Chapitre 5 : Les lentilles et les instruments d optique

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1 Exercices Chaitre 5 : Les lentilles et les instruments d otique E. (a) On a n,33, n 2,0cm et R 20 cm. En utilisant l équation 5.2, on obtient,33 0 cm + q,33 20 cm q 8,58 cm Le chat voit le oisson à 8,58 cm derrière la aroi. (b) Selon l équation 5.3, on obtient m n q (,33)( 8,58 cm) n 2 ()(0 cm),4 y I my O (,4) (2 cm) 2,28 cm (c) Les données équivalent maintenant à n, n 2,33, 5cm et R 20cm. En utilisant l équation 5.2, on obtient 5 cm +,33 q,33 20 cm q 26,5 cm Le oisson voit le chat à 26,5 cm derrière la aroi. (d) m n q ()( 26,5 cm) n 2 (,33)(5 cm),33 E2. On retrouve dans cet exercice les mêmes conditions qu à la artie (c) de l exemle 5.2; on eut ainsi considérer que le rayon de courbure du diotre tend vers l infini. Puisque n,33, n 2 et q 0,5 m, si l image est virtuelle, on obtient,33 + 0,5 0 0,665 m Le saumon est donc en réalité à 66,5 cmsouslasurfacedel eau. E3. On donne 2 diotres de rayon de courbure infini, comme à la artie (c) de l exemle 5.2. On considère d abord le assage de la lumière à travers le remier diotre séarant le verre et l eau. On a ici n,5, n 2,33, 0cm et on calcule,5 0 cm +,33 q 0 q 8,87 cm Cette image devient l objet our le deuxième diotre. Si l on considère les 30 cm d eau au-dessus du verre, cela se traduit ar n,33, n 2, (8,87 cm)+(30cm) 38,87 cm, et on trouve,33 38,87 cm + q 2 0 q 2 29,2 cm La mouche semble se trouver à 29,2 cm sous le niveau de l eau. E4. Pour un diotre shérique (R ±4 cm), la relation entre et q est donnée ar l équation 5.2, soit n + n 2 (n,5). q n 2 n R, dans laquelle n et n 2 sontlesindicesdel air() et du verre v3 Ondes, otique et hysique moderne, Chaitre 5 : Les lentilles et les inst. d ot.

2 (a) Si, on a à l entrée uis à la sortie de la shère des images roduites resectivement en q et q 2 : + n q n + q 2 n R 0,5 4 cm q 3R 2cm 2R q 4 cm n R,5 4 cm + q 2 0,5 4 cm q 2 2,00 cm L image finale est à 6,00 cm du centre de la shère. (b) Si l objet est à 20 cm du centre de la shère, on a 6cm. On a à l entrée uis à la sortie de la shère des images roduites resectivement en q et q 2 : 6 cm +,5 q n R 0,5 4 cm q 24cm 2R q 6 cm n + q 2 n R,5 6 cm + q 2 0,5 4 cm q 2 4,57 cm L image finale est à 8,57 cm du centre de la shère. E5. Quellequesoitlaositiondel objetdevantlatigedeverred indicen,5 rerésentée à la figure 5.4, la lumière doit traverser deux diotres. La surface convexe constitue le remier avec un rayon de courbure R R 8cm.Lafacelaneestlesecondavec R 2. Pour les deux diotres, on utilise l équation 5.2. L image du remier diotre est l objet our le second, ce qui ermet de calculer la osition de l image finale. (a)avecl objetsituéà 24cm de la surface convexe, on calcule la osition de la remière image q : + n q n R 24 cm +,5 q 0,5 8 cm q 72cm Comme elle se situe au-delà de l extrémité de la tige de verre, cette image devient un objet virtuel our ce second diotre. On calcule ainsi, en resectant les conventions de signe : 3R q 48 cm Ce qui ermet de calculer la osition de l image finale, avec R 2 : n + q 2 n R 2,5 48 cm + q 2 0 q 2 32,0 cm L image finale se trouve à 32,0 cm de la face lane, dans l air. (b) Avec l objet situé à 6cm de la surface convexe, on calcule la osition de la remière image q : + n q n R 6 cm +,5 q 0,5 8 cm q 4,4 cm Cette image virtuelle du remier diotre est un objet réel our la face lane : 3R q 38,4 cm 2 Ondes, otique et hysique moderne, Chaitre 5 : Les lentilles et les instruments d otiquev3

3 n + q 2 0,5 38,4 cm + q 2 0 q 2 25,6 cm L image finale se trouve à,60 cm de la face convexe, dans l air. E6. Pour une lentille mince lan-convexe, on cherche la osition de l image en utilisant la formule + q f où f (n ) R R 2 avec n,5 (a) Si l objet est dans l air, à l infini du côté convexe de la lentille, on a R 2cm et R 2, de sorte que + q (n ) R q R n 24,0 cm (b) Si l objet est dans l air, à l infini du côté lan de la lentille, on a R et R 2 2 cm, de sorte que + q (n ) R 2 q R 2 n 24,0 cm E7. Pour une lentille mince (n,5), la distance fale s exrime au moyen de l équation 5.5. (a) Si f 6cm et R 2cm, on calcule R 2 ainsi : f (n ) R R 2 6 cm (,5 ) 2 cm R 2 (b) Si f 40 cm et R 2cm, on calcule R 2 ainsi : f (n ) R R 2 40 cm (,5 ) 2 cm R 2 R 2 24,0 cm R 2 7,50 cm E8. D arès la formule des lentilles minces, on a, en fonction de 4metdey O 2m, (a) our une distance fale f 0,05 m: f + q q 0,05 4 q 0,0506 m m q 0,027 y I my O y I 2,53 cm (b) our une distance fale f 0,2 m: f + q q 0,2 4 q 0,2 m m q 0,0526 y I my O y I 0,5 cm E9. Cette situation est similaire à celle que décrit la figure 5.27 du manuel. Si l objet est loin de la lentille, la lumière en rovenance de tous ses oints forment des familles de rayons quasi arallèles entre eux. Pour chaque oint et en articulier our celui qui se trouve au sommet de l objet, ces rayons convergent au foyer de la lentille, à une certaine distance au-dessous de l axe otique, et l image réelle y aaraît, comme dans cette figure : v3 Ondes, otique et hysique moderne, Chaitre 5 : Les lentilles et les inst. d ot. 3

4 Comme on eut s en rendre comte en examinant le rayon lumineux qui, en rovenance de l objet, frae le centre de la lentille, l angle α que sous-tend l image ar raort à la lentille est le même que celui que sous-tend l objet (y O 2r) situé à une grande distance D de la lentille. Dès lors, comme tan α y I f y I 2rf D et tan α y O D 2r D, on arrive à y I f 2r D On eut aussi suivre le raisonnement suivant : comme D est grand alors, dans l équation 5.6a, 0, de sorte que q f. Selon l équation 4.9, en raelant que y O 2r, on a que m y I y O q y I y O q 2rf D (a) Pour les rayons issus de la Lune, on trouve y I 2rf D 2(,74 06 )(2) 3,84 0 y 8 I 8, mm (b) Pour les rayons issus du Soleil, on trouve y I 2rf D 2(6,96 08 )(2) y,5 0 I 8,6 mm E0. On donne q 2m, y O cm et y I 5cm. Comme l image est réelle, m<0 ou m 5. (a) On calcule la osition de l objet, soit m q 5 q m 2 5 0,400 m (b) Quant à la distance fale, elle est de f + q f 0,4 + 2 f 0,333 m E. D arès la formule des lentilles minces et avec m 4et q 6 cm (image virtuelle), (a) on calcule la osition de l objet, soit 4 Ondes, otique et hysique moderne, Chaitre 5 : Les lentilles et les instruments d otiquev3

5 m q 4 q 6 cm m 4 4,00 cm (b) et la distance fale, soit f + q f 4 cm + 6 cm f 5,33 cm E2. D arès la formule des lentilles minces et avec m 3 et q 6cm (image réelle), (a) on calcule la osition de l objet, sot m q 3 q m 6 cm 3 (b)etladistancefale,soit 8,0 cm f + q f 8 cm + 6 cm f 4,50 cm E3. On donne y O 36mm. On suose our l instant que la distance objet est suérieure à la distance fale de la lentille, de sorte que l image sera renversée comme à la figure 5.2a du manuel. Dans ce cas, la largeur de l image voulue corresond à y I 2 m. On calcule le grandissement linéaire en utilisant sa définition, m y I y O 2 0,036 55,6. La distance image étant q 7m, on calcule la distance objet à artir de l équation 5.6b : m q q m 7 55,6 0,26 m On calcule ensuite la distance fale de la lentille du rojecteur : f + q f 0, f 0,24 m On note finalement que >f, bien que ce soit ar une très faible distance. E4. D arès la formule des lentilles minces et avec f 50mm, on cherche la osition de l image, (a) si la osition de l objet est m, ce qui donne f + q q 0,05 2 q 0,053 m (b) si la osition de l objet est 0,5 m, ce qui donne f + q q 0,05 0,5 q 0,0556 m E5. On considère une lentille convergente (f 5cm) et le grandissement linéaire m 2. Voici les ositions ossibles de l objet : si m 2 q m cm 2,5 cm ou si m 2 q m cm 7,50 cm L objeteutdoncsetrouverà 22,5 cm ou à 7,50 cm. E6. D arès la formule des lentilles minces et avec m 2 3 et cm, (a) on calcule la osition de l image, soit v3 Ondes, otique et hysique moderne, Chaitre 5 : Les lentilles et les inst. d ot. 5

6 m q 2 3 q m 2 3 (2 cm) 8,00 cm (b) et la distance fale, ce qui donne f + q f 2 cm + 8 cm f 4,80 cm E7. La lentille est convergente (f 35cm) et la valeur absolue du grandissement linéaire est fournie ( m 2,5). Comme l objet est réel ( >0), le tye d image ermet de déterminer le signe du grandissement à artir de l équation 5.6b (m q/) : (a) Si l image est réelle, q>0, le grandissement linéaire est m 2,5 q m,5 + 2,5 35 cm (b) Si l image est virtuelle, q<0, le grandissement linéaire est m 2,5 q m,5 + 2,5 35 cm 49,0 cm 2,0 cm E8. On considère une lentille convergente (f 20cm) et le grandissement linéaire m 0,4. Voici les ositions ossibles de l objet : (a) Si l image est réelle, m<0, et m 0,4 q m 0,4 + 0,4 20 cm (b) Si l image est virtuelle, m>0, et 70,0 cm m 0,4 q m 0,4 + 0,4 20 cm 30,0 cm E9. Pour une lentille mince biconvexe, on cherche la osition de l image en utilisant la formule + q f où f (n ) R R 2 avec n,5. Si l objet est situé à 0cm de la lentille et que l on ose R 2cm et R 2 6 cm, on eut calculer la osition de l image et ensuite le grandissement linéaire : 20 cm + q (,5 ) 2 cm 6 cm q 43,6 cm m q 43,6 cm 20 cm m 2,8 E20. Pour une lentille mince biconcave, on cherche la osition de l image en utilisant la formule + q f où f (n ) R R 2 avec n,5. Si l objet est situé à 0cm de la lentille et que l on ose R 2 cm et R 2 6cm, on eut calculer la osition de l image et ensuite le grandissement linéaire : ³ 20 cm + q (,5 ) 2 cm 6 cm q 8,4 cm m q 8,4 cm 20 cm m 0,407 E2. On considère une lentille divergente (f 20 cm). On cherche la osition de l objet. (a) Si l image est virtuelle, ce qui imlique que q<0, et qu elle est droite, alors le grandis- 6 Ondes, otique et hysique moderne, Chaitre 5 : Les lentilles et les instruments d otiquev3

7 sement linéaire est m 0,2, desorteque q m 0,2 + 0,2 20 cm 80,0 cm (b) Si l image est réelle, ce qui imlique que q>0, et qu elle est droite, alors le grandissement linéaire est m,5, desorteque q m,5 +,5 20 cm 6,67 cm E22. On calcule la osition de l image issue de la remière lentille (f 0cm) avec 20cm : 20 cm + q 0 cm q 20cm Puisque la seconde lentille (f 2 5 cm) se trouve à 0 cm de la remière, on obtient comme suit la osition de l objet our cette dernière et la osition de l image résultante : (0cm) q 0 cm (objet virtuel) 0 cm + q 2 5 cm q 2 30,0 cm E23. On calcule la osition de l image issue de la remière lentille (f 0cm) avec 2cm : 2 cm + q 0 cm q 60cm Puisque la seconde lentille (f 2 20cm) est à 5 cm de la remière, on obtient comme suit la osition de l objet our cette dernière et la osition de l image résultante : (5cm) q 45 cm (objet virtuel) 45 cm + q 2 20 cm q 2 3,8 cm E24. On calcule la osition de l image I issuedelaremièrelentille(f 8cm) avec 40cm : 40 cm + q 8 cm q 0cm m q 0 cm 40 cm 0,250 Puisque la seconde lentille (f 2 2cm) est à 20 cm de la remière, on obtient comme suit la osition de l objet our cette dernière et la osition de l image résultante I 2 : (20cm) q 0cm 0 cm + q 2 2 cm q 2 60,0 cm On calcule ensuite le grandissement transversal de la seconde lentille et le grandissement total : m 2 q 2 60 cm 0 cm 6,00 m m m 2 ( 0,250) (6,00) m,50 Le tracé de deux des rayons rinciaux donne v3 Ondes, otique et hysique moderne, Chaitre 5 : Les lentilles et les inst. d ot. 7

8 E25. Pour la remière et la seconde lentille, on a + q f et + q 2 f 2,où q uisque les deux lentilles minces sont accolées et que l image réelle de la remière devient l objet virtuel de la seconde. On additionne les deux équations our trouver + q + q + q 2 f + f 2 + q 2 f + f 2 Lecôtédroitdel équationeutêtreassimiléàl effet d une seule lentille équivalente de distance fale f. Sa valeur n est qu aroximative uisqu on ne eut négliger totalement l éaisseur des deux lentilles initiales; donc f f + f 2 f f f 2 f +f 2 CQFD E26. D arès l exression de la distance fale combinée obtenue à l exercice 25, on trouve f f f 2 f +f 2 f f + f 2 4 cm 0 cm + f 2 f 2 35,0 cm E27. On considère une loue avec les données 5,7 cm et f 6cm. (a) On calcule ainsi le grossissement angulaire : G 0,25 0,25 0,057 4,39 (b) En vertu de la loi des lentilles minces, on obtient ainsi la osition de l image : f + q 6 cm 5,7 cm + q q 4 cm E28. Pour une lentille convergente (f 4cm), on obtient l image virtuelle (q 40 cm) d un objet ayant y O mm de largeur. (a) La dimension de l image donnée ar la lentille équivaut à f + q 4 cm + 40 cm 3,64 cm m q 40 cm 3,64 cm,0 et m y I y O y I my O y I,0 mm (b) Le grossissement angulaire corresond à 8 Ondes, otique et hysique moderne, Chaitre 5 : Les lentilles et les instruments d otiquev3

9 G 0,25 0,25 0,0364 6,87 E29. (a) Si l image donnée ar la loue se trouve au unctum roximum normal (q 25 cm), la loi des lentilles minces et l équation du grossissement indiquent que f + q f + 0,25 f + 0,25 G 0,25 0,25 f + 0,25 G + 0,25 f CQFD (b) La distance fale corresondant au grossissement angulaire G 2,4 équivaut à G + 0,25 f 2,4 0,25 f,4 f 0,79 m E30. La distance fale d une loue est f 0cm. (a) On obtient comme suit la osition de l objet qui donne le grossissement angulaire maximal, ce qui se roduit si l image donnée ar la loue se trouve au unctum rosimum normal (q 25 cm) : f + q 0 cm + 25 cm 7,4 cm (b) On trouve aussi la taille de l image, connaissant celle de l objet (y O 2mm) : m q 25 cm 7,4 cm 3,5 et m y I y O y I my O y I 7,00 mm E3. Lorsque l image finale est à l infini, l image donnée ar l objectif coïncide avec le foyer de l ulaire. D,arès les données G 400, 6cm et f ob 0,5 cm, la distance fale de l ulaire équivaut à G f 0,25 ob f 400 f 2,00 cm E32. Les distances fales du microscoe sont f ob 0,8 cm et f 3cm. Comme la distance entre les lentilles est d 7,5 cm, la longueur otique équivaut à d f f ob 3,7 cm. L image virtuelle finale étant située à q 40 cm de l ulaire (cette figure est similaire à la figure 5.24), on en déduit que + q f + 40 cm 3 cm 2,79 cm La osition de l image de l objectif est q ob d 4,7 cm, et on détermine que ob + q ob f ob ob + 4,7 cm 0,8 cm ob 0,846 cm G q ob ob 25 cm 4,7 cm 0,846 cm 25 cm 2,79 cm 56 E33. Les distances fales du microscoe sont f ob 0,6 cm et f 2,4 cm. L objet est situé à ob 0,625 cm de l objectif. On calcule ainsi la osition de l image de l objectif : ob + q ob f ob 0,625 cm + q ob 0,6 cm q ob 5cm Si l image finale est à l infini, l image donnée ar l objectif coïncide avec le foyer de v3 Ondes, otique et hysique moderne, Chaitre 5 : Les lentilles et les inst. d ot. 9

10 l ulaire. Puisque f, on a q ob + f ob (voir la figure 5.24), et on en déduit que q ob f ob 4,4 cm et d + f ob + f 7,4 cm Le grossissement se calcule alors directement, comme suit G f ob 25 cm f 4,4 cm 25 cm 0,6 cm 2,4 cm 250 E34. L objectif du télescoe astronomique a une distance fale f ob 60cm. Puisque l objet à observer est situé à l infini, on a ob, et on déduit la osition de l image roduite ar l objectif : ob + q ob f ob + q ob 60 cm q ob 60cm La distance entre les lentilles est d 65cm, et, comme d q ob +, on obtient 5cm. L instrument est réglé our un œil normal au reos, c est-à-dire un œil dont le unctum remotum est situé à l infini, de sorte que l image finale est située aussi à l infini, q, ce qui donne, our la distance fale de l ulaire + q f 5 cm + f f 5,00 cm On en déduit que d q ob + f ob + f ou encore que les foyers sont confondus. On calcule finalement le grossissement angulaire du télescoe comme suit G f ob f 60 cm 5 cm 2,0 E35. On traite cet exercice d une manière similaire à l exercice récédent. Si l image finale est à l infini, le grossissement angulaire s exrime comme le raort des distances fales du télescoe, qui sont f ob 80 cm, our le miroir, et f 5cm, our l ulaire. On obtient donc directement : G f ob f 80 cm 5 cm 36,0 E36. Une lunette de Galilée est réglée our un œil normal au reos, ce qui signifie que l image finale est située à l infini, q, et que les foyers sont confondus, comme à la figure Le grossissement angulaire s exrime alors comme le raort des distances fales du télescoe, soit f ob 36cm et f, qui est inconnue. On déduit ainsi la valeur de f : G f ob f 8 cm E37. On donne f ob 5metf 0cm. 36 cm f f 4,50 cm (a) On calcule ainsi le grossissement angulaire lorsque l image finale est située à l infini : G f ob f 500 cm 0 cm 50,0 (b) Lorsque l image finale est située à q 40 cm de l ulaire, on trouve 0 Ondes, otique et hysique moderne, Chaitre 5 : Les lentilles et les instruments d otique v3

11 + q f + 40 cm 0 cm 8,00 cm G f ob 500 cm 8 cm 62,5 E38. La distance entre les lentilles d un télescoe astronomique est d 65cm. L image finale est située à l infini, de sorte que d f ob + f ; uisque le grossissement angulaire est G 25, on en déduit que d f ob + f 65cm et G f ob f 25 25f + f 65cm f 2,50 cm f ob d f f ob 62,5 cm E39. Une lunette de Galilée a une longueur d 5cm et un objectif ossédant une distance fale f ob 20cm. L image finale est située à l infini, de sorte que f ob d + f.on obtient comme suit f < 0 et le grossissement angulaire de la lentille : f f ob d (20 cm) (5 cm) 5 cm G f ob f 20 cm 5 cm 4,00 E40. Lorsque l image finale est à l infini, le grossissement angulaire du télescoe astronomique s exrime comme le raort des distances fales du télescoe, qui sont f ob 6,8 met f 3,5 cm, ce qui donne G f ob f 6,8 0, E4. Les distances fales du télescoe sont f ob,8 metf cm. On trouve le grossissement angulaire, si l image finale est située à q 40 cm de l œil, en obtenant d abord : + q f + 0,40 0, 0,0863 m G f ob,8 0, ,9 E42. Une lunette de Galilée ossède les distances fales f ob 24cm et f 8 cm. L objet est situé en ob 2m. (a) Les lentilles sont à une distance d 6cm l une de l autre; on obtient ainsi la osition de l image finale : ob + q ob f ob 2 + q ob 0,24 q ob 24,49 cm d q ob 8,49 cm + q f 8,49 cm + q 8 cm q 39 cm de l ulaire (b) Pour que l image finale soit à l infini, il faut que la osition de l objet de l ulaire se trouve au foyer de l ulaire, soit f 8 cm. Puisque cet objet est l image de v3 Ondes, otique et hysique moderne, Chaitre 5 : Les lentilles et les inst. d ot.

12 l objectif, on en déduit directement la distance entre les deux lentilles : d q ob + (24,5 cm)+( 8 cm) 6,5 cm E43. Une rescrition corrective de uissance P 2,8 D requiert une lentille correctrice de distance fale f P 0,357 m. Cette lentille agit de telle sorte que l image virtuelle (q <0) d un objet situé à 0,25 m aaraît au unctum roximum de l œil (d PP q). Ainsi, lorsque la ersonne enlève ses lunettes, le unctum roximum se trouve à une distance de + q f + d PP f 0,25 + d PP 0,357 d PP 83,3 cm E44 (a) Puisque d PP 5cm, le unctum roximum ne nécessite as de correction. Toutefois, uisque d PR 40cm, le unctum remotum exige une correction. Avec la lentille correctrice, l objet qui est à l infini doit araître situé à q d PR 40 cm. Avec, on obtient la bonne rescrition : + q f + 40 cm f f 40,0 cm (b) Si la ersonne conserve toujours ses verres, son unctum roximum change de lace. Sa nouvelle valeur, d 0 PP, est la osition d un objet dont l image se situe au unctum roximum initial (q d PP ),donc + q f + d PP f + 5 cm 40 cm d0 PP 24,0 cm E45. On donne d PP 40cm et d PR 4m. (a) Avec une remière lentille correctrice, l objet qui est à l infini doit araître situé au unctum remotum, q d PR 4 m. Comme, on obtient ainsi la uissance de cette lentille : + q f + 4 f f 4,0 m P f 0,250 D Le unctum roximum, d PP 40cm, nécessite aussi une correction, telle que l image virtuelle d un objet situé à 0,25 m aaraisse au unctum roximum de l œil, q d PP 0,40 m. La uissance de cette seconde lentille équivaut à + q f 0,25 + 0,4 f 2 f 2 0,667 m P 2 f 2,50 D Les uissances des deux lentilles sont donc de 0,250 D et de,50 D. (b) On a déjà établi l effet de cette lentille our la vision de loin et on sait que la ersonne voit nettement ce qui est à l infini. Toutefois, les objets rarhés ne euvent se situer à l intérieur du unctum roximum (q d PP ),etlavaleurminimalede est 2 Ondes, otique et hysique moderne, Chaitre 5 : Les lentilles et les instruments d otique v3

13 + q f + 0,4 4,0 44,4 cm Le domaine de vision nette s étend donc de 44,4 cm à l infini. (c) On a déjà établi l effet de cette lentille our la vision de rès et on sait que la ersonne voit nettement les oints situés au unctum roximum et au-delà. Toutefois, les objets éloignés ne euvent se situer au-delà du unctum remotum (q d PR ),etlavaleur maximale de est + q f ,667 57,2 cm Le domaine de vision nette s étend donc de 25,0 cm à 57,2 cm. E46. (a)leunctumroximum,d PP 34cm, nécessite une correction telle que l image virtuelle d un objet situé à 0,25 m aaraisse au unctum roximum de l œil : q d PP 0,34 m La uissance de cette lentille est donc de + q f 0,25 + 0,34 f f 0,944 m P f,06 D (b) Avec une lentille correctrice, l objet qui est à l infini doit araître situé au unctum remotum, q d PR 0,34 m. Comme, on obtient comme suit la uissance de cette lentille : + q f + 0,34 f f 0,34 m P f 2,94 D E47. Avec la correction, l objet qui est l infini ( ) aaraît au unctum remotum, q d PP 2 m. La uissance de la lentille utilisée équivaut à + q f + 2 f f 2 m P f 0,5 D Avec ces lunettes, un objet situé à 0,28 m, la osition du unctum remotum avec lunettes, doît aaraître à la osition du unctum roximum de l œil nu (q d PP ), ce qui donne + q f 0,28 + d PP 2 d PP 24,6 cm E48. Avec les vieilles lunettes de uissance P,5 D, un objet situé à 0,40 m, la osition du unctum roximum avec lunettes, doit aaraître à la nouvelle osition du unctum roximum de l œil nu (q d PP ). On calcule d abord d PP : + q f P 0,4 + d PP,5 d PP m Avec la nouvelle correction P 0, l image virtuelle d un objet situé à 0 0,25 mdoit aaraître à la nouvelle osition du unctum roximum de l œil (q 0 d PP m) : v3 Ondes, otique et hysique moderne, Chaitre 5 : Les lentilles et les inst. d ot. 3

14 + 0 q 0 f 0 0,25 + f f 0 0,333 m P 0 0 f 3,00 D 0 E49. (a) La ersonne utilise une lentille divergente de uissance P 2 D our que l image d un objet lacé à l infini ( ) aaraisse au unctum remotum (q d PR ) : + q f P + d PR 2 d PR 50,0 cm (b) Le unctum roximum avec lunettes, d 0 PP, corresond à la osition d un objet ( d0 PP ) dont l image se forme au runctum roximum sans lunettes (q d PP 0,20 m) : + q f P d 0 PP E50. (a) 50 cm + 20 cm f f 33,3 cm (b) 50 cm + 20 cm f f 4,3 cm E5. x + (00 cm) x 20 cm E52. (a) m q,5 et +,5 2 cm (b) m q,5 et +,5 2 cm + 0,20 2 d0 PP 33,3 cm x 27,6 cm et 72,4 cm 4,00 cm 20,0 cm E53. On donne y O,8 metf 55mm. Comme la distance objet est robablement suérieure à la distance fale de la lentille, l image est renversée comme à la figure 5.2a du manuel. Dans ce cas, la hauteur de l image voulue corresond à y I 24 mm. On calcule le grandissement linéaire en utilisant sa définition, m y I y O 24 mm 800 mm 75,0. Avec l équation 5.6b, on établit une relation entre la distance image et la distance objet : m q q m q 75,0 On calcule finalement la distance objet à artir de l équation 5.6a : + q f + 75,0 55 mm 4,8 m E54. 0 cm + q 2 cm q 60 cm 75cm 75 cm + q 2 30 cm q 2 2,4 cm m m m 2 q q 2 ³ 60 cm 0 cm y I my O y I 2,06 cm 2,4 cm 75 cm,7 E55. (a) 40 cm + q 5 cm q 24cm 4 cm 4 cm + q 2 0 cm q 2 35,0 cm (b) m m m 2 q q 2 ³ 24 cm 40 cm 35 cm 4 cm,50 E56. 8 cm + q 0 cm q 22,5 cm 7,5 cm 7,5 cm + q 2 5 cm q 2 5,00 cm ³ m m m 2 q q 2 22,5 cm 8 cm 5 cm 7,5 cm m 0,833 4 Ondes, otique et hysique moderne, Chaitre 5 : Les lentilles et les instruments d otique v3

15 E57. (a) + 25 cm 0 cm (b) m q 3,50 7,4 cm E58. h f tanθ h 2tan(0,52 ),82 cm E59. (a) G f ob f 240 cm 2 cm 20 G β α β αg 0,4 (b) q ob 240cm, alors + 25 cm 2 cm 8, cm G f ob 29,6 β α G 5,4 E ,75 f f 0,75 m P f,33 D E6. 25 cm + 80 cm f P P Problèmes 2,75 D P. (a) On donne f 4cm. On calcule la osition de l image I avec 5cm : 5 cm + q 4 cm q 20cm m q 20 cm 5 cm 4 La seconde lentille (f 2 7cm) se situe à d 2cm de la remière. On trouve la osition de l objet et on calcule la osition résultante de l image finale I 2 : d q 8 cm 8 cm + q 2 7 cm q 2 3,73 cm On eut ensuite obtenir le grandissement latéral de la seconde lentille et le grandissement total : m 2 q 2 3,73 cm 8 cm 0,467 m m m 2 m,87 Le tracé de deux des rayons rinciaux donne (b) On rerend les mêmes calculs qu en (a), mais avec 2cm, ce qui donne 2 cm + q 4 cm q 6cm m q 6 cm 2 cm 0,5 d q 6cm 6 cm + q 2 7 cm q 2 42,0 cm v3 Ondes, otique et hysique moderne, Chaitre 5 : Les lentilles et les inst. d ot. 5

16 m 2 q 2 42,0 cm 6 cm 7 m m m 2 m 3,50 Le tracé de deux des rayons rinciaux donne P2. On donne f 0cm. On calcule la osition de l image I avec 20cm : 20 cm + q 0 cm q 20cm m q 20 cm 20 cm La seconde lentille (f 2 5 cm) se situe à d 30cm de la remière. On trouve la osition de l objet et on calcule la osition résultante de l image finale I 2 : d q 0cm 0 cm + q 2 5 cm q 2 3,33 cm On obtient ensuite le grandissement latéral de la seconde lentille et le grandissement total : m 2 q 2 3,33 cm 0 cm 0,333 m m m 2 m 0,333 Le tracé de deux des rayons rinciaux donne P3. On donne f 0cm. On calcule la osition de l image I avec 20cm : 20 cm + q 0 cm q 20cm m q 20 cm 20 cm La seconde lentille (f 2 5 cm) se situe à d 2cm de la remière. On trouve la osition de l objet et on calcule la osition résultante de l image finale I 2 : 6 Ondes, otique et hysique moderne, Chaitre 5 : Les lentilles et les instruments d otique v3

17 d q 8 cm 8 cm + q 2 5 cm q 2 7, cm On obtient ensuite le grandissement latéral de la seconde lentille et le grandissement total : m 2 q 2 7, cm 8 cm 2,4 m m m 2 m 2,4 Le tracé de deux des rayons rinciaux donne P4. (a) On donne f 5 cm. On calcule la osition de l image I avec 25cm : 25 cm + q 5 cm q 9,38 cm m q 9,38 cm 25 cm 0,375 La seconde lentille (f 2 4cm) se situe à d 2cm de la remière. On trouve la osition de l objet et on obtient la osition résultante de l image finale I 2 : d q 2,4 cm 2,4 cm + q 2 4 cm q 2 40,6 cm (b) Le grandissement latéral de la seconde lentille et le grandissement total s obtiennent comme suit m 2 q 2 40,6 cm 2,4 cm,90 m m m 2 m 0,7 Le tracé de deux des rayons rinciaux donne v3 Ondes, otique et hysique moderne, Chaitre 5 : Les lentilles et les inst. d ot. 7

18 P5. Une lentille convergente est lacée entre une source onctuelle et un écran séarés ar une distance D. La lentille est lacée à une distance de l objet, de façon à roduire une image nette telle que q D. (a) Les ositions ossibles s obtiennent au moyen de la formule des lentilles minces : f + q f + D 2 D + fd 0 D± D 2 4fD 2 La solution imlique deux valeurs our CQFD (b) La distance entre les deux ositions ossibles de l objet équiavaut donc à D+ D 2 4fD 2 D D 2 4fD 2 D (D 4f) CQFD P6. Si x et x 0 corresondent aux distances de l objet et de l image à artir du remier et deuxième foyer, la formule des lentilles minces s exrime alors sous la forme newtonienne avec f + x et q f + x 0 : f + q f f+x + f+x (f + x)(f + x 0 )(2f + x + x 0 ) f 0 f 2 + f (x + x 0 )+xx 0 2f 2 + f (x + x 0 ) f 2 xx 0 CQFD P7. Un télescoe astronomique (f ob 80cm, f 5cm) ermet d observer un objet ayant une hauteur y O h 4cm, situé à ob 20metourlequelq 25 cm. (a)ondoitd abordcalculer et q ob : + q f + 25 cm 5 cm 4,7 cm ob + q ob f ob 20 m + q ob 0,8 m q ob 83,3 cm On calcule ensuite le grandissement linéaire, et on obtient ainsi la dimension de l image finale : ³ m m ob m q ob ob q y I my O ( 0,25) (4 cm),00 cm 83,3 cm 2000 cm ³ 25 cm 4,7 cm 0,25 (b) Selon l équation 5.5, G f ob. Mais cette équation n est valable que si l objet initial est à l infini. Si l objet n est as à l infini, l image de l objectif se situe au-delà du foyer de cette lentille (q ob >f ob ), et l angle α rend une valeur inférieure à celle qui aaraît à la figure En remlaçant f ob ar q ob dans l équation 5.5, on obtient donc une valeur rerésentative du grossissement angulaire du télescoe : G q ob 83,3 cm 4,7 cm 20,0 P8. La source onctuelle se situe à 5cm d une lentille (f 0cm). Du côté oosé, à 0 cm de la lentille, se trouve un miroir lan. On calcule d abord la osition de l image 8 Ondes, otique et hysique moderne, Chaitre 5 : Les lentilles et les instruments d otique v3

19 arès un remier assage à travers la lentille (vers la droite) : f + q 0 cm 5 cm + q q 30cm L image se situe à 20 cm derrière le miroir lan. Mais, arce que les rayons sont réfléchis, l image du miroir aaraît à 20 cm devant le miroir. Cette image constitue un objet virtuel our la lentille et est située à 0 cm our le second assage à travers la lentille (vers la gauche) : f + q 2 0 cm 0 cm + q 2 q 2 5cm L image finale se trouve à 5,00 cm de la lentille, entre l objet initial et la lentille. P9. Pour un diotre shérique (R 3 cm), la relation entre et q est donnée ar l équation 5.2, soit n + n 2 q n 2 n R,oùn n,5 et n 2. Comte tenu de la géométrie illustrée à la figure 5.42, on calcule la osition de l image q en considérant le fait que les rayons sortent radialement, sans réfraction : n 3 cm + q 3 n cm,5 3 cm + q,5 3 cm q 3,00 cm L image se suerose à l objet, au centre de l hémishère. P0. Un faisceau arallèle est roduit ar une source située à l infini. Puisqu on veut maintenir arallèle le faisceau sortant en modifiant seulement sa largeur, le disositif otique eut utiliser deux lentilles dont les foyers sont confondus et dont le grossissement angulaire s exrime ar G f 2 f. (a) Si la seconde lentille est convergente, le montage est celui d une lunette astronomique (f f>0,f 2 > 0), commeàlafigure 5.26, et il inverse l image (G 2). Dansun tel montage, la distance d entre les lentilles est telle que d f + f 2 et G f 2 f 2 f 2 2,00f, située à 3,00f de la remière lentille v3 Ondes, otique et hysique moderne, Chaitre 5 : Les lentilles et les inst. d ot. 9

20 (b) Si l une des lentilles est divergente, le montage est celui d une lunette de Galilée inversée (f 2 < 0,f f>0), commesilafigure 5.28 était inversée. Dans un tel montage, où l image reste droite (G 2),ladistanced entre les lentilles est telle que d f + f 2 et G f 2 f 2 f 2 0,500f, située à 0,500f de la remière lentille P. Si la lentille convergente est symétrique, on a R 0cm et R 2 0 cm. Les indices de réfraction resectifs our la lumière rouge et la lumière bleue corresondent à n R,58 et à n B,62. Oncalculeladistancefaleavecl équation5.4b, danslaquellen : f (n ) R R 2 (n ) 0 cm 0 cm f 5 cm n Si n n R,58, f R 5 cm,58 8,62 cm, avec n n B,62, f B 5 cm,62 8,065 cm; finalement, f f R f B 0,556 cm. P2. OnexrimelediamètreD de la lentille en divisant la distance fale f ar un nombre sans dimension x, D f x. La quantité Q de lumière qui atteint la ellicule est roortionnelle à l aire A de la lentille, donc roortionnelle au carré du diamètre de la lentille 20 Ondes, otique et hysique moderne, Chaitre 5 : Les lentilles et les instruments d otique v3

21 µ ³ Q A D 2 f 2 x. On exrime la variation dans la quantité de lumière qui atteint la ellicule ar le raort Q0 Q, donc Q 0 Q µ f x 0 2 µ f x 2 Q0 Q x2 x 02 (a) Avec x 2,0 et x 0 2,8, on obtient Q0 Q (2,0)2 (2,8) 2 0,50. (b) Avec x 5,6 et x 0 8, on obtient Q0 Q (5,6)2 (8) 2 0,490. P3. Pour une lentille mince remlie d air (n 2 )immergée dans l eau (n,33) dont les rayons de courbure sont R 2cm et R 2 6 cm, on calcule la distance fale à l aide de l équation 5.4b : f (n 2 n n ) R R 2,33,33 2 cm 6 cm f 27,6 cm P4. Soit la figure suivante, similaire à la figure 5., et dans laquelle on resecte l hyothèse des etits angles : Le grandissement latéral est défini comme le raort entre la hauteur de l image et la hauteur de l objet. L inversion de l image ar raort à l objet, comme c est le cas ici, imlique que ce raort est négatif.en artant des deux triangles aaraissant dans cette figure, on eut écrire m q tan θ 2 tan θ (i) Si les angles sont etits, on a tan θ sin θ et on modifie l équation (i). On considère finalement la loi de la réfraction, ce qui donne m q sin θ 2 sin θ m n n 2 q CQFD v3 Ondes, otique et hysique moderne, Chaitre 5 : Les lentilles et les inst. d ot. 2