Chapitre 6. Fonctions logarithmes

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1 Chapitre 6 Fonctions logarithmes Les logarithmes (logos = rapport, arithmeticos = nombres sont apparus grâce au mathématicien Écossais John Napier ( qui cherchait à simplifier les calculs astronomiques. Les mathématiciens de l époque cherchaient des relations entre des suites géométriques et des suites arithmétiques permettant de transformer un produit (difficile à calculer en une somme (beaucoup plus simple à effectuer. En 64, John Napier publie des tables de correspondances entre deu séries de valeurs telles que le produit de deu nombres d une colonne correspond à la somme des nombres correspondants de l autre colonne. Il vient d inventer les logarithmes. En fait Napier (ou Néper en français n a pas inventé de fonction logarithme mais juste les tables de correspondance ; c est en 647 que Grégoire de Saint-Vincent (Jésuite et mathématicien belge met en évidence une nouvelle fonction, s annulant en et dont la dérivée est la fonction inverse qui s avérera être la fonction qu on appelera logarithme népérien. Ce lien entre la fonction trouvée par Grégoire de Saint-Vincent et les tables de logarithmes de Napier sera établi par Christiaan Huygens (mathématicien, astronome et physicien néerlandais en 66. John Napier ( Christiaan Huygens (

2 50 Fonctions logarithmes 6. Définition et propriétés 6.. La fonction logarithme népérien Définition 6. Pour tout > 0, l équation e y = admet une unique solution sur R. La fonction qui a tout > 0 associe ce réel y tel que e y = est appelée logarithme népérien. On la note ln. Eemple 6. On déduit de la définition : ln( est le réel y tel que e y = donc ln( = 0 ; ln(e est le réel y tel que e y = e donc ln(e = ; ln(e 2 est le réel y tel que e y = e 2 donc ln(e 2 = 2 ; ln ( e est le réel y tel que e y = e donc ln ( e =. Conséquence : pour tout > 0 et tout y R on a : e y = y = ln( Remarque 6. Si R + alors e ln( =. Si R alors ln (e =. Remarque 6.2 La touche logarithme népéprien de la calculatrice est généralement notée ln ou LN (à ne pas confondre avec la touche log Propriétés algébriques Propriété 6. pour > 0 et y > 0, on a ln(y = ln( + ln(y ; 2 pour > 0 on a ln ( = ln( ; 3 pour > 0 et y > 0 on a ln ( y = ln( ln(y ; 4 pour > 0 et p Z on a ln ( p = p ln( ; 5 pour > 0 on a ln ( = 2 ln(. Démonstration : On a e ln(+ln(y = e ln( e ln(y = y. En prenant le logarithme népérien de chacun des membres de cette égalité on obtient ln( + ln(y = ln(y. 2 On a e ln( = =. En prenant le logarithme népérien on obtient ln( = ln ( e ln(. 3 On a ln ( ( ( y = ln y = ln( + ln y = ln( ln(y. 4 On a e p ln( = ( e ln( p = p. En prenant le logarithme népérien on obtient p ln( = ln ( p. ( ( 2 5 Enfin, puisque > 0 on a ln( = ln = 2 ln (.

3 6.2 Étude de la fonction logarithme népérien 5 Remarque 6.3 (Attention! On a ln (( 4 ( 5 = ln(20 mais ni ln( 4 ni ln( 5 ne sont définis. De même, on ne peut la transformer en une somme l epression ln (( + 3( +, que si +3 et + sont strictement positifs. Eemple 6.2 Soit f et g définies respectivement par f ( = ln( ln( 4 et g( = ln (( + 2( 4. Déterminer les ensembles de définition de f et g. Peut-on conclure que f = g? Remarque 6.4 Les fonctions eponentielle et logarithme népérien sont chacune solution d une équation fonctionnelle : la fonction eponentielle vérifie pour tout et y, f ( + y = f ( f (y ; la fonction logarithme népérien vérifie pour tout et y, f (y = f ( + f (y. 6.2 Étude de la fonction logarithme népérien Dans cette partie, on note f : ln(. La fonction f est définie sur R +. Montrons qu elle est dérivable sur R +. Soit a R ln( ln(a +, on pose L = si cette ite eiste. a a En posant X = ln( et A = ln(a on a : L = X A X A e X e A = X A e X e A X A = e A = a En effet, la fonction eponentielle est égale à sa dérivée donc pour tout A, X A e X e A X A = ea. Donc la fonction f est dérivable en a donc elle est dérivable sur R + et donc continue sur R +. De plus pour tout R + on a ln ( = : la dérivée de la fonction logarithme népérien sur R + est la fonction inverse qui est strictement positive sur R + donc f est strictement croissante sur R +. On obtient donc le tableau de variation suivant (les calculs de ites seront démontrés par la suite : ln 0 + Remarque 6.5 (Conséquence Pour < on a ln( < 0 et pour > on a ln( > 0. Calcul des ites : on veut montrer que pour tout A > 0 il eiste un réel α tel que si > α alors ln( > A (c est-à-dire que ln( peut être aussi grand qu on le souhaite. La fonction eponentielle étant croissante sur R, ln( > A e ln( > e A. Donc pour tout e A + on a ln( ln(e A + > ln e A = A. Donc : ln( = + +

4 52 Fonctions logarithmes en posant X =, on a : ( ln( = ln 0 + X + X = ln(x = ln(x = X + X + Conséquence graphique : la courbe représentative de la fonction logarithme népérien admet une asymptote verticale d équation = 0. Approimation affine au voisinage de : ln( on a = f ( = = donc : ln( = ( + ( ɛ( avec ɛ( = 0 La tangente à C f admet au point d abscisse une tangente d équation y =. Courbe représentative : C ln j i e 6.3 Applications 6.3. Composée avec la fonction ln Propriété 6.2 Soit u une fonction définie sur un intervalle I et à valeurs strictement positives (on écrit u : I R +. Alors la fonction ln(u( est dérivable sur I et on a : (ln u = u u Démonstration : il suffit d appliquer le théorème 2. de la page 7. Eemple 6.3 Pour R on a > 0 donc la fonction f : ln( est définie et dérivable sur R et pour tout on a : f ( =

5 6.3 Applications Quelques ites à connaître Propriété 6.3 ln( + = 0; 0+ ln( = 0; ln( + t t 0 t = Démonstration : En posant t = ln( on a : ln( + t = t + e = t t + e t t = 0 En posant t = on a : ln( ln( = t 0 + t + t = t + ln(t t = 0 Enfin la dernière ite est le nombre dérivé de ln en soit = Équations. Inéquations Théorème 6. Soit a et b deu réels strictement positifs. Alors : on a a = b ln(a = ln(b ; on a a < b ln(a > ln(b. Démonstration : la fonction ln est strictement croissante et continue Logarithme décimal En physique, vous avez sûrement vu que le ph d une solution est donné par la relation ph = log ( [H 3 O + ]. Dans cette epression, le log n est pas le logarithme népérien mais le logarithme décimal. C est la fonction qui à tout > 0 associe l unique solution y de l équation 0 y = (Nous verrons dans le chapitre 8 ce que signifie 0 y pour y R. Ainsi, si [ H 3 O +] = 0 3 alors ph = 3. Définition 6.2 La fonction logarithme décimal est la fonction notée log, définie sur R + par : log( = ln( ln(0 Eemple 6.4 On a log( = 0, log(0 = et pour tout p Z, log(0 p = p. Propriété 6.4 Pour tout a et tout b de R + on a log(ab = log(a + log(b. Démonstration : conséquence directe de la définition 6.2 et de la propriété 6..

6 54 Fonctions logarithmes Remarque 6.6 De la même façon, pour tout a > 0 on peut définir sur R + le logarithme de base a, noté log a par : log a ( = ln( ln(a Un eemple d étude de fonction Eemple 6.5 Soit f la fonction définie sur R +\{} par f ( = ln(.. Tracer l allure de la courbe représentative de f à la calculatrice. Que remarque-t-on en =? 2. Peut-on définir f ( pour que f soit continue sur R +? Justifier. 3. Étudier la fonction g : ln( + (variations et signe. 4. Étudier f. Solution : 2. En posant X = on a : ln( = ln(x + X 0 X = Ainsi en posant f ( = ln( pour > 0 avec et f ( =, la fonction f ainsi définie est continue sur R La fonction g est définie et dérivable sur R + comme produit et somme de fonctions définies et dérivables sur R +. Pour > 0 on a : g ( = ln( + = ln( On obtient donc facilement le tableau de variation de g et d après les variations, on dresse le tableau de signes : 0 + g ( 0 + g 0 g( La fonction f est définie sur R + et dérivable sur R +\{}. Et on a pour > 0, : f ( = ( ln( ( = + ln( = ( 2 ( 2 g( ( 2

7 6.3 Applications 55 On obtient donc : 0 + g( ( f ( + + f 0 Calcul des ites : 0 ln( = 0 ( = } donc par quotient : 0 ln( = Pour > on a < donc > ln( et donc > ln(. De plus, pour > 3 on a > donc < et donc ln( < ln(. Finalement, pour > 3 on a : ln( < f ( < 2 ln(. Or chacune des epressions encadrant f ( admet 0 pour ite en + donc d après le théorème des gendarmes (théorème.4 page 2 on a : f ( = 0 +