Lois à densité Corrigés d exercices / Version de juin 2013

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1 Corrigés d exercices / Version de juin 013 Les exercices du livre corrigés dans ce document sont les suivants : Page 05 : N 43, 44 Page 06 : N 48, 57, 58 Page 07 : N 60, 63 N 43 age 05 1) D arès le cours (résultat à connaître ar cœur!), on a, our une variable aléatoire X X X ; 0,95. suivant la loi normale centrée réduite : On en déduit immédiatement : a Remarque : ce genre de question est, in fine, très mal osée, l usage de l article défini «le» ( nombre réel a tel que ) étant lus que malvenu! Vous savez en effet, que l on 1,96 X 1,96 0,95 (mais cette fois, on est lus roche de 0,95!). a également : Ainsi, on eut réondre de bien des façons! Concrètement, la réonse fournie ci-dessus est celle qui se raorte directement à un résultat classique du cours (à connaître ar cœur, on ne le réétera jamais assez! ). ) En tenant comte de la arité de la densité de la loi normale centrée réduite (ou, grahiquement, de la symétrie ar raort à l axe des ordonnée de sa courbe x X 0 0 X x et donc : rerésentative), on a, our tout réel x ositif : x X x x X 0 0 X x 0 X x X a 1 a X a 1 0,95 0, 475. Finalement : 0 X x x X x On en déduit : 0 X a 0, 475 Fénelon Sainte-Marie 1/6 M. Lichtenberg

2 Corrigés d exercices / Version de juin 013 3) On a ici : X X ; X ; 0 ou X 0 ; a X ; 0 X 0 ; a a a X 0 ; a 1 0, 475 0,975 X a 0,975 N 44 age Le nombre «1E 99» (CASIO) ou «10^99» (TI) rerésente. La borne suérieure saisie vaut 1,5. Ainsi, Malika et Alexandra ont utilisé leur calculatrice our obtenir une valeur arochée de la robabilité que la variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite renne une valeur dans l intervalle ;1,5. Si (en jetant un œil à la question suivante ), on note X cette variable aléatoire, la robabilité calculée est donc : X ;1,5 X 1,5. En retenant alors la valeur arochée vient : X 1,5 1 X 1,5 1 0, , a) X ;1,5 X 1,5 0,933193, il b) Par ailleurs (le calcul qui suit est classique! Aidez-vous éventuellement de la courbe en cloche our bien en comrendre les étaes) : 1,5 1,5 X 1,5 X 1,5 X 1,5 X 1,5 X 1,5 1 X 1,5 X 1,5 1 X 0, , c) Enfin, en utilisant le résultat du a) : X 1,5 X 1,5 0, Fénelon Sainte-Marie /6 M. Lichtenberg

3 Corrigés d exercices / Version de juin 013 N 48 age 06 A la calculatrice, on obtient facilement : 0, X 0,7 0, En tenant comte de la arité de la densité de la loi normale centrée réduite (ou, de façon équivalente, de la symétrie de sa courbe rerésentative), on a immédiatement : Finalement : 0,7 X 0, 0, X 0,7 0,7 X 0, 0, X 0,7 0, N 51 age 06 Je vous roose la correction de cet exercice car l énoncé comorte (encore une fois ) une jolie coquille : la variable aléatoire X désigne en fait le tems réalisé ar un marcheur ris au hasard. Comme nous disosons d une information fondamentale relative à la variable aléatoire Z (elle suit la loi normale centrée réduite), nous devons nous ramener à des calculs sur cette loi. 1. On cherche ici X 00. On a : X 00 X X X X Z 0,0 750 La robabilité qu un articiant choisi au hasard ait mis moins de 00 minutes our effectuer le arcours est d environ 0,0 750 soit,75%. Fénelon Sainte-Marie 3/6 M. Lichtenberg

4 Corrigés d exercices / Version de juin 013. On cherche ici X 30 X 300. Par définition de la robabilité conditionnelle, on a : X 30 X X 30 X 30 X 300 X 300 X 300 On a : 3 Z 4 0, et Z X X X X X X X X Z 4 Z 3 3 0, Mais à ce stade du calcul, il serait lutôt malvenu d effectuer le raort de ces deux valeurs arochées. Mieux vaut utiliser la fonction NormCD (calculatrices CASIO. On la trouve dans le «Catalog») deux fois dans un seul calcul : NormCD 3, 4,1, 0 / NormCD 3,1E99,1, 0 Petit rael sur les arguments de cette fonction : on saisit d abord les bornes inférieures et suérieures («Lower» et «Uer» lorsque vous utilisez cette fonction via le menu «Statistiques») uis l écart tye et enfin l esérance. On obtient ici : Z 3 3 Z 4 0, Si un articiant a mis lus de 300 minutes our effectuer le arcours, la robabilité qu il ait mis moins de 30 minutes est environ égale à 0, N 57 age 06 A l aide de la calculatrice (loi normale inverse), on obtient : t 4,66. Si X suit la loi normale 5 ;1 N alors : X t 0,3678 t 4,66. Fénelon Sainte-Marie 4/6 M. Lichtenberg

5 Corrigés d exercices / Version de juin 013 N 58 age 06 A l aide de la calculatrice (loi normale inverse), on obtient : t 6,853. Si X suit la loi normale 7, ; 0,5 N alors : X t 0,756 t 6,853. Remarques : La robabilité fournie (0,756) étant suérieure à 0,5 on s attendait bien à ce que la valeur de t soit inférieure à l esérance (faites un dessin de la courbe en cloche!). A la calculatrice (CASIO) vous devez faire attention à l item Tail! Si la robabilité fournie est celle d un événement de la forme : X t, vous choisissez «Left». o o X t o t X t, vous choisissez «Right»., vous choisissez «Central». N 60 age 07 Soit N la variable aléatoire désignant la note obtenue à l examen, cette note ayant été choisie N 47 ;1. au hasard. D arès l énoncé, N suit la loi normale L énoncé récise que «la mention très bien est attribuée aux 15% les meilleurs». Dans le cadre de notre modèle robabiliste, si on note x la note minimale devant être obtenue our obtenir cette mention, on a : N x 15% 0,15. En utilisant la loi normale inverse à la calculatrice, on obtient : x 59, 437. En admettant que les notes données sont entières, on conclut finalement : Pour obtenir la mention très bien, il faut obtenir une note au moins égale à 60. N 63 age 07 Notons A la variable aléatoire corresondant à l âge d aarition des remiers mots. D arès N 1,1; 3, 4. l énoncé, A suit la loi normale 1. a) On cherche ici A 10. A la calculatrice, on obtient : b) On cherche ici A 18. A la calculatrice, on obtient : A 10 0, A 18 0, Fénelon Sainte-Marie 5/6 M. Lichtenberg

6 Corrigés d exercices / Version de juin 013 c) On cherche ici : 8 A 16. A la calculatrice, on obtient : 8 A 16 0, On cherche ici A 15 A 10. Par définition de la robabilité conditionnelle, on a : A 15 A A 15 A 15 A 10 A 10 A 10 Comme dans l exercice 51, nous utilisons deux fois la fonction NormCD (calculatrices CASIO) dans un seul calcul : NormCD 10,15, 3.4,1.1 / NormCD 10,1E99, 3.4,1.1 On obtient ici : 10 A 15 A 10 0, La robabilité qu un enfant n ayant as rononcé ses remiers mots à l âge de 10 mois les rononce avant l âge de 15 mois est environ égale à 0, Fénelon Sainte-Marie 6/6 M. Lichtenberg