Calcul Evolutionnaire Application sur l Optimisation de la Planification de la Puissance Réactive

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1 ECOLE NATIONALE POLYTECHNIQUE D ALGER DEPARTEMENT de GENIE ELECTRIQUE MEMOIRE Présentée pour obtenr LE GRADE DE MAGISTER EN ELECTROTECHNIQUE Opton : Réseau Electrques et Haute Tenson Par LADJICI Ahmed Amne Ingéneur d'etat en Electrotechnque ENP- Alger Calcul Evolutonnare Applcaton sur l Optmsaton de la Planfcaton de la Pussance Réactve Commsson d eamen : Présdent : Mr : A. BOUBAKEUR, Professeur (ENP) Rapporteur : Mr : A. HELLAL, Professeur (UATLaghouat) Eamnateurs : Mr : A. BOUDJEMA, Professeur (ENP) Mr : A. BOUDOUR, Matre de conference (USTHB) Mr : S. ARIF, Chargé de Cours (UATL) Invtée Mme : M. AMOROUAYECHE, (Dr SONELGAZ)

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3 ملخص في إطار هذا العمل, قدمنا مفهوم الحساب التطوري و اللوغاريتمات التطورية, و استعمالهم في إيجاد الحل الا مثل للمساي ل المتعددة الا هداف أو ذات قواعد إجبارية. آما قدمنا مسا لة تخطيط الطاقة التفاعلية و آيفية حلها باستعمال الحساب التطوري الذي يمتاز في هذا الميدان, ولملاحظة تصرف اللوغاريتمات المستعملة, استعملنا شبكات آهرباي ية نموذجية 16 و 57 عقدة, آما قدمنا تطبيق على الشبكة الكهرباي ية الجزاي رية الكلمات المفتاحية الحساب التطوري, اللوغاريتمات التطورية, تخطيط الطاقة التفاعلية, مساي ل متعددة الا هداف Résumé Dans ce traval, nous avons présenté le calcul Evolutonnare et les dfférents Algorthmes Evolutonnares, ans que leur utlsaton dans le domane de l optmsaton contnue, spécalement au problèmes d optmsaton avec contrantes et l optmsaton multobjectfs. Nous avons présenté le problème d optmsaton de la planfcaton de la pussance réactve, qu est un problème d optmsaton mult-objectfs avec contrantes, un domane ou le Calcul Evolutonnare ecelle. Pour observer le comportement des Algorthmes Evolutonnare face à ce problème, nous avons applqué nos Algorthmes sur des réseau modèles : 16 noeuds et IEEE 57 noeuds, ans que sur le réseau algéren. Mots clés : Calcul Evolutonnare, Algorthmes Evolutonnare, Contrantes, Mult objectfs, Optmsaton de la Planfcaton de la Pussance réactve Abstract In our study, the Evolutonary Computaton and the Evolutonary Algorthms are presented, and ther usng n resoluton of contnuous optmsaton problems especally constraned optmsaton and multobjectve optmsaton. We have also presented the Optmal Reactve Power Plannng (ORPP); wtch s a Constraned Multobjectve optmsaton problem, a sutable applcaton for Evolutonary Computaton. In order to analyse Evolutonary Algorthms behavour facng ths problem we have made applcatons to varous model power systems: 16 bus, IEEE 57 bus, and the Algeran Network. Key words: Evolutonary Computaton, Evolutonary Algorthms, Constrants, Multobjectve, Optmal Reactve Power Plannng.

4 Dédcaces A ma mère. A mon frère Adel. A ma sœur Ikrame. Rappelés à Deu un Mercred 1 ma 003. Que Deu les Accuel dans son vaste parads. A mon père et mes deu sœurs. Et à tous mes ams... Je déde ce modeste traval

5 Remercements Ce traval a été réalsé sous la drecton Scentfque de Monseur le Professeur A. HELLAL. Qu l trouve c l epresson de ma sncère reconnassance pour ces préceuses drectves, sa dsponblté et ses consels. J adresse mes vfs remercements au présdent du jury : Mr le Professeur A. BOUBAKEUR, ans qu au membres de jury qu ont accepté de juger ce traval. Enfn, je remerce touts ceu qu ont contrbué de prés ou de lon à l élaboraton de ce traval, et tout spécalement Mr : A. LOUCIF, qu par ces consels, m a adé à la mse en forme de ce document.

6 Sommare SOMMAIRE INTRODUCTION GENERALE... 1 CHAPITRE I : INTRODUCTION AU CALCUL EVOLUTIONNAIRE I.1. INTRODUCTION... 3 I.. PRINCIPES DES PROCESSUS EVOLUTIONNAIRES... 4 I.3. ALGORITHMES EVOLUTIONNAIRES... 5 I.3.1. Algorthme Evolutonnare de base... 6 I.3.. Dfférentes classes d Algorthmes Evolutonnares... 7 I Algorthmes génétques... 7 I.3... La programmaton Evolutonnare... 8 I Les Stratéges d Evoluton I.4. LES OPERATEURS D UN ALGORITHME EVOLUTIONNAIRE I.4.1. La représentaton d ndvdus... 1 I.4.. La reproducton I L opérateur de crosement I.4... L opérateur de mutaton I.4.3. La sélecton I La Sélecton détermnste I Sélecton stochastque CHAPITRE II : LE CALCUL EVOLUTIONNAIRE DANS L OPTIMISATION CONTINUE II.1. INTRODUCTION... 3 II.. OPTIMISATION MONO-OBJECTIVE SANS CONTRAINTES... 4 II..1. Teste II Stratége d Evoluton... 5 II..1.. Programmaton Evolutonnare... 6 II... Teste... 7 II...1. Stratéges d Evoluton... 8 II... Programmaton Evolutonnare... 9 II..3. Remarques... 9 II.3. L OPTIMISATION AVEC CONTRAINTES II.3.1. Les fonctons de pénaltés II Les fonctons de pénaltés statques II Les fonctons de pénaltés dynamques... 3 II Fonctons de pénaltés adaptatves... 3 II.3.. Test II Les Stratéges d Evolutons II.3... Programmaton Evolutonnare II.3.3. Test II Stratége d Evoluton II La Programmaton Evolutonnare II.3.4. Remarques II.4. OPTIMISATION MULTI-OBJECTIFS II.4.1. Approche plene agrégaton II Somme pondérée...40 II Approche mn ma II Approche du vecteur cble II.4.. Optmsaton vectorelle non Pareto II Approche lecographque II.4.3. Optmsaton vectorelle au sens de Pareto... 4 II.4.4. Le Crowdng II.4.5. Test II Approche plene agrégaton II Optmsaton vectorelle suvant au sens de Pareto II.4.6. Remarques ENP 005

7 Sommare CHAPITRE III : OPTIMISATION DE LA PLANIFICATION DE LA PUISSANCE REACTIVE III.1. INTRODUCTION III.1.1. Contrantes majeurs dans la transmsson en courant alternatve III Les Lmtes de stablté III Profl des tensons III.1.. Compensaton de pussance réactve III Contrôle de la tenson... 5 III.1... Améloraton de la stablté... 5 III.. MANAGEMENT DE PUISSANCE REACTIVE III.3. PLANIFICATION DE LA PUISSANCE REACTIVE III.3.1. Formulaton mathématque III Coût de fonctonnement III Coût d nvestssement : III Les contrantes III.3.. Formulaton du problème III.4. RESOLUTION DU PROBLEME III.4.1. Représentaton III.4.. Reproducton III.4.3. Evaluaton III Méthode du vecteur cble III Optmsaton vectorelle non Pareto III Optmsaton vectorelle au sens de Pareto III.4.4. Sélecton CHAPITRE IV : APPLICATIONS IV.1. APPLICATION SUR LE RESEAU 16 NOEUDS... 6 IV.1.1. Détermnaton de la pussance réactve à nvestr IV Méthode de vecteur cble IV Optmsaton vectorelle non Pareto IV Optmsaton vectorelle au sens de Pareto IV.1.. Conclusons IV.. RESEAU IEEE 57 NŒUDS : IV..1. Détermnaton de la pussance réactve à nvestr IV Approche du vecteur cble IV..1.. Optmsaton vectorelle non Pareto IV Optmsaton vectorelle au sens de Pareto IV... Conclusons IV.3. APPLICATION AU RESEAU ALGERIEN IV.3.1. Détermnaton de la confguraton optmale de compensateur IV.3.. Concluson CONCLUSION GENERALE BIBLIOGRAPHIE... 8 ANNEXE ENP 005

8 Introducton INTRODUCTION GENERALE La condute des Réseau Electrques, vu la talle d un réseau électrque et la completé des phénomènes dont l est sège, a toujours fat appel au outls de calcul numérques les plus perfectonnés adant à l améloraton des contrantes technques, économques et de sécurté, auquelles elle fat face. L optmsaton de la planfcaton de pussance réactve (ORPP), est parm les problèmes les plus classques dans les réseau électrques, mas auss des plus ardus. En plus de la talle des varables qu l mplque, son aspect mult-objectfs et le nombre de contrantes, consttuent un vértable déf pour les méthodes d optmsaton classques. Ces méthodes font souvent appel à des analyses mathématques très poussé, et egent des formulatons qu s élognent de la formulaton naturelle du problème. Cette dernère décenne a vu l émergence du Calcul Evolutonnare comme méthode de prédlecton dans le domane de l optmsaton, en général, et de l optmsaton multobjectfs, en partculer, dû à l effcacté et la smplcté qu l offre pour la résoluton des problèmes qu ont été consdérés, longtemps, comme un vértable challenge pour les méthodes de mathématque applquée et de recherche opératonnelle. Il devent, ans, naturel d applquer le Calcul Evolutonnare au problème d optmsaton de pussance réactve qu est par défnton un problème mult-objectfs avec contrantes, un domane ou le Calcul Evolutonnare ecelle. Et essayer d obtenr de (melleures) solutons, en s appuyant sur les avantages qu offrent les Algorthmes Evolutonnares, dont la convergence globale et la non restrcton sur les formes des objectfs et des contrantes. Ben que certans travau, (à l ENP ou alleurs), ont été orentés vers les Algorthmes Génétques, les Stratéges d Evoluton et la Programmaton Evolutonnare restent méconnus, malgré leur longue mplcaton dans le domane de l optmsaton et leur effcacté qu n est plus a démontrer. C est dans la perspectve de mettre plus de lumère et démontrer l effcacté de l applcaton de ces technques, que nous nous sommes ntéressés au domane du Calcul Evolutonnare et les aspects fondamentau lés au Stratéges d Evoluton et à la Programmaton Evolutonnare, ans que leur utlsaton pour résoudre un problème de planfcaton de la pussance réactve afn de vor les avantages qu elles offrent. ENP 005 1

9 Introducton Pour cela, nous avons structuré notre traval comme sut : Le premer Chaptre présente une ntroducton au calcul évolutonnare et au algorthmes évolutonnares, leurs notons les plus fondamentales lées à leur orgne comme smulaton de l évoluton basée sur les théores d évoluton naturelle et de la génétque. Les algorthmes de base et les partculartés de chaque algorthme y sont présentés et les dfférents opérateurs d un Algorthme Evolutonnare sont dscutés, en mettant l accent sur les opérateurs lés au Stratéges d Evoluton et à la Programmaton Evolutonnare. Le Chaptre II concerne le Calcul Evolutonnare applqué au problèmes d optmsaton contnue avec dfférents aspects : mono objectf, contrantes et mult objectfs. Des eemples sur des fonctons test donneront un aperçu sur la convergence vers l optmum global face à des fonctons mult modales, et des problèmes mult objectfs. Le Chaptre III présente le problème d optmsaton de la planfcaton de pussance réactve, ans que sa formulaton. Dans le quatrème Chaptre, nous avons présenté les résultats de smulaton sute à l applcaton de nos algorthmes sur des réseau modèles (Réseau à 16 nœuds et IEEE 57 nœuds), et pour donner un aspect plus pratque à notre traval, une applcaton a été effectuée sur le Réseau Algéren. Une Concluson vent fnr cette étude en présentant une synthèse des dfférentes méthodes utlsées ans que les perspectves futures. ENP 005

10 Chaptre I : I. INTRODUCTION AU CALCUL EVOLUTIONNAIRE

11 Chaptre I Introducton au Calcul Evolutonnare I.1. Introducton Le Calcul Evolutonnare est un domane jeune, le terme lu-même n est ntrodut qu en Ce domane est le résultat d un effort rassemblant les recherches effectuées suvant dfférentes approches pour la smulaton de l évoluton naturelle. Ces approches sont : les Algorthmes Génétques, les Stratéges d'evoluton, et la Programmaton Evolutonnare, rassemblées sous l appellaton d Algorthmes Evolutonnares [01] [0]. Les approches ctées ont des aspects fondamentau communs : chacune utlse la reproducton, le crosement et/ou la mutaton pour créer de nouveau ndvdus à partr d une populaton estante, la compétton et la sélecton d ndvdus en compétton pour créer une nouvelle populaton plus adaptée. Ce qu est l essence même de la théore d évoluton [01]. Le Calcul Evolutonnare essaye de trouver de melleures solutons au problèmes où les Algorthmes Evolutonnares peuvent être applqués et trouve son ntérêt dans les domanes : L Optmsaton Les théores d évoluton naturelle modernes, la décrvent comme un processus d optmsaton. L adaptaton des êtres vvants à leurs mleu naturels, suggère que l évoluton peut trouver des solutons optmales au contrantes posées par l'envronnement au organsmes vvants. Chercher à décrre l'évoluton en terme d'un algorthme peut ader à résoudre des problèmes d'optmsaton délcats auquels les méthodes tradtonnelles ne donnent pas de résultats satsfasants, spécalement les problèmes mult modau ou mult objectfs [01]. L Adaptaton robuste Les phénomènes réels ne sont jamas statques. Ils présentent souvent des aspects dynamques qu requèrent des stratéges robustes pour préserver leurs performances dans un envronnement changeant. Holland, dans le cadre des Algorthmes Génétques, a décrt une procédure qu peut fare évoluer des stratéges codées sous la forme de chaînes bnares ou sous la forme de los de comportement eplcte, en eplotant le potentel de recombnason des stratéges en compétton, et en partageant les connassances acquses par chaque une d elles. Le résultat est une procédure robuste qu ajuste les performances des stratéges dans un envronnement varable [01]. L Intellgence Artfcelle Un comportement ntellgent peut être défn comme : «la capacté d un système à adapter son comportement pour attendre des buts désrés dans un envronnement changeant en prédsant les crconstances futures et en prenant les actons adéquates suvant ces prédctons». Les méthodes d ntellgence artfcelle tentent souvent d mter l ntellgence humane en reprodusant les règles qu elle sut (systèmes eperts) ou en smulant les réseau de neurones. Les Algorthmes Evolutonnares offrent une alternatve qu ne se base pas sur l heurstque. En partant du prncpe que, dans la nature, c est l évoluton qu a donné nassance à l ntellgence, la smulaton de l évoluton naturelle dans une populaton d algorthmes prédctfs engendre des ndvdus avec une ntellgence crossante. ENP 005 3

12 Chaptre I Introducton au Calcul Evolutonnare Dans les premers travau sur la Programmaton Evolutonnare, J. Fogel propose un algorthme qu fat évoluer une populaton de machnes à états fns. Pour pouvor prédre les condtons futures dans un envronnement, un processus d apprentssage smlare à celu des réseau de neurones et une sélecton darwnste sont applqués pour ne fare évoluer que les ndvdus dont le comportement est le plus optmal [01]. I.. Prncpes des processus évolutonnares Les Algorthmes Evolutonnares se basent sur la smulaton du processus d évoluton naturelle. Parm les théores d évoluton les plus admses on trouve le paradgme néo darwnste, qu est une reformulaton de la théore d évoluton de Darwn sur la lumère de la génétque moderne. Cette théore affrme qu une grande parte de l hstore de la ve naturelle peut être eplquée par des processus physques opérant sur et dans les populatons et les espèces. Ces processus sont : la reproducton, la compétton et la sélecton [03]. Une populaton est un ensemble d ndvdus. Cette théore consdère un ndvdu comme une dualté entre son patrmone génétque le génotype et ses trats caractérstques le phénotype. Le génotype est un moyen de stockage des nformatons génétques acquses, alors que le phénotype est la traducton de ces nformatons à l échelle de l ndvdu [03]. La reproducton, est une spécfcté des organsmes vvants, opérant sur le patrmone génétque d une populaton. Elle enveloppe deu processus : le crosement et la mutaton. Le crosement combne les génotypes de deu ndvdus pour engendrer une descendance, la mutaton ntrodut une altératon aléatore des génotypes engendrés au cours du crosement pour garantr plus de dversté. La reproducton permet de créer de nouveau ndvdus et tend à accroître les talles des populatons estantes ou à créer d autres populatons [03]. L accrossement des talles des populatons dans un envronnement à ressources lmtées condut les ndvdus et les populatons à entrer en compétton pour acquérr ces ressources. La sélecton naturelle est un résultat névtable de cette compétton, les ndvdus les plus adaptés à leur envronnement, les plus forts, ont plus de chance de survvre. Cette théore décrt l évoluton naturelle, comme la conséquence de l nteracton entre ces processus physques : la reproducton crée de nouveau ndvdus et la sélecton chost les ndvdus les plus optmau. Vue de cette façon, l évoluton est un processus d optmsaton. La sélecton condut les phénotypes le plus près possble de leurs optmums, suvant les condtons et les contrantes posées par l envronnement. Et comme l envronnement est en changement perpétuel, les ndvdus évoluent contnuellement vers de nouveau optmums. La sélecton n arrête jamas d opérer ndépendamment de la qualté des ndvdus actuels [03]. Les caractérstques les plus sgnfcatves du néo darwnsme sont: l ndvdu est la cble premère de la sélecton. Les varatons génétques sont des phénomènes aléatores. La varaton génotypque est le produt du crosement et de la mutaton. Une évoluton graduelle peut ncorporer des dscontnutés phénotypques. Les changements phénotypques ne sont pas tous dus à la sélecton naturelle. L'évoluton est un changement d adaptaton et de dversté. La sélecton est un processus stochastque non détermnste. Ces caractérstques forment des bases communes pour tous les Algorthmes Evolutonnares. ENP 005 4

13 Chaptre I Introducton au Calcul Evolutonnare I.3. Algorthmes Evolutonnares Les Algorthmes Evolutonnares partagent des trats communs du fat qu ls se basent sur la smulaton de l évoluton naturelle, en s nsprant des prncpes du néo darwnsme [03]. Un Algorthme Evolutonnare type présente les caractérstques suvantes [04]: ) L utlsaton d un processus d apprentssage collectf d une populaton d ndvdus. Un ndvdu représente un pont de l espace de recherche, donc une soluton potentelle au problème en cours. ) ) Les descendants d un ndvdu sont générés par des processus aléatores : le crosement et la mutaton. Le crosement combne l nformaton entre des ndvdus de la populaton pour en créer d autres. La mutaton crée un descendant en générant une réplque erronée de sont parent. Le processus de sélecton favorse la surve des melleurs ndvdus en se basant sur leur adaptaton. L adaptaton est obtenue par une foncton d évaluaton qu mesure la qualté de chaque ndvdu. Le fat que les algorthmes évolutonnares partagent les mêmes bases n eclut pas l estence de dfférences notables entre eu. Tros prncpales classes d algorthmes évolutonnares estent : les Algorthmes Génétques, la Programmaton Evolutonnare et les Stratéges d'evoluton [04]. Les Algorthmes Génétques : développés par J. Holland en 196, consdèrent le crosement comme l opérateur de recherche le plus mportant dans l espace des solutons potentelles, la mutaton est consdérée comme un opérateur secondare avec un fable tau d applcaton. La sélecton est stochastque et les ndvdus sont souvent représentés en chaînes bnares, mas d autres représentatons peuvent être utlsées. Les Stratéges d Evoluton : développées par Rechenberg et Schwefel en 1965, utlsent une mutaton avec une dstrbuton normale pour modfer les ndvdus présentés comme des vecteurs de valeurs réelles. La mutaton et le crosement sont les deu opérateurs de recherche dans l espace des solutons potentelles et l espace des paramètres de stratéges. La sélecton peut être détermnste ou stochastque. La Programmaton Evolutonnare : développée par J. Fogel en 196 utlse la mutaton comme seul opérateur de recherche. Applquée au problèmes d optmsaton contnue la Programmaton Evolutonnare est smlare au Stratéges d Evoluton, tous deu représentant les ndvdus avec des vecteurs de valeurs réelles ncluant les paramètres de stratége. Elle utlse une mutaton de dstrbuton normale et une sélecton détermnste ou stochastque. En plus de ces algorthmes de base, d autres algorthmes dérvés ont vu le jour, comme la programmaton génétque, les Systèmes Classfer et les Algorthmes Memetques ans que pluseurs méthodes hybrdes. ENP 005 5

14 Chaptre I Introducton au Calcul Evolutonnare I.3.1. Algorthme Evolutonnare de base En consdérant les prncpes de l évoluton naturelle et les trats communs entre les dfférents Algorthmes Evolutonnares, un algorthme de base peut être décrt comme sut [04] : Consdérons : I comme une populaton arbtrare d ndvdus α. F : I R la foncton d adaptaton de ces ndvdus. µ et λ : les talles des populatons parents et descendants. P(t) = {α1(t),,αµ(t)} I µ représente une génératon, à l nstant t. Les opérateurs : La sélecton s: I λ I µ, la mutaton m : I k I µ ans que le crosement r : I µ I k, dépendent d un ensemble de paramètres : Θ s, Θ m et Θ r, respectvement, qu caractérsent l opérateur concerné. Un Algorthme Evolutonnare utlse : Une procédure d ntalsaton qu génère une populaton ntale d ndvdus, ben que la possblté d mposer des ponts ntau est toujours envsageable. Une foncton d évaluaton détermnant l adaptaton ou la qualté des ndvdus. Un crtère d arrêt qu détermne la convergence ou non, de l algorthme, dépendant d un ensemble de paramètres regroupés sous Θ l Un Algorthme Evolutonnare typque est rédut à une smple boucle combnant la reproducton, l évaluaton et la sélecton : Input : µ, λ, Θ s, Θ m, Θ r 1 t = 0 ; P(t) = ntalsaton (µ) ; 3 F(t) = évaluaton (P(t),µ) ; 4 whle (lp(t), Θl true) do 5 P (t) = reproducton (P(t), Θ r ) ; 6 F(t) = évaluaton (P (t), λ) ; 7 P(t+1) = sélecton (P (t), F(t), µ,θ s ) ; 8 t = t +1 ; 9 end do Output : α * le melleur ndvdu trouvé, ou P * la melleure populaton trouvée. Après la créaton de la populaton ntale et l évaluaton de ses ndvdus la boucle est entamée : La populaton P(t), dte populaton des parents, est utlsée par la reproducton pour créer la populaton des descendants P (t). L ensemble des ndvdus est évalué pour détermner leur adaptaton. Pour former la nouvelle génératon, l opérateur de sélecton chost µ ndvdus de la populaton P( t) P''( t) ou de P ''( t) suvant les valeurs d adaptaton des ndvdus F(t). La populaton des parents P(t) est de talle µ, les populatons P (t) et P' '( t) sont de talles k et λ respectvement. Avor µ = k =λ est souvent le cas dans les Algorthmes Génétques. Avor k=λ est le cas de la Programmaton Evolutonnare. ENP 005 6

15 Chaptre I I.3.. Dfférentes classes d Algorthmes Evolutonnares Introducton au Calcul Evolutonnare Les Algorthmes Evolutonnares comptent tros prncpau algorthmes : les Algorthmes Génétques, les Stratéges d Evoluton et la Programmaton Evolutonnare. Comme mentonné précédemment, ces Algorthmes ont été développés séparément par dfférents chercheurs dans le mleu des années 60 [0]. I Algorthmes génétques Les Algorthmes Génétques forment une des prncpales classes des Algorthmes Evolutonnares, proposés et développés par Holland. Ils se basent sur les théores d'évoluton naturelle moderne et utlsent une combnason de reproducton : crosement et mutaton et de sélecton, pour générer des ndvdus de plus en plus adaptés à leur envronnement, donc des solutons optmales [05]. Les Algorthmes Génétques se basent sur la théore des schèmes motvés par la convcton que les problèmes complees sont plus facles à trater en les dvsant en un ensemble de sous-problèmes plus smples. Dans cette théore une soluton est représentée comme un ensemble de gènes (varables) composés d allèles. Un schème peut être consdéré comme une soluton partelle dans laquelle seules quelques varables sont défnes. Les schèmes fournssent ans un moyen de décomposton du problème de recherche en une hérarche de sous problèmes plus smples. Le cas le plus smple est d assgner une valeur à un seul allèle [05]. Un Algorthme Génétque s attaque en premer au plus smples de ces sous problèmes, leurs solutons partelles sont combnées par le crosement en solutons plus complètes jusqu à la résoluton total du problème. Pour cela les solutons partelles de ces sous problèmes dovent être ndépendantes. Une etenson de la théore des schèmes est ntrodute par Goldberg. Elle défnt les blocs élémentares comme étant les schèmes courts de fable ordre hautement effcaces. Ces blocs élémentares sont dentfés, échantllonnés, recombnés et rassemblés pour former des chaînes plus longues. Goldberg avance que : «Comme un enfant construsant des forteresses magnfques par l arrangement de smples blocs en bos, un AG cherche l optmalté des performances à travers la jutaposton des schèmes courts de fable ordre et très performants» [05]. Suvant cette théore, le crosement assemble les blocs élémentares éparpllés dans la populaton et les recombne en blocs plus longs et plus adaptés. Pour cela, l est consdéré comme l opérateur de recherche le plus mportant. La mutaton est un opérateur secondare, utlsé avec un fable tau d applcaton à cause de sa capacté à détrure les blocs élémentares. La mutaton est utlsée pour assurer la dversté dans la populaton, par la créaton de nouveau schèmes [05]. ENP 005 7

16 Chaptre I Introducton au Calcul Evolutonnare Algorthme génétque de base Un algorthme génétque type peut être représenté comme sut [05]: Input : µ, λ, Θ s, Θ m, Θ r 1 t = 0 ; P(t) = ntalsaton (µ) ; 3 F(t) = évaluaton (P(t),µ) ; 4 whle (lp(t), Θl true) do 5 C(t) = sélecton (P(t),F(t),µ, Θ r ) ; 6 P (t) = crosement(c(t),µ, Θ c ) 7 F(t+1) = évaluaton (P (t), µ) ; 8 P(t+1) = sélecton (P (t), F(t), µ,θ s ) ; 9 t = t +1 ; 10 end do Output : α * le melleur ndvdu trouvé, ou P * la melleure populaton trouvée. Les paramètres µ, λ, Θ s, Θ m dépendent des opérateurs utlsés et du problème en cours, l est le crtère d arrêt. Un Algorthme Génétque procède, généralement, comme sut: - Une populaton ntale est générée aléatorement dans l'espace de recherche, pus chaque ndvdu est évalué. - Les ndvdus sont soums à une sélecton détermnant les ndvdus aptes à la reproducton (les parents), des copes de chaque parent sont mses dans la sous populaton C(t). Le nombre de copes qu un parent reçot est proportonnel à son adaptaton. - Les parents sont utlsés pour créer des descendants par le crosement et la mutaton. Chaque descendant est évalué pour détermner son adaptaton. L'ensemble des ndvdus parents et descendants sont soums à une sélecton pour former la nouvelle génératon. I.3... La programmaton Evolutonnare La Programmaton Evolutonnare est une des classes prncpales des Algorthmes Evolutonnares. Elle se base sur le concept darwnen de l évoluton pour générer tératvement des solutons plus adaptées à leur envronnement [06]. Ben que la Programmaton Evolutonnare a été développée comme une méthode d ntellgence artfcelle, son concept état lon des premères recherches en ntellgence artfcelle qu se basent sur la recherche des heurstques smples. Au leu de développer un ensemble complee de los de comportements dérvés de l epertse humane, la Programmaton Evolutonnare fat évoluer un ensemble d ndvdus fasant preuve d un comportement optmal dans un envronnement, statque ou dynamque, représenté par une foncton objectve [06]. ENP 005 8

17 Chaptre I Introducton au Calcul Evolutonnare Dans sa forme de base, la Programmaton Evolutonnare utlse les prncpales procédures d un Algorthme Evolutonnare, sot : l ntalsaton et la reproducton rédute à la mutaton seule, la mutaton fournt un moyen d eploraton de l espace de recherche prévoyant toute convergence vers un optmum local. La foncton d évaluaton mesure la qualté de chaque ndvdu. Enfn, la procédure de sélecton favorse la surve des melleures solutons suvant leurs adaptatons [06]. L Algorthmque de base Un algorthme standard d un Programme Evolutonnare peut être décrt comme sut [06]: Input : µ, λ, Θ s, Θ m, Θ r 1 t = 0 ; P(t) = ntalsaton (µ) ; 3 whle (lp(t), Θl true) do 4 F(t) = évaluaton (P(t),µ) ; 5 P (t) = mutaton (P (t), Θ m ) ; 6 F(t) = évaluaton (P (t), λ) ; 7 P(t+1) = sélecton (P(y),P (t), F(t), µ,θ s ) ; 8 t = t +1 ; 9 end do Output : α * le melleur ndvdu trouvé, ou P * la melleure populaton trouvée. Les paramètres µ, λ, Θ s, Θ m dépendent des opérateurs utlsés et du problème en cours, l est le crtère d arrêt. Un Programme Evolutonnare standard enveloppe: La créaton d'une populaton ntale aléatore dans l'espace de recherche, et l'évaluaton de ses ndvdus. Chaque parent est altéré aléatorement pour créer k descendants (avec : λ = k*µ) par l'opérateur de mutaton, ensute chaque descendant est évalué. La populaton formée par l'ensemble des parents et des descendants est soumse à une sélecton qu détermne la nouvelle génératon de talle µ. Les talles des populatons des parents µ et des descendants λ sont généralement constantes, mas ren n empêche leurs varatons. La Programmaton Evolutonnare dffère phlosophquement des Algorthmes Génétques. La clé de cette dfférence est l observaton que l assemblage de partes optmales ne condut que rarement à l optmalté de la soluton globale. Les Algorthmes Génétques se basent sur l dentfcaton et la combnason des blocs élémentares, en les regroupant en des chaînes plus larges et plus adaptées. Dans un Algorthme Génétque, la structure codée (génotype) est de la premère mportance car elle content l ensemble des blocs élémentares optmums découverts à travers la recherche, les Algorthmes Génétques favorsent l eplotatons des schèmes estant sur l eploraton qu est fate à travers la mutaton. Cette optmsaton locale est dfférente de celle de la Programmaton Evolutonnare qu est une approche globale à l optmsaton [04] [06]. ENP 005 9

18 Chaptre I Introducton au Calcul Evolutonnare Un ndvdu, dans un Programme Evolutonnare, n est jugé que sur son adaptaton, les opérateurs de recherche effectuant smultanément toutes les varables. L adaptaton décrte en terme du comportement de chaque ndvdu est évaluée drectement, elle est seule clé de la surve d un ndvdu dans la populaton. Cette approche à l optmsaton ne consdère aucun parttonnement du problème. Cet Algorthme se base essentellement sur l eploraton de l espace de recherche, sans aucune eplotaton des caractérstques des ndvdus trouvés au cours de la recherche. Pour cela la Programmaton Evolutonnare utlse la mutaton seule et délasse le crosement [04] [06]. Comme l opérateur de mutaton est le seul opérateur de recherche, l dot être convenablement défn pour que l algorthme ne stagne pas dans un optmum local. Dans les premères versons de la Programmaton Evolutonnare applquées à l optmsaton contnue, la mutaton est gaussenne avec une moyenne nulle et une varance obtenue comme la racne carrée d une transformaton lnéare de la valeur d adaptaton φ(x) [06]. X ( t + 1) = X ( t) + β ( t) ϕ ( X ( t) + γ ) * N (0,1) (I-1) Avec : X(t) vecteur de varables objectves. βune constante proportonnelle et γ un paramètre de compensaton. Les deu constante β etγ dovent être posées pour chaque problème. N (0,1) est une varable aléatore normale centrée rédute. Pour venr à bout des dffcultés de trouver les paramètres adéquats assocés à l opérateur de mutaton la noton d auto-adaptaton de la mutaton a vu le jour. Au leu d mposer une varance constante, la mutaton auto-adaptatve fat évoluer sa varance au cours de la recherche ce qu la rend plus effcace. La méthode d auto-adaptaton de la mutaton la plus utlsée dans la Programmaton Evolutonnare est proposée par J. Fogel en 1995 [06]: X ( k + 1) = X ( k) + v ( k) N v ( k + 1) = v ( k) + [ σv ( k)] 1/ (0,1) N (0.1). (I-) La constante σ assure que la varance ne sot pas négatve. I Les Stratéges d Evoluton Les Stratéges d Evoluton consttuent une autre classe d'algorthmes Evolutonnares. A l'nverse des autres approches, les Stratéges d Evoluton ont été conçues, à l orgne, comme des méthodes d optmsaton numérques. Leurs premères applcatons étaent l optmsaton d un corps dans un tunnel de vent [07]. Abordant les problèmes d optmsaton contnue, les Stratéges d Evoluton sont très smlares à la Programmaton Evolutonnare. Ils partagent la même phlosophe : le problème d optmsaton est consdéré dans sa globalté et aucun parttonnement n est effectué, ls n obéssent pas à la théore des schèmes. Les deu méthodes mettent l accent sur la mutaton comme prncpal opérateur de recherche et utlsent une mutaton auto-adaptatve [07]. La seule dfférence notable avec la Programmaton Evolutonnare est l utlsaton du crosement par les Stratéges d Evoluton. Le crosement est utlsé comme second opérateur de recherche, son rôle n étant pas la manpulaton des blocs élémentares mas d assurer plus de dversté dans la populaton. ENP

19 Chaptre I Introducton au Calcul Evolutonnare Algorthme de base Les dfférentes Stratéges d Evoluton peuvent être ntrodutes par la notaton de Schwefel [07]: ) La SE (µ + λ) : désgne une Stratége d Evoluton qu génère λ descendants des µ parents et sélectonne les µ melleurs ndvdus de l ensemble des descendants et des parents pour former la nouvelle génératon. ) La SE (µ, λ) avec λ = kµ et k > 1 (k ~ 5 7) génère λ descendants des µ parents mas sélectonne les µ melleurs ndvdus de la populaton des descendants seulement. ) La SE (µ + 1) est semblable au Algorthmes Génétques à état permanent dans le sens où un seul ndvdu est créé dans chaque génératon. Un algorthme d une Stratége d Evoluton standard peut être représenté comme sut [07] [08]: Input : µ, λ, Θ s, Θ m, Θ r 1 t = 0 ; P(t) = ntalsaton (µ) ; 4 whle (lp(t), Θl true) do 5 P (t) = crosement (P(t), Θ r ) ; 6 P (t) = mutaton (P (t), Θ m ) ; 7 F(t) = évaluaton (P(t),P (t), µ, λ) ; 8 P(t+1) = sélecton (P(t),P (t), F(t), µ,θ s ) ; 9 t = t +1 ; 10 end do Output : α * le melleur ndvdu trouvé, ou P * la melleure populaton trouvée. Les paramètres µ, λ, Θ s, Θ m dépendent des opérateurs utlsés et du problème en cours, l est le crtère d arrêt. Une Stratége Evolutonnare procède comme sut : l ntalsaton aléatore d une populaton dans l espace de recherche et dans l espace des paramètres de stratége. la populaton des parents P(t) est sujet à la reproducton pour créer la populaton des descendants P (t). la nouvelle génératon P(t+1) est sélectonnée sot de la populaton des descendants seule, ou des populatons des descendants et des parents. I.4. Les opérateurs d un Algorthme Evolutonnare Nous avons vu précédemment qu un Algorthme Evolutonnare est, dans sa forme de base, une combnason de tros processus applqués à une populaton d ndvdus. Ces processus sont : la reproducton, la sélecton et l évaluaton. C est la défnton de l ndvdu et les processus qu l subt qu défnssent un Algorthme Evolutonnare et les dfférences entre chaque algorthme. ENP

20 Chaptre I Introducton au Calcul Evolutonnare I.4.1. La représentaton d ndvdus Dans un Algorthme Evolutonnare, un ndvdu représente un pont de l espace de recherche, donc une soluton potentelle au problème en man. Dans un Programme Génétque, par eemple, un ndvdu représente une porton de code Lsp. Dans un Programme Evolutonnare tratant l ntellgence artfcelle, un ndvdu est un algorthme prédctf. Lorsqu on est confronté à des problèmes d optmsaton contnue de la forme : mn st F ( X ) : R X A n R (I-3) L espace de recherche est un domane de R n et le pont X de l espace de recherche est un vecteur de dmenson n : X={ 1,, n }. Applqués au problèmes d optmsatons contnues les Algorthmes Evolutonnares utlsent deu types de codages. Les Algorthmes Génétques n opèrent pas sur les varables réelles mas sur une représentaton codée en un alphabet fn (en bnare généralement). L utlsaton du codage par les Algorthmes Génétques est motvé par la théore des schèmes où l utlsateur dot utlser le codage qu permet la plus grande séparablté lnéare du problème. En plus, se basant sur la théore des blocs élémentares Goldberg recommande [09]: l utlsateur dot chosr un codage tel que les schèmes les plus courts et d ordre nféreur sont les plus pertnents. L utlsateur dot sélectonner le plus pett alphabet qu permet une epresson naturelle du problème. Les Stratéges d Evolutons et la Programmaton Evolutonnare ne sont pas concernées par la théore des schèmes, et consdèrent le problème dans sa globalté sans aucun parttonnement. Ils consdèrent qu en absence d évdences théorques et emprques sur l utlté d un quelconque codage, l n est pas utle d utlser autre que la représentaton réelle [09]. Consdérant la mutaton comme l opérateur de recherche prncpal, se présentant sous la forme d une perturbaton gaussenne mult varable, l est possble à chaque ndvdu d avor un vecteur aulare détermnant les paramètres de la mutaton qu lu est applquée [09]. En général, un ndvdu est représenté par tros vecteurs (X,α,σ ) avec : X {,,..., } : 1 n vecteur objectf. : σ, σ σ n R : α 1, α,..., α n( n 1) / σ 1,..., vecteur des dévatons standard. α vecteur des angles de rotaton défnssant la covarance entre les { } n { } mutatons en chaque dmenson (l peut être nul dans le cas ou aucune covarance n est consdérée). ENP 005 1

21 Chaptre I Introducton au Calcul Evolutonnare I.4.. La reproducton Les Algorthmes Evolutonnares trouvent les solutons optmales d un problème en eplorant l espace de recherche, cette eploraton est accomple par la créaton de nouveau ndvdus par le processus de reproducton qu enveloppe le crosement et la mutaton. I L opérateur de crosement Les opérateurs de crosement ntroduts dans les Algorthmes Evolutonnares sont de smples abstractons des processus naturels. Le crosement utlse deu ndvdus ou plus, appelés parents pour créer au mons un nouveau ndvdu appelé descendant. Le premer opérateur de crosement ntrodut par HOLLAND, est une procédure en tros étapes [10]: Deu parents sont choss aléatorement de la populaton des parents. Une ou pluseurs locatons (locus) sont choses comme ponts de rupture du génome (ponts de crosement). Les segments des chaînes parentes sont échangés et combnés pour produre deu nouveau ndvdus descendants. La proporton des parents subssant le crosement durant une génératon est contrôlée par le tau de crosement, pc [0,1], qu détermne la fréquence d applcaton de l opérateur. Pluseurs formes de crosement estent. Une parte d entre eu dérvent des efforts entreprs dans la communauté des stratéges d Evoluton due à leur longue mplcaton dans les problèmes d optmsaton contnue. Le Crosement à k ponts Le crosement en un seul pont est la forme la plus smple, pusqu l est accompl en sélectonnant aléatorement un pont de crosement k { 1,..., n} des deu parents X 1 et X, les segments ans consttués sont combnés pour produre deu nouveau descendant X 1 et X, comme sut : [11] X1: X1: { 11,..., 1 k,..., 1 n} {,...,,..., } 1 k n Crosement X 1' : X ' : { 11,..., 1 k, k + 1,..., n} {,...,,,..., } 1 k 1 k n (I-4) Cet opérateur peut être étendu à un crosement en k ponts en chosssant des postons aléatores k dans les deu parents X 1 et X. Les segments se trouvant entre deu postons k, k +1 sont combnés pour créer deu descendants X 1 et X, comme sut : [11] X1: X1: { 11,..., 1 k,..., 1 k,..., 1 k,..., n} 1 1 {,...,,...,,...,,..., } 1 k1 k k n Ce type de crosement est peu utlsé. X 1' : { 11,..., 1 k, k 1,..., k, 1 k 1,... 1 k, k n} 1,..., {,...,,,...,,,...,,..., } Crosement (I-5) X ' : 1 k 1 1 k k k + 1 k 1 k n ENP

22 Chaptre I Introducton au Calcul Evolutonnare Le crosement unforme Le crosement unforme est une etenson du crosement à k ponts. A partr de deu parents X 1 et X, un descendant X est créé comme sut : [11] ' X = α 1 + ( 1 α), = 1,..., n (I-6) Où : a est une varable aléatore unforme sur {0,1}. Le crosement unforme est le plus utlsée dans les Algorthmes Génétques. La recombnason ntermédare Contrarement au opérateurs de crosement à k ponts, qu échangent les nformatons entre les parents, la recombnason ntermédare crée les descendants en pondérant les composants de pluseurs parents. La verson canonque de cet opérateur combne deu ndvdus X 1 et X pour créer un descendant X comme sut : [1] = α ( 1 α) (I-7) ' X 1 + Où : α est un nombre entre [0,1]. Cet opérateur peut être étendu à plus de deu parents où un descendant est créé par: [1] ' X = α j= 1: k = 1: n j j (I-8) La recombnason ntermédare est utlsée essentellement dans les Stratéges d Evoluton. Autres opérateurs de crosement D autres opérateurs de crosement peuvent être utlsés [1]: ) Le crosement heurstque : qu peut être formulé comme sut, X ' = u( X + X (I-9) X 1) Où u est une varable aléatore unforme entre [0,1] et X 1 et X sont deu parents choss aléatorement avec X oblgatorement melleur que X 1. ) Le crosement smplee : cet opérateur utlse un groupe de parents de talle supéreure à deu, l détermne l ndvdu le mons adapté dans ce groupe X, et calcule le centre pondéré C du groupe sans X, le descendant X étant créé par : X = C + ( C X ) (I-10) ' ENP

23 Chaptre I Introducton au Calcul Evolutonnare ) Le crosement géométrque : dans la verson canonque de cet opérateur, le descendant X est créé en utlsant deu parents comme sut : X ' = [( ),...,( ) ] (I-11) n n Cet opérateur peut être généralsé à k parents : α1 α αk α1 α αk X ' = [(... ),...,(... )] (I-1) 11 1 k1 1n n kn v) Le crosement basé sur l adaptaton : cet opérateur prend k parents et génère un descendant dont chaque élément est sélectonné d un parent avec une probablté correspondante à son adaptaton relatve. S un parent a une valeur d adaptaton f(), alors la probablté qu un élément du descendant sot chos de ce parent est : f ( ) / f ( ) =1,,k (I-13) I.4... L opérateur de mutaton La mutaton est défne comme la créaton d un ndvdu en produsant une réplque erronée de son parent en ntrodusant une perturbaton aléatore dans son génotype. Les Algorthmes Evolutonnares consdèrent la mutaton de deu ponts de vue dfférents : Cadre des Algorthmes Génétques L opérateur de mutaton utlsé dans les Algorthmes Génétques a été ntrodut par Holland pour un alphabet fn quelconque I = A 1 A l, où A = {α 1,, α k }. Cet opérateur procède comme sut : ) Détermner la poston où applquer la mutaton : 1, h ( j { 1,...,l} ), unformément aléatore, chaque poston a la même probablté pm de subr la mutaton, ndépendamment des autres postons. ) Former le nouveau vecteur a = (a 1,, a -1, a, a +1, ) où l allèle a est chos aléatorement unforme de l espace de valeurs admssble à la poston. Dans le cas d une représentaton bnare, on défnt par pm la probablté qu un allèle a {0,1} sot nversé, l opérateur de mutaton m : { 1,0} l { 1. 0} l produt un nouveau ndvdu a =m(a) comme sut : a u > pm a' = (I-14) 1 a u pm Où : u ~ U ([0, 1]) est une varable aléatore. ENP

24 Chaptre I Introducton au Calcul Evolutonnare Les Algorthmes Génétques consdèrent la mutaton comme un opérateur secondare (background operator), qu ne sert qu à assurer l accessblté de tous les allèles à la recherche, et mantenr ans, la dversté dans la populaton, en créant de nouveau allèles. Il faut noter que l opérateur de crosement dans un Algorthme Génétque ne crée pas de nouveau allèles mas fat propager les melleurs d entre eu dans la populaton. Sans opérateur de mutaton, un Algorthme génétque converge vers un optmum local [05]. Les nvestgatons théorques et emprques, dans le cadre de l optmsaton des fonctons, montrent les bénéfces qu apporte la mutaton comme opérateur de recherche, plus spécfquement [13]: ) Les résultats emprques favorsent un large tau ntal de mutaton, qu décroît eponentellement à travers le temps. ) La lmte nféreure pm = 1/l est consdérée comme un tau optmal de mutaton. Ces résultats montrent que, non seulement pour les Stratéges d Evoluton et la Programmaton Evolutonnare, mas auss pour les algorthmes génétques, la mutaton est un opérateur de recherche mportant qu ne dot pas être néglgée. Cadre des Stratéges d Evoluton et Programmaton Evolutonnare Il este une multtude d opérateurs de mutaton ntroduts dans le cadre des Stratéges d Evoluton et de la Programmaton Evolutonnare, utlsant une représentaton réelle des ndvdus. Sot : X =m(x) l opérateur de mutaton, avec X est parent, et X son descendant. La forme la plus commune de cet opérateur est : X =X + M, où la mutaton M est une varable aléatore de moyenne nulle. Défne de cette manère, la mutaton est une procédure de recherche locale [14]. La perturbaton M peut prendre dfférentes formes. Par eemple, M peut être une varable n aléatore suvant une lo de dstrbuton unforme, donc : U U ( a, b) où : a et b sont les lmtes nféreure et supéreure de la varable X, respectvement, (a est souvent égale à b). Le résultat d un n tel opérateur est un descendant qu se stue dans un hypercube défn par X + U ( a, b). Cette méthode souffre de sa susceptblté de converger prématurément lorsque le parent se stue sur un optmum local [14]. La forme de mutaton la plus utlsée, ntrodut une perturbaton suvant une dstrbuton non bornée, la dstrbuton gaussenne étant souvent chose. Cette perturbaton est défne par : 1/ 1 g( ) = [ σ (π ) ] ep[ 0.5( µ ) / σ ] (I-15) La mutaton est de moyenne nulle, donc µ = 0. La dévaton standard σ fournt, dans ce cas, un paramètre de contrôle sur la dstance entre un descendant et son parent X. Dans les premères méthodes de mutaton gaussenne, une seule varance état utlsée pour toutes les dmensons, ce qu manquat d effcacté et de robustesse. La mutaton a été amélorée en utlsant une varance pour chaque dmenson ndépendamment des autres. La détermnaton d un paramètre de contrôle pour chaque dmenson est une tâche dffcle pour un opérateur human, ce qu a perms au opérateurs de mutaton auto-adaptatfs de vor le jour. ENP

25 Chaptre I Introducton au Calcul Evolutonnare La mutaton auto-adaptatve L auto-adaptaton de la mutaton permet de régler la varance au cours du processus de recherche. Dans la premère phase de recherche, une varance élevée est egée pour pouvor parcourr tout l espace de recherche. Cette varance dot décroître au fur et à mesure que l Algorthme converge pour permettre une melleure recherche locale et converger plus rapdement vers l optmum. Les deu méthodes d auto-adaptaton les plus utlsées étaent développées ndépendamment par Schwefel dans le cadre des Stratége d Evoluton et par Fogel dans le cadre de la Programmaton Evolutonnare [14]. Dans ces deu méthodes, un ndvdu est représenté par un vecteur de varables objectfs X et un vecteur de paramètres de stratége : σ où σ est la dévaton standard à utlser pour chaque dmenson. Les paramètres de stratége sont actualsés dfféremment pour chaque méthode. Schwefel a développé la méthode suvante : [15] [16] ' σ = σ ep( τ N(0,1) + τ. N X ' 0 = X ' + N(0, σ ) (0,1)) (I-16) Fogel a proposé la méthode suvante : [14] σ X ' j ' = X + N (0, σ ) = σ + χn (0, σ ) j (I-17) Où 1/ 1/ τ 1/[( n, 0 )] τ 1/(n) 1/ et χ sont des constantes. N (0,1) est une varable aléatore normale centrée rédute. Ces deu mutatons peuvent être utlsées ndfféremment par les Stratéges d Evoluton et par la Programmaton Evolutonnare. Pluseurs comparasons ont été fates entre ces deu formulatons. Les tests ont montré que la méthode ntrodute par Schwefel est plus effcace lorsqu elle est applquée sur une sére de fonctons standard. Celle ntrodute par Fogel parat plus effcace lorsque les fonctons sont brutées. Au leu d utlser n perturbatons gaussennes ndépendantes, la mutaton a été étendue vers une perturbaton gaussenne multvarable utlsant une covarance arbtrare. Schwefel a décrt une procédure ncorporant des angles de rotaton α, comme sut : [16] ' σ = σ ep( τ N(0,1) + τ N(0,1)) X α = α + βn ' ' j = X 0 j (0,1) ' ' + N(0, σ, α ) j. j (I-18) Où: β = (5 ), = 1,,n et j = 1,,n(n-1)/. ENP

26 Chaptre I Introducton au Calcul Evolutonnare Mutaton non unforme Une autre méthode de mutaton utlsant une perturbaton de moyenne nulle est la mutaton non unforme proposée par Mchalewcz [14]: X ( ) + (, ( )) < 0.5 ' t t ub X t s u X ( t) = (I-19) X ( t) ( t, X ( t) lb ) s u 0.5 Où : - X (t) est le ème élément du vecteur X à la génératon t, X [ lb, ub ], les lmtes supéreures et nféreures (respectvement). - u est une varable unforme U(0,1). - la foncton (t,y) retourne une valeur entre [0,y] avec (t,y) tend vers zéro lorsque t tend vers l nfne. b - la foncton (t, y) = yu(1- t/t) est souvent utlsée. Cette méthode de mutaton est souvent utlsée dans le cadre des Algorthmes Génétques (non canonque) utlsant une représentaton réelle. I.4.3. La sélecton La sélecton est l opérateur le plus mportant dans un Algorthme Evolutonnare. L objectf prncpal de la sélecton est de fare valor les melleurs ndvdus dans la populaton. Cet opérateur ne crée aucune nouvelle soluton, mas, garde les melleures solutons dans la populaton et supprme les autres. C est ce qu rend un algorthme évolutonnare une méthode d optmsaton. On peut dfférencer entre deu concepts de sélecton suvant leurs objectfs : [17] La sélecton pour la reproducton crée des copes des ndvdus de la populaton et les places dans la populaton des parents, le nombre de copes que reçot chaque ndvdu est proportonnel à son adaptaton. Cette sélecton est propre au Algorthmes Génétques. La sélecton pour la surve qu chost les melleurs ndvdus pour générer la nouvelle génératon. Le prncpe de la sélecton est qu une soluton ayant une plus grande adaptaton dot avor une plus grande probablté de sélecton. Mas, les opérateurs de sélecton dffèrent dans la manère d assgner cette probablté à chaque ndvdu. Deu prncpau types de sélecton estent : [17] la sélecton détermnste qu tre les ndvdus suvant leurs adaptatons et crée la nouvelle génératon en chosssant les melleures solutons. La sélecton stochastque qu assgne une probablté à la sélecton de chaque ndvdu en foncton de son adaptaton. ENP

27 Chaptre I Introducton au Calcul Evolutonnare I La Sélecton détermnste Cette méthode de sélecton chost les melleurs ndvdus de la populaton pour former la nouvelle génératon. A l nverse de la sélecton stochastque, aucune probablté de sélecton n est utlsée du moment où les µ melleurs ndvdus sont automatquement choss, avec µ comme talle de la populaton des parents. La Sélecton N/ éltste : Les ndvdus des populatons des parents et des descendants sont trés suvant leurs adaptatons et la melleure moté est sélectonnée. Cette méthode est généralement utlsée dans les Algorthmes Génétques. Dans le cadre des Stratéges d évoluton Les Stratéges d Evoluton utlsent souvent la sélecton détermnste. On peut dfférencer entre deu types de sélecton : Stratége d évoluton SE (µ+λ) : cet opérateur sélectonne les µ melleurs ndvdus à partr de l ensemble des ndvdus des populatons des parents et des descendants. S, une sélecton détermnste est utlsée elle préservera les melleures solutons trouvées par l algorthme au cours de la recherche, ce qu peut condure à une convergence prématurée à un optmum local. Stratége d évoluton (µ, λ) : avec : λ = k µ, l opérateur de sélecton chost les µ melleurs ndvdus de la populaton des descendants seuls. Dans ce cas, la melleure soluton trouvée dans la génératon précédente n est pas préservée dans la génératon suvante. Et comme k descendants sont créés de chaque parent (k=5 7), la recherche est très ehaustve, et peut évter les problèmes de convergence prématurée à condton qu une mutaton auto-adaptatve sot utlsée. I Sélecton stochastque Il este une multtude d opérateurs de sélecton stochastque. On cte : [17] Sélecton proportonnelle Cet opérateur assgne une probablté de sélecton proportonnelle à l adaptaton de chaque ndvdu, calculée par : Pr pop ( a ) = λ f j = 1 ( a ) f ( a j ) (I-0) Où : f (a ) est l adaptaton assgnée à l ndvdu a, λ est le nombre d ndvdus. ENP

28 Chaptre I Introducton au Calcul Evolutonnare Cet opérateur de sélecton présente des nconvénents majeurs : comme la probablté de sélecton d un ndvdu est proportonnelle à son adaptaton les valeurs négatves d adaptaton ne sont pas permses. Ce processus ne peut pas prendre en consdératon les problèmes de mnmsaton drectement, qu dovent être transformés en problèmes de mamsaton. s, la populaton content un ndvdu avec une adaptaton eceptonnellement élevée par rapport au reste de la populaton, un super ndvdu, l aura une probablté de sélecton tel qu l occupera la majeure parte des génératons suvantes, ce qu condut à une convergence prématurée de l algorthme à un optmum local. s, les ndvdus ont des valeurs d adaptatons assez proches, cette méthode de sélecton se comporte, alors, comme une sélecton aléatore, ce qu condut à une stagnaton du processus de recherche. Pour parer à ces défauts, la foncton d adaptaton dot être mse en l échelle et bornée entre deu lmtes, nféreure et supéreure, préétables. En général, on pose la foncton d adaptaton comme une translaton lnéare de la foncton objectve, comme sut : Φ ( a ) = αf ( a ) β ( t) (I-1) Avec : Φ foncton d adaptaton, f foncton objectve, [ 1,1 ] α et β f mn Même s une mse en échelle permet de paller les prncpau défauts de la sélecton proportonnelle, l reste qu elle est peu utlsée, car elle ege des calculs supplémentares qu augmentent le temps d eécuton de l algorthme. Sélecton basée sur le rang (rankng selecton) La sélecton basée sur le rang assgne une probablté de sélecton à chaque ndvdu en foncton de son rang ou de son ordre dans la populaton. Cette probablté est assgnée de dfférentes manères dont : [17] Rangement lnéare Le rangement lnéare assgne une probablté de sélecton à chaque ndvdu proportonnellement à son rang dans la populaton. Cette méthode peut être mplémentée en spécfant un seul paramètre β rank qu défnt le nombre de copes assgnés au melleur ndvdu durant chaque génératon. La probablté de sélecton pour un ndvdu peut être défne par : Pr lnr _ rank αrank + [ rank( )/( µ 1)]( βrank αrank ) ( ) = (I-) µ Où : α rank est le nombre de copes allouées à l ndvdu le mons melleur. ENP 005 0

29 Chaptre I Introducton au Calcul Evolutonnare Et comme la somme des probabltés de sélecton est égale à 1,.e. : Alors, µ 1 Pr = β rank α rank 1 ( a ) = α rank + ( ) = ( β rank + α µ ( µ 1) ln _ rank = 0 = 0 β = 1 β rank α rank rank rank ) (I-3) La probablté de la sélecton du melleur ndvdu est deu fos celle de la moyenne de la populaton, donc le melleur ndvdu de la populaton a deu fos plus de chance d être sélectonné qu un ndvdu moyen. Rangement non lnéare Le rangement non lnéare assgne des probabltés de sélecton suvant une foncton non lnéare du rang de l ndvdu, comme sut : La probablté de sélecton peut être une foncton quadratque du rang de l ndvdu : Pr sq _ rank α + [ rank( )² /( µ 1)²]( β α) ( ) = c (I-4) ( β α) µ (µ 1) c = + µ α (I-5) 6( µ 1) Cette verson utlse deu paramètres α et β, où 0<α<β, ce qu donne une probablté de sélecton comprse entre α/c et β/c. La dstrbuton géométrque est auss souvent utlsée avec : Pr µ 1 rank ( ) geom _ rank ( ) = (1 α) α (I-6) La sélecton basée sur le rang évte le problème de convergence prématurée et de stagnaton de l algorthme, car les probabltés de sélecton sont ndépendantes de la valeur d adaptaton de l ndvdu, et peuvent être comprses entre des valeurs ben détermnées pour chaque problème pour amélorer la convergence. Sélecton par tourno Dans cette méthode un groupe de q ndvdus est chos aléatorement de la populaton. Ce groupe prend part à une tourno, l ndvdu avec la valeur d adaptaton la plus élevée étant chos, ce processus se répète jusqu à compléter la nouvelle génératon. Les ndvdus partcpant à un tourno sont sot élmnés sot rems dans la populaton. La forme la plus smple de la sélecton par tourno est la sélecton par tourno bnare. Dans cette méthode, deu ndvdus sont choss au hasard, et le melleur d entre eu est ntrodut dans la nouvelle génératon. ENP 005 1

30 Chaptre I Introducton au Calcul Evolutonnare Dans la sélecton par tourno, la sévérté de la sélecton est foncton du nombre d ndvdus partcpant au tourno q, elle augmente avec l augmentaton de la talle du groupe q : [18] S, q = 1 la sélecton est aléatore. S, q = µ (talle de la populaton), la sélecton est détermnste. La sélecton par tourno évte les problèmes de convergence prématurée en fournssant un moyen smple et effcace pour le contrôle de la sévérté de la sélecton. Cette méthode de sélecton est la plus utlsée dans les Algorthmes Evolutonnares, car elle présente de nombreu avantages : Smple d mplémentaton et assez ntutve. Aucun calcul supplémentare n est egé (aucune statstque). Aucune mse en échelle de la foncton d adaptaton n est utlsée et les valeurs d adaptaton négatves sont admses Peut être utlsée ndfféremment pour la mnmsaton ou la mamsaton. Méthode déale pour une mplémentaton parallèle, pluseurs sélectons peuvent être effectuées en même temps. La compétton par tourno : Cet opérateur est une varante de la sélecton par tourno, elle est souvent utlsée dans le cadre de la Programmaton Evolutonnare. Chaque ndvdu de la populaton est comparé avec q ndvdus choss aléatorement, le score de chaque ndvdu est foncton du nombre d opposants qu l domne. Les ndvdus ayant les melleurs scores sont choss pour être dans la nouvelle génératon [17] [18]. ENP 005

31 Chaptre II : II. LE CALCUL EVOLUTIONNAIRE DANS L OPTIMISATION CONTINUE

32 Chaptre II Calcul Evolutonnare dans L optmsaton Contnue II.1. Introducton Les problèmes d optmsaton contnue sont les plus répandus dans le domane de l ngénere, car on cherche souvent à optmser un comportement, comme mnmser le coût ou mamser le rendement. Les problèmes d optmsaton peuvent être assez complees et enveloppent souvent des contrantes et/ou pluseurs objectfs. La forme générale d un problème d optmsaton est : mn s. t F( X ): R X S X B n R k (II-1) Avec : { } n X = 1,,..., R vecteur des varables objectves de dmenson n n { } k F = f,..., problème est dt mono objectf, s non l est dt mult objectfs. 1, f f k R vecteur des fonctons objectves. Dans le cas ou k = 1, le n S R espace de recherche lmté par les contrantes paramétrques : avec : { 1,,..., n} B régon de fasablté défne par l ensemble des contrantes. Nous pouvons dfférencer entre tros prncpau types de problèmes d optmsaton : Optmsaton mono-objectve sans contrantes : c est le cas le plus smple où le domane de fasablté de la foncton objectve estr. Optmsaton mono-objectve avec contrantes : dans ce cas, le domane de fasablté des solutons est défn par l ensemble des contrantes. Optmsaton mult-objectve : dans ce type de problèmes nous sommes confrontés à pluseurs objectfs qu dovent être optmsés smultanément sujet au contrantes. ENP 005 3

33 Chaptre II Calcul Evolutonnare dans L optmsaton Contnue II.. Optmsaton mono-objectve sans contrantes Un Algorthme Evolutonnare est, par défnton, une méthode d optmsaton. Un Algorthme Evolutonnare de base permet de résoudre des problèmes d optmsaton smples (mono-objectf sans contrantes). Il sufft, pour cela, de poser la foncton objectve comme foncton d évaluaton. Pour tester l effcacté d un Algorthme Evolutonnare à résoudre de tels problèmes, nous effectuons un ensemble de tests. Après la convergence de chaque algorthme, la courbe f(xopt) qu donne la convergence de l algorthme est tracée, avec Xopt est le melleur ndvdu trouvé dans chaque génératon n. II..1. Teste 1 La foncton suvante est utlsée comme foncton de test : n = 1 Avec 5 5 Dans le cas où n =, la foncton est de la forme suvante : f ( X ) = (II-) Fgure II-1: F01(X) pour n = C est une foncton smple avec un seul optmum : X * = [0, 0] avec f(x*) = 0. Pour optmser cette foncton, nous utlsons les Algorthmes Evolutonnares suvant : ENP 005 4

34 Chaptre II Calcul Evolutonnare dans L optmsaton Contnue II Stratége d Evoluton Applquons les paramètres suvants : Nombre mamal de génératon : nma =0. Talle de la populaton des descendants : L = 50. Talle de la populaton des parents : m = 10. Une recombnason ntermédare. Une mutaton auto-adaptatve suvant la formulaton de Schwefel avec b = 1; T = 0.5 Une sélecton par tourno avec q = 5. L évoluton de l algorthme est comme sut : f (Xopt) n Fgure II- : Caractérstque de convergence Après la convergence de l Algorthme nous obtenons le résultat suvant : X* = 10-3 [0.365, ] et f(x*) = e-007 ENP 005 5

35 Chaptre II Calcul Evolutonnare dans L optmsaton Contnue II..1.. Programmaton Evolutonnare Soent les paramètres suvants : Nombre mamal de génératon : nma =0. Talle de la populaton des descendants : L = 40. Talle de la populaton des parents : m = 10. Une mutaton auto adaptatve suvant la formulaton de Fogel avec b = 0.9. Une compétton par tourno avec q = 5. L évoluton de la convergence et comme sut : f (Xopt) n Fgure II-3 : Caractérstque de convergence Le résultat obtenu après l eécuton de l algorthme est comme sut : X* =10-3 [-0.739, ] et f(x*) = 3.393e-007 Cette foncton ne pose aucune dffculté partculère, les deu algorthmes ont convergé vers l optmum en quelques tératons seulement. ENP 005 6

36 Chaptre II Calcul Evolutonnare dans L optmsaton Contnue II... Teste Consdérons le problème suvant : Mn n F0( X ) = 10* n + (( a ) 10 cos(π )) (II-3) = 1 Avec : et a = 1. Nous voulons trouver le mnmum global de cette foncton pour une dmenson de n = 5. Cette foncton présente un optmum global à X = 0 avec F0(X) = 0. Pour avor une dée sur la forme de cette foncton, traçons la foncton pour n = 1 et n = : f () Fgure II-4 : F0(X) pour n = 1 Fgure II-5 : F0(X) pour n = ENP 005 7

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