Calcul de primitives. Chapitre Calcul pratique de primitives Primitives usuelles à connaître par coeur

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1 Chpitre 21 Clcul de primitives 21.1 Clcul prtique de primitives On note f(x une primitive de l fonction f sur l intervlle I. Cette nottion désigne une fonction, à ne ps confondre vec une intégrle définie b f(x qui est un réel. Théorème 21.1 : Chngement de vribles Soit f : I R une fonction continue et ϕ : J I une bijection de clsse C 1 de l intervlle J vers l intervlle I. Si F est une primitive de f sur I, lors F ϕ est une primitive de (f ϕ ϕ sur l intervlle J. En prtique pour clculer une primitive F (x = f(x, on pose x = ϕ(t, = ϕ (t dt, où ϕ est un C 1 -difféomorphisme de l intervlle J vers l intervlle I et l on clcule une primitive G(t = F ( ϕ(t ( = f ϕ(t ϕ (t dt sur l intervlle J. Ensuite il suffit de remplcer t pr ϕ 1 (x : F (x = G ( ϕ 1 (t. Exercice 21-1 Clculer les primitives suivntes : 1. sin x sur I =]0,π[ ; 2. sur I =]0, [ ; sh x 3. ch x sur I = R ; 4. x 2 sur I = R ( > 0 ; 2 5. sur I =],[. 2 x2 Théorème 21.2 : Intégrtion pr prties H1 Soient u,v : I R deux fonctions de clsse C 1 sur l intervlle I. Alors u (xv(x = u(xv(x u(xv (x C Exercice 21-2 Clculer les primitives suivntes : 1. x ln(x 2 1 ; 2. (x 2 x 3e 2x ; 3. e x sin x ; 4. ( x 1 rctn. x Primitives usuelles à connître pr coeur Les clssiques

2 sin(x = cos x (x α (x α1 = (α 1, α 1 e x = ex ( 0 cos(x = sin x sh(x = ch x Celles à connître bsolument = ln x x ch(x = sh x ( 0 Soit un réel > 0. On obtient les primitives suivntes en fctorisnt 2 et en fisnt le chngement de vribles u = x/. x 2 2 = 1 rctn x x 2 2 = 1 2 ln x x 2 x 2 = rcsin x 2 x 2 = rgsh x où rgsh est l bijection réciproque de l fonction sh définie sur R, et s forme logrithmique (bonne à connître pr coeur s écrit : rgsh(x = ln ( x x 2 1 cos 2 x = tn x ch 2 x = th x sin 2 x = cotn x sh 2 x = coth x tn x = ln cos x th x = ln ch x Primitives obtenues pr chngement de vribles t = tn x 2 tn sin x = ln x 2 Elle s obtiennent grâce u chngement de vribles : th sh x = ln x 2 t = tn x 2 t = th x 2 dt = 1 2 (1 t2 dt = 1 2 (1 t2 2t 2t sin x = 1 t 2 sh x = 1 t 2 cos x = 1 t2 1 t 2 ch x = 1 t2 1 t 2 tn x = 2t 1 t 2 th x = On obtient l primitive suivnte en remplçnt x pr x π 2. ( tn x cos x = ln 2 π 4 1 = 2 rctn ex ch x 2t 1 t 2

3 21.2 Frctions rtionnelles Définition 21.1 : Frctions rtionnelles Une frction rtionnelle est un quotient de deux polynômes P, K[X]. On l note F (X = P (X. On note K(X l ensemble des frctions rtionnelles. On peut définir l somme et le produit (X de deux frctions rtionnelles pr les formules suivntes : F 1 (X = P 1(X 1 (X, F 2(X = P 2(X 2 (X F 1 F 2 = P 1 2 P F 1 F 2 = P 1P Muni de ces lois, ( K(X,, est un corps commuttif. Remrque 224. Si δ = P, lors P = P 1 δ et = 1 δ vec P 1 1 = 1 et lors P = P1δ = P1 1δ 1. On peut églement diviser u numérteur et u dénominteur pr le coefficient dominnt du polynôme 1. Dns l suite, on considérer donc uniquement des frctions rtionnelles de l forme F = P vec P = 1 et un polynôme unitire. Définition 21.2 : Degré d une frction rtionnelle Soit une frction rtionnelle F = P K(X. On ppelle degré de F : deg F = deg P deg Z On les mêmes propriétés que pour le degré des polynômes : deg(f 1 F 2 mx(deg F 1, deg F 2, deg(f 1 F 2 = deg F 1 deg F 2 Lorsque F 0, le degré de F est un entier reltif. Lorsque F = 0, deg F =. Définition 21.3 : Zéros, pôles d une frction rtionnelle, fonctions rtionnelles Soit F = P K(X. Les rcines de P s ppellent les zéros de F et les rcines de les pôles de F. Si P désigne l ensemble des pôles de F, on peut définir l fonction rtionnelle ssociée à F : F : K \ P K x P (x (x Remrque 225. Un pôle K de l frction F = P, est dit de multiplicité k N, lorsque le sclire est un zéro de multiplicité k du polynôme. Définition 21.4 : Dérivée d une frction rtionnelle Soit une frction rtionnelle F = P K(X. On définit formellement l dérivée de cette frction rtionnelle pr l formule F = P P 2 Remrque 226. On ssocie l fonction rtionnelle dérivée ssociée F : K \ P K. Cette fonction dérivée coïncide vec l dérivée usuelle de l fonction F lorsque K = R Décomposition en éléments simples d une frction rtionnelle Proposition 21.3 : Prtie entière d une frction rtionnelle Soit une frction rtionnelle F = A B K(X. Il existe un unique couple (E, F K[X] K(X tel que { F = E F deg F < 0 Le polynôme E est ppelé l prtie entière de l frction F.

4 Remrque 227. Pour trouver l prtie entière de F, on effectue l division euclidienne du polynôme A pr le polynôme B : A = BE R vec deg R < deg B et lors F = E R B. Proposition 21.4 : Prtie polire d une frction rtionnelle Soit une frction rtionnelle F = A K(X et un pôle K de multiplicité k : B B = (X k B vec B( 0 Il existe un unique couple (A 1,A 2 K[X] 2 de polynômes tels que L frction rtionnelle F = A 1 B A 2 (X k et deg(a 2 < k A 2 est ppelée prtie polire de l frction F reltive u pôle. (X k Proposition 21.5 : Coefficient ssocié à un pôle simple Si une frction rtionnelle F = P est de degré < 0 vec (X = (X V (X, où V ( 0, l prtie polire de l frction F reltivement u pôle simple est de l forme F = λ X U V λ X : (21.1 Pour trouver le sclire λ, on peut : Multiplier (21.1 pr (X, puis fire x = dns l fonction rtionnelle ssociée. On trouve que : λ = P ( V (. Utiliser l formule de Tylor pour, et obtenir λ = P ( ( lorsqu il est difficile de trouver le quotient V du polynôme pr (X.. Cette formule est très utile Décomposition en éléments simples dns C(X Théorème 21.6 : Décomposition dns C(X Soit une frction rtionnelle F = P C(X, vec l décomposition du polynôme en éléments irréductibles qui s écrit : = (X 1 α1... (X n αn Alors l frction F s écrit de fçon unique sous l forme ( λ11 F = E X 1 ( λn1 X n λ 12 (X 1 2 λ 1α1 (X 1 α1 λ n2 (X n 2 λ nαn (X n αn où l prtie entière E C[X] est un polynôme nul, ou de degré deg(p deg( et où les coefficient λ ij C sont complexes. Exercice 21-3 Décomposer les frctions rtionnelles F (X = X 4 (X 1(X 1X et G(X = 1 X n 1 dns C(X.

5 Recherche des coefficients ssociés ux pôles multiples On suppose que F (X = P vec deg F < 0 et (X = (X n V (X vec (V ( 0. L décomposition de F s écrit lors F = λ 1 (X λ 2 (X 2 λ n (X n U(X V (X En multiplint (21.2 pr (X n et en fisnt x =, on trouve λ n ; λ n Si n est petit, (n 2, on retrnche (X n à F, et on recommence pour trouver λ n 1 etc ; (21.2 Si n 3, on fit le chngement de vribles Y = X, F (Y = P 1(Y Y n, et on effectue une division V 1 (Y selon les puissnces croissntes (ou un DL(0,n 1 à l ordre n 1 : P 1 = V 1 ( 0 1 Y n 1 Y n 1 R vec vl(r n On lors : F (Y = 0 Y n 1 Y n 1 n 1... Y et on trouve les coefficients λ 1 = n 1, λ 2 = n 2,.... Exercice 21-4 Décomposer dns C(X l frction rtionnelle G(X = X 1 (X 1 4 X. Remrque 228. Trois stuces à retenir pour obtenir des reltions entre coefficients : multiplier pr x p et fire x (ou prendre l prtie entière des frctions résultntes ; Utiliser l prité éventuelle de l frction ; Donner une vleur prticulière à x (x = 0. Exercice 21-5 Décomposer dns C(X l frction rtionnelle G(X = X (X Décomposition en éléments simples dns R(X Théorème 21.7 : Décomposition dns R(X Soit F = P R(X, où l décomposition en fcteurs irréductibles dns R[X] du dénominteur s écrit : = (X 1 α1... (X n αn (X 2 b 1 X c 1 β1... (X 2 b p X c p αp Alors l frction F s écrit de fçon unique : F = E [( µ11 X δ 11 [( λ11 X 1 ( λn1 X n X 2 b 1 X c 1 ( µp1 X δ p1 X 2 b p X c p λ 12 (X 1 2 λ 1α1 λ n2 (X n 2 λ nαn (X n αn (X 1 α1 ] µ 12 X δ 12 (X 2 b 1 X c 1 2 µ 1β 1 X δ 1β1 (X 2 b 1 X c 1 β1 µ p2 X δ p2 (X 2 b p X c p 2 µ pβ p X δ pβp (X 2 b p X c p βp ] où l prtie entière E R[X] est un polynôme nul ou de degré deg P deg, et tous les λ ij, µ ij, δ ij sont des réels. Le premier groupe est formé d éléments simples de première espèce et le second groupe d éléments simples de seconde espèce. L recherche de l prtie entière et des coefficients des éléments simples de première espèce se fit comme précédemment ; On peut utiliser une décomposition dns C(X et regrouper les éléments simples correspondnt ux pôles conjugués pour obtenir les éléments simples de seconde espèce ;

6 Si X 2 px q = (X (X, on peut multiplier l décomposition pr (X 2 px q k et fire x =, puis x = ; Utiliser les remrques précédentes pour trouver des reltions entre coefficients. Exercice 21-6 Décomposer dns R(X les frctions rtionnelles F (X = X (X (X 1 2. Exercice 21-7 Utiliser l décomposition de l frction F (X = générl S n = 1 X(X 1(X 2 n k=1 1 k(k 1(k 2 1 X 2n 1, G(X = 1 (X 2 et H(X = X 1 2 pour trouver l limite de l suite de terme Exercice 21-8 Soit f l fonction rctn. Décomposer f (x dns C(X, puis utiliser cette décomposition pour clculer explicitement f (n (x. En déduire les zéros de f (n. Exercice 21-9 Soit un polynôme P de degré n à coefficients réels n dmettnt que des rcines simples.. Décomposer en éléments simples l frction rtionnelle F = P P. b. En déduire que x R, P (xp (x P (x Primitives de frctions rtionnelles. Pour clculer une primitive d une frction rtionnelle, on l décompose en éléments simples dns R(X. L prtie entière et les éléments simples de première espèce se primitivent imméditement. Pour primitiver un élément simple de deuxième espèce: x b (x 2 px q n, Fire pprître en hut l dérivée de x 2 px q, et l prtie en x se primitive en ln ou en une frction ; On se rmène à primitiver 1 (x 2. Pour cel, on réduit le trinôme sous forme cnonique et on px q n effectue les chngements de vribles ppropriés ; Pour clculer I n = (x 2 2 n, on intègre I n 1 pr prties. On obtient une reltion entre I n et I n 1. Pr exemple, pour clculer (x 2 1 2, on intègre pr prties rctn x = x 2 1. Exercice Clculer (x 2 x 1 2 Exercice Clculer x 3 (x 2 1 Exercice Clculer x 3 1 Exercice Clculer x(x 6 1

7 Primitives rtionnelles en sin, cos On s intéresse ux primitives de l forme F (sin x, cos x rguments. où F est une frction rtionnelle dns les deux 1. P (sin x, cos x, où P est un polynôme dns les deux vribles. On se rmène u clcul de sin p x cos q x. Si p est impir : sin 2k x cos q x sin x, fire le chngement de vribles y = cos x ; Si q est impir : fire le chngement de vribles y = sin x ; Si p et q sont pirs, on linérise (cf règles de Bioche. Exercice Clculer sin 2 x cos 3 x. 2. Règles de Bioche pour clculer F (sin x, cos x : On étudie l élément différentiel ω(x = F (sin x, cos x. Si ω(x est invrint pr l trnsformtion x x, on pose t = cos x ; Si ω(x est invrint pr l trnsformtion x π x, on pose t = sin x ; Si ω(x est invrint pr l trnsformtion x π x, on pose t = tn x ; Si ucune trnsformtion de mrche, on pose t = tn x 2. Exercice Clculer sin x 1 cos 2 x, 1 sin 2 x, cos 3 x cos 5 x sin 2 x sin 4 x, 2 cos x Primitives rtionnelles en sh, ch On veut clculer des primitives de l forme F (sh x, ch x où F est une frction rtionnelle dns les deux vribles. On l nlogie des règles de Bioche : On étudie l élément différentiel ω(x = F (sin x, cos x (en remplçnt les fonctions hyperboliques pr les fonctions trigonométriques ssociées. Si ω(x est invrint pr l trnsformtion x x, on pose t = ch x : Si ω(x est invrint pr l trnsformtion x π x, on pose t = sh x ; Si ω(x est invrint pr l trnsformtion x π x, on pose t = th x ; Si ucune trnsformtion ne mrche, on pose t = th x 2 ou lors t = ex. Exercice Clculer ch 2 x sh 2 x, sh 3 x ch x(2 sh 2 x, th 3 x, ln sh x 4 ch x Primitives vec des rcines. Il y en de deux sortes qu on sit triter (F (λ,µ est une frction rtionnelle dns les deux rguments. F (x, n x b cx d x b Poser y = n cx d. F (x, x 2 bx c : réduire le trinôme et poser y un sin, un ch ou un sh pour fire disprître l rcine. Exercice Clculer 1 x 1 x x

8 Exercice Clculer x 3 x Exercice Clculer 2 x 1 x 1 x 1 x Exercice Clculer x x2 x 1 Exercice Clculer x x 2 Remrque 229. Une stuce qui simplifie considérblement les clculs : pour clculer une primitive de x2 px q commencer pr réduire le trinôme pour se rmener à clculer F = x2 2 L idée consiste à fire psser l rcine u dénominteur en intégrnt pr prties, cr l primitive suivnte est connue : G = x2 = rgsh(x/ 2 Exercice Clculer x 2 x 1.