØ ÓÒ ØÖ Ò Ø ÓÒ ³ÙÒ Ñ Ò ÙÜ ÖÙ Ò ÕÙ Ø ÓÒÒ ÙÜ ÒÓÑ Ö Ö Ø Ò Ò Ö ÖÓ Ø Ù º q $, $ 0, $ 1, $ B, $ 0, B 1, B B, B 0, 0 0, 1 1, 0 1, 1 B, 0 B, 1 $, 0, 1, B, B, B, B, q 0 q 0 q 0 q 1 q 0 q 0 q 1 0 $, $, $, $, 0, 1, B, q 1 $, $, $, 0, 0, 1, 1, B, B, q 2 q 1 q 1 q 1 q 1 q 1 q 1 q 1 q 1 $, $, $, 0, 1, 0, 1, 0, 1, q 2 q 2 0, B, q 3 q 2 1, B, q 2 1, B, q 3 0, B, q 2 0, 0, q 2 1, 0, q 2 0, 1, q 3 0, 1, q 2 1, 0, q 3 0, 0, q 3 0, 0, q 3 1, 0, q 2 0, B, q 2 1, B, q 2 1, B, q 3 0, B, ÆÓÙ ÒØ ÔÓÒ Ð ÒÓØ ÓÒ ÓÑÔÐ Ü Ø ÔÓÙÖ Ò ÕÙ Ö ÕÙ Ð ÔÖ Ò ÓÑÔØ Ð ÓÑÔÐ Ü Ø Ô Ø Ð Ò Ø Ø Ò Ù Ö Ð ÒØÖ Ø Ð ÓÖØ ÓÒÒ ØÖ Ú Ðº Ò Ø ÓÒ ¾º½º ÍÒ Ñ Ò ÌÙÖ Ò Á»Ç Ø ÙÒ Ñ Ò k + 2 ÖÙ Ò ÓÒØ Ð ÔÖ Ñ Ö ÖÙ Ò Ø ÔÔ ÐÐ Ð ÖÙ Ò ³ ÒØÖ Ø Ð ÖÒ Ö ÖÙ Ò Ø ÔÔ Ð Ð ÖÙ Ò ÓÖØ ÕÙ Ú Ö ÓÒ Ò³ Ö Ø Ñ ½ ÙÖ Ð ÖÙ Ò Ð ØÙÖ Ð ØÖ Ò Ø ÓÒ Ò Ô Ò ÒØ Ñ Ù ÓÒØ ÒÙ Ù ÖÙ Ò ³ Ö ØÙÖ º ½ ÁÐ ³ Ø ³ÙÒ Ù Ð Ò ÔÙ ÕÙ ÙÒ ÅÌ Ö Ø ØÓÙ ÓÙÖ ÙÒ ÝÑ ÓÐ ÙÖ Ð ÖÙ Ò ÐÓÖ ÕÙ ØÖ Ò Ø ÓÒº Ë ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÒ Ú ÙØ Ö ÕÙ³ ÐÐ Ö Ø Ð ÝÑ ÓÐ ÕÙ³ ÐÐ Ú ÒØ Ð Ö Ø ÕÙ Ð ÓÒØ ÒÙ Ù ÖÙ Ò Ò³ Ø Ñ ÑÓ º

7 ØØ ÓÒ ÓÒ Ô ÙØ ÚÓ Ö Ñ Ò ÌÙÖ Ò ØÖ Ú ÐÐ ÒØ Ú ÙÒ Ø ÐÐ ³ Ô ÓÒØ ÓÒ ÐÓ Ö Ø Ñ ÕÙ Ð Ø ÐРг ÒØÖ º Ö ÓÖÑ Ð ÒØغ ¾º¾ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ö Ú Ñ Ò ÌÙÖ Ò LWHILEµ Ä Ñ Ò ÌÙÖ Ò ÓÒ Ø ØÙ ÒØ ÙÒ ÑÓ Ð Ò Ú Ùº Ô Ò ÒØ Ñ Ñ Ú ÙÒ ÑÓ Ð Ò Ú Ù Ð Ø ÔÓ Ð Ö ÕÙ Ö Ö Ô Ñ ÒØ ÙÒ Ð Ò ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ ÔÓÙÖ Ð ÒØ Ö º ÌÓÙØ ³ ÓÖ ÕÙ ÖÙ Ò ÓÖÖ ÔÓÒ Ö ÙÒ Ú Ö Ð ÒØ Ö Ó Ò Ò Ö ÓÒØ Ð Ø ÔÓ Ð ÔÐÙ ÓÖØ Ø ØÙ ÖÓ Ø Ù º ÓÒ ÙÒ ÑÓØ Ò Ò ÙÖ Ð ÖÙ Ò Ö ÔÖ ÒØ ÒØ ÙÒ ÒØ Ö ³ Ö Ø $(0 + 1(0 + 1) )B Ò ³Ó Ø Ò Ö ÙÒ Ð Ò ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Ð ÒÓÙ ÙØ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ð Ò ØÖÙØ ÓÒ Ð ¹ Ñ ÒØ Ö ÓÔ ÒÖ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ö Ñ ÒØ Ø ÓÒµ Ø Ð ØÖÙØÙÖ ÓÒØÖÐ if while Ø Ð ÓÒ Ø Ò Ø ÓÒº ÆÓÙ ÔÔ ÐÓÒ Ð Ò LWHILEº ÈÓÙÖ Ð ØÖÙØÙÖ ÓÒØÖÐ ÓÒ ÙÔÔÓ Õ٠гÓÒ ØÖ Ù Ø Ð ÐÓ Ð ØÖÙØÙÖ Ô Ö Ñ Ò ÌÙÖ Ò ØÓÙØ ØÖ Ú ÐÐ ÒØ ÙÖ Ð Ñ Ñ Ò º ÕÙ Ñ Ò ÌÙÖ Ò ÐÓÖ ÕÙ³ ÐÐ Ø ÖÑ Ò Ö ÒÚÓ ÚÖ ÐÐ Ø ÖÑ Ò Ò Ð³ Ø Ø q Y Ø ÙÜ Ò Ð³ Ø Ø q N º ÆÓÙ ÒÓÙ ÓÖÒ ÖÓÒ Ú ÐÓÔÔ Ö ÙÜ Ð³ Ò ØÖÙØ ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ö x := x 1 ÕÙ x = 0 Ö ÒÚÓ ÚÖ Ø ÒÓÒ Ö Ñ ÒØ x Ø Ö ÒÚÓ Ùܺ Ð ÓÙÐ while MT 1 do MT 2 ÕÙ Ü ÙØ Ð Ñ Ò MT 2 Ø ÒØ ÕÙ Ð Ñ Ò MT 1 Ö ÒÚÓ ÚÖ º Ä Ñ Ò ÌÙÖ Ò ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ x := x 1 ÓÑÑ Ò Ô Ö Ø Ø Ö x = 0 δ(q I, 0) = (q Y, 0, ), δ(q I, 1) = (q s, 1, ) Ò Ð ÓÒØÖ Ö ÐÐ Ú Ù ÓÙØ Ð³ ÒØ Ö x {0, 1} δ(q s, x) = (q s, x, ), δ(q s, B) = (q d, B, ) ÈÙ ÐÐ Ö Ñ ÒØ Ú Ö Ø ÒÙ δ(q d, 1) = (q e, 0, ), δ(q d, 0) = (q d, 1, ) ÐÐ ³ ÖÖ Ø Ù ººº x {0, 1} δ(q e, x) = (q e, x, ), δ(q d, $) = (q t, $, ) Ø Ö Ô ÖØ ÖÓ Ø ÔÓÙÖ ÚÓ Ö ³ Ð ÙØ ÒÐ Ú Ö Ð ¼ Ø Ø x {0, 1} δ(q t, 1) = (q N, 1, ), δ(q t, 0) = (q s, 0, ) Ò Ð ³ÙÒ ÒÓÖÑ Ð Ø ÓÒ ÒÓÑ Ö µ ÐÐ Ú Ù ÓÙØ Ð³ ÒØ Ö x {0, 1} δ(q s, x) = (q s, x, ), δ(q s, B) = (q d, B, ) ÈÙ Ö ÓÔ Ð ½ ÙÖ ÖÓ Ø δ(q d, 1) = (q 1, B, ) δ(q 1, 0) = (q 1, 1, ), δ(q 1, 1) = (q 1, 1, ), δ(q 1, $) = (q N, $, ) Ä Ñ Ò ÌÙÖ Ò ÑÔÐ Ñ ÒØ ÒØ Ð while ÓÒØ ÓÒÒ Ò º ÐÐ ÒÐÙØ ÓÔ Ñ Ò MT 1 Ø MT 2 Ø ÐÐ ÓÒ ÕÙ Ð Ò Ñ Ð ³ Ø Ø Ó ÒØ Ó ÒØ º ËÓÒ Ø Ø Ò Ø Ð Ø Ð³ Ø Ø Ò Ø Ð MT 1 º Ä ØÖ Ò Ø ÓÒ Ú Ö q Y MT 1 ÓÒØ Ö Ö Ú Ö Ð³ Ø Ø Ò Ø Ð MT 2 º Ä ØÖ Ò Ø ÓÒ Ú Ö q Y, q N MT 2 ÓÒØ Ö Ö Ú Ö Ð³ Ø Ø Ò Ø Ð MT 1 º Ò Ð Ø Ñ ÒØ Ò ÒØ ÑÑ Ø ³ ØÙ Ö ÙÒ Ø ÓÒ ÙÒ ÑÙØ ÔÐ Ø ÓÒ Ø ÙÒ ÕÙ Ñ ÒØ Ô ÖØ Ö Ö Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ø ³ ÒÖ Ñ ÒØ Ø ÓÒ º ÓÙÖØ Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ø ÙÒ ÐÐÙ ØÖ Ø ÓÒ Ð Ø ÙÖ º ¾º ÓÒØ ÓÒ ÐÙÐ Ð Ð Ò Ð ÓÑÔÐ Ü Ø ÐÙÐ Ë Ð Ñ Ò M ³ ÖÖ Ø ÙÖ Ð ÓÒÒ x Ó Ø (w 1, q, w 2 ) Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò Ð q { ÔØ, Ö Ø}µº ÇÒ ÒÓØ M(x) Ð ÑÓØ Ó Ø ÒÙ Ò Ö Ø Ö ÒØ w 1 w 2 Ð $ Ø Ø Ø Ð Ð Ò Ò ÑÓغ Ë M Ò

8 ³ ÖÖ Ø Ô ÙÖ Ð ÓÒÒ x Ô Ö ÓÒÚ ÒØ ÓÒ M(x) = º Ò Ø ÓÒ ¾º º½ Ë f Ø ÙÒ ÔÔÐ Ø ÓÒ D (Σ \ {B, $}) Ò Σ M ÐÙÐ f ÔÓÙÖ ØÓÙØ w D M(w) = f(w)º Ë ÙÒ Ø ÐÐ Ñ Ò ÌÙÖ Ò Ü Ø f Ø Ø ÐÙÐ Ð º Ç ÖÚÓÒ ÕÙ³ÙÒ Ø ÐÐ Ñ Ò ÌÙÖ Ò ³ ÖÖ Ø ØÓÙ ÓÙÖ Ù ÑÓ Ò ÔÓÙÖ Ð ÒØÖ Ð Ø µº Ä ÒÓØ ÓÒ ÓÒØ ÓÒ ÐÙÐ Ð ³ Ø Ò ÙÜ ÒØ Ö º Ä ÒØ Ö ÓÒØ Ó Ò ¾ Ô Ö ÑÓØ 0 + 1(0 + 1) ÓÒ ÒÓØ n Ð Ó n Nº ÍÒ ÓÒØ ÓÒ f N Ò N Ø ÐÙÐ Ð Ð ÓÒØ ÓÒ ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ n Ò Ð ÓÑ Ò Ò Ø ÓÒ f Ó n Ð ÑÓØ f(n) Ø ÐÙÐ Ð º ÈÓÙÖ Ð ÓÒØ ÓÒ ÙÜ Ö ÙÑ ÒØ Σ Σ Ò Σ µ ÓÒ Ö Ñ Ò ÙÜ ÓÒØ ÓÒ (Σ {#}) Ò (Σ {#}) Ò ÙÐ Ñ ÒØ ÔÓÙÖ Ð ÑÓØ w#w º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾º º½ ÉÙ Ò ÓÒ Ö ÔÖ ÒØ Ð ÒØ Ö Ò ØÙÖ Ð Ô Ö ÑÓØ Ù Ð Ò 0+1(0+1) Ð ÓÒØ ÓÒ Ö Ø Ñ Ø ÕÙ Ù Ú ÒØ ÓÒØ ÐÙÐ Ð (n, m) n + m (n, m) n m (n, m) n m ÓÒØ ÓÒ ÒÓÒ Ò ÔÓÙÖ n = m = 0µº Ä ÔÖ ÙÚ Ø ÑÑ Ø ³ ÔÖ Ð ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ ÒÓØÖ Ñ Ò ¹Ð Ò ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒº Ò Ø ÓÒ ¾º º¾ ËÓ Ø ÙÒ Ð Ò L (Σ \ {B, $}) Ø ÙÒ ÅÌ Mº M L ÔÓÙÖ ØÓÙØ w (Σ \ {B}) Ð Ü Ø ÙÒ ÙÒ ÕÙ µ ÐÙÐ M Ð ÓÖÑ γ 0 γ i Ô ÖØ ÒØ γ 0 = (ǫ, q 0, $w) Ø Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò γ n = (w 1, ÔØ, w 2 ) w L Ø γ n = (w 1, Ö Ø, w 2 ) w / L ÔÓÙÖ ÖØ Ò n w 1 Ø w 2 º M ÔØ L ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÑÓØ w (Σ \ {B}) ÓÙ Ò w L Ø Ð Ü Ø ÙÒ ÐÙÐ M Ô ÖØ ÒØ γ 0 Ø ³ ÖÖ Ø ÒØ ÙÖ ÙÒ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÔØ ÓÙ Ò w / L Ø Ó Ø M ³ ÖÖ Ø Ò Ó Ø M Ò ³ ÖÖ Ø Ô ÙÖ wº L Ø Ö ÙÖ ³ Ð Ü Ø ÙÒ ÅÌ ÕÙ Lº L Ø Ö ÙÖ Ú Ñ ÒØ ÒÙÑ Ö Ð ³ Ð Ü Ø ÙÒ ÅÌ ÕÙ ÔØ Lº L Ø Ó¹Ö ÙÖ Ú Ñ ÒØ ÒÙÑ Ö Ð ÓÒ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ø Ö ÙÖ Ú Ñ ÒØ ÒÙÑ Ö Ð º ÇÒ ÒÓØ Ö L(M) г Ò Ñ Ð ÑÓØ ÔØ Ô Ö ÙÒ Ñ Ò Mº Ê Ñ ÖÕÙ ½º L Ö ÙÖ Ð ÓÒØ ÓÒ Ö Ø Ö Ø ÕÙ L Ø ÐÙÐ Ð ¾º Ë L Ø Ö ÙÖ ÐÓÖ L Ø Ö ÙÖ Ú Ñ ÒØ ÒÙÑ Ö Ð º Ì ÓÖ Ñ ¾º º¾ ÁÐ Ü Ø Ð Ò ÒÓÒ Ö ÙÖ Ú Ñ ÒØ ÒÙÑ Ö Ð ÇÒ Ô ÙØ ÙØ Ð Ö ÙÒ Ö ÙÑ ÒØ Ö Ò Ð Ø º Å Ù ÙÒ Ð Ò ÜÔÐ Ø w i Ø ÙÒ ÒÙÑ ¹ Ö Ø ÓÒ ÑÓØ M i ÙÒ ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ñ Ò ÌÙÖ Ò Ò Ñ Ð Ø ÒØ ÒÓÑ Ö Ð ÓÒ Ñ Ø ÓÒÒÙ ÙÒ ÒÙÑ ÖÓØ Ø ÓÒµ L = {w i w i / L(M i )} Ò³ Ø Ô Öº º Ò Ø ³ Ð Ü Ø Ø ÙÒ Ñ Ò M L Ø ÐÐ ÕÙ w L M L ³ ÖÖ Ø ÙÖ w Ú Ù ÐÓÖ Ó Ø M i = M L ÕÙ Ø ÙÖ º w i / L(M i ) w i L w i L(M i ) ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾º º Ë f : (Σ \ {B, $}) (Σ \ {B, $}) Ø ÐÙÐ Ð ÐÓÖ ½º ÈÓÙÖ ØÓÙØ ÓÒØ ÓÒ g ÐÙÐ Ð g f Ø ÐÙÐ Ð º

9 ¾º Ë L Ø Ö ÙÖ ÐÓÖ f 1 (L) Ø Ö ÙÖ º º Ë L Ø Ö ÙÖ Ú Ñ ÒØ ÒÙÑ Ö Ð ÐÓÖ f 1 (L) Ø Ö ÙÖ Ú Ñ ÒØ ÒÙÑ Ö Ð º ËÓ ÒØ M f = (Q f, q 0,f, Σ, δ f, {B, $}) ÙÒ Ñ Ò ÕÙ ÐÙÐ f Ø M g = (Q g, q 0,g, Σ, δ g, {B, $}) ÕÙ ÐÙÐ g Ö Ôº L Ö Ôº ÔØ Lµº ÇÒ Ü ÙÒ Ñ Ò M g f ÕÙ ÐÙÐ g f ÓÑÑ Ù Ø def Q g f = Q g Q f {q + } ÓÒØ ÒØ ØÓÙ Ð Ø Ø M f M g Ò ÕÙ³ÙÒ Ø Ø ÙÔÔÐ Ñ ÒØ Ö q + def г Ø Ø Ò Ø Ð q 0,g f = q 0,f Ø Ö Ø M f Ð ÓÒØ ÓÒ ØÖ Ò Ø ÓÒ δ g f ÓÑ Ò δ f Ø δ g ÓÑÑ Ù Ø q Q f Ø δ f (q, a) = (q, b, d) Ú q Q f ÐÓÖ δ g f (q, a) def = (q, b, d) q Q f Ø δ f (q, a) = (q, b, d) Ú q { ÔØ, Ö Ø} ÐÓÖ δ g f (q, a) def = (q +, b, d) a $ ÐÓÖ δ g f (q +, a) def = (q +, a, ) δ g (q 0,g, $) = (q, b, d) ÐÓÖ δ(q +, $) def = (q, b, d) q Q g Ø δ g (q, a) = (q, b, d) ÐÓÖ δ g f (q, a) def = (q, b, d)º Ë w (Σ \ {B, $}) ÐÓÖ Ô Ö ÝÔÓØ M f ³ ÖÖ Ø ÔÖ n w Ø Ô Ø M f (w) = f(w)º Ä Ñ Ò M g f ÖÖ Ú ÔÖ n w Ø Ô Ò ÙÒ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ (w 1, q i, w 2 ) Ø ÐÐ ÕÙ w 1 w 2 = f(w)º ÔÖ Ù ÔÐÙ M f (w) Ø Ô Ð Ñ Ò M g f Ø Ò Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò Ø Ð M g ÙÖ f(w)º Ì ÓÖ Ñ ¾º º ÍÒ Ð Ò Ø Ö ÙÖ Ð Ø Ö ÙÖ Ú Ñ ÒØ ÒÙÑ Ö Ð Ø Ó¹Ö ÙÖ Ú Ñ ÒØ ÒÙÑ Ö Ð º Ë ÙÒ Ð Ò Ø Ö ÙÖ ÐÓÖ ÓÒ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ð³ Ø Ù º ÍÒ Ò Ð³ ÑÔÐ Ø ÓÒ Ø ÓÒ ÑÑ Øº Ë Ñ ÒØ Ò ÒØ L Ø Ö ÙÖ Ú Ñ ÒØ ÒÙÑ Ö Ð Ø Ó¹Ö ÙÖ Ú Ñ ÒØ ÒÙÑ Ö Ð Ó ÒØ M L Ø M L Ð Ñ Ò ÕÙ ÔØ ÒØ Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ L Ø Lº ÇÒ ÓÒ ØÖÙ Ø ÐÓÖ ÙÒ Ñ Ò M ÙÜ ÖÙ Ò ÕÙ ÓÑÑ Ò Ô Ö Ö ÓÔ Ö ÓÒÒ ÙÖ Ð ÓÒ ÖÙ Ò ÔÙ ØÙ ÐØ ÖÒ Ø ¹ Ú Ñ ÒØ ÙÒ ÑÓÙÚ Ñ ÒØ M L ÙÖ Ð ÔÖ Ñ Ö ÖÙ Ò Ø ÙÒ ÑÓÙÚ Ñ ÒØ M L ÙÖ Ð ÓÒ ÖÙ Òº Õ٠гÙÒ Ñ Ò Ú ÒØÖ Ö Ò ÔØ Ð Ñ Ò M ³ ÖÖ Ø Ò ÔØ ³ Ø M L ÕÙ ÔØ Ø Ò Ö Ø ³ Ø M L ÕÙ ÔØ º ÇÒ Ò Ø ÝÑ ØÖ ÕÙ Ñ ÒØ Ð ØÖ Ò Ø ÓÒ ÐÓÖ Õ٠гÙÒ Ñ Ò M L ÓÙ M L Ø ÙÖ Ð ÔÓ ÒØ Ö Ø Öº ÈÓÙÖ ØÓÙØ ÒØÖ w ÓÙ Ò w L Ø M L ³ ÖÖ Ø Ò ÔØ Ø M L ÓÙ Ò Ò ³ ÖÖ Ø Ô ÓÙ Ò ³ ÖÖ Ø Ò Ö Øµº Ò M ³ ÖÖ Ø ÓÙ Ò ÕÙ Ò M Ú ÔØ Ö ÓÙ Ò ÕÙ Ò M L Ú Ö Ø Öº Ò Ð ÙÜ M ÔØ wº ÇÙ Ò w / L Ø Ò M L ³ ÖÖ Ø Ò ÔØ ÙÖ w Ø M L ÔÙ Ò Ò ³ ÖÖ Ø Ô ÓÙ Ò ³ ÖÖ Ø Ò Ö Øµº Ò ÓÑÑ ¹ Ù M ³ ÖÖ Ø Ò Ö Øº ÓÒ ÙÖ ØÓÙØ ÒØÖ w M ³ ÖÖ Ø º ÔÐÙ w L M ÔØ wº Ò Ø ÓÒ ¾º º Ä Ø ÑÔ ÐÙÐ ³ÙÒ Ñ Ò ÌÙÖ Ò k ÖÙ Ò ÙÖ Ð ÓÒÒ w Ø Ð ÒÓÑ Ö ÑÓÙÚ Ñ ÒØ Ð Ñ Ò ÌÙÖ Ò ÔÙ Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò Ø Ð (ǫ, q 0, $w) Ù ÕÙ³ г ÖÖ Ø Ð Ñ Ò º ÇÒ Ø ÕÙ M ÐÙÐ Ò Ø ÑÔ f(n) ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÓÒÒ w Ø ÐÐ ÒÓÑ Ö ÝÑ ÓÐ µ Ò Ö ÙÖ ÓÙ Ð n Ð Ø ÑÔ ÐÙÐ M ÙÖ w Ø Ò Ö ÙÖ ÓÙ Ð f(n)º ij Ô ÐÙÐ ³ÙÒ Ñ Ò ÌÙÖ Ò Á»Ç ÙÖ Ð ÓÒÒ w Ø Ð ÐÓÒ Ù ÙÖ Ñ Ü Ñ Ð ³ÙÒ ÑÓØ ÔÖ Ú Ð Ò Ò Ùܵ Ò Ö Ø ÙÖ Ð ÖÙ Ò ØÖ Ú Ð Ù ÓÙÖ Ù ÐÙÐ Ð Ñ Ò ÙÖ wº ÇÒ Ø ÕÙ M ÐÙÐ Ò Ô f(n) ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÓÒÒ w Ø ÐÐ Ò Ö ÙÖ ÓÙ Ð n г Ô ÐÙÐ M ÙÖ w Ø Ò Ö ÙÖ ÓÙ Ð f(n)º ÇÒ Ô ÙØ ÐÓÖ Ò Ö Ð Ð ÓÑÔÐ Ü Ø

10 Ò Ø ÓÒ ¾º º Ë Ð Ð Ò L Ö Ôº Ð ÓÒØ ÓÒ fµ Ø Ö Ôº ÐÙÐ µ Ô Ö ÙÒ Ñ Ò ÌÙÖ Ò k ÖÙ Ò Ò Ø ÑÔ g(n) ÓÒ Ø ÕÙ L Ì Ñ (g(n)) Ö Ôº f Ì Ñ (g(n))µº Ë Ð Ð Ò L Ö Ôº Ð ÓÒØ ÓÒ fµ Ø Ö Ôº ÐÙÐ µ Ô Ö ÙÒ Ñ Ò ÌÙÖ Ò Á»Ç Ò Ô g(n) ÓÒ Ø ÕÙ L ËÔ (g(n)) Ö Ôº f ËÔ (g(n))µº ¾º ÕÙ Ú Ð Ò ØÝÔ Ñ Ò ÁÐ Ý Ò ÙÓÙÔº È Ö Ü ÑÔÐ Ì ÓÖ Ñ ¾º º½ ÈÓÙÖ ØÓÙØ Ñ Ò ÌÙÖ Ò M ÓÒ Ô ÙØ ÓÒ ØÖÙ Ö ÙÒ Ñ Ò ÌÙÖ Ò M ÕÙ Ò³ ÕÙ ÙÜ Ø Ø Ø Ø ÐÐ ÕÙ L(M) = L(M ) ij Ø Ð Ù Ú ÒØ ÓÒ ÙÔÔÓ Ð Ø Ø M ØÓØ Ð Ñ ÒØ ÓÖ ÓÒÒ Ó ÒØ q 1,...,q n Ø Ø º ü ÙÒ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ a 1 a n, q i, a n+1 a m M ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÒ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ (q 0, a 1, ) (q 0, a n, )Q 0 (q i, a n+1, α)(q 0, a n+2, ) Ó α { d, d, i, i }º ÍÒ ØÖ Ò Ø ÓÒ q i, a q j, a, ÓÖÖ ÔÓÒ Ô Ö Ü ÑÔÐ ÙÜ ØÖ Ò Ø ÓÒ Q 0, (q i, a, α) Q 1, (q j 1, a, d ), Q 1, (q k, b, ) Q 1 (q k+1, b, i ), Q 1, (q k, b, i ) Q 1 (q k+1, b, i ), Q 1, (q k, b, d ) Q 1 (q k 1, b, d ), Ë k 1 Q 1, (q 0, b, d ) Q 0, (q 0, b, ), ÍÒ ØÖ Ò Ø ÓÒ q i, a q j, a, ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÜ ØÖ Ò Ø ÓÒ Q 0, (q i, a, α) Q 1, (q j 1, a, d ), Q 1, (q k, b, ) Q 1 (q k+1, b, i ), Q 1, (q k, b, i ) Q 1 (q k+1, b, i ), Q 1, (q k, b, d ) Q 1 (q k 1, b, d ), Ë k 1 Q 1, (q 0, b, d ) Q 0, (q 0, b, ), ÜÔÐ ÕÙÓÒ ÓÑÑ ÒØ ÓÒØ ÓÒÒ Ð Ñ Ò ÐÓÖ ÕÙ³ ÐÐ Ú Ô Ö Ü ÑÔÐ ÖÓ Ø º ÐÐ Ö ÑÔÐ ÙÖ Ð Ö Ø Ö ÓÙÖ ÒØ q i Ô Ö q j 1 ÔÙ Ô Ö ÙÒ Ù Ø ³ ÐÐ Ö¹Ö ØÓÙÖ Ö Ñ ÒØ q j ÙÖ Ð Ö Ø Ö ÓÙÖ ÒØ Ø ÒÖ Ñ ÒØ q 0 ÙÖ Ð Ö Ø Ö Ù Ú Òغ ÐÐ Ø ÖÑ Ò ÐÓÖ ÕÙ Ð Ö Ø Ö ÓÙÖ ÒØ ÔÓÖØ q 0 º ÎÓ ÙÒ Ü ÑÔÐ ÖÓÙÐ Ñ ÒØ Ú Ð ØÖ Ò Ø ÓÒ q 5, a q 2, a, Q 0 (q 5, a, α)(q 0, b, ) (q 1, a, d )Q 1 (q 0, b, ) Q 1 (q 1, a, d )(q 1, b, i ) (q 0, a, d )Q 1 (q 1, b, i ) Q 1 (q 0, a, d )(q 2, b, i ) (q 0, a, )Q 0 (q 2, b, i ) ÁÐ ÙØ Ò ÔÐÙ ÙÒ Ô ³ Ò Ø Ð Ø ÓÒ ÕÙ Ò³ÙØ Ð ÕÙ Q 0 µ Ø ÓÒ Ö Ö Ð Ð Ò ÓÑÑ (q 0, B, ) Ò Ð ØÖ Ò Ø ÓÒ ¹ Ù º Ù ØÓØ Ð ÓÒ ÙØ Ð Ö ÙÒ ÐÔ Ø Σ = Σ Q {q 0 } Σ {,, d, d, i, i }º Ì ÓÖ Ñ ¾º º¾ Ë M Ø ÙÒ Ñ Ò ÌÙÖ Ò k ÖÙ Ò ÐÙÐ ÒØ Ò Ø ÑÔ f(n) n ÐÓÖ Ð Ü Ø ÙÒ Ñ Ò ÌÙÖ Ò M ½ ÖÙ Ò ÐÙÐ ÒØ Ò Ø ÑÔ O(f(n) 2 ) Ø Ø ÐÐ ÕÙ M(x) = M (x) ÔÓÙÖ ØÓÙØ xº ÎÓ Ö Ð Ì

11 ÓÖÓÐÐ Ö ¾º º Ä ÓÒØ ÓÒ ÐÙÐ Ð Ö Ôº Ð Ð Ò Öº ºµ ÔÓÙÖ ÙÒ Ñ Ò k ÖÙ Ò ÓÒØ Ð Ñ Ñ ÕÙ ÔÓÙÖ ÙÒ Ñ Ò ÙÒ ÖÙ Òº ¾º Å Ò ÌÙÖ Ò ÙÒ Ú Ö ÐÐ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ð³ ÖÖ Ø ÇÒ Ô ÙØ ÓÒ ØÖÙ Ö ÙÒ ÅÌ ÙÒ Ú Ö ÐÐ U ÕÙ Ø ÒØ ÓÒÒ <M, w> Ü ÙØ M ÙÖ w U(<M, w>) = M(w)º Ä Ó <M, w> Ø Ò Ô Ö <M, w> = <M>; <w> <(Q, q 0, Σ, δ, {B, $})> = <Q>d Σ <Σ>d δ <δ>f δ 1+ log 2 Q {}}{ <Q> = 0 0 Ð Ý ÙØ ÒØ Þ ÖÓ ÕÙ Ò Ð³ Ö ØÙÖ Ò Ò Ö Ù ÒÓÑ Ö ³ Ð Ñ ÒØ Qº ÇÒ ÙÔÔÓ Ð Ø Ø Ó Ô Ö ÒØ Ö 1,..., Q Ø q 0 = 1 Ú ¼ Ú ÒØ ÓÒ ÚÓ Ö ØÓÙ Ñ Ñ ÐÓÒ Ù ÙÖº log 2 Σ {}}{ <Σ> = 0 0 ÓÒ ÙÔÔÓ ÕÙ B Ø ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÙÜ ÒØ Ö ½ Ø ½¼ Ò Ò Ö º ÌÓÙ Ð ÝÑ ÓÐ Σ ÓÒØ Ö ÔÖ ÒØ Ô Ö ÒØ Ö Ò Ò Ö ÓÑÔÐ Ø Ð ÒØ Ô Ö ¼ Ù Ñ Ò Ö ÕÙ³ Ð ÒØ ØÓÙ Ñ Ñ ÐÓÒ Ù ÙÖº <δ> Ø Ó ÓÑÑ Ù Ø ³ Ø ÙÒ ÕÙ Ò Ö Ð Ö Ø ÓÙ Ð ÓÖÑ c(q), c(a) c(q ), c(b), m; Ó Ð Ó Ø Ø Ø ÝÑ ÓÐ Ø Ô Ö Ð ÙÖ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ö <aw> = c(a)<w>º Ä Ó <M, w> Ô ÙØ Ù Ò³ÙØ Ð Ö ÕÙ³ÙÒ ÐÔ Ø ÙÜ ÝÑ ÓÐ Ð Ù Ø Ö Ó Ö Ð³ Ò Ñ Ð ÝÑ ÓÐ ÙØ Ð Ò Ò Ö ÕÙ ÒÓÙ Ò ÓÒ Ô ÔÓÙÖ Ö ÓÒ Ð Ð Ø º Ì ÓÖ Ñ ¾º º½ Ä Ð Ò ÙÒ Ú Ö Ð L U = {<M, w> w L(M)} Ø Ö ÙÖ Ú Ñ ÒØ ÒÙÑ ¹ Ö Ð º ÇÒ ÙØ Ð ÙÜ ÖÙ Ò Ò Ô Ö Ö Ò Ö Ð Ø ³ ÔÖ Ð Ø ÓÖ Ñ ¾º º¾º ÇÒ ÙØ Ð Ö Ð³ ÐÔ Ø Σ U = { ;, d Σ d δ f δ B $}º ÇÒ Ô ÙØ Ò ÙÐØ Ö Ñ Ò Ö Ø ÐÔ Ø ¾ ÝÑ ÓÐ Ò ÔÐÙ B Ø $µ ÓÑÑ ÚÙ Ò Ü Ö º Ä Ñ Ò ÙÒ Ú Ö ÐÐ ÓÑÑ Ò Ô Ö Ö Ö Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò Ø Ð ÙÖ Ð ÙÜ Ñ ÖÙ Òº ÈÙ γ M γ ÐÓÖ ÓÒ Ô ÙØ Ô Ö Ù Ó γ Ù Ó γ ÙÖ Ð ÙÜ Ñ ÖÙ Òµ Ô Ö M º ÉÙ Ò M ÔØ M Ù º ÈÓÙÖ Ð ÙÜ Ñ Ô ÑÙÐ Ø ÓÒ ÑÓÙÚ Ñ ÒØ Mµ ÓÒ ÔÖÓ ÓÑÑ Ù Ø ½º Ë ÔÐ Ö Ù ÙØ Ð ÔÖ Ñ Ö ØÖ Ò Ø ÓÒ ÙÖ Ð ÔÖ Ñ Ö ÖÙ Ò Ø Ù ÙØ Ð³ Ø Ø ÙÖ Ð ÓÒ ÖÙ Òº ¾º ÇÒ ÔÖÓ Ö ÑÙÐØ Ò Ñ ÒØ ÙÖ Ð ÙÜ ÖÙ Ò Ø ÒØ ÕÙ Ð ÝÑ ÓÐ ÓÒØ ÒØ ÕÙ ØÓÙØ Ò Ñ ÖÕÙ ÒØ Ð ÝÑ ÓÐ Ù ÓÒ ÖÙ Òº º Ò ³ Ñ Ñ Ø µ ÓÒ ÔÖÓ Ö Ù ÕÙ³ Ù ÙØ Ð ØÖ Ò Ø ÓÒ Ù Ú ÒØ ÙÖ Ð ÔÖ Ñ Ö ÖÙ Ò Ø ÙÖ Ð ÙÜ Ñ ÓÒ Ö Ú ÒØ Ù ÙØ Ù Ó Ð³ Ø Ø Ò Ñ ÖÕÙ Òص º Ò Ù ÓÒ Ô Ð Ð ØÙÖ ÝÑ ÓÐ ³ÙÒ Ô ÖØ ÙÖ Ð ÔÖ Ñ Ö ÖÙ Ò Ø ³ ÙØÖ Ô ÖØ ÙÖ Ð ÓÒ º Ò ³ ÓÒ ÔÖÓ ÓÑÑ ÔÓÙÖ Ð ÙÖ Ð Ø Ø º Ò Ù ÓÒ ÖÖ Ú Ò ÙÒ Ô Ö ÓÒÒ Ò Ù ÝÑ ÓÐ µ Ô Ö Ð³ Ø Ô Ù Ú ÒØ º Ë Ð Ö ÙÐØ Ø Ð ØÖ Ò Ø ÓÒ M Ø, a, q ÓÒ Ö ÑÔÐ ÑÔÐ Ñ ÒØ, q, a Ô Ö a, q, º º ÓÒ ÔÐ Ù Ø Ú ÒØ Ð ÙØ Ð³ Ø Ø ÔÙ ÓÒ Ö ÓÔ Ð Ò Ð ØÖ Ò Ø ÓÒµº ÁÐ ÙØ Ò Ù Ø Ö ÑÔÐ Ö Ú ÒØÙ ÐÐ Ñ ÒØ Ð ÝÑ ÓÐ Ð Ò ÕÙ Ù Ø Ð³ Ø Ø Ô Ö ÓÒ Ó º º Ë Ð Ö ÙÐØ Ø Ð ØÖ Ò Ø ÓÒ M Ø, a, q ³ Ø ÙÒ Ô Ù ÔÐÙ Ð Ø ÔÙ ÕÙ³ Ð ÙØ ØÖ Ò Ð Ø Ö Ð ÝÑ ÓÐ ÔÖ ÒØ, q, <Q> + 2 Ú Ö Ð ÖÓ Ø ÓÒ ÙØ Ð ÕÙ Ð Ó Ø Ø ÓÒØ ØÓÙ Ñ Ñ ÐÓÒ Ù ÙÖº ½¼

12 Ò Ø ÖÑ ÑÓ Ò Ø Ò ÕÙ ÙÒ Ñ Ò ÌÙÖ Ò ÙÒ Ú Ö ÐÐ Ø ÙÒ ÒØ ÖÔÖ Ø ÙÖ Ñ ¹ Ò ÌÙÖ Ò Ø ÔÓÙÖÖ Ø ØÖ Ó Ø ÒÙ Ò Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ ÒØ Ò ÙÒ Ð Ò ÕÙ ÐÓÒÕÙ ÔÙ ÓÑÔ Ð Ò Ñ Ò ÌÙÖ Ò º Ê Ñ ÖÕÙÓÒ ÕÙ Ð Ó ÓÒØ ÐÙÐ Ð º È Ö Ü ÑÔÐ Ä ÑÑ ¾º º¾ Ä ÓÒØ ÓÒ ÕÙ <M> Ó <M, <M>> Ø ÐÙÐ Ð º Ò Ø Ð Ù Ø Ö Ó Ö <M> ÙÒ ÙÜ Ñ Ó Ò ÙØ Ð ÒØ Ð Ó ÝÑ ÓÐ ¼ Ø ½º Ì ÓÖ Ñ ¾º º L U Ò³ Ø Ô Ó¹Ö ÙÖ Ú Ñ ÒØ ÒÙÑ Ö Ð Ø ÓÒ Ô Ö ÙÖ µº L U = {<M, w> w / L(M)}º Ë Ð Ò Ø Ø Öº Ó Ø M N ÙÒ Ñ Ò ÌÙÖ Ò Ø ÐÐ ÕÙ L(M N ) = L U º ÇÒ ÓÒ ØÖÙ Ø ÐÓÖ ÙÒ Ñ Ò ÌÙÖ Ò D Ø ÐÐ ÕÙ L(D) = {<M> <M> / L(M)} ÙÖ Ð ÓÒÒ <M> D ÑÔÐ Ñ ÒØ Ö ÓÔ Ð Ó M ÔÓÙÖ Ó Ø Ò Ö <M, <M>> ÔÙ ÔÔÐ ÕÙ M N º Å ÐÓÖ <D> L(D) <D> / L(D) ÕÙ Ø ÙÖ º Ä ÔÖÓ Ð Ñ Ð³ ÖÖ Ø ÓÒØ Ð³ ÒØ Ö Ø ÔÖ Ø ÕÙ Ø Ú ÒØ Ø Ñ Ð ÙÖ Ù Ñ ÒØ Ò Ð º Ì ÓÖ Ñ ¾º º L ÖÖ Ø = {<M, x> M(x) } Ø Ö ÙÖ Ú Ñ ÒØ ÒÙÑ Ö Ð Ø Ô Ó¹Ö ÙÖ Ú Ñ ÒØ ÒÙÑ Ö Ð ÓÒ Ò Ð µº ÌÓÙØ ³ ÓÖ L ÖÖ Ø Ø Ö ÙÖ Ú Ñ ÒØ ÒÙÑ Ö Ð ÓÒ ÖÓÒ Ð Ñ Ò M ÖÖ Ø ÕÙ Ø ÒØ ÓÒÒ <M, x> ÑÙÐ Ð Ñ Ò ÙÒ Ú Ö ÐÐ Ø ÕÙ Ò ÐÐ ¹ Ø ÙÖ Ð ÔÓ ÒØ ³ ÔØ Ö ÓÙ Ö Ø Ö ÔØ º M ÖÖ Ø ÔØ L ÖÖ Ø º Ë L ÖÖ Ø Ø Ø Ó¹Ö ÙÖ Ú Ñ ÒØ ÒÙÑ Ö Ð Ó Ø M ÖÖ Ø ÙÒ Ñ Ò ÕÙ ÔØ L ÖÖ Ø º ÇÒ ÓÒ ØÖÙ Ø ÐÓÖ Ð Ñ Ò H ÕÙ ÔØ {<M> M(<M>) = } ÓÑÑ Ù Ø H ÓÑÑ Ò Ô Ö ÙÔÐ ÕÙ Ö <M> Ö Ú ÒØ <M, <M>> ÔÙ ÔÔÐ ÕÙ M ÖÖ Ø º Ë M ÖÖ Ø Ø ÙÖ Ð ÔÓ ÒØ ³ ÖÖ Ø Ö Ò Ö Ø H ÒØÖ Ò ÙÒ Ø Ø Ô Ð Ó H ÔÐ Ò Ò Ñ ÒØ Ú Ö Ð ÖÓ Ø Ò Ö Ò Ö Ø ÓÒ Ò ³ ÖÖ Ø Ô µº <H> L(H) Ø ÙÐ Ñ ÒØ H(<H>) = º Å ÓÑÑ H Ò Ö ØØ ÙÙÒ ÑÓØ H(x) = Ø ÙÐ Ñ ÒØ x / L(H)º ÓÒ H(<H>) = Ø ÙÐ Ñ ÒØ <H> / L(H)º ÙÖ º ÁÐ Ò³ Ü Ø ÓÒ ÙÙÒ Ñ Ò ÌÙÖ Ò ÕÙ ÔØ L ÖÖ Ø º ½½

13 Ô ØÖ Ê ÙØ ÓÒ ÕÙ ÐÕÙ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ð º½ Ê ÙØ ÓÒ ³ÙÒ Ñ Ò Ö Ò Ö Ð ÓÒ ÔÓ Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ð ÓÒ Ù Ú ÒØ ÓÒÒ D S ÉÙ Ø ÓÒ Q Ó S Ø ÙÒ Ò Ñ Ð Ö ÙÖ Ø Q Sº ÁÐ ³ Ø ³ÙÒ ÓÒ ³ Ö Ö Ð³ Ò Ñ Ð {D S Q} Ó Q Ø ØØ Ó ÚÙ ÓÑÑ ÙÒ ÔÖ Øº ÇÒ Ô Ð ÔÐÙ ÓÙÚ ÒØ Ô ÖÐ Ö Ù Ó Ð ÓÒÒ º È Ö Ü ÑÔÐ ÓÒ Ö Ø ÓÒÒ M, w Ó M Ø ÙÒ Ñ Ò ÌÙÖ Ò Ø w {0, 1} ÉÙ Ø ÓÒ M ³ ÖÖ Ø ¹Ø¹ ÐÐ ÙÖ w Ø Ò Ð º Ø ÒÓÒ Ø ÙÒ ÓÒ Ö ÕÙ {<M, w> M(w) } Ò³ Ø Ô Ö ÙÖ º ÈÓÙÖ ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ³ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒÒ ÓÙ ØØ ÓÖÑ Ø Ò Ð ÓÒ ÔÖÓ ÓÙÚ ÒØ Ô Ö Ö ÙØ ÓÒ ³ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒÒÙ ÔÓÙÖ ØÖ Ò Ð Ë P 1 Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒÒ D 1 S 1 ÉÙ Ø ÓÒ Q 1 Ø Ò Ð Ø P 2 Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒÒ D 2 S 2 ÉÙ Ø ÓÒ Q 2 ÈÓÙÖ ÔÖÓÙÚ Ö ÕÙ P 2 Ø Ò Ð Ð Ù Ø ³ Ü Ö ÙÒ ÓÒØ ÓÒ Ö ÙÖ Ú f : S 1 S 2 Ø ÐÐ ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÓÒÒ D 1 S 1 D 1 Q 1 f(d 1 ) Q 2 º ÎÓ ÙÒ ÔÖ Ñ Ö Ü ÑÔÐ º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º½º½ ij ÖÖ Ø ÙÒ Ú Ö Ðµ Ä ÔÖÓ Ð Ñ Ù Ú ÒØ Ø Ò Ð ÓÒÒ ÙÒ Ñ Ò ÌÙÖ Ò M ÉÙ Ø ÓÒ M ³ ÖÖ Ø ¹Ø¹ ÐÐ ÙÖ ØÓÙØ Ð ÓÒÒ ÇÒ Ö Ù Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ð³ ÖÖ Ø ÓÒ ÓÒ Ö Ð ÓÒØ ÓÒ f ÕÙ <M, x> Ó <M x > Ó M x Ø Ð Ñ Ò ÕÙ Ö Ø x ÔÙ ÑÙÐ M ÙÖ x Ò Ø Ò Ö ÓÑÔØ Ð³ ÒØÖ µº f Ø ÙÒ ÓÒØ ÓÒ ÐÙÐ Ð Ð Ù Ø Ò Ø ³ ÓÙØ Ö x +2 Ø Ø M ÕÙ Ô ÖÑ ØØ ÒØ ³ Ö Ð ÖÙ Ò Ø ³ Ö Ö xº ÔÐÙ M x ³ ÖÖ Ø ÙÖ ØÓÙØ ÒØÖ Ø ÙÐ Ñ ÒØ M ³ ÖÖ Ø ÙÖ xº ½¾

14 º¾ Ì ÓÖ Ñ Ê Ì ÓÖ Ñ º¾º½ Ë P Ø ÙÒ ÔÖÓÔÖ Ø ÒÓÒ ØÖ Ú Ð Ð Ò Ö ÙÖ Ú Ñ ÒØ ÒÙÑ Ö Ð ÐÓÖ P Ø Ò Ð º ÆÓÙ ÓÒÒÓÒ ¹ ٠г ÒÓÒ Ð ÕÙ Ñ Ò ÚÓ ÙÒ Ú Ö ÓÒ ÔÐÙ ÔÖ ÈÓÙÖ ØÓÙØ Ò Ñ Ð P Ó µ Ñ Ò ÌÙÖ Ò Ø Ð ÕÙ ½º ÔÓÙÖ ØÓÙØ Ñ Ò M, M <M> P Ø L(M) = L(M ) ÐÓÖ <M > P ¾º ÓÒ Ô ÙØ Ü Ö Ñ Ò M 1, M 2 Ø ÐÐ ÕÙ <M 1 > P Ø <M 2 > / P ÐÓÖ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ù Ú ÒØ Ø Ò Ð ÓÒÒ <M> ÉÙ Ø ÓÒ <M> P ÈÓÙÖ ÔÖÓÙÚ Ö Ö ÙÐØ Ø ÒÓÙ ÙØ Ð ÖÓÒ ÙÒ Ö ÙØ ÓÒ Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ð³ ÖÖ Ø ÙÒ ØÝÔ Ö Ù¹ Ø ÓÒ ÕÙ Ö ØÖ Ö ÕÙ ÑÑ ÒØ ÙØ Ð Ô Ö Ð Ù Ø º ËÓ Ø P ÙÒ ÓÙ ¹ Ò Ñ Ð ÒÓÒ¹ØÖ Ú Ð Ð Ò Ö ÙÖ Ú Ñ ÒØ ÒÙÑ Ö Ð º P Ø Ö ÙÖ P Ø Ö ÙÖ º ÆÓØÓÒ M ÙÒ Ñ Ò ÓÒØ Ð Ð Ò Ø Ú º Ò Ô ÒØ Ù ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ò Ö ÓÒ Ô ÙØ ÙÔÔÓ Ö Ò Ô ÖØ Ò Ö Ð Ø ÕÙ <M > / Pº ³ ÔÖ ÒÓ ÝÔÓØ Ð Ü Ø ÙÒ Ñ Ò M L ØºÕ <M L > Pº ÇÒ ÒÓØ L = L(M L ) º ÇÒ Ö Ù Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ð³ ÖÖ Ø Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ð³ ÔÔ ÖØ Ò Ò P Ò ÓÒ ØÖÙ ÒØ Ô ÖØ Ö Ð ÓÒÒ <M, x> Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ð³ ÖÖ Ø ÙÒ ÓÒÒ <M <M,x> > Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ð³ ÔÔ ÖØ Ò Ò P Ø ÐÐ ÕÙ <M <M,x> > P M ³ ÖÖ Ø ÙÖ xº Ø ÒØ ÓÒÒ ÙÒ ÒØÖ y M <M,x> ÑÙРг Ü ÙØ ÓÒ M ÙÖ x ÔÙ Ò Ù ÑÙРг Ü ÙØ ÓÒ M L ÙÖ yº ÇÒ Ó ÖÚ ÕÙ L(M <M,x> ) {L, } Ø ÕÙ <M <M,x> > P M ³ ÖÖ Ø ÙÖ xº Ä ÔÔÐ Ø ÓÒ Ù Ø ÓÖ Ñ Ê ÓÒØ ÒÓÑ Ö Ù º Ò ÚÓ ÕÙ ÐÕÙ ÙÒ ËÓ Ø ÙÒ ÑÓØ w Ü Ð ÕÙ Ø ÓÒ w L(M) Ø Ò Ð º Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Ð ÕÙ Ø ÓÒ ε L(M) Ø Ò Ð º Ä ÕÙ Ø ÓÒ L(M) = Ø Ò Ð º Ä ÕÙ Ø ÓÒ L(M) Ø Ò Ø Ò Ð º Ä ÕÙ Ø ÓÒ L(M) Ø ÙÒ Ð Ò Ö ÙÐ Ö Ø Ò Ð º ÅÓÒØÖÓÒ Ð³ Ù Ø ÓÖ Ñ Ê ÕÙ Ð ÕÙ Ø ÓÒ M ³ ÖÖ Ø ¹Ø¹ ÐÐ ÙÖ Ð ÑÓØ Ú Ø Ò Ð º Ë ³ Ø Ø Ð ÐÓÖ ÓÒ ÙÖ Ø Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ ε L(M)º Ò Ø ÓÒ Ö ÔÓÒ ³ ÓÖ Ð ÕÙ Ø ÓÒ M ³ ÖÖ Ø ¹Ø¹ ÐÐ ÙÖ Ð ÑÓØ Ú º Ë M Ò ³ ÖÖ Ø Ô ÐÓÖ ε / L(M)º Ë ÒÓÒ ÓÒ Ü ÙØ Ð Ñ Ò M ÙÖ Ð ÑÓØ Ú ÔÓÙÖ ÚÓ Ö Ð Ö ÔÓÒ º º ÈÖÓ Ð Ñ Ô Ú Ä ÔÖÓ Ð Ñ Ô Ú N N Ð Ò Ø ÓÒ ÓÒØ Ñ Ð Ð ÔÓÙÖ ³ ÙØÖ ÓÙ ¹ Ò Ñ Ð Z Zµ Ø Ò Ô Ö ÓÒÒ ÙÒ Ò Ñ Ð Ò T = {t 0,...,t k } ØÙ Ð ÓÒØ t 0 Ø ÙÒ ØÙ Ð Ø Ò Ù Ø ÙÜ ÓÙ ¹ Ò Ñ Ð H, V T T º Ä Ö Ð Ø ÓÒ ÓÑÔ Ø Ð Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ø Ú ÖØ Ð µº ÉÙ Ø ÓÒ Ü Ø ¹Ø¹ Ð ÙÒ ÓÒØ ÓÒ Ô Ú f : N N T Ø ÐÐ ÕÙ f(1, 1) = t 0 Ø ÔÓÙÖ ØÓÙØ i, j N (f(i, j), f(i + 1, j)) H (f(i, j), f(i, j + 1)) V º Ì ÓÖ Ñ º º½ Ä ÔÖÓ Ð Ñ ÚÓ Ö Ø ÒØ ÓÒÒ T, t 0, V, H N N Ø Ô Ú Ð Ø Ò ¹ Ð º ½

15 ÇÒ Ö Ù Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ð³ ÖÖ Ø ³ÙÒ Ñ Ò ÙÖ Ð ÑÓØ Ú º ËÓ Ø M ÙÒ Ñ Ò º ÇÒ Ó Ø ÔÓÙÖ T = (Σ Q) 4 Σ (Q + ǫ)σ ÙØÖ Ñ ÒØ Ø Ð ÑÓØ ÐÓÒ Ù ÙÖ 4 ÓÒØ Ò ÒØ Ù ÔÐÙ ÙÒ ÝÑ ÓÐ Qµº H = {(atc, tcb) atc, tcb T, a, c, b, t Σ Q, c = B b = B} V = { (αqaβ, αa q β) αβ Σ a Σ q Q δ(q, a) = (q, a, ) } { (αq, αa ) α Σ 2 a Σ q Q δ(q, a) = (q, a, ) } { (aα, q α) α Σ 2 q Q δ(q, a) = (q, a, ) } { (bqa, qba ) a, b Σ q Q δ(q, a) = (q, a, ) } { (qaβ, ba β) β Σ a, b Σ q Q δ(q, a) = (q, a, ) } { (βa, βq ) β Σ 2 a Σ δ(q, a) = (q, a, ) } { (αqaβ, αq a β) αβ Σ a Σ q Q δ(q, a) = (q, a, ) } { (αq, αq ) α Σ 2 q Q δ(q, a) = (q, a, ) } { (α, α) α Σ 3 } Ò Ò ÓÒ Ñ Ò ÕÙ Ð Ô Ú Ø f(1, 1) = q 0 $Bº ÍÒ Ô Ú n ÔÖ Ñ Ö Ð Ò ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ù ÕÙ ÖØ ÔÐ Ò ÙÔ Ö ÙÖ ÓÖÖ ÔÓÒ ÐÓÖ ÙÒ Ù ÓÒ n ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ð Ñ Ò ÌÙÖ Ò Ô ÖØ Ö Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò Ø Ð º ÈÐÙ ÔÖ Ñ ÒØ Ð³ÓÒ Ò Ö Ø ÒØ ÕÙ Ð ÔÖ Ñ Ö Ð ØØÖ ÕÙ ØÙ Ð Ð Ð Ò n ÓÒ Ó Ø ÒØ Ð n Ñ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Mº ÇÒ ÑÓÒØÖ Ö ÙÐØ Ø Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò ÙÖ n ÔÓÙÖ n = 1 Ð ÔÖ Ñ Ö Ð Ò ÓÒØ ÒØ Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò Ø Ð f(1, 1) = q 0 $B Ø ÓÒ f(1, 2) = $BB Ø ÔÓÙÖ m 3 f(1, m) = BBBº Ë Ð Ù Ø ÔÖ Ñ Ö Ð ØØÖ ØÙ Ð Ð Ð Ò n Ø ÙÒ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ γ = w 1 qaw 2 Ð Ñ Ò ÌÙÖ Ò ÐÓÖ Ð Ù Ø ÔÖ Ñ Ö Ð ØØÖ ØÙ Ð Ð Ð Ò n + 1 Ø Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ù Ú ÒØ Ð Ñ Ò Ó Ø m Ð ÔÓ Ø ÓÒ q Ò γº ËÙÔÔÓ ÓÒ ³ ÓÖ ÕÙ m > 1º ÈÓÙÖ m 1 p max(1, m 2) f(n, p) = w 1bqaw 2 Ó w 1b Ø Ð Ù Ü ÐÓÒ Ù ÙÖ m p w 1 Ø w 2 Ø Ð ÔÖ Ü ÐÓÒ Ù ÙÖ p + 2 m w 2 Ú ÒØÙ ÐÐ Ñ ÒØ ÓÑÔÐ Ø Ð Ò º f(n + 1, p) Ø ÐÓÖ ÓÒÒ Ô Ö w 1qba w 2 δ(q, a) = (q, a, ) w 1 bqa w 2 δ(q, a) = (q, a, ) w 1ba q w 2 δ(q, a) = (q, a, )º ÇÒ ÓÒÐÙØ Ö ÙÜ ÓÑÔ Ø Ð Ø Ú ÖØ Ð º È Ö Ü ÑÔÐ p m + 2 ÐÓÖ f(n, p) Σ 4 Ø f(n + 1, p) = f(n, p)º Ò Ø Ð ÙÐ ØÙ Ð Ú ÖØ Ð ÓÑÔ Ø Ð ÓÒØ (α, α) Ø (αb, αq ) Ú δ(q, a) = (q, a, )µº Å ÓÒ ÑÓÒØÖ ÕÙ ÖÒ Ö Ò³ Ø Ô ÔÓ Ð Ò ÓÒ Ö ÒØ f(n, p + 1) ÓÑÑ p > m + 1 f(n, p + 1) Σ 4 Ø ÓÒ Ô Ö ÓÑÔ Ø Ð Ø Ú ÖØ Ð f(n + 1, p + 1) Σ 4 Q Σ 3 º Ë Ð³ÓÒ Ú Ø f(n + 1, p) = αq ÓÒ ÙÖ Ø ÙÒ ØÙ Ð ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ð ÓÖÑ (αq, βq ) ÓÙ (αq, β) ÕÙ Ò³ Ø Ô Ð º Ñ Ñ ÔÓÙÖ p < m 3 f(n+1, p) = f(n, p)º Ê Ø ÒØ Ð p = m 3 p = m p = m+1 ÔÓÙÖ Ð ÕÙ Ð ÓÒ ÑÓÒØÖ Ô Ö ÓÑÔ Ø Ð Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ø Ú ÖØ Ð Õ٠гÓÒ Ó Ø ÒØ Ð Ð ØØÖ ÚÓÙÐÙ º Ò Ò m = 1 Ð ÙÐ ÑÓÙÚ Ñ ÒØ ÔÓ Ð Ø ÖÓ Ø Ø Ð ÙÐ ØÙ Ð Ú ÖØ Ð ÔÓ Ð ÑÔÓ f(n + 1, 1) = $q w δ(q, $) = (q, $, )º ÈÙ ÔÓÙÖ p > 2 f(n + 1, p) = f(n, p) ÓÑÑ ¹ Ù Ø f(n + 1, 2) = q w b Ô Ö ÓÑÔ Ø Ð Ø Ú ÖØ Ð Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð º ÆÓÙ ÒÓÒÓÒ Ò ÔÖ ÙÚ Ö ÐÐ Ø ØÖ Ð µ г Ò Ð Ø Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ò ØÙ Ð Ø Ò Ù º Ì ÓÖ Ñ º º¾ Ä ÔÖÓ Ð Ñ ÚÓ Ö Ø ÒØ ÓÒÒ T, V, H Z Z Ø Ô Ú Ð Ø Ò Ð º ½

16 Ä ÔÖ ÙÚ Ô ÙØ ØÖ ÓÒ ÙÐØ Ò ÔÔ Ò Ü µº Ô ÖØ Ö Ö ÙÐØ Ø ÓÒ Ô ÙØ Ù Ù Ö ÙÒ Ö ÙÐØ Ø ÙÖ N Nº Ù ÔÖ Ð Ð ÒÓÙ ÒØÖÓ Ù ÓÒ Ð Ð ÑÑ Ã Ò ÕÙ³ÓÒ Ö ØÖÓÙÚ Ò ÒÓÑ Ö Ù ÔÖ ÙÚ º Ä ÑÑ º º Ä ÑÑ ÃÓ Ò µ ËÓ Ø A ÙÒ Ö Ö Ö Ò º º ØÓÙØ ÒÓ Ù Ñ Ø ÙÒ ÒÓÑ Ö Ò Ù ÙÖ µ Ø ÓÑÔÓÖØ ÒØ ÙÒ ÒÓÑ Ö ÒÓ Ù Ò Ò ÐÓÖ A Ñ Ø ÙÒ Ö Ò Ò Ò º ÆÓÙ Ü ÓÒ Ð Ö Ò Ò Ò Ð Ñ Ò Ö Ù Ú ÒØ º È ÖØ ÒØ Ð Ö Ò ÓÒ Ó Ø Ð³ÙÒ Ù ÙÖ ÐÐ ¹ ÓÒØ Ð ÓÙ ¹ Ö Ö ÙÒ ÒÓÑ Ö Ò Ò ÒÓ Ù º ÁÐ Ò Ü Ø Ù ÑÓ Ò ÙÒ Ö Ð ÒÓÑ Ö Ù ÙÖ Ø Ò º Ò Ø Ö ÒØ ÔÖÓ Ù Ò Ú Ù ÕÙ ÒÓÙÚ Ù ÓÙ ¹ Ö Ö Ó ÓÒ ÓÒ ØÖÙ Ø Ð Ö Ò Ò Ò º Ì ÓÖ Ñ º º Ä ÔÖÓ Ð Ñ ÚÓ Ö Ø ÒØ ÓÒÒ T, V, H N N Ø Ô Ú Ð Ø Ò Ð º ÆÓÙ ÖÑÓÒ Õ٠г Ü Ø Ò ³ÙÒ Ô Ú Ò N N Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ Ð³ Ü Ø Ò ³ÙÒ Ô Ú Ò Z Zº Ë ÓÒ ÔÓ ³ÙÒ Ô Ú Ò Z Z ÐÓÖ Ô Ö ØÖÓÒ ØÙÖ ÓÒ Ó Ø ÒØ ÙÒ Ô Ú N Nº ËÙÔÔÓ ÓÒ ÕÙ³ÓÒ ÔÓ ³ÙÒ Ô Ú N Nº ÇÒ ÓÒ ØÖÙ Ø ÙÒ Ö Ö Ô Ú Ò º Ä Ö Ò Ø Ð³ÙÒ ÕÙ Ô Ú Ð ÙÖ Ú º ÙÒ ÙØ ÙÖ i ØÖÓÙÚ ÒØ Ð Ö ÒØ Ô Ú Ù ÖÖ [ i, i] [ i, i]º ÍÒ Ô Ú [ i 1, i+1] [ i 1, i+1] ÔÓÙÖ Ô Ö Ð³ÙÒ ÕÙ Ô Ú [ i, i] [ i, i] ÓÒØ Ð Ø Ð³ ÜØ Ò ÓÒº Ò Ö ÓÒ Ð³ Ü Ø Ò Ù Ô Ú N N Ð Ý ÒÓ Ù ØÓÙØ Ð ÙØ ÙÖ º Ä Ð ÑÑ Ã Ò ÙÖ Ð³ Ü Ø Ò ³ÙÒ ÕÙ Ò Ò Ò Ô Ú {P i } i N º i N P i Ø Ð Ô Ú Ö Ö º º ÈÖÓ Ð Ñ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÈÓ Ø Ä ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÈÓ Ø È Èµ ÓÒÒ ÙÜ Ù Ø ÑÓØ Ò (u 1,...,u n ) Ø (v 1,...,v n ) Ñ Ñ ÐÓÒ Ù ÙÖ ÉÙ Ø ÓÒ Ü Ø ¹Ø¹ Ð ÙÒ ÒØ Ö k > 0 Ø ÙÒ Ù Ø ³ Ò i 1,...,i k Ø Ð ÕÙ È Ö Ü ÑÔÐ Ó ÒØ (u i, v i ) i=1,...,4 ÓÒÒ Ô Ö u i1 u ik = v i1 v ik i u i a b ca abc v i ab ca a c ØØ Ò Ø Ò È È ÙÒ ÓÐÙØ ÓÒ (12314)º ÍÒ Ú Ö ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ð È È ÓÒØÖ ÒØ ÓÒÒ ÙÜ Ù Ø ÑÓØ Ò (u 1,...,u n ) Ø (v 1,...,v n ) Ñ Ñ ÐÓÒ Ù ÙÖ ÉÙ Ø ÓÒ Ü Ø ¹Ø¹ Ð ÙÒ ÒØ Ö k > 0 Ø ÙÒ Ù Ø ³ Ò i 1 = 1,...,i k Ø Ð ÕÙ u i1 u ik = v i1 v ik ½

17 Ì ÓÖ Ñ º º½ Ä È È ÓÒØÖ ÒØ Ø Ò Ð º ÇÒ Ö Ù Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ð³ ÖÖ Ø ÙÖ Ð ÑÓØ Ú º ËÓ Ø M ÙÒ Ñ Ò ÌÙÖ Ò º ÇÒ ÒÓØ q f Ð ÙÐ Ø Ø ³ ÖÖ Ø Mº Ä Ô Ö ÑÓØ È È ÓÒØÖ ÒØ ÓÒØ ÑÓØ v i Ò Ð³ÓÖ Ö µ ÑÓØ u i ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ 1. q 0 $ 2. a a ÔÓÙÖ a Σ 3. qa a q Ë δ(q, a) = q, a, 4. aqb q ab δ(q, b) = q, b, 5. qa q a δ(q, a) = q, a, 6. q aq δ(q, B) = q, a, 7. bq q ba δ(q, B) = q, a, 8. q q a δ(q, B) = q, a, q f a aq f 11. q f q e 12. aq e q e 13. $q e ÜÔÐ ÕÙÓÒ Ð ÔÖ Ò Ô Ð Ö ÙØ ÓÒº г ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ½ ½¼ ÓÒ Ò Ô ÙØ Ö ÕÙ Ö Ò ÐÓ ÙÐØ Ö ÙÖµ ÕÙ³ÙÒ Ô Ö Ô Ö u = u i1...u in Ø v = v i1...v in ÅÓÒØÖÓÒ ÕÙ È È ÓÒØÖ ÒØ ÙÒ ÓÐÙØ ÓÒ M ³ ÖÖ Ø ÙÖ Ð ÑÓØ Ú Ë M ³ ÖÖ Ø ÙÖ Ð ÑÓØ Ú ËÓ Ø s 1 = q 0 $ w k q f w k = s k Ð ÐÙÐ M ÙÖ Ð ÑÓØ Ú Ð Ð Ò Ò Ò ÖÙ Ò Ò³ ÔÔ Ö ÒØ Ô Ò Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ µº ÈÓÙÖ ØÓÙØ i < k s i, s i+1 ÓÒØ Ð³ÙÒ ÓÖÑ Ù Ú ÒØ s i = t i qaw i Ø s i+1 = t i a q w i Ú δ(q, a) = q, a, s i = t i aqbw i Ø s i+1 = t i q ab w i Ú δ(q, b) = q, b, s i = t i qaw i Ø s i+1 = t i q a w i Ú δ(q, a) = q, a, ijÙÒ ¹ Ù Ò Ö Ø Ö ÒØ Ð Ô ÖØ ÖÓ Ø q Ø Ø Ð ØÙÖ ÖÓ Ø Ù ÖÙ Òµººº Ò ÕÙ ÓÒ Ö Ñ ÖÕÙ ÕÙ s i Ô ÙØ ³ Ö Ö ÓÑÑ Ð ÓÒ Ø Ò Ø ÓÒ v m1 v mi Ø s i+1 ³ Ö Ø ÓÑÑ Ð ÓÒ Ø Ò Ø ÓÒ u m1 u mi º È Ö Ü ÑÔÐ Ò Ð ÔÖ Ñ Ö ÇÒ ÙØ Ð t i Ó Ð ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ¾ ÔÙ ÙÒ Ó Ð ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÔÙ w i Ó Ð ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ¾ ÔÙ Ð ÓÖÖ ÔÓÒ Ò º ÇÒ Ó Ø ÒØ ÐÓÖ ÙÒ ÓÐÙØ ÓÒ È È ÓÒØÖ ÒØ ÓÑÑ Ù Ø q 0 $w s 1 s k w k aq f w k w nq e w n 1 q e s 0 s k 1 w k q f aw k w nq f w n 1 aq e $q e Ê ÔÖÓÕÙ Ñ ÒØ È È ÓÒØÖ ÒØ ÙÒ ÓÐÙØ ÓÒ ÐÓÖ ÑÓÒØÖÓÒ ÕÙ M ³ ÖÖ Ø ÙÖ Ð ÑÓØ Ú º ËÓ Ø u i1 u im = v i1 v im º ÇÒ ÑÓÒØÖ Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò ÙÖ k ÕÙ³ Ð Ü Ø ÙÒ p Ø ÑÓØ t, t Ø Ð ÕÙ u i1 u ik = s 1 s p t v i1 v ik = s 1 s p 1 t Ø ÓÙ Ò s p Ø ÙÒ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò Ð Ð Ñ Ò ÓÙ Ò t Ø ÙÒ ÔÖ Ü s p Ø t Ø ÙÒ ÔÖ Ü s p+1 Ë t Ò ÓÒØ ÒØ Ô ÝÑ ÓÐ ³ Ø Ø Ø Ò Ø ÖÑ Ò Ô Ô Ö ÐÓÖ t = t ÒÓÒ t M tº ÈÓÙÖ k = 1 u i1 = u 1 = q 0 $w Ø v i1 = v 1 = º ÇÒ Ò ÔÓÙÖ p = 1 u i1 = s 1 t = t = ǫº Ë Ð ÔÖÓÔÖ Ø Ø ÚÖ ÔÓÙÖ k ÓÒ ÖÓÒ Ð Ô Ö Ù Ú ÒØ u ik+1, v ik+1 º Ë s p Ø Ø ÙÒ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò Ð Ð Ò³Ý Ö Ò Ö º Ë ÒÓÒ s p = t t p Ø s p+1 = t t p º ÔÐÙ ÓÑÑ ÓÒ ÙÒ ÓÐÙØ ÓÒ È È ÓÒØÖ ÒØ v ik+1 Ø ÙÒ ÔÖ Ü t p tu ik+1 º ÓÒ ÖÓÒ Ù Ú Ñ ÒØ ØÓÙ Ð v ik+1 ÔÓ Ð ½

18 ½ ÑÔÓ Ð Ö Ò³ ÔÔ Ö Ø Ô Ò t p tu ik+1 ¾ Ò t p = v ik+1 t p Ø ÓÒ Ð ÔÖÓÔÖ Ø ÚÓÙÐÙ t p = v ik+1 t p t Ò ÓÒØ ÒØ Ô ÝÑ ÓÐ ³ Ø Ø Ø ÓÒ t = t Ø t v ik+1 M t u ik+1 ÓÑÑ t p Ò ÓÒØ ÒØ Ô t p = v ik+1 º ÓÒ s p = t v ik+1 º ÔÐÙ t = t Ø t u ik+1 = s p+1 º ÁÐ Ù Ø ÐÓÖ Ó Ö ÑÓØ Ú ÔÓÙÖ Ð ÒÓÙÚ ÙÜ t, t t p Ø Ú Ø Ð Ù Ø Ó Ö ÑÓØ Ú ÔÓÙÖ Ð ÒÓÙÚ ÙÜ t, t ½¼ ½½ г Ø Ø Ò Ð Ø ØØ Òغ ½¾ ÑÔÓ Ð ÔÓÙÖ Ö ÓÒ ÒØ ÕÙ º ½ t Ó Ø ØÖ Ú ÔÙ ÕÙ v ik+1 Ø ÙÒ ÔÖ Ü t p tu ik+1 º ÔÐÙ ÓÒ Ó Ø ÚÓ Ö t p = $q e ÕÙ Ò³ Ø Ô ÔÓ Ð º Ò³ Ô Ð Ù Ì ÓÖ Ñ º º¾ Ä È È Ø Ò Ð º ÇÒ Ö Ù Ø È È ÓÒØÖ ÒØ È È ÓÑÑ Ù Ø Ò ÙÔÔÓ ÒØ Ò Ô ÖØ Ò Ö Ð Ø µ ÕÙ³ Ð Ò³Ý Ô Ô Ö (ǫ, ǫ)º Ë (u 1,...,u n ) (v 1,...,v n ) Ø ÙÒ Ò Ø Ò È È ÓÒØÖ ÒØ ÓÒ ÓÒ Ö ÙÒ ÐÔ Ø Ù ¹ Ñ ÒØ Ð ØØÖ,, Ø Ð³ Ò Ø Ò È È ( u 1, u 1,...,u n, ), ( ṽ 1, ṽ 1,..., ṽ n, ) Ó ǫ = ǫ = ǫ Ø a w = aw Ø a w = a wº Ë È È ÓÒØÖ ÒØ ÙÒ ÓÐÙØ ÓÒ u i1 u im = v i1 v im ÐÓÖ u i1 u im = ṽ i1 ṽ im Ø ÙÒ ÓÐÙØ ÓÒ È Èº Ê ÔÖÓÕÙ Ñ ÒØ È È Ñ Ø ÙÒ ÓÐÙØ ÓÒ ÒÓØÓÒ (u 0,...,u n, u n+1) Ø (v 0,..., v n+1) г Ò ¹ Ø Ò Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ð Ü Ø ÙÒ Ù Ø ³ Ò Ø ÐÐ ÕÙ u i 1 u i m = v i 1 v i m º ÆÓØÓÒ ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ i u i = ǫ ÓÙ Ò u i ÓÑÑ Ò Ô Ö ÓÙ Ò i = 1º Ë u i 1 = ǫ ÐÓÖ Ó Ø k Ð ÔÐÙ Ô Ø Ø Ò Ø Ð ÕÙ u i k ǫº È Ö ÝÔÓØ Ø Ô Ö ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ v i 1 ǫ Ø ÔÖ Ñ Ö Ð ØØÖ Ø a / {, }º ü г ÒÚ Ö Ð ÔÖ Ñ Ö Ð ØØÖ u i k Ø Ò {, }º ÕÙ Ø ÙÖ º ÁÐ Ò Ö ÙÐØ ÕÙ u i 1 ǫº Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ð ØØÖ u i 1 Ø Ò {, } Ø ÓÒ Ù Ð ÔÖ Ñ Ö Ð ØØÖ Ù ÔÖ Ñ Ö v ik ÒÓÒ Ú º Ò³ Ø ÔÓ Ð ÕÙ i 1 = 1 Ø ØØ ÔÖ Ñ Ö Ð ØØÖ Ø º ËÓ Ø Ñ ÒØ Ò ÒØ φ Ð ÑÓÖÔ Ñ Ò ÙÖ (Σ {,, }) Ô Ö φ( ) = φ( ) = φ( ) = ǫ Ø φ(a) = a ÒÓÒº ÇÒ ÑÓÒØÖ Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò ÙÖ k ÕÙ φ(u i 1 u i k ) = u 1 u i2 u ik Ø φ(v i1 v ik ) = v 1 v i2 v ik 1 k < mº ÁÐ Ò Ö ÙÐØ ÕÙ È È ÙÒ ÓÐÙØ ÓÒ ÐÓÖ È È ÓÒØÖ ÒØ Ù Ò ÔÖ Ò ÒØ Ð³ Ñ Ô Ö φº Ë ØÓÙ Ð ÑÓØ ÔÔ Ö ÒØ Ò Ð Ô Ö ÓÒØ Ö ÒØ ε ÐÓÖ ÓÒ Ô ÙØ ÙÔÔÖ Ñ Ö Ð ÝÑ ÓÐ Ð ÔÖ Ñ Ö Ô Ö º ³ Ø Ð Ù È È ÓÒØÖ ÒØ Ó Ø ÒÙ Ô Ö Ð Ö ÙØ ÓÒ Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ð³ ÖÖ Øº È Ö ÓÒØÖ Ð Ø Ò Ô Ò Ð ØØ ÓÒØÖ ÒØ Ò³ Ø Ô Ú Ö Ò ÕÙ Ð ÑÓÒØÖ Ð³ Ü ÑÔÐ Ù Ú Òغ u 1 = b, v 1 = ab, u 2 = a, v 2 = ε ÁÐ Ò³ Ü Ø Ô ÓÐÙØ ÓÒ Ù ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒØÖ ÒØ Ø Ð È È Ó Ø ÒÙ Ñ Ø Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ù Ú ÒØ u = ( a)( b)( ) Ø v = (ε)( a b )( ) ½

19 Ô ØÖ ÓÒØ ÓÒ Ö ÙÖ Ú º½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ä³Ó Ø ØØ Ô ÖØ Ø ³ Ü Ñ Ò Ö ÙÒ ÙØÖ ÑÓ Ð ÐÙÐ ÕÙ Ð Ñ Ò ÌÙÖ Ò Ø ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ³ Ð Ð Ñ Ñ ÔÓÙÚÓ Ö ÜÔÖ ÕÙ Ð Ñ Ò ÌÙÖ Ò ÓÒ ³ ÔÔÓÖØ Ö ÙÒ Ø ÑÓ Ò Ð Ø ÙÖ µº ij ÒØ Ö Ø ÑÓ Ð Ø ÓÙ Ð º ³ÙÒ Ô ÖØ Ð Ø ÓÒØ ÓÒÒ Ð Ø ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÒ ÙØÖ ÔÔÖÓ Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒº ³ ÙØÖ Ô ÖØ Ð Ø ØÖÙØÙÖ Ð ÓÒØ ÓÒ Ø ÓÒ ØÖÙØ ÙÖ µ Ô ÖÑ Ø Ð Ó ÔÖ ÙÚ Ô Ö Ò ÙØ ÓÒ ÙÖ Ð ØÖÙØÙÖ Ø ³ ÙØÖ Ô ÖØ ³ ÒØÖÓ Ù Ö ÓÙ ¹Ð ÓÒØ ÓÒ Ø ÖÑ Ò ÓÒ Ö ÒØ º º¾ ÓÒØ ÓÒ Ö ÙÖ Ú ÔÖ Ñ Ø Ú f Ò Ö ÙÒ ÓÒØ ÓÒ N k Ò Nº Ä ÓÒØ ÓÒ ØÓØ Ð ÓÒØ Ù ÔÔÐ Ø ÓÒ º f(n 1,...,n k ) = f Ò³ Ø Ô Ò Ò n 1,...,n k º Ä ÓÒØ ÓÒ Ò Ø Ð ÓÒØ Ð ÔÖÓ Ø ÓÒ Pk i : Nk Nº Pk i(n 1,...,n k ) = n i Ð Ù ÙÖ S(n) = n + 1 Ð ÓÒØ ÓÒ ÒÙÐÐ Z(n) = 0 Ð ÓÒØ ÓÒ ÓÒ Ø ÒØ 0 ¼ Ö ÙÑ ÒØ µº ÍÒ Ò Ñ Ð ³ ÔÔÐ Ø ÓÒ F Ø ÖÑ Ô Ö ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÓÒØ ÓÒ ξ : N m N Ø ψ 1,...,ψ m : N n N Ð ÓÒØ ÓÒ φ : N n N Ò Ô Ö φ( n) = ξ(ψ 1 ( n),...,ψ m ( n)) Ø Ò F º ÇÒ ÒÓØ ÓÑÔ m (ξ, ψ 1,...,ψ m ) Ð ÓÒØ ÓÒ φ Ò Ó Ø ÒÙ º ÍÒ Ò Ñ Ð ³ ÔÔÐ Ø ÓÒ F Ø ÖÑ Ô Ö Ö ÙÖ ÓÒ ÔÖ Ñ Ø Ú ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÓÒØ ÓÒ ξ, ψ F Ð ÓÒØ ÓÒ φ Ò Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò Ô Ö { ξ( n) m = 0 φ(m, n) = ψ(φ(m 1, n), m 1, n) m > 0 Ø Ò F º ÇÒ ÒÓØ ÈÖ Ñ(ξ, ψ) Ð ÓÒØ ÓÒ φ Ò Ó Ø ÒÙ º Ò Ø ÓÒ º¾º½ ij Ò Ñ Ð ÓÒØ ÓÒ Ö ÙÖ Ú ÔÖ Ñ Ø Ú Ø Ð ÔÐÙ Ô Ø Ø Ò Ñ Ð ÓÒØ ¹ Ò ÒØ Ð ÓÒØ ÓÒ Ò Ø Ð ÐÓ Ô Ö ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ø Ö ÙÖ ÓÒ ÔÖ Ñ Ø Ú º ÌÓÙØ Ð ÓÒØ ÓÒ Ö ÙÖ Ú ÔÖ Ñ Ø Ú ³Ó Ø ÒÒ ÒØ Ò Ô ÖØ Ö ÓÒØ ÓÒ Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÈÖ Ñ Ø ÓÑÔ n º Ü ÑÔÐ º¾º½ ÅÓÒØÖÓÒ ÕÙ Ð ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ø Ñ Ø ÕÙ ÓÒØ ÔÖ Ñ Ø Ú Ö ÙÖ Ú º Ä Ö Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ð ÒØ Ö Ò ØÙÖ Ð Ø ÔÖ Ñ Ø Ú Ö ÙÖ Ú n = Si n = 0 Alors 0 Sinon n 1 Finsi ½

20 Ä ÓÙ ØÖ Ø ÓÒ Ò Ð ÒØ Ö Ò ØÙÖ Ð Ø ÔÖ Ñ Ø Ú Ö ÙÖ Ú m n = Si n = 0 Alors m Sinon (m (n 1)) Finsi ij Ø ÓÒ f(n, m) def = n + m Ø ÔÖ Ñ Ø Ú Ö ÙÖ Ú f = ÈÖ Ñ(P1 1, ÓÑÔ 1 (S, P3 1 ))º ÕÙ Ô ÙØ ³ Ö Ö Ñ Ò Ö ÔÐÙ ÒØÙ Ø Ú n + m = Si n = 0 Alors m Sinon ((n 1) + m) + 1 Finsi Ä ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ g(n, m) = n m Ø ÔÖ Ñ Ø Ú Ö ÙÖ Ú g = ÈÖ Ñ(Z, ÓÑÔ 2 (+, P3 1, P3 3 )) ÕÙ Ô ÙØ ³ Ö Ö Ñ Ò Ö ÔÐÙ ÒØÙ Ø Ú n m = Si n = 0 Alors 0 Sinon ((n 1) m) + m Finsi Ä Ø Ø Þ ÖÓ Ø ÔÖ Ñ Ø Ö ÙÖ n? = Si n = 0 Alors 0 Sinon 1 Finsi ÆÓÙ Ú ÐÓÔÔÓÒ ³ ÙØÖ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ö ÙÖ Ú ÔÖ Ñ Ø Ú ÙØ Ð ÓÑÑ Ð ÓÑÑ ÓÖÒ g(x 1,...,x n, y) = t y f(x 1,...,x n, t) Ò Ø g(x 1,...,x n, y) = Si y = 0 Alors f(x 1,...,x n, 0) Sinon g(x 1,...,x n, y 1) + f(x 1,...,x n, y) Finsi ËÓ Ø R ÙÒ Ö Ð Ø ÓÒ n¹ Ö ÓÒ ÒÓØ χ R Ð ÓÒØ ÓÒ Ò ØÖ n¹ Ö Ò ØÖ Rº ÇÒ Ø ÕÙ R Ø Ö ÙÖ Ú ÔÖ Ñ Ø Ú ÓÒØ ÓÒ Ò ØÖ Ð³ غ Ø ØÖ ³ Ü Ö Ð Ð Ø ÙÖ Ô ÙØ ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ x = y x < y غ ÓÒØ Ö Ð Ø ÓÒ ÔÖ Ñ Ø Ú Ö ÙÖ Ú º Ò ÓÒØ ÓÒ Ò Ô Ö h(x 1,...,x n ) = Si R(x 1,..., x n ) Alors f(x 1,...,x n )Sinon g(x 1,...,x n ) Finsi ÓÒØ Ò Ö ÙÖ Ú ÔÖ Ñ Ø Ú º Ò Ø h(x 1,...,x n ) = χ R (x 1,...,x n )f(x 1,...,x n ) + (1 χ R (x 1,...,x n ))g(x 1,...,x n ) ÍÒ ÙØÖ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ ÔÖ Ñ Ø Ú Ö ÙÖ Ú Ø Ð Ñ Ü Ø ÒØ Ð ÓÖÒ ÒÓØ f(x 1,...,x n, z) = t z R(x 1,...,x n, t) Ø Ò Ô Ö f(x 1,...,x n, z) = 1 t z ÕÙ Ú Ö R(x 1,...,x n, t) Ø ¼ ÒÓÒº Ñ Ø Ò Ö ÙÖ ÔÖ Ñ Ø Ö f(x 1,..., x n, z) Ø Ð ÓÒØ ÓÒ Ö Ø Ö Ø ÕÙ ( y z χ R(x 1,..., x n, y) 1) ÍÒ ÙØÖ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ ÔÖ Ñ Ø Ú Ö ÙÖ Ú Ø Ð Ñ Ñ Ò Ñ Ø ÓÒ ÓÖÒ ÒÓØ f(x 1,...,x n, z) = µt z R(x 1,...,x n, t) Ø Ò Ô Ö f(x 1,...,x n, z) = t t Ø Ð ÔÐÙ Ô Ø Ø ÒØ Ö ÓÑÔÖ ÒØÖ ¼ Ø z ÕÙ Ú Ö R(x 1,...,x n, t) Ø ¼ ÒÓÒº Ñ Ø Ò Ö ÙÖ ÔÖ Ñ Ø Ö Ð ³ Ö Ø f(x 1,...,x n, z) = Si z = 0 Alors 0 Sinon f(x 1,...,x n, z 1)( y z 1 χ R(x 1,..., x n, y) 1) +z( y z 1 χ R(x 1,...,x n, y) = 0)(χ R (x 1,...,x n, z) = 1) Finsi ÍÒ ÔÔÐ Ø ÓÒ ÑÔÐ Ñ Ø Ð Ú ÓÒ x/y = µt x y (t + 1) > x º¾º½ Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ ÓÒØ ÓÒÒ ÐÐ Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ ÑÔ Ö ¹ Ø Ú LFORµ ÆÓÙ ÐÐÓÒ ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð ÓÒØ ÓÒ Ö ÙÖ Ú ÔÖ Ñ Ø Ú ÓÒØ Ð ÙÖ Ô Ò ÒØ Ò ÔÖÓ Ö Ñ¹ Ñ Ø ÓÒ ÑÔ Ö Ø Ú º ÆÓÙ ÓÒ ÖÓÒ LFOR ÙÒ Ð Ò ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ ÙÖ Ð ÒØ Ö ÓÑÔÓ Ò ØÖÙØ ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ö ÓÔ ÒÖ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ö Ñ ÒØ Ø ÓÒµ Ø ØÖÙØÙÖ ÓÒØÖÐ if Ø for Ø Ð ÓÒ Ø Ò Ø ÓÒº Ê Ñ ÖÕÙÓÒ ÕÙ Ð Ò ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Ð³ Ö Ð ÔÖÓÔÖ Ø ÕÙ ØÓÙØ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÖÑ Ò ÓÒ Ò Ò Ø Ô Ø Ø ³ ÖÖ Øµº Ò ÓÑÔ Ö Ö Ð Ò ½

21 ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ ÙÜ ÓÒØ ÓÒ Ö ÙÖ Ú ÔÖ Ñ Ø Ú ÒÓÙ ÙÔÔÓ ÓÒ ÕÙ Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ ÔÓ ³ÙÒ Ò ØÖÙØ ÓÒ return x i Ó x i Ø ÙÒ Ú Ö Ð Ù ÔÖÓ Ö ÑÑ º Ò ³ ÖÖ Ú Ö Ù Ö ÙÐØ Ø ÔÖ Ò Ô Ð Ô Ö Ö Ô ÒÓÙ ÒØÖÓ Ù ÓÒ ÙÒ Ó Ö ÙÖ ÔÖ Ñ Ø ³ÙÒ Ù Ø k ÒØ Ö x 1,...,x k Ô Ö ÙÒ ÒØ Ö ÕÙ ÒÓÙ ÒÓØ ÖÓÒ x 1,...,x k º Ä Ó ³ÙÒ ÒØ Ö Ø Ð³ ÒØ Ø º Ä Ó ÙÜ ÒØ Ö x 1, x 2 Ø Ò Ô Ö x 1, x 2 = (x 1 + x 2 )(x 1 + x 2 + 1)/2 + x 1 ÕÙ ÓÒ Ø ÒÙÑ Ö Ö Ð Ô Ö Ô Ö ÓÒ Ð x 1 + x 2 ÖÓ ÒØ Ò Ô ÖÓÙÖ ÒØ Ð ÓÒ Ð Ô Ö x 1 ÖÓ Òغ ÈÙ Ð Ó k ÒØ Ö Ø Ó Ø ÒÙ Ô Ö Ð ÓÖÑÙÐ Ø Ö Ø Ú x 1,...,x k = x 1, x 2,...,x k Ó Ð ÔÖÓÔÖ Ø Ú ÒØ ÕÙ³ Ð Ø ÙÔ Ö ÙÖ ÓÙ Ð ÙÒ ÓÑÔÓ ÒØ Ó º ÇÒ Ô ÙØ Ô Ö ÓÒ ÕÙ ÒØ ÔÔÐ ÕÙ Ö Ð Ñ Ñ Ò Ñ Ø ÓÒ Ø Ü Ø ÒØ Ð ÓÖÒ ÔÓÙÖ ÜØÖ Ö Ð ÓÑÔÓ ÒØ º ÆÓÙ ÖÑÓÒ ÕÙ π i k(z) = µx i z x 1,...,x i 1, x i+1,..., x k z z = x 1,...,x k Ì ÓÖ Ñ º¾º¾ Ä ÓÒØ ÓÒ ÐÙÐ Ô Ö Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ LFOR ÓÒØ Ü Ø Ñ ÒØ Ð ÓÒØ ÓÒ ÔÖ Ñ Ø Ú Ö ÙÖ Ú º ÆÓÙ Ð ÓÒ Ð Ó Ò Ù Ð Ø ÙÖ ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ ØÓÙØ ÓÒØ ÓÒ ÔÖ Ñ Ø Ú Ö ÙÖ Ú Ø ÐÙÐ Ð Ô Ö ÙÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ LFOR Ø ÒÓÙ ÒÓÙ ÓÒ ÖÓÒ Ð ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ Ð Ö ÔÖÓÕÙ º ÆÓÙ ÐÐÓÒ ÑÓÒØÖ Ö ÓÑÑ ÒØ ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ð ÓÙÐ for Ù Ú ÒØ º Ä ÙØÖ ØÖ ÙØ ÓÒ ÓÒØ ÑÑ Ø º for x n+1 from 1 to x 1 do x 2 := f 2 (x 1,...,x n+1 )... x n := f n (x 1,...,x n+1 ) endf or Ä ÓÒØ ÓÒ Ñ Ò ÔÙÐ ÖÓÒØ ÒØ Ö Ó ÒØ Ù Ø Ú Ð ÙÖ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÙÜ Ú Ö Ð Ù ÔÖÓ Ö ÑÑ º ÆÓÙ ÒØÖÓ Ù ÓÒ Ð ÓÒØ ÓÒ f i º f i (σ, x) = f i (π 1 n(σ),...,π n n(σ), x) ÈÙ Ð ÓÒØ ÓÒ f ÕÙ Ö ÔÖ ÒØ Ð³ Ø ³ÙÒ ØÓÙÖ ÓÙÐ ÙÖ Ð Ú Ö Ð x 1,...,x n ÐÓÖ ÕÙ Ð Ú Ö Ð x n+1 Ø Ð xº Ä ÕÙ Ò σ Ø Ð Ó Ð Ù Ø Ú Ö Ð x 1,...,x n º f(σ, x) = π 1 n(σ), f 2 (σ, x),..., f n (σ, x) Ä ÓÒØ ÓÒ g ØÖ Ù Ø Ð³ Ø x ØÓÙÖ ÓÙÐ ÙÖ Ð Ú Ö Ð x 1,...,x n º g(σ, x) = si x = 0 alors σsinon f(g(σ, x 1), x) finsi Ä ÓÒØ ÓÒ h ØÖ Ù Ø Ð³ Ø Ù ÔÖÓ Ö ÑÑ ÙÖ ØÓÙØ Ð Ú Ö Ð º h(σ) = π 1 n+1(σ), π 2 n(g( π 1 n+1(σ),..., π n n+1(σ), π 1 n+1(σ))),..., π n n(g( π 1 n+1(σ),..., π n n+1(σ), π 1 n+1(σ))), π 1 n+1(σ) ¾¼

22 ÇÒ Ò Ö Ð Ð Ó ÕÙ Ò Ø ÐÐ Ü Ù Ó ÕÙ Ò Ø ÐÐ Ú Ö Ð º Ò Ó ÒØ Ð ÐÓÒ Ù ÙÖ ÓÑÑ ÔÖ Ñ Ö Ð Ñ ÒØ Ð Ù Ø º ÙØÖ Ñ ÒØ Ø Ð Ó x 1,...,x m Ø m, x 1,...,x m º Ä ÔÖÓ Ø ÓÒ π(i, σ) ³ Ö Ø ÐÓÖ Ð³ Ù Ð Ò LFOR ÙØ Ð Ø ÓÒ ÔÓ Ð ³ Ô Ð Ø ÓÖ Ñ º¾º¾µ x := π 1 2(σ) if x < i then return 0 for y from 1 to i do σ := π 2 2(σ) endf or if x = i then return σ else return π 1 2 (σ) Ä ÐÓÒ Ù ÙÖ ³ÙÒ ÕÙ Ò Ø Ù ÔÖ Ñ Ø Ú Ö ÙÖ Ú π 1 2(σ)µº Ä ÔÖÓ Ö ÑÑ Ù Ú ÒØ Ô ÖÑ Ø ³ Ö Ö ÙÒ Ú Ð ÙÖ v Ð ÔÓ Ø ÓÒ i Ð ÕÙ Ò σº ÆÓÙ ÒÓØ ÖÓÒ Ð ÓÒØ ÓÒ Ó w(i, v, σ)º ÆÓÙ ÚÓÒ Ð Ö Ñ ÒØ ØÖ Ò ÙØ Ð ÒØ ÙÒ for ÖÓ ÒØ º ÆÓÙ Ð ÓÒ Ù Ð Ø ÙÖ Ð Ó Ò Ð³ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ô Ö ÙÒ for ÖÓ ÒØ º x := π 1 2 (σ) if x < i then return σ for y from 1 to i do σ := π 2 2(σ ) endf or if x = i then σ := v else σ := v, π 2 2(σ ) for y from i downto 1 do σ := π(y, σ), σ endf or return x, σ Ò Ò Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ ¹ ÓÙ ÓÒ Ø Ò ÙÒ Ú Ð ÙÖ v Ð ÕÙ Ò σº ÆÓÙ ÒÓØ ÖÓÒ Ð ÓÒØ ÓÒ Ó conc(v, σ)º x := π 1 2(σ) σ := v for y from x downto 1 do σ := π(y, σ), σ endf or return x + 1, σ º¾º¾ À Ö Ö ÖÞ ÓÖÞÝ ÇÒ Ò Ø Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò ÙÖ n Ð Ù Ø ÓÒØ ÓÒ ÔÖ Ñ Ø Ú Ö ÙÖ Ú ÓÑÑ Ù Ø ψ 0 (m) = m + 1 ψ n+1 (0) = ψ n (1) ψ n+1 (m + 1) = ψ n (ψ n+1 (m)) ÇÒ ÑÓÒØÖ Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò ÙÖ n ÕÙ³ Ð ³ Ø Ò ³ÙÒ Ù Ø ÓÒØ ÓÒ Ö ÙÖ Ú ÔÖ Ñ Ø Ú º È Ö Ö ÙÖÖ Ò ÙÖ m ÓÒ ÑÓÒØÖ Ù Ú Ñ ÒØ Ð Ö ÙÐØ Ø Ù Ú ÒØ ÔÓÙÖ Ð ÔÖ Ñ Ö ÓÒ¹ Ø ÓÒ Ð Ö Ö ψ 1 (m) = m + 2 Ö ψ 1 (m + 1) = ψ 0 (ψ 1 (m)) = (m + 2) + 1 = (m + 1) + 2 ψ 2 (m) = 2m + 3 Ö ψ 2 (m + 1) = ψ 1 (ψ 2 (m)) = (2m + 3) + 2 = 2(m + 1) + 3 ψ 3 (m) = 2 m+3 3 Ö ψ 3 (m + 1) = ψ 2 (ψ 3 (m)) = 2(2 m+3 3) + 3 = 2 (m+1) ψ 4 (m) = m Ä ÑÑ º¾º ÈÖÓÔÖ Ø ÑÓÒÓØÓÒ ψµ ¾½

23 ½º ÔÓÙÖ ØÓÙ n, m ψ n (m) > n + m ¾º Ð ÓÒØ ÓÒ ψ n ÓÒØ ØÖ Ø Ñ Òص ÖÓ ÒØ ψ n (m + 1) > ψ n (m) º ÔÓÙÖ ØÓÙ n, m ψ n+1 (m) > ψ n (m) ³Ó ÔÓÙÖ ØÓÙØ k ψ n+k (m) ψ n (m) + kº º ÔÓÙÖ ØÓÙ n, m, k ψ m k (n) ψ k+1(n + m) Ó ψ m k Ò Ð ÓÒØ ÓÒ ψ k ÓÑÔÓ m Ó º ½º ÇÒ ÑÓÒØÖ ψ n (m) > n + m º¾º º µ Ô Ö Ò ÙØ ÓÒ ÙÖ n ÔÙ ÙÖ mº Ä n = 0 Ö Ù Ø ψ 0 (m) = m+1 > mº ÈÓÙÖ n > 0 ÓÒ ÓÒ Ö ³ ÓÖ Ð m = 0 ψ n (m) = ψ n (0) = ψ n 1 (1) > n 1+1 Ô Ö ÝÔº Ò º º¹¹ º ψ n (m) > n = n + mº ÈÓÙÖ m > 0 ÓÒ ψ n (m) = ψ n 1 (ψ n (m 1)) º¹¹ º = ψ n 1 (x) ÔÓÙÖ x = ψ n (m 1) n + m Ô Ö ÝÔº Ò º Ò ÙØ Ð ÒØ ÒÓÖ ÙÒ Ó Ð³ ÝÔÓØ ³ Ò ÙØ ÓÒ ÓÒ Ù Ø ψ n 1 (x) x + n Ó Ø ψ n (m) 2n + m > n + m ÔÙ ÕÙ n > 0º ¾º ÇÒ ÑÓÒØÖ ψ n (m + 1) > ψ n (m), º¾º º µ ÕÙ ÕÙ Ú ÙØ ψ n (m + k) ψ n (m) + k Ô Ö Ò ÙØ ÓÒ ÙÖ n Ø Ò ÙØ Ð ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÔÖ ÒØ º ÈÓÙÖ n = 0 ÓÒ ψ n (m+1) = m+1+1 > m+1 = ψ n (m)º ËÙÔÔÓ ÓÒ Ñ ÒØ Ò ÒØ n > 0º ÐÓÖ º ÇÒ ÑÓÒØÖ ψ n (m + 1) = ψ n 1 (ψ n (m)) > n 1 + ψ n (m) Ô Ö º¾º º µ ψ n (m). ψ n+1 (m) > ψ n (m), º¾º ºµ ÕÙ ÕÙ Ú ÙØ ψ n+k (m) ψ n (m) + k Ô Ö Ò ÙØ ÓÒ ÙÖ m Ø Ò ÙØ Ð ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÔÖ ÒØ º ÈÓÙÖ m = 0 ÓÒ ψ n+1 (m) = ψ n (1) > ψ n (0) = ψ n (m) Ö Ø Ñ ÒØ Ö º¾º º µº ÈÓÙÖ m > 0 ÓÒ ψ n+1 (m) = ψ n (ψ n+1 (m 1)) = ψ n (x) ÔÓÙÖ x = ψ n+1 (m 1) º¹¹ º ÔÓÙÖ x > n + m Ô Ö º¾º º µº ÇÒ Ù Ø ψ n (x) > ψ n (m) Ô Ö º¾º º µº Ò ÓÒ Ò ψ n+1 (m) > ψ n (m)º º ÇÒ ÑÓÒØÖ ψk m(n) ψ k+1(n+m) Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò ÙÖ mº Ä m = 0 ³ ÜÔÖ Ñ n ψ k+1 (n) Ø Ù Ø Ù Ø ÕÙ ψ k+1 (n) ψ 1 (n) = n + 2º ÑÓÒØÖÓÒ Ð Ô Ð Ö ÙÖÖ Ò º ψ m+1 k (n) ψ k (ψ k+1 (n+m)) = ψ k+1 (n+m+1) Ô Ö ÝÔÓØ Ö ÙÖÖ Ò Ø Ô Ö ÖÓ Ò ψ k º Ä ÑÑ º¾º ÈÓÙÖ ØÓÙ k, m, n ψ k (ψ m (n)) ψ 2+max(k,m) (n)º ÇÒ ³ ÔÔÙ ÙÖ Ð Ð ÑÑ º¾º º ËÓ Ø M = max(k, m)º ψ k (ψ m (n)) < ψ M (ψ M+1 (n)) Ô Ö Ð ÑÓÒÓØÓÒ ψ = ψ M+1 (n + 1) = ψ M+1 (ψ 1 (n 1)) n > 0 ψ M+1 (ψ M+2 (n 1)) ÒÓÖ Ô Ö ÑÓÒÓØÓÒ = ψ M+2 (n). ³ ÙØÖ Ô ÖØ n = 0 ÐÓÖ ψ M+1 (n + 1) = ψ M+2 (0) Ø ÓÒ ÒÓÖ Ð³ Ò Ð Ø º ¾¾

24 ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º¾º ÈÓÙÖ ØÓÙØ ÓÒØ ÓÒ Ö ÙÖ Ú ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ö ÙÑ ÒØ ξ Ð Ü Ø ÙÒ ÓÒØ ÓÒ Ð Ö Ö ÖÞ ÓÖÞÝ ψ n Ø ÐÐ ÕÙ m ξ(m) ψ n (m) ÇÒ ÔÖÓÙÚ Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò ÙÖ Ð ÒÓÑ Ö ³ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÙØ Ð Ò Ð ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ ÓÒ¹ Ø ÓÒ ÔÖ Ñ Ø Ú Ö ÙÖ Ú ÕÙ φ Ø ÔÖ Ñ Ø Ú Ö ÙÖ Ú ÐÓÖ Ð Ü Ø ÙÒ k φ Ø Ð ÕÙ φ( n) ψ kφ (max n)º ³ Ø ÚÖ ÔÓÙÖ Ð ÓÒØ ÓÒ Ò Ø Ð P i k ( n) ψ 0(max n) S(n) ψ 0 (n) Z(n) ψ 0 (n)º Ë φ Ø Ó Ø ÒÙ Ô Ö ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ξ, φ 1,...,φ m Ð Ù Ø Ó Ö k φ = 2 + max(k ξ, k φ1,...,k φn ), Ò ÙØ Ð ÒØ Ð Ð ÑÑ º¾º º Ë φ Ø Ó Ø ÒÙ Ô Ö Ö ÙÖ ÓÒ ÔÖ Ñ Ø Ú { ξ( n) m = 0 φ(m, n) = ψ(φ(m 1, n), m 1, n) m > 0 ÇÒ ÑÓÒØÖ Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò ÙÖ m ÕÙ φ(m, n) ψ m k ψ (ψ kξ (max( n)))º Ë m = 0 ÐÓÖ φ(0, n) = ξ( n) ψ kξ (max( n)) Ô Ö ÝÔÓØ Ö ÙÖÖ Ò º Ë m > 0 Ô Ö ÝÔÓØ Ö ÙÖÖ Ò φ(m 1, n) ψ m 1 k ψ (ψ kξ (max( n))). È Ö ÖÓ Ò ψ kψ Ø ÓÑÑ ψ m k ψ (n) n + m ÓÒ Ù φ(m, n) ψ kψ (max(ψ m 1 k ψ (ψ kξ (max( n))), m 1, n)) ψ kψ (ψ m 1 k ψ (ψ kξ (max( n)))) º¾º È Ö ÐÐ ÙÖ ψ m k (n) ψ k+1(n + m) Ð ÑÑ º¾º µ ÓÒ φ(m, n) ψ 1+kψ (m + ψ kξ (max( n))) ψ 1+kψ (2ψ kξ (max(m, n))) ψ 1+kψ (ψ 2 (ψ kξ (max(m, n)))) ψ max(1+kψ,max(2,k ξ )+2)+2(max(m, n)) Ä ÓÒØ ÓÒ ³ ÖÑ ÒÒ Ä ÓÒØ ÓÒ ³ ÖÑ ÒÒ ÙÜ Ö ÙÑ ÒØ Ø Ð ÓÒØ ÓÒ A(n, m) = ψ n (m)º Ä ÓÒØ ÓÒ ³ ÖÑ ÒÒ ÙÒ Ö ÙÑ ÒØ Ø Ð ÓÒØ ÓÒ A(n) = ψ n (n)º Ì ÓÖ Ñ º¾º Ä ÓÒØ ÓÒ ³ ÖÑ ÒÒ ÙÒ Ø ÙÜ Ö ÙÑ ÒØ Ò ÓÒØ Ô Ö ÙÖ Ú ÔÖ Ñ Ø Ú º Ë Ð ÓÒØ ÓÒ ÙÜ Ö ÙÑ ÒØ Ø Ö ÙÖ Ú ÔÖ Ñ Ø Ú ÐÓÖ Ð ÓÒØ ÓÒ ÙÒ Ö ÙÑ ÒØ Ø ÔÖ Ñ Ø Ú Ö ÙÖ Ú º Ë Ð ÓÒØ ÓÒ ÙÒ Ö ÙÑ ÒØ Ø ÔÖ Ñ Ø Ú Ö ÙÖ Ú ÐÓÖ ³ ÔÖ Ð ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ º¾º Ð Ü Ø Ö Ø ÙÒ ÒØ Ö k Ø Ð ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ n A(n, n) ψ k (n)º Å Ò Ó ÒØ n = k + 1 ÓÒ Ó Ø ÒØ ψ k+1 (k + 1) ψ k (k + 1) ÕÙ ÓÒØÖ Ø Ð ÔÖÓÔÖ Ø ÑÓÒÓØÓÒ ÓÒØ ÓÒ ψ m ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ º¾º µº ¾

25 º ÓÒØ ÓÒ Ö ÙÖ Ú Ô ÖØ ÐÐ ØÓØ Ð µ ÍÒ Ò Ñ Ð ÓÒØ ÓÒ F Ø ÖÑ Ô Ö Ñ Ò Ñ Ø ÓÒ Ö Ôº ÖÑ Ô Ö Ñ Ò Ñ Ø ÓÒ ØÓØ Ð µ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÓÒØ ÓÒ Ö Ôº ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÔÔÐ Ø ÓÒ ξ F Ø ÐÐ ÕÙ n m ξ( n, m) = 0 k < m ξ( n, k)µ Ð ÓÒØ ÓÒ φ Ò Ô Ö φ( n) = min{m (ξ( n, m) = 0) k < m ξ( n, k) } Ø Ò F º Ä ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ÓÒØ ÓÒ ØÓØ Ð Ø Ø Ò Ù ÙÜ ÓÒØ ÓÒ Ô ÖØ ÐÐ Ð ÓÑÔÓ Ò³ Ø Ò ÕÙ ÐÓÖ ÕÙ Ð ÓÒØ ÓÒ ÓÑÔÓ ÒØ Ð ÓÒغ Ñ Ñ Ð Ö ÙÖ ÓÒ ÔÖ Ñ Ø Ú ÔÔÐ ÕÙ ÓÒØ ÓÒ Ô ÖØ ÐÐ φ = ÈÖ Ñ(ξ, ψ) Ø Ò Ò (m, n) m = 0 Ø ξ( n) ÓÙ Ò m > 0 φ(m 1, n) Ø ψ(φ(m 1, n), m 1, n) º Ò Ø ÓÒ º º½ ij Ò Ñ Ð ÓÒØ ÓÒ Ö ÙÖ Ú Ô ÖØ ÐÐ Ö Ôº ØÓØ Ð µ Ø Ð ÔÐÙ Ô Ø Ø Ò Ñ Ð ÓÒØ ÓÒ ÕÙ ÓÒØ ÒØ Ð ÓÒØ ÓÒ Ò Ø Ð Ø ÕÙ Ø ÖÑ Ô Ö ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ö ÙÖ ÓÒ ÔÖ Ñ Ø Ú Ø Ñ Ò Ñ Ø ÓÒ Ö Ôº ØÓØ Ð µº ÆÓÙ ÖÑÓÒ ÕÙ Ð ÑÓ Ð ÓÒØ ÓÒ Ö ÙÖ Ú Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ Ù ÑÓ Ð Ñ Ò ÌÙÖ Ò º ÈÐÙ ÔÖ Ñ ÒØ Ì ÓÖ Ñ º º½ Ä ÓÒØ ÓÒ Ö Ôº ÔÔÐ Ø ÓÒ µ ÐÙÐ Ô Ö Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ LWHILE ÓÒØ Ü Ø Ñ ÒØ Ð ÓÒØ ÓÒ Ö ÙÖ Ú Ô ÖØ ÐÐ Ö Ôº ØÓØ Ð µº ÆÓÙ Ð ÓÒ Ð Ó Ò Ù Ð Ø ÙÖ ÑÓÒØÖ Ö ÓÑÑ ÒØ ÙÒ ÓÒØ ÓÒ Ö Ôº ÙÒ ÔÔÐ Ø ÓÒµ Ö ÙÖ Ú Ô ÙØ ØÖ ÐÙÐ Ô Ö ÙÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ù Ð Ò LWHILE Ö Ôº ÕÙ Ø ÖÑ Ò µ Ø ÒÓÙ ÒÓÙ ÓÒ ÒØÖÓÒ ÙÖ Ð Ö ÔÖÓÕÙ º ³ ÔÖ ÒÓ Ö ÙÐØ Ø ÙÖ Ð Ó Ð ÒÓÙ Ù Ø ÑÓÒØÖ Ö ÓÑÑ ÒØ ÑÙÐ Ö Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Ù Ú ÒØ while f(x) 0 do x := g(x) endwhile return x Ó f Ø g ÓÒØ ÓÒØ ÓÒ Ö ÙÖ Ú Ø f Ø Ú Ð ÙÖ Ò {0, 1}º ÆÓÙ Ò ÓÒ h(x, n) = if x = 0 then x else g(h(x, n 1)) ØØ ÓÒØ ÓÒ ÐÙРг Ø n ØÓÙÖ ÓÙÐ º ÈÙ ÒÓÙ Ò ÓÒ tour(x, n) = min({n f(h(x, n)) = 0 n < n f(h(x, n)) }) ØØ ÓÒØ ÓÒ Ö ÒÚÓ ³ Ð Ü Ø Ð ØÓÙÖ ÓÖØ µº Ä ÓÒØ ÓÒ Ö Ö Ø ÐÓÖ h(x, tour(x))º ÁÐ Ø ÑÑ Ø ÕÙ Ð Ñ Ò Ñ Ø ÓÒ Ø ØÓØ Ð Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ ÓÒØ Ò ÒØ Ð ÓÙÐ while Ø ÖÑ Ò ÔÓÙÖ ØÓÙØ Ð Ú Ð ÙÖ xº Ì ÓÖ Ñ º º¾ Ä ÓÒØ ÓÒ ³ ÖÑ ÒÒ Ø Ö ÙÖ Ú ØÓØ Ð º ÆÓÙ Ö ÚÓÒ ÙÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ LWHILE ÕÙ ÐÙÐ A(m, n)º while π 1 2(σ) < 2m + 1 π(2m + 1, σ) n do σ := w(1, π(1, σ) + 1, σ) σ := w(2, π(1, σ) + 1, σ) for x from 2 to m + 1 do ¾

26 if π2 1 (σ) = 2(x 1) π(2x 3, σ) = 1 then σ := conc(0, σ) σ := conc(π(2x 2, σ), σ) elseif π2(σ) 1 2x π(2x 3, σ) = π(2x, σ) then σ := w(2x 1, π(2x 1, σ) + 1, σ) σ := w(2x, π(2x 2, σ), σ) endif endf or endwhile return π(2m + 2, σ) ÔÖÓ Ö ÑÑ Ñ ÒØ ÒØ Ò σ ÙÒ Ù Ø 2k Ú Ð ÙÖ v 1,...,v 2k Ú 1 k m + 1 ÕÙ Ú Ö ÒØ Ð ÖØ ÓÒ Ù Ú ÒØ Ù ÙØ ÕÙ ØÓÙÖ ÓÙÐ µ ÈÓÙÖ ØÓÙØ i k v 2i = A(i 1, v 2i 1 )º ÙØÖ Ñ ÒØ Ø Ð Ù Ø Ú Ð ÙÖ Ô ÙØ ØÖ Ö Ø v 1, A(0, v 1 ), v 3, A(1, v 3 ),...,v 2i 1, A(i 1, 2i 1)º ÈÓÙÖ ØÓÙØ i < k v 2i 1 < v 2i+2 º ÙØÖ Ñ ÒØ Ø Ð Ú Ð ÙÖ ÓÙÖ ÒØ v 2i 1 Ø ØÖ Ø Ñ ÒØ Ò Ö ÙÖ A(i, v 2i+1 )º Ë k < m + 1 ÐÓÖ v 2k+1 = 0º ÙØÖ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ò³ Ô ÒÓÖ Ð ÑÓÝ Ò ÐÙÐ Ö A(k, 0)º ÁÒ Ø Ð Ñ ÒØ Ð Ù Ø Ú Ð ÙÖ Ø Ð 0, 1 = A(0, 0)º ÕÙ ØÓÙÖ ÓÙÐ Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ ÐÙÐ Ð Ô Ö Ù Ú ÒØ x, A(0, x) Ø Ð Ú Ð ÙÖ x ÓÖÖ ÔÓÒ Ð Ú Ð ÙÖ A(1, y) ØÓ Ò Ð Ô Ö Ù Ú ÒØ y, A(1, y) Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Ð ÑÓÝ Ò ÐÙÐ Ö Ð Ô Ö y + 1, A(1, y + 1) = A(0, A(1, y))º ij ÜØ Ò ÓÒ Ð Ù Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ù Ó v 2k 1 = 1 ÕÙ Ô ÖÑ Ø ÐÙÐ Ö Ð Ô Ö 0, A(k, 0) = v 2k = A(k 1, 1)º ËÙÔÔÓ ÓÒ ÕÙ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò Ø ÖÑ Ò Ô º ÐÓÖ ÓÒ ÑÓÒØÖ Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò ÙÖ i ÕÙ Ð Ú Ð ÙÖ v 2i+1 ÖÓ ÒØ ØÖ Ø Ñ ÒØ Ô Ö Ô 1 Ú ÒØÖ ÕÙ ÒÖ Ñ ÒØ ØÓÙÖ Ó Ð Ú Ð ÙÖ Ø Ø Ø ÓÒÒ Ö µ Ò Ñ ÖÖ ÒØ 0º È Ö ÓÒ ÕÙ ÒØ v 2m+1 Ó Ø ØØ Ò Ö nº ÕÙ ÓÒØÖ Ø Ð ÒÓÒ Ø ÖÑ Ò ÓÒº Ì ÓÖ Ñ º º ÃÐ Ò µ ÌÓÙØ ÓÒØ ÓÒ Ö ÙÖ Ú Ô ÖØ ÐÐ ³Ó Ø ÒØ Ð³ ³ÙÒ ÙÐ Ñ ¹ Ò Ñ Ø ÓÒ ³ÙÒ ÓÒØ ÓÒ ÔÖ Ñ Ø Ú Ö ÙÖ Ú º ËÓ Ø f ÙÒ ÓÒØ ÓÒ Ö ÙÖ Ú Ô ÖØ ÐÐ f Ø ÐÙÐ Ô Ö ÙÒ Ñ Ò ÌÙÖ Ò ÓÒ Mº г ÒÓØÖ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ ÔÖ Ñ Ø Ú Ö ÙÖ Ú ÕÙ Ò ÓÒ Ô ÙØ Ó Ö Ô Ö ÙÒ ÒØ Ö ÙÒ Ü ÙØ ÓÒ Mº È Ö Ü ÑÔÐ ÓÒ Ô ÙØ Ó Ö conf 1, conf 2,...,conf n Ú conf i ÙÒ ÒØ Ö Ó ÒØ ÙÒ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ô Ö c($), c(a 1 ),...,c(a i 1 ), c(q), c(a i ),...,c(a m ) º Á c Ó ÕÙ Ö Ø Ö Ø Ø Ø ÙÒ ÒØ Ö Ø Òغ ÁÐ Ø Ð ³ Ö Ö ÙÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ LFOR ÕÙ Ø Ø ÙÒ ÒØ Ö Ó ÙÒ Ü ÙØ ÓÒ ÓÒØ Ð ÖÒ Ö Ø Ø Ø Ø ÖÑ Ò Ðº Ä ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö Ö Ø ÙÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ LWHILE ÓÑÔÓÖØ ÒØ ÙÒ ÓÙÐ while ÜØ ÖÒ ÕÙ ÒÙÑ Ö Ð ÒØ Ö Ø Ü ÙØ Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ LFOR ÔÓÙÖ Ø Ø Ö Ð³ ÒØ Öº Ä ÓÒ Ø ÓÒ ³ ÖÖ Ø Ù ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÙÒ Ø Ø ÔÓ Ø º Ä ØÖ ÙØ ÓÒ Ð ÓÙÐ while ÚÙ ÔÐÙ ÙØ ÓÙÖÒ Ø Ð³ ÜÔÖ ÓÒ Ö Ö º ¾

27 Ô ØÖ Ð ÖÓÒØ Ö Ð Ð Ø º½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ä³Ó Ø ÖÒ Ö Ô ØÖ Ø ÑÓÒØÖ Ö ÙÜ Ü ÑÔÐ ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÙÒ Ò Ñ ÒØ ÔÔ Ö ÑÑ ÒØ Ñ Ò ÙÖ Ð³ ÒÓÒ ØÖ Ò ÓÖÑ Ð Ø ØÙØ Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ð Ò Ð Ø Ú Ú Ö µº ÆÓÙ ÚÓÒ Ó ÔÖ Ò Ö Ü ÑÔÐ Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÙÖ ÑÓ Ð Ø Ò ÒØ Ð ÙØÓÑ Ø Ø Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ÔÖÓ Ð Ñ ³ Ð Ø ÕÙ ÓÒØ ÑÔÓÖØ ÒØ Ð Ó ³ÙÒ ÔÓ ÒØ ÚÙ Ø ÓÖ ÕÙ Ñ Ù ÔÖ Ø ÕÙ º º¾ ÙØÓÑ Ø ÙÒ Ð ÍÒ ÙØÓÑ Ø ÙÒ Ð Ø ÙÒ ÙØÓÑ Ø ÓØ ³ÙÒ Ð ÓÒØ Ò ÒØ ÙÒ ÑÓØ wº Ä ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ð³ ÙØÓÑ Ø ÓÒ Ø ÒÚÓÝ Ö ÙÒ Ñ a ÙÖ Ð Ð º º ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ð ÑÓØ Ò wa ÓÙ Ö ÚÓ Ö ÙÒ Ñ a ÙÖ Ð Ð ÓÒ Ø ÓÒ ÕÙ a Ó Ø Ð ÔÖ Ñ Ö Ð ØØÖ Ù ÑÓØ º º ØÖ Ò ÓÖÑ Ö w = aw Ò w º ÇÒ ÒÓØ!a Ð ÔÖ Ñ Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ø?a Ð ÙÜ Ñ ÓÔ Ö Ø ÓÒº IO(Σ) Ò Ð³ Ò Ñ Ð ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÙÖ Ð³ ÐÔ Ø Σ IO(Σ) = { a {!,?} a Σ}º Ò Ø ÓÒ º¾º½ ÍÒ ÙØÓÑ Ø ÙÒ Ð A = (Σ, Q, q 0, F, ) Ú Σ ÙÒ ÐÔ Ø Ò Q ÙÒ Ò Ñ Ð Ò ³ Ø Ø ÒÐÙ ÒØ q 0 г Ø Ø Ò Ø Ð Ø F г Ò Ñ Ð Ø Ø Ø ÖÑ Ò Ùܺ X ÙÒ Ò Ñ Ð Ò ³ ÓÖÐÓ º Q IO(Σ) Q Ð Ö Ð Ø ÓÒ ØÖ Ò Ø ÓÒº ÇÒ ÒÓØ (q, io, q ) Ô Ö q io q ÍÒ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ³ÙÒ ÙØÓÑ Ø ÙÒ Ð Ø ÙÒ Ô Ö (q, w) Ú q Q Ø w Σ º Ò Ø ÓÒ º¾º¾ ÍÒ Ü ÙØ ÓÒ ³ÙÒ ÙØÓÑ Ø ÙÒ Ð Ø ÙÒ ÕÙ Ò (q 0, w 0 ) io 1 (q 1, w 1 )... io n (q n, w n ) Ú w 0 = ε Ð ÑÓØ Ú 1 i n q i 1 io i, q i Ø Ë io i =!a ÐÓÖ w i = aw i 1 Ë io i =?a ÐÓÖ w i 1 = aw i º ÇÒ Ò Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ð³ Ð Ø Ò ÙÒ ÙØÓÑ Ø ÙÒ Ð Ò º Ü Ø ¹Ø¹ Ð ÙÒ Ü ÙØ ÓÒ ÕÙ Ö ÒÓÒØÖ ÙÒ Ø Ø F Ì ÓÖ Ñ º¾º½ Ä ÔÖÓ Ð Ñ Ð³ Ð Ø Ò Ð ÙØÓÑ Ø ÙÒ Ð Ø Ò Ð º ÆÓÙ ÐÐÓÒ Ö Ù Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ð³ ÖÖ Ø ³ÙÒ Ñ Ò ÌÙÖ Ò M ÙÖ Ð ÑÓØ Ú ÔÖÓ Ð Ñ º ÈÓÙÖ Ð Ð³ ÙØÓÑ Ø Ó A ÑÙРг Ü ÙØ ÓÒ Ð Ñ Ò ÌÙÖ Ò Ò ¾

28 ij ÐÔ Ø A Ø Ð³ ÐÔ Ø M ÒÖ ³ÙÒ Ñ ÖÕÙ ÙÖ º Ä Ø Ø A ÒÓØ Q A µ ÓÒØ Ó Ø Ø Ø M ÒÓØ Q M µ Ó Ø Ø Ø ÒØ ÖÑ Ö ÒÓØ Q µº ÍÒ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ (q, w) Ø Ø ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÑÙÐ Ø ÓÒ q Q M Ø w Ö ÔÖ ÒØ ÙÒ Ø Ø M º º w = w 1 w 2 Ó Ð ÔÖ Ñ Ö Ñ ÖÕÙ Ð ÔÓ Ø ÓÒ Ð Ø Ø Ð ØÙÖ Ø Ð ÙÜ Ñ Ñ ÖÕÙ Ð Ò Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒµº Ä ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ (q, w) Ø ÐÐ ÕÙ q Q ÓÒØ ÔÔ Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÒØ ÖÑ Ö º ÍÒ Ü ÙØ ÓÒ A ÓÒ Ø Ò ÙÒ Ù Ø ÕÙ Ò ³ Ü ÙØ ÓÒ ÔÖ ³ÙÒ ÕÙ Ò Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÒØ Ö Ö ÙÖ Ð Ð $ B Ø ÔÓ Ø ÓÒÒ Ö ÙÖ Ð³ Ø Ø Ò Ø Ð Mº ÕÙ ÕÙ Ò ÓÒ Ù Ø ³ÙÒ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÑÙÐ Ø ÓÒ Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÑÙÐ Ø ÓÒ Ù Ú ÒØ Ú Ú Mµ ØÖ Ú Ö ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÒØ ÖÑ Ö º Ä ÑÙÐ Ø ÓÒ ³ÙÒ Ô M ÔÖÓ Ò ½º A Ñ ÒØ ÒØ Ò Ñ ÑÓ Ö q Ø Ð ØÖÓ ÖÒ Ö Ð ØØÖ ÐÙ w ÓÒ xyzº Ë y Ø Ö ÒØ ÐÓÖ A Ö Ø x Ø Ð Ø ÙÒ ÒÓÙÚ ÐÐ Ð ØØÖ t Ñ ÑÓÖ ÒØ yztº ¾º Ë y Ø Ð ÐÓÖ z Ø Ð Ð ØØÖ ÓÙ Ð Ø Ø Ð ØÙÖ º Ò ÓÒØ ÓÒ δ(q, z) = (q, $, d) A Ö Ø Ð Ö Ø Ö x y z ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ù ÒÓÙÚ Ð Ø Ø Ð Ò M Ú Ú ÒØÙ ÐÐ Ñ ÒØ ÓÙØ ³ÙÒ Ð Òµº º A Ö ÓÔ Ò Ù Ø Ð Ö Ø Ö Ù ÕÙ³ Ù ÙÜ Ñ ÕÙ ÔÖ Ô Ð³ Ø Ø q ÓÒ Ù Ø Ð ÒÓÙÚ ÐÐ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÑÙÐ Ø ÓÒº È Ö ÓÒ ÕÙ ÒØ A ØØ ÒØ ÔØ ÓÙ Ö Ø M ³ ÖÖ Ø º º ÙØÓÑ Ø ÙÒ Ð Ú Ô ÖØ ½ ÍÒ ÙØÓÑ Ø ÙÒ Ð Ú Ô ÖØ Ð Ñ Ñ ÝÒØ Ü Ø Ð Ñ Ñ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÕÙ³ÙÒ ÙØÓÑ Ø ÙÒ Ð º Ë ÙÐ Ð ÒÓØ ÓÒ ÕÙ Ò ³ Ü ÙØ ÓÒ Ö º Ò Ø ÓÒ º º½ ÍÒ Ü ÙØ ÓÒ ³ÙÒ ÙØÓÑ Ø ÙÒ Ð Ú Ô ÖØ Ø ÙÒ ÕÙ Ò (q 0, w 0 ) io 1 (q 1, w 1 )... io n (q n, w n ) Ú w 0 = ε Ð ÑÓØ Ú Ø 1 i n!a ËÓ Ø Ð Ü Ø q i 1 q i Ø w i = aw i 1?a ËÓ Ø Ð Ü Ø q i 1 q i Ø w i 1 = aw i º ËÓ Ø q i = q i 1 w i 1 = w 1 aw 2 Ø w i 1 = w 1 w 2 ÙØÖ Ñ ÒØ Ø Ð³ ÙØÓÑ Ø Ú Ô ÖØ Ô ÙØ Ô Ö Ö ÙÒ Ð ØØÖ ÕÙ ÐÓÒÕÙ Ù ÑÓØ Ð Ð º ÇÒ Ò Ø Ð Ö Ð Ø ÓÒ Ù Ú ÒØ ÒØÖ ÑÓØ w w ÒÓØ ÒØ w = a 1...a n Ð Ü Ø ÙÒ ¹ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ w w = w 0 a 1 w 1... w n 1 a n w n º ÙØÖ Ñ ÒØ Ø Ð ÑÓØ w ÔÐÓÒ Ò w º Ä ÑÑ º º½ À Ñ Òµ ËÓ Ø ÙÒ Ù Ø Ò Ò ÑÓØ (w 0, w 1,...)º ÐÓÖ Ð Ü Ø ÙÜ Ò i < j Ø Ð ÕÙ w i w j º ÓÒ ÖÓÒ Ð³ Ò Ñ Ð S Ù Ø Ò Ò ÕÙ Ò Ú Ö ÒØ Ô Ð ÔÖÓÔÖ Ø Ù Ð ÑÑ Ø ÙÔÔÓ ÓÒ ÕÙ S º ÇÒ Ö ÕÙ ÙÒ Ð Ñ ÒØ w = (w 0, w 1,...) S Ð ÓÒ Ù Ú ÒØ º ÇÒ Ó Ø ÔÓÙÖ w 0 ÙÒ ÑÓØ Ø ÐÐ Ñ Ò Ñ Ð Ô ÖÑ Ð ÔÖ Ñ Ö ÑÓØ Ð Ñ ÒØ Sº ÍÒ Ó Ó w 0, w 1,...,w i ÓÒ Ó Ø ÔÓÙÖ w i+1 ÙÒ ÑÓØ Ø ÐÐ Ñ Ò Ñ Ð Ô ÖÑ Ð w i+1 Ø Ð ÕÙ w 0, w 1,...,w i+1 ÓÒ Ø ØÙ ÙÒ ÔÖ Ü Ò ³ÙÒ Ð Ñ ÒØ Sº È Ö ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ ÙÒ Ø Ð Ó Ü Ø ØÓÙ ÓÙÖ ÔÓ Ð º ¾

29 È Ö ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ w Sº Ò Ð Ù Ø w = (w 0, w 1,...) ÙÒ Ð ØØÖ ÓÒ aµ ÔÔ Ö Ø Ò Ò ¹ Ñ ÒØ ÓÙÚ ÒØ Ò ÔÖ Ñ Ö ÔÓ Ø ÓÒ w i º ËÓ Ø w α(0), w α(1),... Ð ÓÙ ¹ Ù Ø ÜØÖ Ø Ú w α(i) = aw α(i) º ÆÓÙ Ð ÓÒ Ð Ó Ò Ù Ð Ø ÙÖ Ú Ö Ö ÕÙ w = w 0,..., w α(0) 1, w α(0), w α(1),... Ô¹ Ô ÖØ ÒØ Sº ³ ÙØÖ Ô ÖØ w α(0) < w α(0) ÓÒØÖ ÒØ Ð Ò Ø ÓÒ wº È Ö ÓÒ ÕÙ ÒØ S Ø Ú ÕÙ Ø Ð Ø Ð Ð ÑÑ º ÆÓÙ ÚÓÙÐÓÒ Ø Ð Ö Ð Ð Ø Ð³ Ð Ø ÔÓÙÖ Ð ÙØÓÑ Ø ÙÒ Ð Ú Ô ÖØ º ÆÓÙ Ø Ò ÓÒ Ð Ö Ð Ø ÓÒ ÙÖ Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ô Ö (q, w) (q w ) q = q Ø w w º Ñ Ò Ö Ú ÒØ Ð ÔÖÓÔÖ Ø Ù Ð ÑÑ À Ñ Ò Ø Ú Ö ÔÓÙÖ Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ó Ø ÙÒ Ù Ø Ò Ò ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ((q 0, w 0 ), (q 1, w 1 ),...)º ÐÓÖ Ð Ü Ø ÙÜ Ò i < j Ø Ð ÕÙ (q i, w i ) (q j, w j )º Ò Ø ÒØ ÕÙ³ Ù ÑÓ Ò ÙÒ Ø Ø ÔÔ Ö Ø Ò Ò Ñ ÒØ ÓÙÚ ÒØ Ð Ù Ø ÓÒ Ö Ö Ð Ù Ø ÜØÖ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ º ÈÓÙÖ ÚÓ Ö ÙÒ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ (q, w) Ø Ð ÔÙ ÙÒ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ (q, w ) ÒÓÙ ÐÐÓÒ ÓÒ ØÖÙ Ö ÙÒ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò BAcc(q, w) г Ò Ñ Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ô ÖØ Ö ÕÙ ÐÐ (q, w) Ø Ð º ØØ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ó Ø Ô ÖÑ ØØÖ Ø Ø Ö Ð³ ÔÔ ÖØ Ò Ò ³ÙÒ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ø Ò Ñ Ð º ÈÓÙÖ ÙÒ Ò Ñ Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ E ÒÓØÓÒ E г Ò Ñ Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÙÔ Ö ÙÖ ÓÙ Ð ÙÒ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Eº Ä Ò Ñ Ð ÐÓ ÙÔ Ö ÙÖ Ñ ÒØ ÓÒØ Ò Ô Ö Ð ÔÖÓÔÖ Ø E = E º Ê Ñ ÖÕÙÓÒ ÕÙ BAcc(q, w ) Ø ÐÓ ÙÔ Ö ÙÖ Ñ Òغ Ò Ø Ó Ø (q, w ) ÕÙ Ô ÖÑ Ø ³ ØØ Ò Ö (q, w) Ø Ó Ø (q, w ) Ú w w ÐÓÖ Ò Ô Ö ÒØ Ð Ñ Ò Ü w ÓÒ ØØ ÒØ Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ (q, w )º ÈÓÙÖ Ó Ø Ò Ö ÙÒ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò ³ÙÒ Ò Ñ Ð ÐÓ ÙÔ Ö ÙÖ Ñ ÒØ Ð Ù Ø ÔÖ Ò Ö Ð Ð Ñ ÒØ Ñ Ò Ñ ÙÜ Ø Ò Ñ Ð º Ò Ø ÔÙ ÕÙ³ Ð ÓÒØ ØÓÙ ÒÓÑÔ Ö Ð Ð Ò Ô ÙÚ ÒØ ØÖ Ò ÒÓÑ Ö Ò Ò Ö ÒÓÙÚ Ù Ð ÓÒØÖ Ö Ø Ð Ð ÑÑ À Ñ Òº ÔÔ ÐÓÒ Min(E) г Ò Ñ Ð Ð Ñ ÒØ Ñ Ò Ñ ÙÜ º ÈÙ ÕÙ Ø ÐÓ ÙÔ Ö ÙÖ Ñ ÒØ E = Min(E) ÕÙ ÑÓÒØÖ ÕÙ³ÙÒ Ò Ñ Ð ÐÓ ÙÔ Ö ÙÖ Ñ ÒØ Ø Ø ÖÑ Ò Ñ Ò Ö ÙÒ ÚÓÕÙ Ô Ö Ð Ñ ÒØ Ñ Ò Ñ Ùܺ ÔÐÙ Ð Ø Ø ³ ÔÔ ÖØ Ò Ò Ø Ø Ö Ð Ù Ø ÓÑÔ Ö Ö Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ú Ð Ð Ñ ÒØ Ñ Ò Ñ Ùܺ Ä Ð ÑÑ Ù Ú ÒØ Ø Ð Ð Ð Ð Ø Ð³ Ð Ø º Ä ÑÑ º º¾ ËÓ Ø {E n } n N ÙÒ Ù Ø ³ Ò Ñ Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÙÔ Ö ÙÖ Ñ ÒØ Ø ÖÓ ¹ ÒØ ØØ Ù Ø Ø Ð º Ò Ð ÓÒØÖ Ö ÕÙ Ó ÕÙ³ÙÒ Ò Ñ Ð Ò³ Ø Ô Ð Ù ÔÖ ÒØ Ò ÕÙ³ Ð Ý ÙÒ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ø Ò Ñ Ð ÕÙ Ò³ Ø ÙÔ Ö ÙÖ ÓÙ Ð ÙÙÒ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò Ñ Ð ÔÖ ÒØ º ÆÓÙ Ð Ø ÓÒÒÓÒ Ð³ÙÒ Ð Ñ ÒØ º Ò Ø Ö ÒØ Ð ÔÖÓ ÓÒ Ó Ø ÒØ ÙÒ Ù Ø Ò Ò ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÕÙ Ò ÓÒØ Ô ÙÔ Ö ÙÖ ÓÙ Ð ÙÜ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÔÖ ÒØ Ð Ù Ø º Å ÓÒØÖ Ø Ð Ð ÑÑ À Ñ Òº Ì ÓÖ Ñ º º Ä ÔÖÓ Ð Ñ Ð³ Ð Ø (q, w) Ô ÖØ Ö (q 0, w 0 ) Ò Ð ÙØÓÑ Ø ÙÒ Ð Ú Ô ÖØ Ø Ð º Ê Ñ ÖÕÙÓÒ ÕÙ BAcc(q, w) = n N BAcc n(q, w) Ú BAcc n (q, w) г Ò Ñ Ð ÓÒ ÙÖ ¹ Ø ÓÒ Ô ÖØ Ö ÕÙ ÐÐ (q, w) Ø Ð Ò Ù ÔÐÙ n Ô º Ò Ö BAcc 0 (q, w) = {(q, w)}º ÆÓÙ ÖÓÒ Ó Ø Ò Ö Bacc(q, w) Ò ÐÙÐ ÒØ Ô Ö Ø Ö Ø ÓÒ Ù Ú Min(E n ) ÔÓÙÖ Ò¹ Ñ Ð E n ÖÓ ÒØ Ø Ð ÕÙ Bacc n (q, w) E n Bacc(q, w) Ø E 0 = BAcc 0 (q, w)º ËÙÔÔÓ ÓÒ ÕÙ ÒÓÙ ÝÓÒ ÐÙÐ Min(E n )º ÈÓÙÖ ØØ Ò Ö Ò ÙÒ Ô Ô ÖØ Ö ³ÙÒ (q, w ) / E n ÙÒ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ (q, w ) ÙÔ Ö ÙÖ ÓÙ Ð ÙÒ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ (q, w min ) Min(E n ) Ð ÙØ ¾