France métropolitaine/réunion. Septembre Enseignement spécifique. Corrigé

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1 Frac métropolitai/réuio. Sptmbr 15. Esigmt spécifiqu. Corrigé EXERCICE 1 Qustio 1 D après la formul ds probabilités totals fourit p(b) = p(a) p A (B)+p ( A ) p A (B) =,6,+(1,6),3 =,1+,1 =,4. La bo répos st la répos c. Qustio La probabilité dmadé st P(T 6) avc P(T 6) = 1 P(T 6) = 1 6 = 6λ = 6 l/3 = l = ( l) = = 1 4 =,5. La bo répos st la répos b. λ λt dt = 1 [ λt] 6 = 1 ( 6λ + ) Qustio 3 P(X 135) = P(X µ + σ). O sait qu P(µ σ X µ +σ) =,683 arrodi au millièm t doc, pour ds raisos d symétri P(X 135) = La bo répos st la répos a. 1 P(X µ+σ) =, 159 arrodi au millièm. Qustio 4 L itrvall doit êtr ctré,5 c qui élimi ls réposs a, b t d. La bo répos st la répos c. [ Qustio 5 U itrvall d cofiac au ivau d cofiac 95% st f 1,f+ 1 ] où f st la fréquc d prsos d plus d 6 as obsrvé das l échatillo t st l ffctif d l échatillo. L amplitud d ct itrvall d cofiac st., La bo répos st la répos c. http :// 1 c Ja-Louis Rougt, 15. Tous droits résrvés.

2 EXERCICE Parti A 1) Soit u tir aturl. D après la rlatio d Chasls t doc I +1 = f(x) dx = f(x) dx+ f(x) dx = I + f(x) dx, I +1 I = f(x) dx. Puisqu la foctiofst cotiu t positiv sur[,+ [ t doc sur[,+1], par positivité d l itégral, ou cor I +1 I. O a motré qu pour tout tir aturl, I +1 I ou cor I +1 I t doc la suit (I ) N st croissat. f(x) dx ) a) Soit u tir aturl. Pour tout rél x d [,], x x x > puis 1 x x par décroissac d la x foctio t 1 sur ],+ [. E multipliat ls dux mmbrs d la drièr iégalité pat l rél positif x, o obtit t x x x x x ou cor f(x) x x. Aisi, pour tout rél x d [,], f(x) x x. Par croissac d l itégral, o déduit qu I = f(x) dx x x dx. b) La foctio H st dérivabl sur [,+ [ tat qu produit d foctios dérivabls sur [,+ [ t pour tout rél positif x, H (x) = ( 1) x +( x 1) ( x) = x +(x+1) x = ( 1+x+1) x = x x. c) Aisi, la foctio H st u primitiv d la foctio x x x sur [,+ [. Soit u tir aturl. D après la qustio )a), car (+1) x. x x dx = [H(x)] = ( 1) x ( 1) = (+1). I (+1), 3) La suit (I ) N st croissat d après la qustio 1) t st majoré par d après la qustio )c). O déduit qu la suit (I ) N st covrgt. Parti B 1) Valurs succssivs d A i A x 1, 5,6,5 3,169,75 4, 36 1 ) La drièr valur d A affiché par l algorithm st la somm ds airs ds rctagls ci-dssous http :// c Ja-Louis Rougt, 15. Tous droits résrvés.

3 C ) L algortihtm fourit u valur approché d 1 f(x) dx obtu par la méthod ds rctagls avc u pas d 1 K. Quad K dvit très grad, l alorithm affich u très bo valur approché d ctt itégral ou cor u très bo valur approché d l air ci-dssous : C http :// 3 c Ja-Louis Rougt, 15. Tous droits résrvés.

4 EXERCICE 3 1) L vctur AB a pour coordoés (,1,). La droit (AB) st la droit passat par A(,1, 1) t d vctur dirctur AB(,1,). U rpréstatio paramétriqu d la droit (AB) st x = s y = 1+s z = 1, s R. ) a) La droit (AB) st dirigé par l vctur AB(,1,) t la droit D st dirigé par l vctur u(1,1, 1). S il xist u rél k tl qu u = k AB, la troisièm coordoé fourit 1 = k c qui st impossibl. Doc, ls vcturs u t AB sot pas coliéairs ou cor ls droits D t (AB) sot pas parallèls. b) O déduit qu ls droits D t (AB) sot sécats ou o coplaairs. Soit M( +t,1+t, 1 t), t R, u poit d la droit D t N( s,1+s, 1), s R, u poit d la droit (AB). +t = s M = N 1+t = 1+s 1 t = 1 t = s = 1+s = 1 t = s = 1 s =. C systèm d équatios a pas d solutio ou cor ls droits D t (AB) ot pas d poit commu. Ls droits D t (AB) sot doc pas sécats. 3) U vctur ormal au pla P st l vctur d coordoés (1,1, 1). C vctur ormal st aussi u vctur dirctur d la droit D. Doc, la droit D st orthogoal au pla P. D plus, x M +y M z M 3u = ( +u)+(1+u) ( 1 u) 3u = u( )+( +1+1) =. Doc, l pla P pass par l poit M. 4) Soit N( s,1+s, 1), s R, u poit d la droit (AB). N P ( s)+(1+s) ( 1) 3u = s+ 3u = s = 3u. Pour s = 3u, o obtit l poit N( 4+6u,3 3u, 1). 5) a) Ls coordoés du vctur MN sot (( 4 + 6u) ( + u),(3 3u) (1 + u),( 1) ( 1 u)) ou cor ( +5u, 4u,u). La droit D st dirigé par l vctur v(1,1, 1). MN. v = ( +5u)+( 4u) u =. Doc, la droit(mn) t la droit D sot orthogoals. D plus, ls droits(mn) t D sot sécats Mt fialmt, la droit (MN) t la droit D sot prpdiculairs. b) MN. v = ( ) ( +5u)+1 ( 4u)+ ( u) = 6 14ux. Par suit, ls droits (MN) t (AB) sot prpdiculairs si t sulmt si u = ) a) MN = ( +5u) +( 4u) +( u) = 5u u+4+16u 16u+4+u = 4u 36u+8. b) Pour u R, posos f(u) = 4u 36u + 8. O sait qu f(u) st miimal si t sulmt si f (u) = avc f (u) = 84u 36. Doc, MN st miimal pour u = ou cor u = 3 7. Efi, MN st miimal si t sulmt si MN st miimal. Doc, MN st miimal pour u = 3 c qui corrspos à 7 la situatio où ls droits (MN) t (AB) sot prpdiculairs. http :// 4 c Ja-Louis Rougt, 15. Tous droits résrvés.

5 EXERCICE 4. 1) Notos x K l absciss du poit K. Par défiitio du poit K, o a f(x K ) = ou cor F (x K ) =. Aisi, l poit d C F d mêm absciss qu K, C F a u tagt parallèl à l ax ds abscisss. Cci s produit qu das la Situatio. Ls graphs xacts sot doc ls graphs d la situatio. ) a) E aalysat l ombr d carraux cotu das l domai ci-dssous, l air st approximativmt égal à fois l air d u carrau ou cor,5 uité d air ou fi,5 uité d air. 1.5 D C F 1. C f.5 K L b) Détrmios d abord l absciss du poit K. Soit x u rél strictmt positif. f(x) = 1 x (1+l(x)) = 1+l(x) = l(x) = 1 x = 1. L poit K a pour absciss 1. D autr part, la foctio f st cotiu t positiv sur [ 1,1 ]. Doc, l air chrché, xprimé uité d air st 1 1 ( 1 A = f(x) dx = 1 1 x + 1 ) x l(x) dx = = (l(1)+ 1 ) (l(1)) (l(1/)+ 1 ) (l(1/)) = 1 =,5. L air chrché st égal à,5 uité d air. [ l(x)+ 1 (l(x)) ] 1 1 ( = 1+ 1 ) http :// 5 c Ja-Louis Rougt, 15. Tous droits résrvés.