Devoir maison sur les suites - Exemples d application

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1 9- HKBL suites récurrentes u n+ = f(u n ) / 9 Devoir maison sur les suites - Eemples d application Voici la liste des eercices corrigés : Eercice : (niveau ) Étudier la suite (u n ) définie par u R et par la relation de récurrence u n+ = (u n ) Eercice : (niveau ) Étudier la suite (u n ) définie par Eercice : (niveau ) { u u n+ = ln(+u n ) Étudier la suite (u n ) définie par u > et par la relation de récurrence u n+ = Eercice : (niveau ) +u n Étudier la suite (u n ) définie par u = et par la relation de récurrence u n+ = u n + u n + Eercice : (niveau 7) Étudier la suite (u n ) définie par u R et par la relation de récurrence u n+ = u n ( u n ) Remarque : pour cet eercice, il est nécessaire d avoir une calculatrice ou un ordinateur pour visualiser la suite et des courbes et émettre de bonnes conjectures Voici la liste des eercices facultatifs : Eercice 6 : (niveau ) Étudier la suite (u n ) définie par u = et par la relation de récurrence u n+ = u n u n + Eercice 7 : (niveau ) Étudier la suite (u n ) définie par u R et par la relation de récurrence u n+ = eun + Eercice 8 : (niveau ) Étudier la suite (u n ) définie par u R et par la relation de récurrence u n+ = + u n Eercice 9 : (niveau ) Étudier la suite (u n ) définie par u = et par la relation de récurrence u n+ = u n + u n Eercice : (niveau ) Étudier la suite (u n ) définie par u > et par la relation de récurrence u n+ = +ln(u n )

2 9- HKBL suites récurrentes u n+ = f(u n ) / 9 Eercice : Étudier la suite (u n ) définie par u R et par la relation de récurrence u n+ = (u n ) Soit f la fonction définie sur R par la relation f() = f est dérivable en tant que fonction polnomiale Et f () = Par conséquent, on a le tableau de variations suivant : signe de f () + Recherche des points fies de f : f() = = = () = Les solutions de l équation f() = sont = et = Si jamais la suite (u n ) converge, sa limite l est un point fie de f puisque f est continue Donc il a deu limites éventuelles : l = ou l = On a f() = et f() = ; connaissant les et les limites au bornes, on peut conclure que les intervalles [;] et ];[ sont stables par f On a f() = donc connaissant les et les limites au bornes, on peut conclure que l image de l intervalle [;] est l intervalle [;] Et l image de l intervalle ];] est l intervalle [;[ Position de la courbe de f par rapport à la première bissectrice : On a f() () ou Si u [;], intervalle stable par f, on a alors pour tout n N, u n [;] On a de plus f() pour tout [;] Par conséquent, la suite récurrente (u n ) est décroissante Il a alors deu sous-cas : - Si u =, point fie de f, la suite (u n ) est constante - Si u [;[, (u n ) est décroissante et minorée par (puisque pour tout n N, u n [;]) Donc elle converge vers une limite l Sa limite l est un point fie de f puisque f est continue Et puisque pour tout n on a l u n u <, la limite l = est à eclure Par conséquent l = Si u ];[, intervalle stable par f, on a alors pour tout n N, u n ];[ On a de plus f() pour tout ];[ Par conséquent, la suite (u n ) est croissante La suite (u n ) est croissante Soit elle est majorée et elle converge vers un point fie de f (car f est continue) Soit elle est non majorée, et elle tend vers (suite croissante non majorée) En supposant (u n ) majorée, on aurait (u n ) croissante et majorée; donc convergente Elle convergerait vers un point fie de f car f est continue Cela entraînerait qu il eiste un point fie l vérifiant < u l Et donc < l Or les deu seuls points fies de f sont et Contradiction Donc (u n ) est non majorée C est une suite croissante non majorée Elle tend donc vers Si u ] ;[ alors u ];[ intervalle stable, et d après ce qui précède, on peut affirmer que la suite est décroissante à partir de u et converge vers Si u = alors u =, point fie, et d après ce qui précède, on peut affirmer que la suite est stationnaire Si u ];[ alors u ];[ intervalle stable, et d après ce qui précède, on peut affirmer que la suite est croissante à partir de u et tend vers

3 9- HKBL suites récurrentes u n+ = f(u n ) / 9 { u Eercice : Étudier la suite (u n ) définie par u n+ = ln(+u n ) Soit f la fonction définie sur [;[ par la relation f() = ln(+) f est définie et dérivable sur [;[ en tant que composée d une fonction polnomiale par la fonction ln Et f () = Par conséquent, on a le tableau de variations suivant : + signe de f () + Recherche des points fies de f : f() = ln(+) = ln(+) = Équation que l on ne sait pas résoudre de façon eacte On introduit donc la fonction g définie par g() = f() = ln(+) g est définie et dérivable sur [;[ avec g () = f () = + = + On a g () < pour tout ];[ La fonction g est donc strictement décroissante sur [;[, et puisque g() =, on a comme seul point fie de f L unique solution de l équation f() = est = Si jamais la suite (u n ) converge, sa limite l est un point fie de f puisque f est continue Donc il n a qu une seule limite éventuelle : l = On af() = etf est croissante sur[;[ ; connaissant les limites au bornes, on peut conclure que l intervalle [;[ est stable par f Position de la courbe de f par rapport à la première bissectrice : On a f() g() = f() On a vu que g () < pour tout ];[ donc la fonction g est donc décroissante sur [;[, et puisque g() =, on a g() pour tout [;[ La courbe de f est toujours située en dessous de la première bissectrice Si u [;[, intervalle stable par f, on a alors pour tout n N, u n [;[ On a vu que pour tout [;[ on a f() = ln(+) Par conséquent, la suite (u n ) est décroissante Ainsi, la suite (u n ) est décroissante et minorée par (puisque pour tout n N, u n [;[) Donc elle converge vers une limite l Sa limite l est un point fie de f puisque f est continue Puisqu il n a qu un seul point fie : =, c est que l = Dans tous les cas, la suite (u n ) est donc décroissante et converge vers Avec le cas particulier u = auquel cas la suite est constante

4 9- HKBL suites récurrentes u n+ = f(u n ) / 9 Eercice : Étudier la suite (u n ) définie par u > et par la relation de récurrence u n+ = Soit f la fonction définie sur ];[ par la relation f() = + f est dérivable en tant que fraction rationnelle qui ne s annule pas sur l intervalle ];[ Etf () = Par conséquent, on a le tableau de variations suivant : +u n (+) signe de f () Recherche des points fies de f : Sur ];[, f() = + = + = = + car > + Il a une unique solution à l équation f() =, c est = + Si jamais la suite (u n ) converge, sa limite l est un point fie de f puisque f est continue Donc il a une seule limite possible : l = + Au vu des, on peut affirmer que si u > alors u ];[ et que u ];] Et l intervalle [;] est stable par f L intervalle [;] est stable par f donc la suite (u n ) définie par u ];[ et u n+ = f(u n ) est donc définie et à valeurs dans l intervalle [;], au moins à partir de u On supposera par commodité que c est u qui appartient à [;] De plus, f est décroissante sur l intervalle [;] donc la suite des termes d indice pair (v n ) = (u n ) et la suite des termes d indice impair (w n ) = (u n+ ) sont monotones, de monotonie contraire ([ Étude de g [) = f f ] f ; + + ] (] + ; et f ]) [ [ ; ; + [ [ ] Donc l intervalle ; + + est stable par g = f f ; de même l intervalle ] ; est stable par g Sur [;], on a g() = + = + + et g() = + [ ] De sorte que g() ssi ; Si u = +, point fie de f alors la suite est constante [ [ ] Si u ; + +, alors u ] ; [ [ La suite (v n ) = (u n ) est définie par v = u ; + et v n+ = g(v n ), avec g croissante sur l intervalle [ [ stable ; + De plus g() sur cet intervalle Par conséquent la suite (v n ) est monotone croissante ] + La suite (w n ) = (u n+ ) est définie par w = u ] ; et w n+ = g(w n ), avec g croissante sur l intervalle ] + stable ] ; De plus g() sur cet intervalle Par conséquent la suite (w n ) est monotone décroissante La suite (v n ) est croissante majorée par + donc elle converge vers une limite l + La suite (w n ) est décroissante minorée par + donc elle converge vers une limite l +

5 9- HKBL suites récurrentes u n+ = f(u n ) / 9 Par continuité de g, l et l dont deu points fies de g D après ce qui précède, g() = + = et donc sur [;] il n a qu une solution : = + Par conséquent, il n a qu un seul point fie pour g, et donc l = l = + En résumé si (u n ) est à valeur dans [;] au moins à partir de u et (u n ) converge vers + Remarque : il eiste une autre façon de conclure en utilisant l inégalité des accroissements finis, mais nous n avons pas encore abordé ce théorème

6 9- HKBL suites récurrentes u n+ = f(u n ) 6/ 9 Eercice : Étudier la suite (u n ) définie par u = et par la relation de récurrence u n+ = u n + u n + Soit f la fonction définie sur ];[ ];[ par la relation f() = + + f est dérivable en tant que fraction rationnelle qui ne s annule pas sur l ensemble ] ;[ ] ;[ Et f () = Par conséquent, on a le tableau de variations suivant : (+) signe de f () + Recherche des points fies de f : Sur ];[ ];[, f() = + + = ++ = = ou = + + Il a donc deu solutions à l équation f() = : = ou = + Si jamais la suite (u n ) converge, sa limite l est un point fie de f puisque f est continue Donc il n a que deu limites possibles : l = ou l = + Au vu des, on peut affirmer que l intervalle [ ;+ ] est stable par f ; l intervalle [ [ + ; est lui aussi stable par f Si u =, point fie de f alors la suite est constante Si u = +, point fie de f alors la suite est constante Si u ] ;+ [ intervalle stable par f alors pour tout n N on a u n [ ;+ ] Et puisque f est croissante sur l intervalle [ ;+ ] et vérifie f() pour tout [ ;+ ], la suite (u n ) est croissante La suite est croissante et majorée par + Elle est donc convergente vers un point fie l de f, car f est continue Et puisque pour tout n N on a < u u n l +, on ne peut avoir l = Par conséquent, la limite de (u n ) est forcément + Si u ] + ; [ intervalle stable par f alors pour tout n N on a u n ] + ; [ Et puisque f est croissante sur l intervalle ] + ; [ et vérifie f() pour tout ] + ; [, la suite (u n ) est décroissante La suite est décroissante et minorée par + Elle est donc convergente vers un point fie l de f, car f est continue, et l + Au vu des points fies de f, on ne peut qu avoir l = + Par conséquent, la limite de (u n ) est forcément + L image de l intervalle ];[ est l intervalle ];[ donc si u ];[ alors u ];[ Et puisque + <, on a donc u ] + ; [ D après ce qui précède la suite (u n ) est décroissante à partir du rang et converge vers + Si u ] ; [ alors on suppose dans un premier temps que u est tel que la suite (u n ) eiste (en fait si u = / alors u = et la suite n est pas définie en "entier"); on suppose donc que pour tout n N on a u n = (on reporte à la fin de la question ce problème et la discussion correspondante) Montrons par l absurde qu il eiste un entier N tel qu u N < Si on suppose qu il n eiste aucun entier N tel que u N alors cela équivaut à supposer que pour tout entier n N on a u n ] ; [ Mais alors puisque f est croissante sur ] ; [, et vérifie f(), on démontre par récurrence que pour tout entier n N on a u n+ u n La suite est donc décroissante Mais alors

7 9- HKBL suites récurrentes u n+ = f(u n ) 7/ 9 elle converge vers un point fie l de f, car f est continue, et l u < Au vu des calculs de points fies effectués précédemment, ceci est contradictoire Ainsi, il eiste un entier N tel que u N < Et on a alors u N+ ];[ et donc u N+ ];[ Et d après ce qui précède la suite (u n ) est décroissante à partir du rang N + et converge vers + Remarque : Pour savoir quelles valeurs ne permettraient pas de définir proprement la suite (u n ), il faut savoir s il eiste un entier N tel que u N = On cherche donc la suite des antécédents de : d après le graphe, on voit qu il faut retirer une infinité de valeurs de u comprises dans l intervalle ]; [ Plus précisément, on a f() = ssi = Il faut donc retirer de l ensemble des valeurs de u toutes les valeurs de la suite ( n ) définie par = et n+ = n n En résumé, en supposant que la suite (u n ) est bien définie, la suite (u n ) converge vers + sauf si u = auquel cas la suite est constante

8 9- HKBL suites récurrentes u n+ = f(u n ) 8/ 9 Eercice : Étudier la suite (u n ) définie par u R et par la relation de récurrence u n+ = u n( u n ) Soit f la fonction définie sur R par la relation f() = ( ) = + f est définie et dérivable sur R en tant que fonction polnomiale Et f () = = ( ) Par conséquent, on a le tableau de variations suivant : signe de f () + 9 Recherche des points fies de f : f() = + = ( +) = Le discriminant du polnôme + est strictement négatif donc l équation + = n a pas de solution réelle On a donc comme seul point fie de f L unique solution de l équation f() = est = Si jamais la suite (u n ) converge, sa limite l est un point fie de f puisque f est continue Donc il n a qu une limite éventuelle : l = On a f( ) = 9, connaissant les, on peut conclure que l intervalle [ ; ] est stable par f Les autres intervalles où f est monotone n ont pas la propriété de stabilité Position de la courbe de f par rapport à la première bissectrice : On a f() sur l intervalle [ ; ] La courbe de f est située toujours en dessous de la première bissectrice sur l intervalle [ ; ] Si u [ ; ], intervalle stable par f, on a alors pour tout n N, un [ ; ] Et on a vu que pour tout [ ; ] on a f() Par conséquent, la suite (un ) est décroissante Par conséquent, la suite (u n ) est décroissante et minorée par (puisque pour tout n N, u n [ ; ] ) Donc elle converge vers une limite l Sa limite l est un point fie de f puisque f est continue Puisqu il n a qu un seul point fie : =, c est que l = Dans le cas où u [ ; ], la suite (un ) est donc décroissante et converge vers Avec le cas particulier u = auquel cas la suite est constante Il reste cependant à étudier le cas où u [ ; ] Puisque f ne laisse pas d intervalles smpathiques stables, on va étudier g = f f g() = 7 () ( + ) ; g est dérivable et g () = 7 ()( )(9 9 +) De sorte que l on a le tableau de variations suivant : variations de g α g(α) g( ) g() = Une étude de g montre que g admet trois points fies : = ; = λ,7797 et = λ,689 Et on a la propriété suivante : [;] est stable par g [λ ;[ est stable par g ];λ ] est stable par g

9 9- HKBL suites récurrentes u n+ = f(u n ) 9/ 9 On a de plus f(λ ) = λ et f(λ ) = λ de telle sorte que l image de l intervalle ];λ [ est l intervalle ]λ ;[ Par conséquent, si u = λ ou si u = λ, alors la suite est périodique de période Si u ];λ [, intervalle stable par g et sur lequel g est croissante et en dessous de la première bissectrice, alors la suite des termes pairs (v n ) = (u n ) est décroissante Ou bien elle est minorée et alors converge vers une limite l u < λ Contradiction La suite (v n ) est donc non minorée, et étant décroissante, elle tend vers On a alors u = f(u ) ]λ ;[, intervalle stable par g et sur lequel g est croissante et au dessus de la première bissectrice, alors la suite des termes impairs (w n ) = (u n+ ) est croissante Ou bien elle est majorée et alors converge vers une limite l u > λ Contradiction La suite (w n ) est donc non majorée, et étant croissante, elle tend vers Si u ]λ ;[, intervalle stable par g et sur lequel g est croissante et au dessus de la première bissectrice, alors la suite des termes pairs (v n ) = (u n ) est croissante Ou bien elle est majorée et alors converge vers une limite l u > λ Contradiction La suite (v n ) est donc non majorée, et étant croissante, elle tend vers On a alors u = f(u ) ] ;λ [, intervalle stable par g et sur lequel g est croissante et en dessous de la première bissectrice, alors la suite des termes pairs (w n ) = (u n+ ) est décroissante Ou bien elle est minorée et alors converge vers une limite l u < λ Contradiction La suite (w n ) est donc non minorée, et étant décroissante, elle tend vers On a alors à étudier le cas où u ]λ ;λ [ - Si on suppose que u [; ] alors on sait déjà que la suite (u n) converge vers - Si on suppose que u [ ;λ [ alors montrons par l absurde qu il eiste un rang N pour lequel u N On aura alors u N+ = f(u N ) [; ] et donc d après ce qui précède, la suite (u n) converge vers - Si on suppose que u ]λ ;[ alors montrons par l absurde qu il eiste un rang N pour lequel u N, et plus précisément que u N [;] ; et donc d après ce qui précède, la suite (u n ) converge vers Preuve de ce qui précède : Si on suppose que u [ ;λ [, on s intéresse à la suite des termes pairs (v n ) = (u n ) D après ce qui précède, on peut affirmer que [;λ [ est stable par g Et donc pour tout n N on a v n [;λ [ Si on suppose qu il n eiste aucun rang N pour lequel v N, alors cela implique que v n ];λ [ pour tout n N Et puisque g est croissante sur ];λ [ et puisque g() sur cet intervalle alors (v n ) est décroissante (par récurrence) Mais alors (v n ) devient décroissante et minorée par Donc elle converge vers un point fie de g compris entre et v < λ Contradiction Ainsi, il eiste un rang N pour lequel v N On aura alors u N+ = f(u N ) [; ] et donc d après ca qui précède, la suite (u n ) converge vers Si on suppose que u ]λ ;[, on s intéresse à la suite des termes pairs (v n ) = (u n ) D après ce qui précède, on peut affirmer que ]λ ;λ [ est stable par g Et donc pour tout n N on a v n ]λ ;λ [ Si on suppose qu il n eiste aucun rang N pour lequel v N α, alors cela implique que v n ]λ ;α[ pour tout n N Et puisque g est croissante sur ]λ ;α[ et puisque g() sur cet intervalle alors (v n ) est croissante (par récurrence) Mais alors (v n ) devient croissante et majorée par α Donc elle converge vers un point fie l de g vérifiant λ < v l α Contradiction Ainsi, il eiste un rang N pour lequel v N α On aura alors v N+ = g(v N ) [; ] et donc d après ca qui précède, la suite (u n ) converge vers Le bilan est donc le suivant : Si u ];λ [, alors la suite des termes pairs (v n ) = (u n ) est décroissante et tend vers ; et la suite des termes impairs (w n ) = (u n+ ) est croissante et tend vers Si u ]λ ;[, alors la suite des termes pairs (v n ) = (u n ) est croissante et tend vers ; et la suite des termes impairs (w n ) = (u n+ ) est décroissante et tend vers Si u ]λ ;λ [, alors la suite converge vers et est décroissante à partir d un certain rang (dès que u n [; ]) Si u = λ ou u = λ [, alors la suite est périodique de période et prend alternativement les valeurs λ et λ